第5讲：圆的极坐标方程
学习目标
1、认识曲线的极坐标方程的条件，比较与曲线与直角坐标方程的异同。
2、掌握各种圆的极坐标方程。
3、能根据圆的极坐标方程画出其对应的图形
重点： 总结怎样求极坐标方程的方法与步骤
难点： 极坐标方程是涉及长度与角度的问题，列方程实质是解直角或斜三角形问题，要使用旧的三角知识。
要点精讲
1、圆的极坐标方程是：
2、几种特殊位置下的圆的极坐标方程：
范例分析
例1．求以点)0)(0,(>a a C 为圆心，a 为半径的圆C 的极坐标方程.
变式练习：
1、求圆心在点（3，0），且过极点的圆的极坐标方程。
2、求以)2,4(π
为圆心，4为半径的圆的极坐标方程.
例2、已知圆心的极坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，求圆的极坐标方程.
例3、已知一个圆的极坐标方程是θθρsin 5cos 35-=，求圆心的极坐标与半径.
练习
1、在极坐标系中，求适合下列条件的圆的极坐标方程：
（1）圆心在)4,1(π
A ，半径为1的圆； （2）圆心在)2
3,(πa ，半径为a 的圆.
2(1)A(3,0)(2)B(8)2(3)O C(-4,0)(4))6
ππ练习、按下列条件写出圆的极坐标方程：
以为圆心，且过极点的圆；
以，为圆心，且过极点的圆；以极点与点连接的线段为直径的圆；圆心在极轴上，且过极点与点，的圆。
3、把下列极坐标方程化为直角坐标方程：
（1）2=ρ；（2）θρcos 5=.
4、求下列圆的圆心的极坐标：
（1）θρsin 4=；（2）)4cos(2θπ
ρ-=.
5、求圆05)sin 3(cos 22=-+-θθρρ的圆心的极坐标与半径.
规律小结
课时训练
1、设有半径为4的圆，它在极坐标系内的圆心坐标是),4(π，则这个圆的极坐标方程是 .
2、两圆θρcos 2=和θρsin 4=的圆心距是 .
3、在圆心的极坐标为)0)(0,(>a a ，半径为a 的圆中，求过极点的弦的中点的轨迹.
4、极坐标方程)4cos(θπ
ρ-=所表示的曲线是 . 5、极坐标方程分别是θρcos =和θρsin =的两个圆的圆心距是 .
6、以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是（ ） A.)4cos(2πθρ-= B.)4
sin(2πθρ-= C.)1cos(2-=θρ D.)1sin(2-=θρ
7、已知圆2=ρ，直线4cos =θρ，过极点作射线交圆于点A ，交直线于点B ，当射线以极点为中心转动时，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
8、在极坐标系中，已知圆C 的圆心)6,3(π
C ，半径1=r ，Q 点在圆C 上运动. （1）求圆C 的极坐标方程；
（2）若P 在直线OQ 上运动，且3:2:=QP OQ ，求动点P 的轨迹方程.
课后作业
教学备忘录
2012—2013学年下学期高二文数学案第4周 第三节 圆的极坐标方程（第1课时） 学习目标：1．掌握极坐标方程的意义；2．理解圆的极坐标方程的推导和应用； 3．对不同位置的圆的极坐标方程的理解 学习重点：圆的极坐标方程的求法 学习难点：圆的极坐标方程的推导和应用 学习过程： 一、复习引入 问题1.直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？ 问题2.直角坐标系的建立可以求曲线的方程，极坐标系的建立是否可以求曲线方程？ 二、新知探究 1.引例：如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为(,0)(0)a a >， 你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(ρ,θ)满足的条件？ 解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ， 则有：cos O M O A θ=，即：=2cos a ρθ ①， 可以验证点(0,)2 O π、(2,0)A a 满足①式.等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条 件.反之，适合等式①的点都在这个圆上. 2.定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。 三、例题展示 类型一：圆心在极点的圆 例1、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？ 类型二：圆心在极轴上且过极点的圆 例2：求圆心坐标为(,0)(0)C a a >、半径为a 的圆的极坐标方程？ 类型三：圆心在点?? ? ??2,πa 处且过极点的圆
例3：求圆心在?? ? ??2,πa （a>0）、半径为a 的圆的极坐标方程？ 变式训练：求下列圆的极坐标方程 （1） 圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程； （2） 圆心为2π（，） ，半径为2的圆的极坐标方程； （3） 圆心在3(2,)2 A π处并且过极点的圆的方程。 类型四：直角坐标方程和极坐标方程的互化 例4．（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程， （2）化极坐标方程sin 2ρθ= 为直角坐标方程。 变式训练：化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程，并判断曲线的形状。 （1）cos 2ρθ= （2）=2cos ρθ （3）2cos 22ρθ = （4）11cos ρθ=- 四、课堂练习： 1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是（ ） A.2cos 4πρθ??=- ??? B.2sin 4πρθ??=- ??? C.()2cos 1ρθ=- D.2sin(1)ρθ=- 2.将下列直角坐标方程化为极坐标方程 (1) 22230x y x y + -+= (2) 210x y -+= (3) 22x y +=９ (4) x =３ 3.说明下列极坐标方程表示什么曲线 （1）π ρθ＝２cos(-) 4（2）πρθ＝cos(-)3（3）sin ρθ＝3 (4) ρ＝６
For personal use only in study and research; not for commercial use For personal use only in study and research; not for commercial use 1．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单 位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则????? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，? ???? ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0). 2．圆的极坐标方程 若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ； (3)当圆心位于M ??? ?a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin θ. 3．直线的极坐标方程 若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0； (2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ??? ?b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 4．几种常见曲线的参数方程
(1)圆 以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是????? x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α， 其中α是参数． 当圆心在(0,0)时，方程为????? x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数． (2)椭圆 椭圆x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程是????? x ＝a cos φ， y ＝b sin φ， 其中φ是参数． 椭圆x 2b 2＋y 2 a 2＝1(a > b >0)的参数方程是????? x ＝b cos φ， y ＝a sin φ，其中φ是参数． (3)直线 经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是????? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．
圆的极坐标方程推导过程 圆是一种非常重要的几何图形，在数学中有许多种不同的描述方法。 其中，极坐标方程是一种非常常用的描述方法，也是较为简单的一种 方法。极坐标方程是指把数轴上某点与原点的连线与正半轴的夹角和 原点到该点的距离作为点（r，θ）的坐标，来代替笛卡尔坐标系中的 x和y坐标。本文将以“圆的极坐标方程推导过程”为主题，向大家介绍极坐标方程是如何推导出来的。 1. 先来说说极坐标的定义 极坐标是圆心为原点的极轴坐标系的点的表示方法。由于使用极坐标 系统，将点（x，y）表示为(r，θ)对于许多问题更为方便。r是点到 原点的距离，也就是极半径；θ是点与x正半轴正方向成的角度，也 称为极角。因此，方程可以表示为(r，θ)，其中r是极径，θ是极角。 2. 如何推导圆的极坐标方程？ 我们都知道，圆的标准方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)是圆心坐标，r是圆的半径。在极坐标系中，我们希望能够用(r，θ)来表示点，因此需要将该式用极坐标表示。 为了推导方程，我们首先观察圆。圆心到圆上任意一点之间都是半径，因此我们可以得到： r²=x²+y² 然后，我们可以将x和y用极坐标来表示，有： x=r*cosθ
y=r*sinθ 将其代入上面的式子，得到： r²=r²*cos²θ+r²*sin²θ 然后，我们就可以将r²约掉，得到： 1=cos²θ+sin²θ 这个方程等同于： 1=sin²θ+cos²θ 这个方程等同于： sin²θ+cos²θ=1 这就是我们熟知的三角恒等式！因此，我们可以得到： r²=x²+y² x=r*cosθ y=r*sinθ 这就是圆的极坐标方程，其中，r表示极径，θ表示极角。 3. 总结
圆的极坐标方程 在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程$f(\rho,\theta)=0$，并且坐标适合方程$f(\rho,\theta)=0$的点都在曲线C上，那么方程 $f(\rho,\theta)=0$叫做曲线C的极坐标方程。 对于圆的极坐标方程，有以下特殊情形： 1) 圆心在极点(0,0)时，极坐标方程图形为$\rho=r$，其中$0\leq\theta<2\pi$。 2) 圆心在点$(r,0)$时，极坐标方程图形为 $\rho=2r\cos\theta$，其中$-\pi\leq\theta<\pi$。 3) 圆心在点$(r,\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=2r\sin\theta$，其中$0\leq\theta<\frac{\pi}{2}$。 4) 圆心在点$(r,\pi)$时，极坐标方程图形为$\rho=- 2r\cos\theta$，其中$\pi\leq\theta<\frac{3\pi}{2}$。
5) 圆心在点$(r,-\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=-2r\sin\theta$，其中$-\frac{\pi}{2}<\theta\leq 0$。 对于一般情形，设圆心为C$(\rho,\theta)$，半径为$r$，M$(\rho,\theta)$为圆上任意一点，则$|CM|=r$，$\angle COM=|\theta-\theta|$，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为$\rho^2-2\rho r\cos(\theta-\theta)+r^2=0$。 例如，极坐标方程$\rho=4$表示以极点为圆心，以4为半径的圆。 又例如，过极点且圆心为$(1,0)$的圆的极坐标方程为$\rho=2\cos\theta$。 极坐标方程$\rho=\cos\frac{\pi}{4}$表示以极点为圆心，以$\frac{1}{\sqrt{2}}$为半径的圆。圆的极坐标方程为一种特殊的极坐标方程，可以用来表示圆形。 求圆心在极点且过极点的圆的极坐标方程，并判断点(-2.sin(2π/6))是否在此圆上。
圆的认识 •圆的定义： 圆是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。 在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 相关定义: 1 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆 心。图形一周的长度，就是圆的周长。 2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。 3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。直径所在的直线是 圆的对称轴。 4 连接圆上任意两点的线段叫做弦。最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。 5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三 个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。 6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。 7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。 8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。
9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通常 用π表示，π=3.14159265……在实际应用中，一般取π≈3.14。 11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。 12 圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但不等于0。 圆的集合定义： 圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。•圆的字母表示： 以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作O”。 圆—⊙； 半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母）； 弧—⌒； 直径—d ； 扇形弧长—L ； 周长—C ； 面积—S。 圆的性质: （1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。 圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
第5讲：圆的极坐标方程 学习目标 1、认识曲线的极坐标方程的条件，比较与曲线与直角坐标方程的异同。 2、掌握各种圆的极坐标方程。 3、能根据圆的极坐标方程画出其对应的图形 重点： 总结怎样求极坐标方程的方法与步骤 难点： 极坐标方程是涉及长度与角度的问题，列方程实质是解直角或斜三角形问题，要使用旧的三角知识。 要点精讲 1、圆的极坐标方程是： 2、几种特殊位置下的圆的极坐标方程： 范例分析 例1．求以点)0)(0,(>a a C 为圆心，a 为半径的圆C 的极坐标方程. 变式练习： 1、求圆心在点（3，0），且过极点的圆的极坐标方程。 2、求以)2,4(π 为圆心，4为半径的圆的极坐标方程.
例2、已知圆心的极坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，求圆的极坐标方程. 例3、已知一个圆的极坐标方程是θθρsin 5cos 35-=，求圆心的极坐标与半径. 练习 1、在极坐标系中，求适合下列条件的圆的极坐标方程： （1）圆心在)4,1(π A ，半径为1的圆； （2）圆心在)2 3,(πa ，半径为a 的圆. 2(1)A(3,0)(2)B(8)2(3)O C(-4,0)(4))6 ππ练习、按下列条件写出圆的极坐标方程： 以为圆心，且过极点的圆； 以，为圆心，且过极点的圆；以极点与点连接的线段为直径的圆；圆心在极轴上，且过极点与点，的圆。
3、把下列极坐标方程化为直角坐标方程： （1）2=ρ；（2）θρcos 5=. 4、求下列圆的圆心的极坐标： （1）θρsin 4=；（2）)4cos(2θπ ρ-=. 5、求圆05)sin 3(cos 22=-+-θθρρ的圆心的极坐标与半径. 规律小结 课时训练 1、设有半径为4的圆，它在极坐标系内的圆心坐标是),4(π，则这个圆的极坐标方程是 .
1．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单 位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则????? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，? ???? ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0). 2．圆的极坐标方程 若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ； (3)当圆心位于M ??? ?a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin θ. 3．直线的极坐标方程 若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0； (2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ??? ?b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 4．几种常见曲线的参数方程 (1)圆 以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是? ???? x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数． 当圆心在(0,0)时，方程为????? x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数． (2)椭圆 椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程是? ???? x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数． 椭圆x 2b 2＋y 2 a 2＝1(a > b >0)的参数方程是????? x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数． (3)直线
圆的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表 圆心位置极坐标方程图形 圆心在极点(0，0) ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心在点(r，0) ρ＝2r cos θ (－ π 2 ≤ θ< π 2 ) 圆心在点(r， π 2 ) ρ＝2r sin θ (0≤θ<π) 圆心在点(r，π) ρ＝－2r cos θ ( π 2 ≤θ< 3π 2 ) 圆心在点(r， 3π 2 ) ρ＝－2r sin θ (－π<θ≤0) (2)00|CM|＝r，∠COM＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.
1．极坐标方程ρ＝4表示的曲线是( ) A ．过(4，0)点，且垂直于极轴的直线 B ．过(2，0)点，且垂直于极轴的直线 C ．以(4，0)为圆心，半径为4的圆 D ．以极点为圆心，半径为4的圆 解析：选D.由极坐标方程的定义可知，极坐标方程ρ＝4表示以极点为圆心，以4为半径的圆． 2．圆心在(1，0)且过极点的圆的极坐标( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝2cos θ D ．ρ＝2sin θ 解析：选C.经过极点O 且半径为a 的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos θ，因圆心在(1，0)，所以半径为1，所以极坐标方程为ρ＝2cos θ，故选C. 3．极坐标方程ρ＝cos ? ?? ??π4－θ表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆 解析：选D.ρ＝cos ? ?? ??π4－θ＝cos π4cos θ＋sin π4sin θ＝22cos θ＋22sin θ， 所以ρ2 ＝22ρcos θ＋2 2ρsin θ， 即x 2 ＋y 2＝ 22x ＋22 y . 化简整理得? ? ???x －242＋? ????y －242＝14，表示圆．选D. 4．极坐标方程ρ＝2cos θ表示的曲线所围成的面积为________． 解析：由ρ＝2cos θ＝2×1×cos θ知，曲线表示圆，且圆的半径r 为1， 所以面积S ＝πr 2 ＝π. 答案：π 圆的极坐标方程 求圆心在C ? ????2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点? ????－2，sin 5π6是否在这个圆上． [解] 如图，由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ， A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连接AM ，则OM ⊥MA .
坐标系与参数方程 1．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标 系中取一样的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直 角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，那么 ⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ y ＝ρsin θ ，⎩ ⎨⎧ ρ2＝x 2＋y 2 tan θ＝y x x ≠0. 2．直线的极坐标方程 假设直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，那么它的方程为ρsin(θ－α)＝ ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α； (2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过点M (b ，π 2)且平行于极轴：ρsin θ＝b . 3．圆的极坐标方程 假设圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2 ＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ； (3)圆心位于M (r ，π 2)，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 4．直线的参数方程 过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α (t 为参数)． 5．圆的参数方程 圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩ ⎨⎧ x ＝x 0＋r cos θ， y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)． 6．圆锥曲线的参数方程 (1)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ (θ为参数)．
特殊圆的极坐标方程 极坐标方程是一种表示平面点的坐标系统，其中每个点用极径和极角表示，而不是使用笛卡尔坐标系中的x和y坐标。极坐标方程可以用来描述各种形状，包括特殊圆。特殊圆有特定的极坐标方程，下面将对几种特殊圆的极坐标方程进行介绍。 1.极坐标方程为r=a的圆 当极径r等于常数a时，可以得到一个以原点为中心，半径为a的圆。它的极坐标方程为r=a。这个方程表示的是距离原点的距离是常数a的所有点的集合。在极坐标系下，这个圆的极角可以是任意值。 2.极坐标方程为r=acosθ或r=asinθ的圆 当极坐标方程为r=acosθ或r=asinθ时，可以得到一个以原点为中心的圆。当极坐标方程为r=acosθ时，圆的半径在x轴上，而当极坐标方程为r=asinθ时，圆的半径在y轴上。这两种情况下，圆的极角范围在[0,π/2]之间。 3.极坐标方程为r=1+cosθ或r=1+sinθ的圆 当极坐标方程为r=1+cosθ或r=1+sinθ时，可以得到一个以原点为中心的圆。这个圆的半径在[1,2]之间，极角范围在[0,2π]之间。
这个圆的形状非常有趣，它被称为“心脏线圆”。 4.极坐标方程为r=1/(1+co sθ)或r=1/(1+sinθ)的圆 当极坐标方程为r=1/(1+cosθ)或r=1/(1+sinθ)时，可以得到一个以原点为中心的圆。这个圆的半径在[0,1]之间，极角范围在[0,2π]之间。这个圆的形状也非常有趣，它被称为“鱼眼圆”。 总结 极坐标方程可以用来描述各种形状，包括特殊圆。特殊圆有特定的极坐标方程，其中包括以常数a为半径的圆、以acosθ或asinθ为半径的圆、以1+cosθ或1+sinθ为半径的圆以及以1/(1+cosθ)或1/(1+sinθ)为半径的圆。这些特殊圆在数学和物理中都有广泛的应用，例如在天文学中描述行星轨道、在计算机图形学中描述二维形状等。通过了解这些特殊圆的极坐标方程，可以更好地理解和应用它们。
1.3.1圆的极坐标方程（教案设计） 教案目标： 1、掌握极坐标方程的意义 2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程 教案重点、极坐标方程的意义 教案难点：极坐标方程的意义 教案过程： 一、复习回顾： 1、曲线与方程。 2、圆的规范方程。 3、圆的一般方程。 4、极坐标与直角坐标的互化。 平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式： ⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩ ⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 5、正弦定理。 6、余弦定理。 二、师生互动，新课讲解： 1、引例．如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为 (a ,0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点， 的极坐标(ρ,θ)满足的条件？ 解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ， 则有：OM=OAcos θ，即：ρ＝2acos θ①， 2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 可以验证点O(0,π/2)、A(2a ,0)满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之，适合等式①的点都在这个圆上. 3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点在曲 线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程 的曲线。 例1（课本P 例1）、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系， 可以使圆的极坐标方程更简单？ ①建系； ②设点；M （ρ，θ） ③列式；OM ＝r ，即：ρ＝r ④证明或说明 .
()()12343,0,,,,,,22 . 1C a C a C a C a πππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 变式训练分别写出以为圆心，且经过极点的圆的极坐标方程： 答案：(1)ρ＝2acos θ(2)ρ＝2asin θ(3)ρ＝-2acos θ(2)ρ＝-2asin θ 例2.求圆心在(ρ0，θ0 )，半径为r 的圆的方程 2变已知一个圆的方程是ρ＝θ-5sin θ求圆心坐标.和半径。 222225sin cos 5sin 55(()25225(,),522 x y y x y ρθθρρθρθ-+=-- ++=-＝两边同乘以得 ＝－即化为直角坐标为 即所以圆心为解半径是： 38cos O C ON ON ρθ例：从极点作圆：＝的弦，求的中点的轨迹方程。 (4,0), 4, , 4cos C r OC CM M ON CM ON M ρθ ==∴⊥如图，圆的圆心半径连结， 是弦的中点, 所以，动点的轨迹方程是＝解： [解] 在圆周上任取一点P (如图) 设其极坐标为(ρ，θ)． 由余弦定理知： CP 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos ∠COP ， 故其极坐标方程为 r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)． 110(cos sin )10cos(),26 (5,),5,6πρθθθπ-⋅=+-解：原式可化为 ＝所以圆心为半径为
§4.3.1 圆的极坐标方程 班别 学号 姓名 评价 【学习目标】 (1) 理解极坐标方程的有关概念； (2) (2) 掌握如何求圆的极坐标方程，并且要求能把直角坐标系与极坐标系的圆的方程的的异同和内在联系找出来。 【重难点】 理解极坐标方程的有关概念。 【教学过程】 一、课前预习并完成复习：阅读课本P12-13（学生自主完成） 1、在直角坐标系．．．．． 中，已知圆心C （a ，b ），半径为r ，则圆的方程为： 2、在直角坐标．．．． 系中，已知圆心是原点，半径为5，则圆的方程为： 3、在直角坐标．．．． 系中，已知圆心C （1，0），半径为3，则圆的方程为： 4、在直角坐标．．．． 系中，已知圆心C （1，2），且圆经过原点O ，则圆的方程为： 二、新课讲授 1、曲线极坐标方程概念：在极坐标系中，如果平面曲 线C 上 的极坐标中 有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点 ，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程。
2、求曲线极坐标方程的方法、步骤和求直角坐标方程类似，(1)建立适当的极坐标系；(2)找出曲线上的动点θ ρ的极径ρ和极角θ的相互关系；(3)设法用ρ和θ的方程表示这种关系；(4)化简并证明所得的方程是所求的极坐标方程。求曲线极坐标方程关键是找出曲线上的点满足的几何条件。常用解三角形的知识来建立ρ和θ的关系。注意ρ和θ的取值范围与题设条件。 三、典型例题 例1、在极坐标平面内，已知圆心)0,(a C， 半径为r，求其极坐标方程。 例2、已知圆心O的半径为r，建立怎样的 极坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？ 四、课堂练习 1、在极坐标系 ．．．．中，求圆心在点C（3,0），且经过极点的 圆的极坐标方程 ．．．．．。 π），半径为2的圆 2、在极坐标系 ．．．．中，求圆心C（2, 2 的极坐标方程 ．．．．．。 3、课本P15 1（1）（3） 五、课堂小结 常见圆的极坐标方程： (1)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方 程；
圆的极坐标方程和参数方程 圆是一个几何图形，由一个固定点（圆心）和到该点的距离（半径）相等的所有点组成。圆在数学中有不同的表达方式，包括极坐标方程和参数方程。 极坐标方程是一种用极坐标表示的圆的方程。在极坐标系中，每个点由两个坐标确定：极径和极角。对于一个固定的圆心，半径为r的圆，极坐标方程可以表示为(r,θ)。其中r是到圆心的距离，θ是该点与参考轴的夹角。 对于圆来说，极坐标方程可以写为r=a，其中a是固定的半径。这意味着对于所有的θ值，r的取值都是相等的。这样的极坐标方程表示一个以圆心为极点、半径为a的圆。 参数方程是一种使用参数变量来表示的圆的方程。参数方程中，圆上的每个点都由参数t确定，而不是由坐标确定。参数方程可以写成x = a cos t，y = a sin t。在这里，a是半径，t是参数变量。 参数方程可以理解为将圆的运动视为在直角坐标系中的点按照特定的速率进行移动。通过改变参数t的值，可以沿着圆的周长控制点的位置。 极坐标方程和参数方程都是用于描述圆的方程，并且它们之间存在着等价的关系。通过将极坐标方程中的r替换为a，θ替换为t，可以将极坐标方程转换为参数方程。 例如，对于极坐标方程r = a，可以将其转换为参数方程x = a cos t，y = a sin t。这两种形式本质上是等价的，可以通过参数t将一个圆上的点的位置转换到另一个坐标系中。
总结起来，圆的极坐标方程表示为r = a，其中a是固定的半径；圆的参数方程表示为x = a cos t，y = a sin t，其中a是半径，t是参数变量。这两种方程用于描述圆的形状和位置，它们之间可以通过转换相关的变量相互转换。
圆的方程转化为极坐标方程 一、引言 在数学中，圆是一个非常重要且常见的几何形状。而圆的方程是描述圆的数学表达式，可以用不同的坐标系来表示。其中，极坐标系是一种常用的坐标系，它以极径和极角来确定一个点的位置。本文将探讨如何将圆的方程转化为极坐标方程，通过对圆的性质和极坐标系的了解，我们可以更深入地理解圆的本质和特点。 二、圆的方程及性质 圆可以由其圆心和半径来确定，常用的圆的方程有两种形式：一般方程和标准方程。 2.1 一般方程 圆的一般方程可以表示为：$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 ，其中(a,b)为圆心的坐标，r$为圆的半径。 2.2 标准方程 圆的标准方程可以表示为：$ x^2 + y^2 = r^2 ，其中圆心位于原点(0,0)$。 圆具有以下性质： •圆上的任意一点到圆心的距离等于圆的半径。 •圆上的任意一条弦都等于圆心到该弦的垂直距离的两倍。 •圆上的任意一条切线都垂直于半径。 •圆上的任意两条弦的垂直距离相等时，它们的长度相等。 三、极坐标系介绍 极坐标系是一种以极径和极角来确定点的位置的坐标系。在极坐标系中，点的位置由(r,θ)表示，其中r为点到原点的距离，θ为点与极轴的夹角。
3.1 极径和极角 极径r是点到原点的距离，可以是正值或零。极角θ是点与极轴的夹角，可以是0到 2π之间的任意实数。 3.2 极坐标系转换 极坐标系与直角坐标系之间存在着一定的转换关系： •$x = r \cosθ$ •$y = r \sinθ$ 四、圆的极坐标方程推导 现在我们来推导圆的极坐标方程。假设有一个圆的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，我们将其转化为极坐标系。 4.1 将x和y用极坐标表示 根据极坐标系的转换关系，将x和y用极坐标(r,θ)表示： •$x = r \cosθ$ •$y = r \sinθ$ 4.2 将圆的方程代入 将x和y的极坐标表示代入圆的方程(x−a)2+(y−b)2=r2中： $ (r -a)^2 + (r -b)^2 = r^2 $ 4.3 化简方程 将方程进行展开和化简，得到： $ r^2 ^2θ - 2ar + a^2 + r^2 ^2θ - 2br + b^2 = r^2 $ 化简为： $ r^2 - 2ar + a^2 + r^2 - 2br + b^2 = r^2 $ 再化简为： $ - 2ar - 2br + a^2 + b^2 = 0 $
圆在极坐标系的表达式 圆是几何学中的一个基本概念，它是平面上所有离圆心距离相等的点的集合。在极坐标系中，圆的表达式可以通过极坐标的方式来描述。极坐标系是一种描述平面上点的坐标系统，它由极径和极角两个参数来确定点的位置。 在极坐标系中，圆的表达式可以表示为：r = a，其中r表示点到原点的距离，a表示圆的半径。这个表达式表示了所有与原点距离为a的点构成的圆。 通过极坐标系中的转换关系，我们可以将直角坐标系中的圆的表达式转换为极坐标系中的表达式。在直角坐标系中，圆的表达式可以表示为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。 要将直角坐标系中的圆的表达式转换为极坐标系中的表达式，我们可以使用以下关系： x = r * cosθ y = r * sinθ
将直角坐标系中的圆的表达式代入上述关系，可以得到极坐标系中的圆的表达式： (r * cosθ - h)^2 + (r * sinθ - k)^2 = r^2 化简上述方程，可以得到： r^2 * (cos^2θ + sin^2θ) - 2 * r * (h * cosθ + k * sinθ) + h^2 + k^2 = r^2 化简后得到： h^2 + k^2 = 2 * r * (h * cosθ + k * sinθ) 这个方程描述了在极坐标系中，圆的表达式与直角坐标系中的表达式之间的关系。 根据上述方程，我们可以得到在极坐标系中圆的表达式与直角坐标系中圆的表达式之间的对应关系。通过这个对应关系，我们可以在极坐标系中方便地描述圆。
除了使用上述关系将直角坐标系中的圆的表达式转换为极坐标系中的表达式之外，还可以使用其他方法来描述圆。例如，我们可以使用参数方程来描述圆。 在极坐标系中，参数方程可以表示为： x = a * cosθ y = a * sinθ 其中(a, θ)表示点的极坐标。对于圆来说，我们可以将参数a 设置为常数，然后让θ从0到2π变化，从而得到圆上的所有点。 通过参数方程，我们可以方便地描述圆在极坐标系中的位置。通过调整参数a和θ，我们可以改变圆的半径和位置。 总结起来，在极坐标系中，圆的表达式可以通过极径和极角来描述。我们可以使用直角坐标系与极坐标系之间的转换关系，将直角坐标系中的圆的表达式转换为极坐标系中的表达式。此外，我们还可以使用参数方程来描述圆。无论是哪种方法，都能够方便地描述圆在极坐标系中的位置和形状。