工程硕士《数值分析》总复习题（2011年用）
[由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用]
一. 解答下列问题:
1）下列所取近似值有多少位有效数字( 注意根据什么? ):
a) 对 e = 2.718281828459045…,取*
x = 2.71828
b) 数学家祖冲之取 113355
作为π的近似值.
c) 经过四舍五入得出的近似值12345，-0.001, 90.55000, 它们的有效 数字位数分别为 位, 位, 位。
2) 简述下名词:
a) 截断误差 (不超过60字) b) 舍入误差 (不超过60字)
c) 算法数值稳定性 (不超过60字)
3) 试推导( 按定义或利用近似公式 ): 计算3
x 时的相对误差约等于x 的相对
误差的3倍。 4) 计算球体积3
34r V
π= 时,为使其相对误差不超过 0.3%
,求半径r 的相对 误差的允许范围。 5） 计算下式
341
8
)1(3)1(7)1(5)1(22345+-+---+---=x x x x x x P
）（
时,为了减少乘除法次数, 通常采用什么算法? 将算式加工成什么形式?
6) 递推公式 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==-
,2,1,1102
10n y y y n n
如果取
*
041.12y y =≈= ( 三位有效数字 ) 作近似计算， 问计算到
10y 时误差为初始误差的多少倍？ 这个计算过程数值稳定吗 ？
二. 插值问题:
1) 设函数
)(x f 在五个互异节点 54321,,,,x x x x x 上对应的函数值为
54321,,,,f f f f f ，根据定理，必存在唯一的次数 （A ） 的插值多项式
)(x P ，满足插值条件 ( B ) . 对此，为了构造Lagrange 插值多项式 )(x L ,由5个节点作 ( C ) 个、次数均为 ( D ) 次的插值基函数
)(x l i = _（E ） ， 从而得Lagrange 插值多项式)(x L = （F ） ,而插值
余项 )()()(x L x f x R -== （G ） 。
2 ) 试用三种方法求过三个离散点：A （0，1） 、B （1，2） 、C （2，3） 的
插值多项式。 3） 求函数
x e x f -=)( 在 [ 0 , 1 ]上的近似一次插值多项式。
4 ) 由函数值表: x : 1 2 3 x e - : 0.367879441 , 0.135335283 , 0.049787068
求1
.2-e
的近似值.
5) 利用插值方法推导 x i j i j
x n
i n
i
j j =--∑∏=≠=][
,0 三. 拟合问题:
1) 对离散实验数据做最小二乘拟合的两个主要步骤是 ( A ) 和 ( B ) . 2) 对同一个量的多个近似值, 常取其算术平均作为该量的近似值, 这种做法的
意义是什么? 3) 设有实验数据如下： x 1.36 1.73 1.95 2.28
f
14.094 16.844 18.475 20.963
按最小二乘法求其拟合曲线。
4) 已知某试验过程中函数
f 依赖于x 的试验数据如下：
i x ： 1 2 3 4
i f ： 0.8 1.5 1.8 2.0
试按最小二乘法拟合出一个形如 2bx ax S += 的经验公式。
5 ) 设有实验数据如下： x 1 2 3 4
f
4 10 18 26
按最小二乘法拟合出一个形如 2bx a S += 的经验公式 。
四. 数值求积:
1) 写出数值求积公式的一般形式, 指出其特点, 并说明它对计算机的计算有什
么意义?
2) 简述数值求积公式的 ”代数精度” 的概念 3) 插值型求积公式
()() n
b
k k a
k f x dx A f x =≈∑⎰
中,每个系数可用公式k A =
( A ) 计算,它们之和
∑=n
k k
A
= ( B ) , 其代数精度 ( C ) .
又Newton-Cotes 公式的一般形式为 ( D ) , 其主要特点是 ( E ) , 其 Cotes 系数之和
∑=n
k n k
C
)(= ( F ) , 其代数精度 ( G ) ;
4) 考察数值求积公式
⎰
--++-≈1
1
101)1()0()1()(f A f A f A dx x f ,
直接指出: 它是什么类型的公式? 为使其精度尽可能高,101,,A A A -应取什
么确值? 它是不是Gauss 型公式?
5 ) 求dx x
I
⎰
+=1
03
11
的近似值, 试写出使用11个等分点函数值的求积 公式( 要求只列出数值公式,不需要求出具体结果 )。 6 ) 利用复化Simpson 公式求积分 dx x I
⎰=2
1
的近似值
（只需列出算式） 。 7) 利用现成函数表，分别用复化梯形公式n T 和复化Simpson 公式n S 计算积分
ϕϕπ
d I ⎰-=6
2sin 4 ϕ ϕ2sin 4-
0 2
π 9981001.1
362π 9924473.1 363π 9831825.1
36
4π 9705386.1
36
5π 9548386.1
36
6π
9364917.1
五. 解线性代数方程组的直接法:
1） Gauss 消去过程中引入选主元技巧的目的是下列中的哪一项或哪几项？
