垂径定理练习题及答案(20200513233527)

垂径定理练习题及答案一、选择题1. 在一个圆中，如果一条直径的端点与圆上一点相连，这条线段的中点与圆心的距离是直径的（）A. 一半B. 半径B. 直径D. 无法确定2. 垂径定理指出，如果一条线段是圆的直径，那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是（）A. 直径B. 半径C. 线段D. 无法确定3. 圆内接四边形的对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 无法确定4. 如果圆的半径为r，那么圆的直径是（）A. 2rB. rC. r的平方D. 2r的平方二、填空题1. 垂径定理告诉我们，如果一条线段是圆的直径，那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是______。

2. 圆的内接四边形中，如果对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形的对角线长度相等，等于______。

3. 已知圆的半径为5cm，那么圆的直径是______。

三、解答题1. 已知一个圆的半径为7cm，圆内有一点P，连接点P和圆心O，得到线段OP。

如果OP的长度为4cm，求点P到圆上任意一点的距离。

2. 一个圆的直径为14cm，圆内接四边形ABCD，其中AC为直径。

已知AB=6cm，求BC的长度。

四、证明题1. 证明：如果一个三角形是直角三角形，且斜边是圆的直径，那么这个三角形的外接圆的直径是这个三角形的斜边。

2. 证明：如果一个圆的内接四边形的对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形的对角线长度相等。

答案：一、选择题1. A2. A3. B4. A二、填空题1. 直径的一半2. 圆的直径3. 10cm三、解答题1. 点P到圆上任意一点的距离是3cm（利用勾股定理，OP为直角三角形的一条直角边，半径为斜边，另一直角边为点P到圆上任意一点的距离）。

2. BC的长度是8cm（利用圆内接四边形的性质，对角线互相平分，且AC是直径，所以BD=7cm，再利用勾股定理求BC）。

1、已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10cm，AP:PB＝1:5，则⊙O的半径为_______。

2、在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP ＝____ _。

3、已知圆的半径为5cm，一弦长为8cm，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。

4、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ____。

5、在半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为_____ _。

6、如图，在⊙O中，OA是半径，弦AB＝cm，D是弧AB的中点，OD交AB于点C，若∠OAB＝300，则⊙O的半径____cm。

7、在⊙O中，半径OA＝10cm，AB是弦，C是AB弦的中点，且OC:AC=3:4，则AB=_____。

8、在弓形ABC中，弦AB=24，高CD=6，则弓形所在圆的半径等于。

9．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，AB＝10cm，CD＝6cm，则AC的长为_____。

1、已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP:PB ＝1:5，则⊙O 的半径为_______。

2、在⊙O 中，P 为其内一点，过点P 的最长的弦为8cm ，最短的弦长为4cm ，则OP ＝____ _。

3、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。

4、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ____。

5、在半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm ，另一条弦长为6cm ，则这两条弦之间的距离为_____ _。

6、如图，在⊙O 中，OA 是半径，弦AB ＝310cm ，D 是弧AB 的中点，OD 交AB 于点C ，若∠OAB ＝300，则⊙O 的半径____cm 。

圆的垂径定理习题及答案圆的垂径定理习题⼀. 选择题 1.如图1,00的直径为10,圆⼼0到弦AB 的距离0M 的长为3,那么弦AB 的长是（）2.如图，O 0的半径为5,弦AB 的长为8,M 是弦AB 上的⼀个动点，则线段0M 长的最⼩值为（）3.过O 0内⼀点M 的最长弦为10cm 最短弦长为8cm 则0M 的长为（）A* 9cmE, 5cm4.如图，⼩明同学设计了⼀个测量圆直径的⼯具，标有刻度的尺⼦ 0A 0B 在 0点钉在⼀起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 0点靠在圆周上，读得刻度0E=8个单位，0F=6个单位，则圆的直位 D. 15个单位5.如图，00的直径AB 垂直弦CD 于 P,且P 是半径0B 的中点，6cmCD ，则直径AB 的长是（）6. 下列命题中，正确的是（A .平分⼀条直径的弦必垂直于这条直径B .平分⼀条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C .弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆⼼D .在⼀个圆内平分⼀条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆⼼7. 如图，某公园的⼀座⽯拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24⽶，拱的半径为13⽶，则拱⾼为A.4B. 6C. 7D. 8 B. 3 C. 4 D. 5B . 10个单位 C. 1个单A . 212个单位E & 5⽶B, 8⽶C. 7⽶D,出⽶D8.0O 的半径为5cm 弦AB//CD ,且AB=8cm,CD=6cn 则AB 与CD 之间的距离为( ) A . 1 cm B. 7cm C. 3 cm 或 4 cm D. 1cm 或 7cm9?已知等腰△ ABC 的三个顶点都在半径为5的0 0上，如果底边BC 的长为8,那么BC 边上的⾼为 ( ) A . 2 B. 8 C. 2 或 8 D. 3 ⼆、填空题1. _________________________________________________________________________ 已知AB 是O 0的弦，AB= 8cm, OCL AB 与C, 0C=3cm 则O 0的半径为 __________________________ c m2. ____________________________________________________________________ 在直径为10cm 的圆中，弦 AB 的长为8cm,则它的弦⼼距为 _______________________________ cm3. 在半径为10的圆中有⼀条长为16的弦，那么这条弦的弦⼼距等于 _____________________4. 已知AB 是O 0的弦，AB= 8cm, OC L AB 与C, 0C=3cm 则O O 的半径为 ________________ cm5. ______________________________________________________________________________ 如图，O 0的直径AB 垂直于弦CD ，垂⾜为E ，若/C0氐120°, 0E= 3厘⽶，贝U CD= ___________厘6. _____________________________________________________________ 半径为6cm 的圆中，垂直平分半径 0A 的弦长为 _______________________________________________ c m7. 过O 0内⼀点M 的最长的弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则0M 勺长等于 cm8. 已知AB 是O 0的直径，弦CDL AB E为垂⾜，CD=8 0E=1则AB= __________9. 如图，AB 为O 0的弦，O 0的半径为5, OC L AB 于点D,交O 0于点C,且CD= l ，则弦AB 的长11. __________________________ 如图，在直⾓坐标系中，以点P 为圆⼼的圆弧与轴交于 A 、B 两点，已知P(4, 2)和A(2, 0), 贝⼙点B 的坐标是12. ____________________________________________________________ 如图，AB 是O 0的直径，ODL AC 于点D, BC=6cm 则0D ________________________________ cm10. 某蔬菜基地的圆弧形蔬菜⼤棚的剖⾯如图所⽰，已知 AB= 16m 半径04 10m 则中间柱 CD的⾼度为13. 如图，矩形ABCDf圆⼼在AB上的圆0交于点G B、F、E, GB=10 EF=8 那么AD= ______14.___________________________________________________________________________ 如图，O O 的半径是 5cm P 是o o 外⼀点，PO=8cm / P=3GO,则 AB ______________________ cm 是 __________________ Cm16. 已知AB 是圆O 的弦,半径OC 垂直AB 交AB 于D,若AB=8 CD=2则圆的半径为 _______________ 17. ⼀个圆弧形门拱的拱⾼为1⽶，跨度为4⽶，那么这个门拱的半径为 ___________________ ⽶ 18.在直径为10厘⽶的圆中，两条分别为6厘⽶和8厘⽶的平⾏弦之间的距离是厘⽶19. 如图,是⼀个隧道的截⾯,如果路⾯AB 宽为8⽶,净⾼CD 为8⽶,那么这个隧道所在圆的20. 如图,AB 为半圆直径,O 为圆⼼,C 为半圆上⼀点,E 是弧AC 的中点,OE 交弦AC 于点0 若 AC=8cm DE=2cm 则 OD 的长为 _____________ c m21. 已知等腰△ ABC 的三个顶点都在半径为5的。

典型例题分析：例题1、 基本概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.O A E F例题3、度数问题1、已知：在⊙O中，弦cm12=AB，O点到AB的距离等于AB的一半，求：AOB∠的度数和圆的半径.2、已知：⊙O的半径1=OA，弦AB、AC的长分别是2、3.求BAC∠的度数。

例题4、相交问题如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.例题5、平行问题在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为ba,.求证：22baBDAD-=⋅.例题7、平行与相似已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，于CDAE⊥E，CDBF⊥于F.求证：FDEC=.A BDCEO作 业： 一、概念题1．下列命题中错误的有（）（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）（A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤（C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<3．如图，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．DE CE =B ．C ．BAD BAC ∠=∠ D ．AD AC >4．如图，AB 是⊙O 直径，CD 是⊙O 的弦，CD AB ⊥于E ，则图中不大于半圆的相等弧有（ ）对。

专题07 垂径定理专题测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共10小题）1．（2020•宁波模拟）圆的一条弦长为6，其弦心距为4，则圆的半径为（）A．5 B．6 C．8 D．10【点拨】首先根据垂径定理求得半弦是3cm，再根据勾股定理求得圆的半径．【解析】解：由垂径定理求得AD＝AB＝6÷2＝3，在直角△OAD中，根据勾股定理即可求得半径OA＝＝5．故选：A．【点睛】此题综合运用了垂径定理和勾股定理，解题的关键是构造直角三角形，难度不大．2．（2018秋•鹿城区校级期中）如图，某公图的一石桥是圆弧形（劣弧），其跨径（AB）为24米，拱的半径为13米，则拱高（CD）为（）A．9米B．8米C．7米D．5米【点拨】连接OD、OA，根据勾股定理求出OD，结合图形计算，得到答案．【解析】解：作出圆弧所在的圆的圆心O，连接OD、OA，∵CD垂直平分AB，∴点O在直线CD上，AD＝AB＝12，在Rt△AOD中，OD＝＝＝5，∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（米）故选：B．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，解决计算弦长、半径、弦心距是解题的关键．3．（2019•三明一模）如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（）A．8 B．10 C．D．【点拨】根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，求出AD，再根据勾股定理求出AB即可．【解析】解：连接OB，∵AO⊥BC，AO过O，BC＝8，∴BD＝CD＝4，∠BDO＝90°，由勾股定理得：OD＝＝＝3，∴AD＝OA+OD＝5+3＝8，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝＝4，故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出BD长是解此题的关键．4．（2019秋•江都区期末）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，DE＝2，AB＝8，则⊙O的半径为（）A．5 B．8 C．3 D．10【点拨】连接OA，由垂径定理得出AE＝BE＝4，设OA＝r，知OE＝r﹣2，根据OA2＝AE2+OE2得到关于r的方程，解之可得答案．【解析】解：如图，连接OA，∵AB⊥CD，AB＝8，∴AE＝BE＝4，设OA＝r，∵DE＝2，∴OE＝r﹣2，由OA2＝AE2+OE2得r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5，即⊙O的半径为5，故选：A．【点睛】本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．5．（2018•大安区模拟）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM 的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5【点拨】由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．【解析】解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，∵⊙O的直径为10，∴半径为5，∴OM的最大值为5，∵OM⊥AB于M，∴AM＝BM，∵AB＝6，∴AM＝3，在Rt△AOM中，OM＝＝＝＝4；此时OM最短，所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是确定OM的最小值，所以求OM的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．6．（2019春•西湖区校级月考）如图，⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于M，且DM：MC ＝4：1，则AB的长是（）A．2 B．8 C．16 D．【点拨】连接OA，由直径DC与弦AB垂直，根据垂径定理得到M为AB的中点，要求AB只需求出AM 即可，AM放在直角三角形AOM中，先由DC的长及DM与MC的比值，求出DM与MC的长，且求出半径OD及OA的长，进而利用DM﹣OD求出OM的长，在直角三角形AOM中，由OA和OM的长，利用勾股定理求出AM，最后利用AB＝2AM即可求出AB的长．【解析】解：连接OA，如图，∵DC⊥AB，且DC为圆O的直径，∴M为AB中点，即AM＝BM＝AB，又∵CD＝10，DM：MC＝4：1，∴DM＝DC＝8，MC＝DC＝2，且OA＝OD＝5，∴OM＝DM﹣OD＝8﹣5＝3，在Rt△AOM中，根据勾股定理得：OA2＝OM2+AM2，即AM＝＝4，则AB＝2AM＝8．故选：B．【点睛】此题考查了垂径定理，比例的性质以及勾股定理，在遇到直径与弦垂直时，常常利用垂径定理得出直径平方弦，且由圆的半径，弦心距及弦的一半构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题，故连接OA是本题的突破点．7．（2017秋•滨江区期末）在半径为25cm的⊙O中，弦AB＝40cm，则弦AB所对的弧的中点到AB的距离是（）A．10cm B．15cm C．40cm D．10cm或40cm【点拨】点C和D为弦AB所对弧的中点，连结CD交AB于E，连结OA，如图，根据垂径定理的推论得到CD为直径，CD⊥AB，则AE＝BE＝AB＝20，再利用勾股定理计算出OE＝15，然后分别计算出DE和CE即可．【解析】解：点C和D为弦AB所对弧的中点，连结CD交AB于E，连结OA，如图，∵点C和D为弦AB所对弧的中点，∴CD为直径，CD⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝20，在Rt△OAE中，∵OA＝25，AE＝20，∴OE＝＝15，∴DE＝OD+OE＝40，CE＝OC﹣OE＝10，即弦AB和弦AB所对的劣弧的中点的距离为10cm，弦AB和弦AB所对的优弧的中点的距离为40cm．故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，关键是根据垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧解答．8．（2018•建邺区一模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（）A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm【点拨】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM＝4﹣x，MF＝2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【解析】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN＝CD＝4，设OF＝x，则ON＝OF，∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2即：（4﹣x）2+22＝x2解得：x＝2.5故选：B．【点睛】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．9．（2020•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接P A，PB，若⊙O的半径为1，则S△P AB的最大值为（）A．1 B．C．D．【点拨】连接OA，如图，利用垂径定理得到AD＝BD，＝，再根据OD＝DC可得到OD＝OA＝，所以AD＝，由勾股定理，则AB＝．△P AB底AB不变，当高越大时面积越大，即P点到AB 距离最大时，△APB的面积最大．则当点P为AB所在优弧的中点时，此时PD＝PO+OD＝1+＝，△APB的面积最大，然后根据三角形的面积公式计算即可．【解析】解：连接OA，如图，∵OC⊥AB，∴AD＝BD，∵OD＝DC，∴OD＝OA＝，∴AD＝＝，AB＝2AD＝．当点P为AB所对的优弧的中点时，△APB的面积最大，此时PD＝PO+OD＝1+＝．∴△APB的面积的最大值为＝＝＝．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．常用辅助线连半径．10．（2018秋•西湖区校级月考）如图，点C是⊙O优弧ACB上的中点，弦AB＝8cm，E为OC上任意一点，动点F从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向点B匀速运动，若y＝AE2﹣EF2，则y与动点F的运动时间x（0≤x≤4）秒的函数关系式为（）A．y＝x2﹣4x B．y＝﹣x2﹣4x C．y＝﹣x2+8x D．y＝x2﹣8x【点拨】首先延长CO交AB于G，根据垂径定理的知识，可得CO⊥AB，并可求得AG的值，由勾股定理可得AE2＝AG2+EG2，EF2＝FG2+EG2，即可求得y＝AG2﹣FG2，即可求得函数关系式．【解析】解：解：延长CO交AB于G，∵点C是⊙O优弧ACB上的中点，∴CO⊥AB，AG＝AB＝×8＝4（cm），∴AE2＝AG2+EG2，EF2＝FG2+EG2，当0≤x≤4时，AF＝xcm，FG＝（4﹣x）cm，∴y＝AE2﹣EF2＝AG2+EG2﹣FG2﹣EG2＝AG2﹣FG2＝16﹣（4﹣x）2＝8x﹣x2；故选：C．【点睛】此题考查了垂径定理与勾股定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想，分类讨论思想的应用．二．填空题11．（2019•常州模拟）如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC度数为120度．【点拨】首先根据垂径定理得到OA＝AB，结合等边三角形的性质即可求出∠AOC的度数．【解析】解：∵弦AC与半径OB互相平分，∴OA＝AB，∵OA＝OC，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠AOC＝120°，故答案为120．【点睛】本题主要考查了垂径定理的知识，解题的关键是证明△OAB是等边三角形，此题难度不大．12．（2018秋•无棣县期末）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知HD＝4，BD＝5，则OA的长度为．【点拨】根据垂径定理解答即可．【解析】解：∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，∴CH＝HD，AB⊥CD，∴∠BHD＝90°，∵HD＝4，BD＝5，∴BH＝3，设OA＝x，连接OD，可得：x2＝42+（x﹣3）2，解得：x＝，即OA＝，故答案为：．【点睛】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理和勾股定理解答．13．（2018秋•萧山区期中）如图，在半径为5的圆O中，点P为弦AB上一点，AP＝1，PB＝7，则OP的长为3．【点拨】连接OB，作OM⊥AB与M．根据垂径定理和勾股定理求解【解析】解：连接OB，作OM⊥AB与M，∵P A＝1，PB＝7，∴AB＝8，∵OM⊥AB，∴BM＝AB＝×8＝4，∵P A＝2，∴PM＝3，在直角△OBM中，∵OB＝5，BM＝4，∴OM＝＝＝3，在Rt△OPM中，∵OM＝3，PM＝3，∴OP＝＝＝3．故答案为【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．14．（2020•杭州模拟）如图，射线PB，PD分别交圆O于点A，B和点C，D，且AB＝CD＝8．已知圆O 半径等于5，OA∥PC，则OP的长度为3．【点拨】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OP，如图，利用在等圆中相等的弦所对应的弦心距相等得到OE＝OF，则根据角平分线的性质定理的逆定理可判断PO平分∠BPD，则可证明∠APO＝∠AOP，所以P A＝AO＝5，接着根据垂径定理得到AE＝BE＝AB＝4，然后利用勾股定理先计算出OE，接着计算OP的长．【解析】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OP，如图，∵AB＝CD，∴OE＝OF，而OE⊥AB，OF⊥CD，∴PO平分∠BPD，∴∠APO＝∠OPC，∵OA∥PC，∴∠AOP＝∠OPC，∴∠APO＝∠AOP，∴P A＝AO＝5，∵OE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝4，在Rt△AOE中，OE＝＝3，在Rt△POE中，PO＝＝3．故答案为3．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．15．（2019秋•汶上县期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为2．【点拨】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC＝HD，再利用AP＝2，BP＝6可计算出半径OA＝4，则OP＝OA﹣AP＝2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH＝OP＝1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH＝，所以CD＝2CH＝2．【解析】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC＝HD，∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝4，∴OP＝OA﹣AP＝2，在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，∴∠POH＝60°，∴OH＝OP＝1，在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，∴CH＝，∴CD＝2CH＝2．故答案为：2【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．三．解答题16．（2018•金山区一模）如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，AB＝8，AC＝2，求⊙O半径的长．【点拨】如图，连接OA，连接OC交AB于D．设⊙O的半径为r．在Rt△ADC中，求出CD，在Rt△ADC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；【解析】解：如图，连接OA，连接OC交AB于D．设⊙O的半径为r．∵＝，∴OC⊥AB，∴AD＝DB＝AB＝4，在Rt△ACD中，CD＝＝2，在Rt△ADO中，∵OA2＝AD2+OD2，∴r2＝（r﹣2）2+16，解得r＝5．∴⊙O的半径为5．【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．（2019秋•袁州区校级月考）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）求证：E是OB的中点；（2）若AB＝16，求CD的长．【点拨】（1）要证明：E是OB的中点，只要求证OE＝OB＝OC，即证明∠OCE＝30°即可．（2）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长．【解析】（1）证明：连接AC，如图∵直径AB垂直于弦CD于点E，＝，∴AC＝AD，∵过圆心O的线CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD．即：△ACD是等边三角形，∴∠FCD＝30°，在Rt△COE中，OE＝OC，∴OE＝OB，∴点E为OB的中点；（2）解：在Rt△OCE中，AB＝16，∴OC＝AB＝8，又∵BE＝OE，∴OE＝4，∴CE＝＝＝4，∴CD＝2CE＝8．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．如图，OA，OB分别是⊙O的半径，弦AC⊥OB于E，弦BD⊥OA于F，AC，BD相交于点G．（1）求证：AC＝BD．（2）若AF＝2，BD＝8，求⊙O的半径r及AG的长．【点拨】（1）证明△OBF≌△OAE（AAS），推出BF＝AE，再利用垂径定理即可解决问题．（2）利用勾股定理以及相似三角形的性质即可解决问题．【解析】（1）证明：∵弦AC⊥OB于E，弦BD⊥OA于F，∴∠OFB＝∠OEA＝90°，AE＝EC，DF＝FB，∵∠O＝∠O，OB＝OA，∴△OBF≌△OAE（AAS），∴BF＝AE，∴BD＝AC．（2）解：设OA＝OB＝r，∵OA⊥BD，∴BF＝DF＝4，在Rt△OBF中，∵OB2＝OF2+BF2，∴r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，∵△AFG∽△AEO，∴＝，∴＝，∴AG＝．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19．（2018•合肥模拟）如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的半径为5，DE＝1，求AE的长．【点拨】（1）欲证明AB＝CD，只需证得＝；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．构建正方形EFOG，利用正方形的性质，垂径定理和勾股定理来求AF的长度，则易求AE的长度．【解析】（1）证明：如图，∵AD＝BC，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴AB＝CD；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．则AF＝FD，BG＝CG．∵AD＝BC，∴AF＝CG．在Rt△AOF与Rt△COG中，，∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF＝OG，∴四边形OFEG是正方形，∴OF＝EF．设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，解得x＝3．则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，垂径定理以及圆周角、弧、弦间的关系．注意（2）中辅助线的作法．20．（2018•江岸区校级模拟）如图，⊙O的两条弦AB，CD交于点E，OE平分∠BED．（1）求证：AB＝CD．（2）若∠BED＝60°，EO＝2，求BE﹣AE的值．【点拨】（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，由角平分线的性质，可得OM＝ON，然后由弦心距相等可得弦相等，即AB＝CD；（2）先求出EM的长为，由垂径定理可得AM＝BM，则BE﹣AE＝2EM，求出答案即可．【解析】（1）证明：过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图，∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，∴OM＝ON，∴AB＝CD；（2）解：∵∠BED＝60°，OE平分∠BED，∴∠BEO＝∠BED＝30°，∵OM⊥AB，∴∠OME＝90°，∵OE＝2，∴∴＝1，∴＝＝，∵OM⊥AB，∴BM＝AM，∴BE﹣AE＝BM+EM﹣（AM﹣EM）＝2EM＝2．【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理和角平分线的性质，解题的关键是：作弦心距，由弦心距相等得到弦相等．21．（2020•武汉模拟）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝4，ON＝1，求⊙O的半径．【点拨】（1）先根据圆周角定理得出∠BAD＝∠BCD，再由直角三角形的性质得出∠ANE＝∠CNM，故可得出∠BCD＝∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，故可得出结论；（2）先根据垂径定理求出AE的长，设NE＝x，则OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1连结AO，则AO＝OD＝2x﹣1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论．【解析】（1）证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，∴∠BAD＝∠BCD，∵AE⊥CD，AM⊥BC，∴∠AMC＝∠AEN＝90°，∵∠ANE＝∠CNM，∴∠BCD＝∠BAM，∴∠BAM＝BAD，在△ANE与△ADE中，∵，∴△ANE≌△ADE，∴AD＝AN；（2）解：∵AB＝4，AE⊥CD，∴AE＝2，又∵ON＝1，∴设NE＝x，则OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1连结AO，则AO＝OD＝2x﹣1，∵△AOE是直角三角形，AE＝2，OE＝x﹣1，AO＝2x﹣1，∴（2）2+（x﹣1）2＝（2x﹣1）2，解得x＝2，∴r＝2x﹣1＝3．【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．22．（2020•昆山市一模）如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；（3）若BD＝6，AB＝10，求DE的长．【点拨】（1）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，利用平行线的性质得到∠AFO＝∠ADB＝90°，然后根据垂径定理得到结论；（2）连接AC，如图，利用＝得到∠CAD＝∠ABC，再证明△ACE∽△BCA，利用相似比计算出AC ＝2，接着根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径；（3）先在Rt△DAB中计算出AD＝8，再利用垂径定理得到AF＝DF＝4，则OF＝3，所以CF＝2，然后证明△ECF∽△EBD得到＝，所以＝，然后把DF＝4代入计算即可得到DE的长．【解析】（1）证明：∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AFO＝∠ADB＝90°，∴OC⊥AD∴＝；（2）解：连接AC，如图，∵＝，∴∠CAD＝∠ABC，∵∠ECA＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴AC：CE＝CB：AC，∴AC2＝CE•CB，即AC2＝1×（1+3），∴AC＝2，∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝2，∴⊙O的半径为；（3）解：在Rt△DAB中，AD＝＝8，∵OC⊥AD，∴AF＝DF＝4，∵OF＝＝3，∴CF＝2，∵CF∥BD，∴△ECF∽△EBD，∴＝＝＝，∴＝∴DE＝×4＝3．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质.。

圆的垂径定理习题一. 选择题 1.如图1,00的直径为10,圆心0到弦AB 的距离0M 的长为3,那么弦AB 的长是（ ）2.如图，O 0的半径为5,弦AB 的长为8,M 是弦AB 上的一个动点，则线段0M 长的最小值为（）3.过O 0内一点M 的最长弦为10cm 最短弦长为8cm 则0M 的长为（）A* 9cmE, 5cm4.如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 0A 0B 在 0点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 0点靠在圆周上，读得刻度0E=8个单位，0F=6个单位，则圆的直位 D. 15个单位5.如图，00的直径AB 垂直弦CD 于 P,且P 是半径0B 的中点，6cmCD ，则直径AB 的长是（）6. 下列命题中，正确的是（A .平分一条直径的弦必垂直于这条直径B .平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C .弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D .在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7. 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为A.4B. 6C. 7D. 8 B. 3 C. 4 D. 5B . 10个单位 C. 1个单A . 212个单位E & 5米B, 8米C. 7米D,出米D8.0O 的半径为5cm 弦AB//CD ,且AB=8cm,CD=6cn 则AB 与CD 之间的距离为( ) A . 1 cm B. 7cm C. 3 cm 或 4 cm D. 1cm 或 7cm9•已知等腰△ ABC 的三个顶点都在半径为5的0 0上，如果底边BC 的长为8,那么BC 边上的高为 ( ) A . 2 B. 8 C. 2 或 8 D. 3 二、填空题1. _________________________________________________________________________ 已知AB 是O 0的弦，AB= 8cm, OCL AB 与C, 0C=3cm 则O 0的半径为 __________________________ c m2. ____________________________________________________________________ 在直径为10cm 的圆中，弦 AB 的长为8cm,则它的弦心距为 _______________________________ cm3. 在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 _____________________4. 已知AB 是O 0的弦，AB= 8cm, OC L AB 与C, 0C=3cm 则O O 的半径为 ________________ cm5. ______________________________________________________________________________ 如图，O 0的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若/C0氐120°, 0E= 3厘米，贝U CD= ___________ 厘6. _____________________________________________________________ 半径为6cm 的圆中，垂直平分半径 0A 的弦长为 _______________________________________________ c m7. 过O 0内一点M 的最长的弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则0M 勺长等于 cm8. 已知AB 是O 0的直径，弦CDL AB E为垂足，CD=8 0E=1则AB= __________9. 如图，AB 为O 0的弦，O 0的半径为5, OC L AB 于点D,交O 0于点C,且CD= l ，则弦AB 的长11. __________________________ 如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于 A 、B 两点，已知P(4, 2)和A(2, 0), 贝卩点B 的坐标是12. ____________________________________________________________ 如图，AB 是O 0的直径，ODL AC 于点D, BC=6cm 则0D ________________________________ cm10. 某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 AB= 16m 半径04 10m 则中间柱 CD的高度为13. 如图，矩形ABCDf圆心在AB上的圆0交于点G B、F、E, GB=10 EF=8 那么AD= ______14.___________________________________________________________________________ 如图，O O 的半径是 5cm P 是o o 外一点，PO=8cm / P=3GO,则 AB ______________________ cm是 __________________ Cm16. 已知AB 是圆O 的弦,半径OC 垂直AB 交AB 于D,若AB=8 CD=2则圆的半径为 _______________ 17. 一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 ___________________ 米 18. 在直径为10厘米的圆中，两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米19. 如图,是一个隧道的截面,如果路面AB 宽为8米,净高CD 为8米,那么这个 隧道所在圆的20. 如图,AB 为半圆直径,O 为圆心,C 为半圆上一点,E 是弧AC 的中点,OE 交弦AC 于点0 若 AC=8cm DE=2cm 则 OD 的长为 _____________ c m21. 已知等腰△ ABC 的三个顶点都在半径为5的。

垂径定理一. 选择题★1 ．如图1，⊙O 的直径为10 ，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（）A．4 B ．6 C．7 D ．8答案： D★★2 ．如图，⊙O 的半径为 5 ，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D ．5答案： B★★3 ．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（）A．9cm B ．6cm C．3cm D．41cm答案： C★★4 ．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8 个单位，OF=6 个单位，则圆的直径为（）A．12 个单位B．10 个单位 C ．1 个单位D．15 个单位答案： B★★5 ．如图，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，CD6cm ，则直径AB 的长是（）A．2 3cm B．3 2cm C．4 2cm D ．4 3cm答案： D★★6 ．下列命题中，正确的是（）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心答案： D★★★7 ．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24 米，拱的半径为13 米，则拱高为( )A．5 米B．8 米 C ．7 米 D ．5 3 米答案： B★★★8 ．⊙O 的半径为5cm ，弦AB//CD ，且AB=8cm,CD=6cm, 则AB 与CD 之间的距离为( )A ． 1 cm B．7cm C ．3 cm 或4 cm D．1cm 或7cm答案： D★★★9 ．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为 5 的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为( )A．2 B．8 C．2 或8 D．3答案： C二. 填空题★1 ．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为cm 答案： 5 cm★2 ．在直径为10cm 的圆中，弦AB 的长为8cm ，则它的弦心距为cm答案： 3 cm★3 ．在半径为10 的圆中有一条长为16 的弦，那么这条弦的弦心距等于答案： 6★★4 ．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C，OC=3cm ，则⊙O 的半径为cm 答案： 5 cm★★5 ．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E，若∠COD ＝120 °，OE ＝3 厘米，则CD ＝厘米AOC E DB图4答案：6 3 cm★★6 ．半径为6cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为cm.答案：6 3 cm★★7 ．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm ，则OM 的长等于cm 答案： 5★★8．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，CD=8 ，OE=1 ，则AB=答案： 2 17★★9 ．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥A B于点D，交⊙O 于点 C ，且CD ＝l，则弦AB 的长是答案： 6★★10 ．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，则中间柱CD 的高度为m答案： 4★★11 ．如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于A、B 两点，已知P(4 ，2) 和A(2 ，0) ，则点 B 的坐标是yPA B xO答案：(6 ，0)★★12 ．如图，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D，BC=6cm ，则OD= cm答案： 3★★13 ．如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G、B 、F、E ，GB=10 ，EF=8 ，那么AD=答案： 3★★14 ．如图，⊙O 的半径是5cm ，P 是⊙O 外一点,PO=8cm ，∠P=30 o,则AB= cmABO P答案： 6★★★15 ．⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ，那么AB 和CD 的距离是Cm答案：7cm 或17cm★★★16 ．已知AB 是圆O 的弦，半径OC 垂直AB ，交AB 于D，若AB=8 ，CD=2 ，则圆的半径为答案：5★★★17 ．一个圆弧形门拱的拱高为 1 米，跨度为 4 米，那么这个门拱的半径为米5答案：2★★★18 ．在直径为10 厘米的圆中,两条分别为 6 厘米和8 厘米的平行弦之间的距离是厘米答案：7 或1★★★19 ．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8 米，净高CD 为8 米，那么这个隧道所在圆的半径OA是米COA D B答案： 5★★★20 ．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点， E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D。

垂径定理（解析版）【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.（如图 1 所示）2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（弦 AB 不是直径，如图 2 所示）图1 图2要点诠释：(1)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.（2）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【同步训练】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB 是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC 的长为（）A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cmOD 2 + AD2 42 + 323 【答案】D ；【解析】连接 OA ，∵ OC⊥AB∴ AD = AB =3 .Rt△AOD 中， AO = = = 5．∴ DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.2．（2015•巴中模拟）如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧 AC 的中点，OE 交弦 AC 于点 D ，若 AC=8cm ，DE=2cm ，求 OD 的长．【答案】 OD =3cm ．【解析】解：∵ E 为弧 AC 的中点，∴ OE ⊥AC ，AD AC =4.设 OD 的长为 x ，则：OE =OD +DE= x+2 =OA.在 Rt △OAD 中，∵ OA 2 =OD 2+AD 2∴（2+ x ）2= x 2+42，x =3 .∴ OD =3cm ．类型二、垂径定理的综合应用3．如图 1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为 24m ，拱的半径为 13m ，则拱高为（ ）A ．5mB ．8mC ．7mD ． 5 m【答案】B ；【解析】如图 2 所示，由题意可知：AB 表示桥拱，弦 AB 的长表示桥的跨度，C 为 AB 的中点，OC 与 AB 相交于点 D 。

1 / 7《垂径定理》同步练习1.如图，在⊙O 中，直径MN 垂直于弦AB ，垂足为C ，下面结论中错误是（ ）A.AC =BCB.AN ̂=BN ̂C.AM ̂=BM ̂D.OC =CN2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，则下列结论正确的是（ ）A.OE =BEB.BC ̂=BD ̂C.△BOC 是等边三角形D.四边形ODBC 是菱形3.如图，MN 是⊙O 的直径，弦AB ⊥MN ，垂足为C ，则下列结论中错误的是（ ）A.AM̂=BM ̂ B.AN =BN C.AC =CB D.OC =CM4.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，且CD ⊥AB 于E ，则下列结论不正确的是（ ）A.∠BAC =∠BADB.CE =DEC.BD̂=BC ̂ D.OE =BE5.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径OB=5，截面圆圆心O到水面的距离OC是3，则水面宽AB是( )A.4B.5C.6D.86.在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，圆柱形油槽直径MN为10分米，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为（）A.7分米B.8分米C.9分米D.10分米7.如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，则圆心O 到CD的距离是________．8.如下图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C和D两点，AB=10cm，CD=6cm，则AC长为________cm．9.半径是2√3cm的圆中，垂直平分半径的弦长为________cm．10.已知横断面直径为2米的圆形下水管道的水面宽AB=1.2米，求下水管道中水的最3 /7 大深度为________．11.如图，是一圆柱形输水管的横截面，半径为5cm ，阴影部分为有水部分，如果水面AB 宽为8cm ，水面最深地方的高度为________cm ．12.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，OD ⊥BC ，交BC 于D ，若BD =1，则BC 的长为________．13.如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，若AB =10cm ，CD =6cm ，求AC 的长.14.今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．（选自《九章算术》卷第九“句股”中的第九题，1尺=10寸）．15.已知：⊙O 的半径为2cm ，弦AB 为2√3cm ，求弦AB 中点到它所对劣弧中点的距离．16.用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）如图是一块破碎的圆形木盖，试确定它的圆心并作出它所在的圆．17.如图，是一块残破的圆轮片，A、B、C是圆弧上的三点．(1)作出弧ACB所在的⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；(2)如果AC=BC=60cm，∠ACB=120∘，求该残破圆轮片的半径．18.如图，水平放置的圈柱形水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（结果保留π）5 / 7 参考答案1.【答案】D2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】28.【答案】29.【答案】610.【答案】0.2米或1.8米11.【答案】212.【答案】213.【答案】解：作OE ⊥AB ，垂足为E .由垂径定理知，点E 是CD 的中点，也是AB 的中点，∴ AE =12AB =5，CE =12CD =3，∴ AC =AE −CE =5−3=2(cm).14.【答案】解：本题用现在的数学语言表述是：“如图所示，CE 为⊙O 的直径，CE ⊥AB ，垂足为D ，CD =1寸，AB =1尺，求直径CE 长是多少寸？”设直径CE 的长为2x 寸，则半径OC =x 寸．∴ CE 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CE 于D ，AB =10寸，∴ AD =BD =12AB =5寸，连接OA ，则OA =x 寸，根据勾股定理得x2=52+(x−1)2，解得x=13，CE=2x=2×13=26（寸）．故所求直径为26寸．15.【答案】如图．作半径OC⊥AB于D，连接OA，∴ 弦AB为2√3，AB=√3，AĈ=BĈ，∴ AD＝BD=12在Rt△OAD中，OD=√22−(√3)2=1，∴ CD＝OC−OD＝2−1＝1，即弦AB中点到它所对劣弧中点的距离为1cm．16.【答案】解：作圆的两条不平行的弦，然后作两条弦的中垂线，两中垂线的交点就是圆的圆心．17.【答案】解：①如图1所示：②如图2，∴ AC=BC=60cm，∠ACB=120∘，∴ ∠AOC=∠BOC=60∘，又∴ AO=CO，CO=BO，∴ △AOC≅△COB，∴ △BOC和△AOC是等边三角形，∴ ∠CBO=∠ACO=60∘，∴ BO=CO，∴ ∠OBC=∠BCO=60∘，∴ △OBC是等边三角形，∴ 半径为60cm．18.【答案】解：连接OA、OB，过O作OD⊥AB，交AB于点E，∴ OD=0.6m，DE=0.3m，∴ OE=OD−DE=0.6−0.3=0.3m，∴ cos∠AOE =OEOA =0.30.6=12，∴ ∠AOE=60∘∴ AE=OA⋅sin∠AOE=0.6×√32=3√310，AB=2AE=3√35∴ ∠AOB=2∠AOE=2×60∘=120∘，∴ S阴影=S扇形OAB−S△OAB=120×π×0.62360−12×3√35×0.3=12π−9√3100m2．7 / 7。

垂径定理练习题及答案垂径定理练习题及答案垂径定理是几何学中的一个重要定理，它解决了关于圆的切线和半径之间的关系问题。

在学习和应用垂径定理时，我们需要通过大量的练习题来巩固理论知识，并提高解题能力。

下面将给出一些垂径定理的练习题，并附上详细的解答，希望能对大家的学习有所帮助。

练习题一：在一个圆中，直径为10厘米，且过圆心的直径AC与切线BD相交于点E。

若AC=8厘米，求BE的长度。

解答：根据垂径定理，切线BD与半径AC垂直，所以∠BAC=90°。

由此可知，三角形BAC是一个直角三角形。

根据勾股定理可得：BA²+AC²=BC²代入已知条件，得：BA²+8²=10²化简得：BA²+64=100移项得：BA²=36开方得：BA=6由于∠BAC=90°，所以BE也是直径，即BE=10厘米。

练习题二：在一个圆中，直径为16厘米，切线AB与半径CD相交于点E。

若AE=3厘米，求BE的长度。

解答：同样地，根据垂径定理，切线AB与半径CD垂直，所以∠CAD=90°。

由此可知，三角形CAD是一个直角三角形。

根据勾股定理可得：CA²+AD²=CD²代入已知条件，得：CA²+16²=CD²化简得：CA²+256=CD²移项得：CA²=CD²-256开方得：CA=√(CD²-256)根据垂径定理，AE是半径CD的垂直平分线，所以AE=DE。

又已知AE=3厘米，所以DE=3厘米。

由于∠CAD=90°，所以BE也是直径，即BE=16厘米。

练习题三：在一个圆中，直径为12厘米，切线AB与半径CD相交于点E。

若AE=5厘米，求BE的长度。

解答：同样地，根据垂径定理，切线AB与半径CD垂直，所以∠CAD=90°。

PBAO垂径定理一.选择题1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．82．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ） A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．cm 414．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（） A． B． C． D ． 6．下列命题中，正确的是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．53米8．⊙O 的半径为5cm ，弦AB//CD ，且AB=8cm,CD=6cm,则AB 与CD 之间的距离为( ) A ． 1 cm B ． 7cm C ． 3 cm 或4 cm D ． 1cm 或7cm9．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为( ) A ．2 B ．8 C ．2或8 D ．3 二.填空题1．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm 2．在直径为10cm 的圆中，弦AB 的长为8cm ，则它的弦心距为 cm 3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 4．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm5．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD＝120°，OE ＝3厘米，则CD ＝ 厘米6．半径为6cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为 cm. 7．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长等于 cm8．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________9．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ， 且CD ＝l ，则弦AB 的长是10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，则中间柱CD 的高度为 m 11．如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于A 、B 两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B 的坐标是12．如图，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，BC=6cm ，则OD= cm13．如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=10，EF=8，那么AD= 14．如图，⊙O 的半径是5cm ，P 是⊙O 外一点,PO=8cm ，∠P=30º,则AB= cm15．⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ，那么AB 和CD 的距离是 Cm 16．已知AB 是圆O 的弦，半径OC 垂直AB ，交AB 于D ，若AB=8，CD=2，则圆的半径为 17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 米18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是 厘米19．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8米，净高CD 为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA 是____米 20．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D 。

初中垂径定理试题及答案1. 题目：在三角形ABC中，AD是角A的平分线，DE垂直于AB，DF垂直于AC，垂足分别为E、F。

求证：AE=AF。

答案：证明：由于AD是角A的平分线，根据角平分线的性质，有∠BAD=∠DAC。

又因为DE垂直于AB，DF垂直于AC，所以∠AED=∠AFD=90°。

在三角形AED和三角形AFD中，∠AED=∠AFD，∠BAD=∠DAC，AD公共，根据AAS（角角边）判定，三角形AED≌三角形AFD。

因此，AE=AF。

2. 题目：在三角形ABC中，AD是BC边上的高，E是AC上的一点，且AE=EB。

求证：DE=DC。

答案：证明：由于AD是BC边上的高，所以∠ADC=∠ADB=90°。

又因为AE=EB，所以三角形ABE是等腰三角形，∠BAE=∠AEB。

在三角形ADC和三角形ADB中，∠ADC=∠ADB，∠CAD=∠ABD，AD公共，根据AAS 判定，三角形ADC≌三角形ADB。

因此，DE=DC。

3. 题目：在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB上的一点，且AE=EC。

求证：DE=DC。

答案：证明：由于AD是BC边上的中线，所以BD=DC。

又因为AE=EC，所以三角形AEC是等腰三角形，∠EAC=∠ECA。

在三角形ADE和三角形CDE中，∠ADE=∠CDE，∠DAE=∠DCE，DE公共，根据ASA判定，三角形ADE≌三角形CDE。

因此，DE=DC。

4. 题目：在三角形ABC中，AD是角A的平分线，E是BC上的一点，且BE=EC。

求证：DE=DF。

答案：证明：由于AD是角A的平分线，根据角平分线的性质，有∠BAD=∠DAC。

又因为BE=EC，所以三角形BEC是等腰三角形，∠EBC=∠ECB。

在三角形ABD和三角形ACD中，∠BAD=∠DAC，∠ABD=∠ACD，AD公共，根据ASA判定，三角形ABD≌三角形ACD。

因此，DE=DF。

5. 题目：在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，E是AC上的一点，且AE=EB。

数学下册垂径定理练习题一、选择题1. 在圆中，若一条直径垂直于一条弦，那么这条弦被平分的是：A. 弦心距B. 弦长C. 弦的端点D. 圆心2. 下列关于垂径定理的说法，错误的是：A. 垂径定理的逆定理也成立B. 垂径定理适用于所有圆C. 垂径定理中的直径必须通过圆心D. 垂径定理中的弦可以是直径3. 在圆中，若一条弦长为8cm，且这条弦距离圆心的距离为3cm，则这条弦被平分的长度为：A. 2cmB. 4cmC. 6cmD. 8cm二、填空题1. 在圆中，若一条直径垂直于弦AB，且弦AB的长度为10cm，则弦AB被平分的长度为______cm。

2. 在圆中，若一条直径垂直于弦CD，且弦CD的长度为12cm，则弦CD被平分的长度为______cm。

3. 在圆中，若一条直径垂直于弦EF，且弦EF的长度为15cm，则弦EF被平分的长度为______cm。

三、判断题1. 垂径定理表明，在圆中，一条直径垂直于一条弦，则这条弦被平分。

（）2. 垂径定理的逆定理是：在圆中，若一条弦被平分，则这条弦垂直于直径。

（）3. 在圆中，任意一条弦都可以作为直径。

（）四、解答题1. 在圆中，已知直径AC垂直于弦BD，且BD的长度为16cm。

求弦BD被平分的长度。

2. 在圆中，已知直径EG垂直于弦FH，且FH的长度为20cm。

求弦FH被平分的长度。

3. 在圆中，已知直径IJ垂直于弦KL，且KL的长度为24cm。

求弦KL被平分的长度。

4. 在圆中，已知直径MN垂直于弦OP，且OP的长度为28cm。

求弦OP被平分的长度。

5. 在圆中，已知直径QR垂直于弦ST，且ST的长度为32cm。

求弦ST被平分的长度。

五、作图题1. 请在圆中画出一条直径，使其垂直于给定的弦AB，并标出弦AB被平分的位置。

2. 请在圆中画出一条弦CD，并作出一条通过圆心的直径，使其垂直于弦CD，并标出弦CD被平分的位置。

3. 请在圆中画出一条弦EF，然后画出两条直径，分别垂直于弦EF的两端点，并标出弦EF被平分的位置。

圆的垂径定理习题一.选择题1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8 2．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53.过⊙0内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（）4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A．12个单位B．10个单位C．1个单位D．15个单位5．如图，O⊙的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，6cmCD，则直径AB的长是（）6．下列命题中，正确的是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( )A． 1 cm B．7cm C． 3 cm或4 cm D．1cm 或7cm 9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( ) A．2 B．8 C．2或8 D．3二、填空题1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为cm 2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为cm3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于4. 已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为cm 5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD＝厘米6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为cm7．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于 cm8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD 的高度为m11. 如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B的坐标是12．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=14．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点,PO=8cm，∠P=30º,则AB= cm15．⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是Cm16．已知AB是圆O的弦，半径OC垂直AB，交AB于D，若AB=8，CD=2，则圆的半径为17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为米18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米19. 如图，是一个隧道的截面，如果路面AB宽为8米，净高CD为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA是___________米20．如图，AB为半圆直径，O 为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D。

垂径定理练习题答案一、题目描述在平面几何中，垂径定理是指垂直于某直径的任何弦都是经过该直径的直角弦。

现给出一系列练习题，请根据垂径定理解答相关问题。

二、练习题答案1. 题目：在一个圆的直径上，有两个弦AB和CD，且AB⊥CD，如果AB=8 cm，CD=6 cm，求圆的半径。

解答：根据垂径定理，AB⊥CD，且AB和CD经过圆的直径，故AB和CD均为直角弦。

由此可得，AB和CD对应的圆心角均为直角角度，即∠AOC=∠COD=90°。

考虑△AOB和△COD，根据勾股定理，可得：AO² + OB² = AB²CO² + OD² = CD²因为AO = CO，OB = OD，代入已知数据，得：AO² + OB² = 8²AO² + OB² = 64CO² + OD² = 6²CO² + OD² = 36由上述方程组可得：2(AO² + OB²) = AO² + OB² + CO² + OD²2(64) = 36 + OB² + OB²128 = 36 + 2OB²2OB² = 92OB² = 46OB ≈ 6.78因为OB为半径，故圆的半径约为6.78 cm。

2. 题目：在一个圆的直径上，有两个弦AB和CD，且AB⊥CD，如果圆的半径为10 cm，且AB=6 cm，求弦CD的长度。

解答：根据垂径定理，AB⊥CD，且AB和CD经过圆的直径，故AB和CD均为直角弦。

由此可得，AB和CD对应的圆心角均为直角角度，即∠AOC=∠COD=90°。

考虑△AOB和△COD，根据勾股定理，可得：AO² + OB² = AB²CO² + OD² = CD²代入已知数据，得：10² + OB² = 6²100 + OB² = 36OB² = 36 - 100OB² = -64根据求解过程可知，OB²为负数，但平方数不可能为负数，因此无解。

3.3　垂径定理第1课时　垂径定理基础过关全练知识点1　圆的对称性1.一个圆的对称轴( )A.仅有1条B.仅有2条C.有无数条D.有有限条知识点2　垂径定理2.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,则下列结论一定正确的有( )①CE=DE;②BE=OE;③CB=BD;④∠CAB=∠DAB;⑤AC=AD.A.4个B.3个C.2个D.1个3.(2023浙江杭州西湖期中)如图,在☉O中,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点H.若AH=5,HB=1,则CD的长为( )A.5 B.13 D.213C.25 4.(2023浙江杭州拱墅期中)如图,在半径为10的圆O中,AB,CD是互相垂直的两条弦,垂足为P,且AB=CD=16,则OP的长为( )A.6B.8C.62 D.825.(2020浙江湖州中考)如图,已知AB是半圆O的直径,弦CD∥AB,CD=8,AB=10,则CD与AB之间的距离是 .6.【新独家原创】如图,AB是☉O的弦,过圆心O作OC⊥AB,延长CO 交☉O于点D,点E是☉O上一动点,CD=18,AB=12,则CE的长的最小值为 .()能力提升全练7.(2021四川凉山州中考,11,★☆☆)点P是☉O内一点,过点P的最长弦的长为10 cm,最短弦的长为6 cm,则OP的长为( )A.3 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm8.如图,AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于E,连结BC,过点O作OF⊥BC 于F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF的长度是( )A.3 cmB.6 cmC.2.5 cm D.5cm9.【线段最值问题】如图,在☉O中,弦AB=1,点C在AB上移动,连结OC,过点C作CD⊥OC交☉O于点D,则CD长的最大值为 .10.如图所示的是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CD∥AB,且AB=26 m,OE⊥CD于点E.水位正常时测得OE∶CD=5∶24.()(1)求CD的长;(2)汛期来临时,水面以每小时4 m的速度上升,求经过多长时间桥洞会被灌满.11.如图所示,在以点O为圆心的两个同心圆(两圆的圆心均为点O)中,大圆的弦AB交小圆于点C,D.(1)求证:AC=BD;(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=6,且圆心O到直线AB的距离为3,求AC的长.素养探究全练12.【推理能力】如图,在半径为5的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.(1)当BC=6时,求出线段OD的长度.(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请求出其长度;如果不存在,请说明理由.(3)在(1)的条件下,求出线段OE的长度.答案全解全析基础过关全练1.C　过圆心的直线都是圆的对称轴,∴一个圆的对称轴有无数条.2.A　∵AB是☉O的直径,且AB⊥CD,∴CE=DE,CB=BD,故①③正确.∵AB⊥CD,CE=DE,∴直线AB为线段CD的垂直平分线,∴AC=AD,故⑤正确.∵AB⊥CD,∴∠CAB=∠DAB(等腰三角形三线合一),故④正确.根据题中条件无法证明BE=OE,故②不一定成立.所以一定正确的结论是①③④⑤.故选A.3.C　如图,连结OD,∵AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,CD,∴DH=12∵AH=5,HB=1,∴AB=AH+HB=6,∴OD=OA=3,∴OH=AH-OA=2,在Rt△ODH中,DH=OD2―OH2=32―22=5,∴CD=2DH=25,故选C.4.C 如图,作OM ⊥AB 于M ,ON ⊥CD 于N ,连结OB ,OD ,∴BM =12AB =8,DN =12CD =8,∴OM =OB 2―BM 2=102―82=6,ON =OD 2―DN 2=102―82=6,∵AB ⊥CD ,OM ⊥AB ,ON ⊥CD ,∴四边形MONP 是矩形,∵OM =6=ON ,∴四边形MONP 是正方形,∴OP =62+62=62.故选C .5.答案　3解析　过点O 作OH ⊥CD 于H ,连结OC ,如图,则CH =DH =12CD =4,OC =12AB =5,在Rt △OCH 中,OH =52―42=3,因为AB ∥CD ,所以CD 与AB 之间的距离是3.6.答案　2解析　如图,连结OA ,AB=6,∵OC⊥AB,AB=12,∴AC=12设☉O的半径为r,在Rt△AOC中,OC2=OA2-AC2,即(18-r)2=r2-62,解得r=10,∴OC=CD-OD=18-10=8,当C,O,E三点在同一条直线上,且点E在AB上时,CE的长最小,最小值为10-8=2.能力提升全练7.B　☉O内过点P的最长的弦为直径,最短的弦是垂直于这条直径的弦,如图所示,CD⊥AB于点P,连结OC.根据题意,得AB=10 cm,CD=6 cm.∵AB是☉O的直径,且CD⊥AB,CD=3 cm.∴OC=OB=5 cm,CP=12根据勾股定理,得OP=CO2―CP2=52―32=4(cm).故选B.8.D　如图,连结AB,OB,BD=4 cm,∵BD⊥AO,BD=8 cm,∴BE=12在Rt△ABE中,∵AE=2 cm,BE=4 cm,∴AB =BE 2+AE 2=42+22=25 cm ,∵OF ⊥BC ,∴BF =FC ,∵OA =OC ,∴OF 是△ABC 的中位线,∴OF =12AB =5 cm .故选D .9.答案　12解析　连结OD ,如图,设☉O 的半径为r ,∵CD ⊥OC ,∴∠DCO =90°,∴CD =OD 2―OC 2=r 2―OC 2,当OC 的长最小时,CD 的长最大,当OC ⊥AB 时,OC 的长最小,此时D 、B 两点重合,∴CD =CB =12AB =12×1=12,即CD 长的最大值为12.10.解析　(1)∵直径AB =26 m ,∴OD =OB =12AB =12×26=13 m ,∵OE ⊥CD ,∴DE =12CD ,∵OE ∶CD =5∶24,∴OE ∶ED =5∶12,设OE =5x m (x >0),则ED =12x m ,在Rt△ODE中,OE2+ED2=OD2,即(5x)2+(12x)2=132,解得x=1或x=-1(舍去),∴OE=5 m,ED=12 m,∴CD=2DE=24 m.(2)如图,延长OE交半圆O于点F,AB=13 m,则OF=12∵OE=5 m,∴EF=OF-OE=13-5=8 m,8÷4=2小时,∴经过2小时桥洞会被灌满.11.解析　(1)证明:如图,过点O作OE⊥AB于点E,∵OE⊥AB,∴AE=BE,CE=DE,∴AE-CE=BE-DE,∴AC=BD.(2)如图,连结AO,CO,∵AO=10,OE=3,∴AE=AO2―OE2=91,∵CO=6,OE=3,∴CE=CO2―OE2=33,∴AC=AE-CE=91―33.素养探究全练12.解析　(1)∵OD ⊥BC ,BC =6,∴BD =12BC =12×6=3,∠BDO =90°,∴OD =OB 2―BD 2=52―32=4,即线段OD 的长度为4.(2)存在,DE 的长度保持不变.计算过程如下:连结AB ,如图,∵∠AOB =90°,OA =OB =5,∴AB =OA 2+OB 2=52+52=52,∵OD ⊥BC ,OE ⊥AC ,∴D 和E 分别是线段BC 和AC 的中点,∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE =12AB =522.(3)如图,将△OBD 绕圆心O 顺时针旋转90°得到△OAF ,延长OF ,与CA 的延长线交于点G ,连结OC ,∵OD ⊥BC ,OB =OC ,∴∠BOD =∠COD =12∠BOC ,同理,∠COE=∠AOE=1∠AOC,2∴∠BOD+∠AOE=1∠AOB=45°,2根据旋转的性质得∠BOD=∠AOF,∠BDO=∠AFO=90°,BD=AF, OD=OF,∴∠EOG=∠AOE+∠AOF=45°,∵∠OEG=90°,∴△OEG是等腰直角三角形,∴∠G=45°,OE=EG,∵∠AFO=90°,∴∠AFG=90°,∴△AFG是等腰直角三角形,∴FG=AF=BD=3,∴OG=OF+FG=OD+FG=4+3=7,∵OE2+EG2=OG2,OE=EG,.∴OE=EG=722。