正态分布和寿命问题的建模

误差问题的建模

---正态分布的建立

正态分布模型最初是由高斯（Gauss ）在研究误差理论时建立的。

对随机变量的高斯假定

设X 是可由物理手段测量的随机变量，μ是X 的稳定值（理想化的取值），则 εμ+=X ， 并称με-=X 为测量误差.

对测量误差ε的统计建模

记误差ε的概率密度函数为)(εf ，求)(εf 的解析表示. 设对X 进行n 次独立观测，可得误差ε的样本

,με-=i i x n i ,,2,1Λ=， 显然)()(με-=i i x f f 中含未知分布参数μ.

讨论未知分布参数μ应满足的条件. 由于n i εεε,,,2Λ的联合概率密度为

)() ; ,,,(1

21μμεεε-=

∏=n

i i

n x

f L Λ.

根据最大似然法的思想，μ的值使L 最大，以最有利于样本n x x x ,,,21Λ的出现，故μ应满足

0=μ

d dL

， 进而

0)

()(log =--'-=∑μμμi i x f x f d L

d ①

记)()()(εεελf f '=，则

)

()

()()(μμμλελ--'=

-=i i i i x f x f x .

下面分析)(ελ的性质. 将未知常数μ的测量值的平均值用∑==n

i i x n x 1

1替代，令

)()(),,,(1

1

21∑∑===-=n

i i n

i i n x x G ελλεεεΛ，

由①，

0),,,(21=n G εεεΛ. ② 又因为

01

1

=-=∑∑==x n x n

i i n

i i

ε

，故n 个变量n εεε,,,21Λ的自由度为1-n ，令

)(121-+++-=n n εεεεΛ ③ 对②式微分，并注意③式的影响，得 0=?????+??=??i

n

n i i y G G G εεεε， 亦即

n

i ελ

ελ??=??，n i ,,2,1Λ=， 表明

c i

i =??εελ)

(（常数）， 从而

b c +=εελ)(（b 为常数），

进而

nb c G n

i i n +=∑=1

21),,,(εεεεΛ，

由

01

=∑=n

i i

ε

可知0=b ，于是

εελεεc f f ==')()

()

(， ④ 解方程④得

22

1

)(εεc ke

f =，k 为常数.

为使)(εf 为概率密度函数，

?

+∞

∞

-=1)(εεd f ，

即

122

1

=?

+∞

∞

-dy e

k c ε， ⑤

故必须0

1

σ-

=c （)0>σ，代入⑤解得

σ

π21

=k ， 于是

2

2221)(σεσ

πε-

=e

f ，R ∈ε，

即

),0(~2

σεN .

对建模方法的简单评价

高斯的建模推理过程从严格的逻辑学意义上讲是有瑕疵的。用∑==n

i i x n x 1

1替代μ涉嫌

循环论证。但随后的概率极限定理的研究表明，高斯的结论是正确的。

引伸

设),0(~2

σN X ，通常X 表示测量误差。在各种各样的“跟踪”与“距离”问题中，人们关心的另一个问题是由对目标的空间坐标的观测误差导致的目标相对观测原点的距离的随机误差。与此问题有关的模型有：

(1) （一维）反射正态分布 设),0(~2

σN X ，则)(~22σEN X U =.

(2) (二维)瑞利分布

设),0(~,2

σN Y X 且独立，则)(~222σRa Y X U +=.

(3) (三维)马克斯威尔分布

设),0(~,,2

σN Z Y X 且独立，则)(~2222σMax Z Y X U ++=.

(4) 二维场合极坐标的分布

设)1,0(~,N Y X 且独立，令?

??Θ=Θ

=sin cos R Y R X ，则)1(~Ra R ，)2,0(~πU Θ.

(5) 累积误差的分布（平方累积）

①),0(~2

σN X ，则)21

,

21(~2

2

σ

Ga X Y =. ②)1,0(~N X i ，n i ,,2,1Λ=相互独立，则)(~2

1

2n X X n

i i

χ∑==（)21,2(n Ga ） (6) 相对误差（误差的比率）的分布 ① 柯西分布

),0(~,2

σN Y X 且独立，则)1,0(~c Y

X

Z =. ② 贝塔分布

),0(~2

σN X i ，n m i +=,,2,1Λ且相互独立，则)2

,2(

~1

1n m Be X

X

X n m i i

m

i i

∑∑+===

. ③ t 分布

)1,0(~N X i ，1,,2,1+=n i Λ相互独立，则)(~1

2n t X n X X i

k k i ∑≠?=

.

寿命问题的建模

----指数分布，威布尔分布，对数正态分布和重指数分布的建立

1、可靠性的概念

元件e 的可靠性－即元件e 在一段时间无故障工作的概率（或无故障工作的平均时间长度）.

2、寿命的概念

元件e 的寿命－即元件e 从0=t 启动到τ=t 首次发生故障，称τ为元件的寿命.

3、寿命分布与可靠性分布

τ是一个随机变量，定义

τ的分布函数（寿命分布函数） )()(t P t F ≤=τ )0(≥t .

元件e 的可靠性函数（],0[t 中无故障工作的概率）)()(1)(t P t F t G >=-=τ 1)()(=+t G t F

4、故障的分类

(1)开始故障－元件e 工作初始阶段（磨合） (2)随机故障－元件e 正常工作阶段(偶然因素) (3)衰老故障－元件e 工作的后期（寿命限制）

5、寿命分布的求法

(1)统计方法拟合（归纳法） (2)物理特性分析（演绎法）

6、寿命分布的物理特性分析方法建模的核心概念－故障率)(t λ（可靠性的核心指标）

设元件e 在],0[t 中无故障，求],[t t t ?+中发生故障的概率为),(t t t F ?+，0>?t .

)|(),(t t t t P t t t F >?+≤<=?+ττ

)

()

(t P t t t P >?+≤<=

ττ