函数综合题分类复习
题型一：关于函数的单调区间(若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开)，极值，最值；不等式恒成立。
例1.已知函数/(x) = -x3- bx2 +2x +a ,兀=2是/⑴的一个极值点•
7
(I )求/⑴的单调递增区间；(II)若当*［1,3］时，f(x)-a2>-恒成立，求d的取值范围. 例2.已知函
数f(x) = x3+ax2 +ax + b的图象过点P(0 ,2).
(1)若函数/(兀)在x = -l处的切线斜率为6,求函数=f(x)的解析式；(2)若°〉3,求函数y = /(x)的单调区间。
、2x2
例3•设/(%) = ——, g(x) = ax + 5-2a(a >0)。
x + 1
(1)求/(X)在X€［0,l］上的值域；
(2)若对于任意x{G［0,1］,总存在x0G［0,1］?使得g(x0) = /(%!)成立，求a的取值范围。
例4.已知函数/(%) = ? +血$图象上一点pg)的切线斜率为-3 ,
g(X)= x" + -~- x2 - (t + l)x + 3 (t > 0)
2
(I )求a, 〃的值；(II )当XG［-1,4］时，求/(x)的值域；
(III)当"［1,4］时，不等式f(x)<g(x)恒成立，求实数t的取值范围。
例5.已知定义在/?上的函数f(x) = ax3-2ax2^bCa>0)在区间［-2,1］上的最大值是5,最小值是一
11.
(I )求函数/(兀)的解析式;(II)若虫［-1,1］时，f\xUtx< 0恒成立，求实数兀的取值范围.
例6.已知函数/(%) = %3 + 3/7?%2 + nx + m2 ,在x = -l时有极值0,则加+ n = _______
例7.已知函数/(x) = ^图象上斜率为3的两条切线间的距离为厶迥，函数
cr 5
(、“、3kx
g(x) = f(x)---- +3.
cr
(1)若函数g(x)在x = 1处有极值，求g(尢)的解析式;
(2)若函数g(兀)在区间［-1,1］上为增函数,且b2-mb + 4>g(x)在区间［-1,1］上都成立，求实数
加的取值范围.
题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x轴即方程根的个数问题;
(1)已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种:
(2)函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤
例8・已知函数/(X)二丄疋-坐虫兀2, g(兀)=丄_总，且门兀)在区间(2,+oo)上为增函数.
3 2 3
(1)求实数£的取值范围；(2)若函数/(力与g(R的图象有三个不同的交点，求实数£的取值范围.
3 例9.已知函数f(x) = ax3 -3x2 +1--.
a
(I)讨论函数/(x)的单调性。
(II)若函数y = /(X)在A、B两点处取得极值，冃线段AB与X轴冇公共点，求实数a的取值范围。
例10.已知函数f(x)=x3—ax2—4x+4a,其中a为实数.
(I)求导数广(x)； (II)若广(一1) = 0,求f(x)在［―2, 2］上的最大值和最小值;
(III)若f(x)在(一00, 一2］和［2, +oo)上都是递增的,求a的取值范围
例11.已知：函数/(兀)=x3 -ax2 +fex + c
(I)若函数/(对的图像上存在点P,使点P处的切线与兀轴平行，求实数的关系式；
(II)若函数/(对在x = -l和兀=3时取得极值且图像与兀轴有且只有3个交点，求实数c的取值范围.
例12.设y = /(x)为三次函数，冃图像关于原点对称，当x =-时，/(%)的极小值为-1・
(I)求/⑴的解析式；(II)证明：当兀w(l,+oo)时，函数几无)图像上任意两点的连线的斜率恒大于0.
例13.在函数f(x) = ax3+bx(a^0)图像在点(1, /(D)处的切线与直线6x + y + 7 = 0.平行，导函数广W 的最小值为一12。
(1)求&、方的值；(2)讨论方程f(x) = m解的情况(相同根算一根)。
例14.已知定义在R上的函数f(x) = ax3 + bx4-c(a,b,c e R),当x = -\时，/(兀)取得极大值3, /(0) =
1 •
(I )求于(兀)的解析式;(II)已知实数/能使函数f(x)在区间(t,t + 3)上既能取到极大值，又能
取到极小值，记所有的实数f组成的集合为M.请判断函数= 的零点个数.
例15•已知函数/(x) = kx3-3(k + l)x2-2k2+4,^f(x)的单调减区间为(0, 4)
(I)求k的值；
(II)若对任意的虫［-1,1］,关于x的方程2x2+5x + 6z = /(r)总有实数解，求实数a的取值范圉。
例
16.已知函数f(x) = ax3^bx2-x(xeR,a y b是常数)，且当兀=1和兀=2时，函数/(兀)取得极值.
(I)求函数几兀)的解析式;(II)若曲线y = f(x)^g(x) = -3x-m(-2<x<Q)有两个不同的交点，求实数加的取值范围.
例17.已知函数正项数列满足：6/0=0,⑷=1,点P n(p^ pl)在圆F+于二丄上，(応眄
V J V 5 2
(neN + )
(I )求证：。
卄1 + % =詁“ ；(II)若b n =a ll+l -2a n (neN + ) f求证：｛仇｝是等比数列；(III)求和:b［ + 2b2 + 3仇+ …+ nb n
例1&函数/(x) = x3-3t2x + m (XG/?,Z>0,m > /为常数)是奇函数。
(I )求实数加的值和函数/⑴的图像与兀轴交点坐标；(II)设g(x) =|/(x)|, "［0,1］,求g(x) 的最大值
F(f).
例19.已知f (x)=x3+bx2+cx+2.
⑴若f(x)在x=l时冇极值一1,求b、c的值；
⑵若函数y=x? + x — 5的图象与函数y=上三的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围. 例20.设函数f(x) = ^x3 -x2 + ax , g(x) = 2x + h ,当x = l + Q 时'，/(x)取得极值.
(1)求a的值，并判断/(1 + V2)是函数/⑴的极大值还是极小值；
(2)当% G［-3,4］吋，函数的图象冇两个公共点，求b的取值范围.
例21•已知f(x) = kx3 -x2 +x-5在R上单调递增,记AABC的三内角A、B、C的对应边分别为a、
b、c,若a2 +c2 > b2 -\-ac时，不等式/［/?2+sirr B+cos(4+0］</(27m+^)恒成立.
(I )求实数R的取值范围；(II)求角cosB的取值范围；(III)求实数加的取值范围。
题型三：函数的切线问题；
问题在点处的切线，易求；
问题2：过点作曲线的切线需四个步骤；
第一步：设切点，求斜率；第二步：写切线(一般用点斜式)；第三步：根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：判断三次方程根的个数；例22.已知函数f(x) = ax3 + bx2 + ex在点兀。
处取得极小值一4,使其导数厂⑴〉0的x的取值范围为(1,3),求：
(1)/(兀)的解析式；
(2)若过点可作曲线y = f(x)的三条切线，求实数加的取值范围.
例23.已知f(x) = x3-ax2-4x (a为常数)在兀=2时取得一个极值，
(1)确定实数r的取值范围，使函数/(兀)在区间［/,2］上是单调函数；
(2)若经过点A (2, c) (CH-8)可作曲线y = /(x)的三条切线，求c的取值范围.
题型四：函数导数不等式线性规划交汇；
例24.设函数g(兀)= -x3 ^-ax2 -bx(a,b e R),在其图象上一点F(x,y)处的切线的斜率记为f(x). 3 2
(1)若方程/(兀)有两个实根分别为・2和4,求f(x)的表达式；
(2)若g(x)在区间［-1,3］上是单调递减函数，求a2-^h2的最小值。
例25.已知函数/(兀)=—x3+ax2 -bx(a,b e R)
(1)若y二/(x)图彖上的是(1-—)处的切线的斜率为-4,求y = /(X)的极人值。
(2)y = /(x)在区间［-1,2］±是单调递减函数，求d+b的最小值。
例26.已知函数f(x) = mx3 + nx2 ( m , n e 7?, m > /? m 0 )的图象在(2, /'(2))处的切线与兀轴平行.
(I)试确定加、"的符号；
(II)若函数y = f(x)在区间［n,zn］_t有最大值为m-n2，试求加的值.
题型五：函数导数不等式数列的交汇
例2 7.已知函数f⑴=」一⑺小为常数且a H 0)满足/(2) = l A/(x) = %有唯一解。
ax + b
(1)求/(兀)的表达式；
(2)记兀” =)(n G N且n > 1),且西=/(l),求数列｛x n｝的通项公式。
4
(3 )记y n=兀“ •兀“+i,数列｛儿｝的前n项和为S“，求证S“ <-
例28.已知函数/(x) = x + — + b｛x 0), H中
(I)若曲线y = /(x)在点P(2J、(2))处的切线方程为y = 3兀+ 1,求函数/⑴的解析式；
(II)讨论函数/(兀)的单调性；
(III)若对于任意的血|,2 ,不等式/(x)<10在£1上恒成立，求b的取值范围.
1 r * 例29.在数列｛%｝中，a x=2,a
2 =8 ,且已知函f(x) = -(a n^2 -a n^)x
3 -(3^,+1 -4a n)x ( n w N )
J丿
在X = 1时取得极值.
(I)求数列仏｝的通项Q J
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(II )设3"仇=(-l)"a”，且血| +血| + ••• + ”"] v zn-3〃(-)"+'对于M G N*恒成立,求实数加的取值范围.
例30.已知函数/(x) = ix3+6Zx2-^ + l(xeR?t/ , 〃为实数)有极值，且在x = l处的切线与直线兀一y + l = 0平行.
(1)求实数d的取值范围；
(2)是否存在实数°,使得函数.f(x)的极小值为1,若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理
由；
例31.已知函数f(x) = ^ax3 -^x2 +cx + d (a、c、deR)满足/(0)二0,广⑴二0 且广(x) > 0 在R 上恒成立。
(1)求a、c、d 的值；(2) ^/:(x) = —x2 -bx + — -—,解不等式广(x)+ /?(%) < 0 ；
4 2 4
(3)是否存在实数m,使函数g(x) =在区间[m, m+2]上有
最小值一5?若存在，请求
出实数m的值，若不存在，请说明理由。
例32.设函数f(x) = -x(x-a)2( XG 7?),其中 & w 7?
(1)当G =1时，求曲线y = /(x)在点(2, /(2))处的切线方程；
(2)当心0时,求函数几兀)的极大值和极小值;
(3)当a>3时，证明存在k e[-l,0],使得不等式f(k - cos x) > f(k2 - cos2兀)对任意的xeR恒成立。
例33.已知函数/⑴=l x3 + *(p 一1)打+ qx(p,q为常数)
(I)若/⑴在(坷,兀2)上单调递减,在(-8內)和(兀2冋上单调递增,且兀2 -尢1 > 1,求证：p2>
2(p + 2g);
(II)若/⑴在x = l和x = 3处取得极值，且在"[-6,6]时，函数y = /(x)
的图象在直线l:\5x-y + c = 0的下方，求c的取值范围？。
