九年级数学期末试卷培优测试卷
一、选择题
1．如图，已知AB 为O 的直径，点C ，D 在O 上，若28BCD ∠=?，则ABD ∠=
（ ）
A ．72?
B ．56?
C ．62?
D ．52?
2．如图，////AD BE CF ，直线12l l 、与这三条平行线分别交于点、、A B C 和点D E F 、、．已知AB =1，BC =3，DE =1.2，则DF 的长为（ ）
A ．3.6
B ．4.8
C ．5
D ．5.2
3．已知点O 是△ABC 的外心，作正方形OCDE ，下列说法：①点O 是△AEB 的外心；②点O 是△ADC 的外心；③点O 是△BCE 的外心；④点O 是△ADB 的外心.其中一定不成立的说法是（ ） A ．②④
B ．①③
C ．②③④
D ．①③④
4．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝2（x ﹣1）2+1先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式是（ ） A ．y ＝2（x+1）2+4 B ．y ＝2（x ﹣1）2+4 C ．y ＝2（x+2）2+4 D ．y ＝2（x ﹣3）2+4
5．将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A （1，4）的方法是
（ ）
A ．向左平移1个单位
B ．向右平移3个单位
C ．向上平移3个单位
D ．向下平移1个单位 6．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y 与月份n 之间的函数关系式是y ＝－n 2＋15n －36，那么该
企业一年中应停产的月份是( ) A ．1月，2月 B ．1月，2月，3月 C ．3月，12月
D ．1月，2月，3
月，12月
7．二次函数y ＝3（x +4）2﹣5的图象的顶点坐标为（ ） A ．（4，5）
B ．（﹣4，5）
C ．（4，﹣5）
D ．（﹣4，﹣5）
8．cos60?的值等于（ ） A ．
12
B ．
22
C ．
32
D ．
33
9．如图物体由两个圆锥组成，其主视图中，90,105A ABC ??∠=∠=．若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（ ）
A ．2
B ．3
C ．
32
D ．2
10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2
1y ax bx =++的图象经过点A ，B ，对系数a 和b 判断正确的是（ ）
A ．0,0a b >>
B ．0,0a b <<
C ．0,0a b ><
D ．0,0a b <> 11．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +a ﹣1＝0没有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜2
B ．a ＞2
C ．a ＜﹣2
D ．a ＞﹣2
12．如图，△ABC 中AB 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（﹣1，0），以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC 的位似比为2：1．设点B 的对应点B′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ）
A ．12
a -
B ．1
(1)2
a -
+ C ．1
(1)2
a -
- D ．1
(3)2
a -
+
二、填空题
13．O的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与O的位置关系是______. 14．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，当y＜3时，x的取值范围是____．
15．如图，已知正方ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为13
，则这个正方形的边长为_____________
16．若m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则15m﹣3
m
+2010的值为_____．
17．在?ABCD中，∠ABC的平分线BF交对角线AC于点E，交AD于点F．若AB
BC
＝
3
5
，则
EF
BF
的值为_____．
18．.甲、乙、丙、丁四位同学在五次数学测验中他们成绩的平均分相等，方差分别是2.3，3.8，5.2，6.2，则成绩最稳定的同学是______.
19．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tan B＝cos∠DAC，若sin C＝12
13
，BC＝12，则AD
的长_____．
20．已知关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0有实数根,则m 的取值范围是 ． 21．如图，1ABB △，12AB B ，△A 2B 2B 3 是全等的等边三角形，点 B ，B 1，B 2，B 3 在同一条 直线上，连接 A 2B 交 AB 1 于点 P ，交 A 1B 1 于点 Q ，则 PB 1∶QB 1 的值为___．
22．如图，将二次函数y ＝
1
2
(x －2)2＋1的图像沿y 轴向上平移得到一条新的二次函数图像，其中A (1，m )，B (4，n )平移后对应点分别是A′、B′，若曲线AB 所扫过的面积为12(图中阴影部分)，则新的二次函数对应的函数表达是__________________．
23．如图，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，点M 为AF 中点，以点O 为圆心，以OM 的长为半径画弧得到扇形MON ，点N 在BC 上；以点E 为圆心，以DE 的长为半径画弧得到扇形DEF ，把扇形MON 的两条半径OM ，ON 重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r 1；将扇形DEF 以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r 2，则r 1：r 2=_____．
24．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在△ABC 中，AB=AC ，若△ABC 是“好玩三角形”，则tanB____________。
三、解答题
25．（问题发现）如图1，半圆O 的直径AB ＝10，点P 是半圆O 上的一个动点，则△PAB 的面积最大值是 ；
（问题探究）如图2所示，AB 、AC 、BC 是某新区的三条规划路，其中AB ＝6km ，AC ＝
3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F，即分别在BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．显然，为了快捷环保和节约成本，就要使线段PE、EF、FP之和最短（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）．可求得△PEF周长的最小值为 km；
（拓展应用）如图3是某街心花园的一角，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12米，在围墙OA和OB上分别有两个入口C和D，且AC＝4米，D是OB的中点，出口E在AB 上．现准备沿CE、DE从入口到出口铺设两条景观小路，在四边形CODE内种花，在剩余区域种草．
①出口E设在距直线OB多远处可以使四边形CODE的面积最大？最大面积是多少？(小路宽度不计)
②已知铺设小路CE所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路DE所用的景观石材每米的造价是400元．
请问：在AB上是否存在点E，使铺设小路CE和DE的总造价最低？若存在，求出最低总造价和出口E距直线OB的距离；若不存在，请说明理由．
26．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿线段AB方向匀速运动，到达点B停止．连接DP交AC于点E，以DP为直径作⊙O交AC于点F，连接DF、PF．
（1）求证：△DPF为等腰直角三角形；
（2）若点P的运动时间t秒．
①当t为何值时，点E恰好为AC的一个三等分点；
②将△EFP沿PF翻折，得到△QFP，当点Q恰好落在BC上时，求t的值．
27．如图，已知ABC ?中，3045ABC ACB ∠=?∠=?，，8AB =.求ABC ?的面积.
28．如图，AB 是⊙O 的直径，弦DE 垂直平分半径OA ，C 为垂足，弦DF 与半径OB 相交于点P ，连接EF 、EO ，若DE ＝2，∠DPA ＝45°． （1）求⊙O 的半径； （2）求图中阴影部分的面积．
29．中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为 ；
（2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．
30．已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c （b ，c 为常数）的图象经过点（2，3），（3，0）． （1）则b ＝，c ＝；
（2）该二次函数图象与y 轴的交点坐标为，顶点坐标为； （3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象； （4）根据图象，当－3＜x ＜2时，y 的取值范围是．
31．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线1
22
y x =-- 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2
12
y x bx c =
++经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为C ． （1）直接写出点A 和点B 的坐标； （2）求抛物线的函数解析式；
（3）D 为直线AB 下方抛物线上一动点；
①连接DO 交AB 于点E ，若DE ：OE=3：4，求点D 的坐标；
②是否存在点D ，使得∠DBA 的度数恰好是∠BAC 度数2倍，如果存在，求点D 的坐标，如果不存在，说明理由．
32．如图，
O 的半径为23AB 是O 的直径，F 是O 上一点，连接FO 、
FB .C 为劣弧BF 的中点，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，CD 交FB 于点E ，
//CG FB ，交AB 的延长线于点G .
（1）求证：CG是O的切线；
BC OF，如图2.
（2）连接BC，若//
①求CE的长；
②图中阴影部分的面积等于_________.
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
连接AD,根据同弧所对的圆周角相等，求∠BAD的度数，再根据直径所对的圆周角是90°，利用内角和求解.
【详解】
解：连接AD,则∠BAD=∠BCD=28°,
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°,
∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-28°=62°.
故选：C.
本题考查圆周角定理，运用圆周角定理是解决圆中角问题的重要途径，直径所对的圆周角是90°是圆中构造90°角的重要手段.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】 解：
////AD BE CF ，
AB DE
BC EF ∴
=，即1 1.23EF =， 3.6EF ∴＝， 3.6 1.2 4.8DF EF DE ∴++＝＝＝，
故选B ． 【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据三角形的外心得出OA=OC=OB ，根据正方形的性质得出OA=OC ＜OD ，求出OA=OB=OC=OE≠OD ，再逐个判断即可． 【详解】
解：如图，连接OB 、OD 、OA ，
∵O 为锐角三角形ABC 的外心， ∴OA ＝OC ＝OB ， ∵四边形OCDE 为正方形， ∴OA ＝OC ＜OD ， ∴OA ＝OB ＝OC ＝OE ≠OD ，
∴OA ＝OC ≠OD ，即O 不是△ADC 的外心， OA ＝OE ＝OB ，即O 是△AEB 的外心， OB ＝OC ＝OE ，即O 是△BCE 的外心， OB ＝OA ≠OD ，即O 不是△ABD 的外心，
【点睛】
本题考查了正方形的性质和三角形的外心.熟记三角形的外心到三个顶点的距离相等是解决此题的关键.
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
只需确定原抛物线解析式的顶点坐标平移后的对应点坐标即可．
【详解】
解：原抛物线y＝2（x﹣1）2+1的顶点为（1，1），先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，新顶点为（﹣1，4）．即所得抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）．
所以，平移后抛物线的表达式是y＝2（x+1）2+4，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像的平移，抛物线的解析式为顶点式时，求出顶点平移后的对应点坐标，可得平移后抛物线的解析式，熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题的关键. 5．D
解析：D
【解析】
A.平移后，得y=(x+1)2，图象经过A点，故A不符合题意；
B.平移后，得y=(x?3)2，图象经过A点，故B不符合题意；
C.平移后，得y=x2+3，图象经过A点，故C不符合题意；
D.平移后，得y=x2?1图象不经过A点，故D符合题意；
故选D.
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
当－n2＋15n－36≤0时该企业应停产，即n2-15n+36≥0，n2-15n+36=0的两个解是3或者12，根据函数图象当n≥12或n≤3时n2-15n+36≥0，所以1月，2月，3月，12月应停产．
故选D
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据二次函数的顶点式即可直接得出顶点坐标．
∵二次函数()2
345y x +=-
∴该函数图象的顶点坐标为（﹣4，﹣5）， 故选：D ． 【点睛】
本题考查二次函数的顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数顶点式()2
y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）．
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据特殊角的三角函数值解题即可． 【详解】 解：cos60°=12
. 故选A. 【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
先证明△ABD 为等腰直角三角形得到∠ABD ＝45°，BD AB ，再证明△CBD 为等边三
角形得到BC ＝BD AB ，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB ：CB ，从而得到下面圆锥的侧面积． 【详解】
∵∠A ＝90°，AB ＝AD ， ∴△ABD 为等腰直角三角形，
∴∠ABD ＝45°，BD AB ， ∵∠ABC ＝105°， ∴∠CBD ＝60°， 而CB ＝CD ，
∴△CBD 为等边三角形，
∴BC ＝BD AB ，
∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，
∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB ：CB ，
×1．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据二次函数y=ax 2+bx+1的图象经过点A ，B ，画出函数图象的草图，根据开口方向和对称轴即可判断． 【详解】
解：由二次函数y=ax 2+bx+1可知图象经过点（0，1）， ∵二次函数y=ax 2+bx+1的图象还经过点A ，B ， 则函数图象如图所示，
抛物线开口向下， ∴a ＜0，，
又对称轴在y 轴右侧，即02b
a
-> ， ∴b ＞0， 故选D
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据题意得根的判别式0<，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】
∵1a =，2b =-，1c a =-， 由题意可知：
()()2
2424110b ac a =-=--??-<⊿，
∴a ＞2， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的根的判别式24b ac =-⊿：当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根．
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
设点B 的横坐标为x ，然后表示出BC 、B′C 的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算． 【详解】
设点B 的横坐标为x ，则B 、C 间的横坐标的长度为﹣1﹣x ，B′、C 间的横坐标的长度为a+1，
∵△ABC 放大到原来的2倍得到△A′B′C ， ∴2（﹣1﹣x ）＝a+1， 解得x ＝﹣
1
2
（a+3）， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．
二、填空题 13．相交 【解析】 【分析】
由圆的半径为4，圆心O 到直线l 的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l 与O 的位置关系是相交． 【详解】
解：∵⊙O 的半径为4，圆心O 到直线L 的
解析：相交 【解析】 【分析】
由圆的半径为4，圆心O 到直线l 的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l 与O 的位置关系是相交． 【详解】
解：∵⊙O 的半径为4，圆心O 到直线L 的距离为2， ∵4＞2，即：d ＜r ，
∴直线L 与⊙O 的位置关系是相交．
故答案为：相交.
【点睛】
本题考查知道知识点是圆与直线的位置关系，若d＜r，则直线与圆相交；若d>r，则直线与圆相离；若d=r，则直线与圆相切.
14．－1＜x＜3
【解析】
【分析】
根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．
【详解】
解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，
故答案为：－1＜x＜3.
【点睛
解析：－1＜x＜3
【解析】
【分析】
根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．
【详解】
解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，
故答案为：－1＜x＜3.
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
15．【解析】
【分析】
将△ABE绕点A旋转60°至△AGF的位置，根据旋转的性质可证△AEF和△ABG 为等边三角形，即可证明EF=AE,GF=BE,所以根据两点之间线段最短
EA+EB+EC=GF+E
【解析】
【分析】
将△ABE绕点A旋转60°至△AGF的位置，根据旋转的性质可证△AEF和△ABG为等边三角形，即可证明EF=AE,GF=BE,所以根据两点之间线段最短EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC，表示
Rt△GMC的三边，根据勾股定理即可求出正方形的边长.
【详解】
解：如图，将△ABE绕点A旋转60°至△AGF的位置，连接EF,GC,BG，过点G作BC 的垂线交CB的延长线于点M.设正方形的边长为2m，
∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB=BC=2m,∠ABC=∠ABM=90°， ∵△ABE 绕点A 旋转60°至△AGF ，
∴,,60,AG AB AF AE BAG EAF BE GF ==∠=∠=?=, ∴△AEF 和△ABG 为等边三角形， ∴AE=EF,∠ABG=60°， ∴EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC ， ∴GC=13
∵∠GBM=90°-∠ABG =30°，
∴在Rt △BGM 中，GM=m ，3m ， Rt △GMC 中，勾股可得222GC GM CM =+， 即：222(32)(13)m m m ++=+， 解得：2m =
， ∴边长为22m =
2. 【点睛】
本题考查正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形，两点之间线段最短，勾股定理.能根据旋转作图，得出EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC 是解决此题的关键.
16．2019 【解析】 【分析】
根据m 是方程5x2﹣3x ﹣1＝0的一个根代入得到5m2﹣3m ﹣1＝0，进一步得到5m2﹣1＝3m ，两边同时除以m 得：5m ﹣＝3，然后整体代入即可求得答案． 【详解】 解
解析：2019
【解析】
【分析】
根据m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根代入得到5m2﹣3m﹣1＝0，进一步得到5m2﹣1＝
3m，两边同时除以m得：5m﹣1
m
＝3，然后整体代入即可求得答案．
【详解】
解：∵m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴5m2﹣3m﹣1＝0，
∴5m2﹣1＝3m，
两边同时除以m得：5m﹣1
m
＝3，
∴15m﹣3
m
+2010＝3（5m﹣
1
m
）+2010＝9+2010＝2019，
故答案为：2019．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根，灵活的进行代数式的变形是解题的关键.
17．．
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质和角平分线的性质，得出边的关系，进而利用相似三角形的性质求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠EBC，
∵B
解析：3
8
．
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质和角平分线的性质，得出边的关系，进而利用相似三角形的性质求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠EBC，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠EBC＝∠ABE＝∠AFB，
∴AB ＝AF ，
∴3
5AB AF BC BC ==， ∵AD ∥BC ，
∴△AFE ∽△CBE ，
∴3
5AF EF BC BE ==， ∴
3
8
EF BF =； 故答案为：3
8
．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质、角平分线的性质及相似三角形的判定定理.
18．甲 【解析】 【分析】
方差反映了一组数据的波动情况，方差越小越稳定，据此可判断. 【详解】 ∵2.3<3.8<5.2<6.2, ∴，
∴成绩最稳定的是甲. 故答案为：甲. 【点睛】 本题考查了方差
解析：甲 【解析】 【分析】
方差反映了一组数据的波动情况，方差越小越稳定，据此可判断. 【详解】 ∵2.3<3.8<5.2<6.2,
∴2222
甲乙丁丙<<
∴成绩最稳定的是甲. 故答案为：甲. 【点睛】
本题考查了方差的概念，正确理解方差所表示的意义是解题的关键.
19．8 【解析】
【分析】
在Rt△ADC中，利用正弦的定义得sinC＝＝，则可设AD＝12x，所以AC＝13x，利用勾股定理计算出DC＝5x，由于cos∠DAC＝sinC得到tanB＝，接着在Rt△A
解析：8
【解析】
【分析】
在Rt△ADC中，利用正弦的定义得sin C＝AD
AC
＝
12
13
，则可设AD＝12x，所以AC＝13x，利
用勾股定理计算出DC＝5x，由于cos∠DAC＝sin C得到tan B＝12
13
，接着在Rt△ABD中利用
正切的定义得到BD＝13x，所以13x+5x＝12，解得x＝2
3
，然后利用AD＝12x进行计算．
【详解】
在Rt△ADC中，sin C＝AD
AC
＝
12
13
，
设AD＝12x，则AC＝13x，
∴DC＝5x，
∵cos∠DAC＝sin C＝12 13
，
∴tan B＝12 13
，
在Rt△ABD中，∵tan B＝AD
BD
＝
12
13
，
而AD＝12x，∴BD＝13x，
∴13x+5x＝12，解得x＝2
3
，
∴AD＝12x＝8．
故答案为8．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
20．m≤且m≠1．
【解析】
【分析】
【详解】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系．有实数根则△=即1-4（-1）(m-1)≥0解得m≥，又一元二次方程所以m-1≠0综上m≥且m≠1.
解析：m≤5
4
且m≠1． 【解析】 【分析】 【详解】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系．有实数根则△=240b ac -≥即1-4（-1）(m-
1)≥0解得m≥
34，又一元二次方程所以m-1≠0综上m≥3
4
且m≠1. 21．【解析】
【分析】
根据题意说明PB1∥A2 B3，A1B1∥A2B2，从而说明△BB1P ∽△BA2 B3，△BB1Q ∽△BB2A2，再得到PB1 和A2B3的关系以及QB1和A2B2的关系，根据
解析：2
3
【解析】 【分析】
根据题意说明PB 1∥A 2 B 3，A 1B 1∥A 2B 2，从而说明△BB 1P ∽△BA 2 B 3，△BB 1Q ∽△BB 2A 2，再得到PB 1 和A 2B 3的关系以及QB 1和A 2B 2的关系，根据A 2B 3=A 2B 2，得到PB 1和QB 1的比值. 【详解】
解：∵△ABB 1，△A 1B 1B 2，△A 2B 2B 3是全等的等边三角形， ∴∠BB 1P=∠B 3，∠A 1B 1 B 2=∠A 2B 2B 3， ∴PB 1∥A 2B 3，A 1B 1∥A 2B 2，
∴△BB 1P ∽△BA 2 B 3，△BB 1Q ∽△BB 2A 2，
∴
112331==3PB BB A B BB ,112221
==2
QB BB A B BB , ∴1231=
3PB A B ，1221
=2
QB A B ， ∵2322=A B A B ， ∴PB 1∶QB 1=13A 2B 3∶1
2
A 2
B 2=2：3. 故答案为：23
. 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，正确的识别图形是解题的关键．
22．y=0.5(x-2)+5 【解析】
解：∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=3，∴A（1，1），B（4，3），过A作AC
解析：y=0.5(x-2)2+5
【解析】
解：∵函数y=1
2
（x﹣2）2+1的图象过点
A（1，m），B（4，n），∴m=1
2
（1﹣2）2+1=11
2
，n=1
2
（4﹣2）2+1=3，∴A（1，11
2
），B（4，3），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则
C（4，11
2
），∴AC=4﹣1=3．∵曲线段AB扫过的面积为12（图中的阴影部
分），∴AC?AA′=3AA′=12，∴AA′=4，即将函数y=1
2
（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移4
个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=1
2
（x﹣2）2+5．故答案
为y=0.5（x﹣2）2+5．
点睛：本题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA′是解题的关键．
23．【解析】
分析：根据题意正六边形中心角为120°且其内角为120°．求出两个扇形圆心角，表示出扇形半径即可．
详解：连OA
由已知，M为AF中点，则OM⊥AF
∵六边形ABCDEF为正六边形
∴
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【解析】
分析：根据题意正六边形中心角为120°且其内角为120°．求出两个扇形圆心角，表示出扇形半径即可．
详解：连OA