三角公式汇总
一、任意角的三角函数
在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，
正弦：r y =αsin 余弦：r x
=αcos 正切：x y =αtan 余切：y x =αcot 正割：x r =
αsec 余割：y
r =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，
与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.
二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα. 商数关系：αααcos sin tan =
，α
α
αsin cos cot =. 平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+.
三、诱导公式(总口诀：奇变偶不变，符号看象限)
⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．
锐角时原函数值的符号. （口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵
απ
+2、απ-2、απ+23、απ
-2
3的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．
锐角时原函数值的符号. （口诀：函数名改变，符号看象限）
四、和角公式和差角公式
βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-
βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=
+ β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-
五、二倍角公式
αααcos sin 22sin =
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*
α
α
α2tan 1tan 22tan -=
二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）
αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-
2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-
六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）
ααα2tan 1tan 22sin +=，α
α
α22tan 1tan 12cos +-=，ααα2tan 1tan 22tan -=.
万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．．
来表示.
七、和差化积公式
2
cos 2
sin
2sin sin β
αβ
αβα-+=+ …⑴ 2sin
2cos
2sin sin β
αβ
αβα-+=- …⑵ 2
cos
2cos
2cos cos βαβ
αβα-+=+ …⑶ 2
sin
2
sin
2cos cos β
αβ
αβα-+-=- …⑷
了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：
2sin 2cos 2cos 2sin
22sin sin βαβαβαβαβαβαα-++-+=⎪⎭⎫
⎝⎛-++= 2sin 2cos 2cos 2sin
22
sin sin βαβαβαβαβαβαβ-+--+=⎪⎭⎫
⎝⎛--+= 两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵.
2sin 2sin 2cos 2cos 22
cos cos βαβαβαβαβ
αβαα-+--+=⎪
⎭
⎫
⎝⎛-+
+= 2sin 2sin 2cos 2cos
22cos cos βαβαβαβαβαβαβ-++-+=⎪⎭
⎫
⎝⎛--+= 两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷.
八、积化和差公式
[])sin()sin(2
1
cos sin βαβαβα-++=⋅ [])sin()sin(2
1
sin cos βαβαβα--+=⋅ [])cos()cos(2
1
cos cos βαβαβα-++=
⋅ [])cos()cos(2
1
sin sin βαβαβα--+-
=⋅ 我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用.
九、辅助角公式
)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a （*）
其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，
2
2sin b a b +=
ϕ，2
2cos b a a +=
ϕ，a
b =
ϕtan .
十、sin 与cos 的大小关系图形
x
α
x
十一、不常见的公式
1.3sin 33sin 4sin 4sin(60)sin sin(60)θθθθθθ=-=︒-︒+
3cos34cos 3cos 4cos(60)cos cos(60)θθθθθθ=-=︒-︒+
2.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=- 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-
十二、解三角形之正余弦定理
[基本知识]ABC ∆中：
1. 边边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
2. 角角关系：
180=++C B A
3. 边角关系：①大边对大角，大角对大边：B A b a B A sin sin >⇔>⇔> ②正弦定理：
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===（R 是外接圆的半径） 常见的变形：2sin , 2sin , 2sin sinA ,sin ,sin 2R 22sin sin ,sin sin ,sin sin ::sin :sin :sin a R A b R B c R
C a b c B C R R
a B
b A a C
c A b C c B a b c A B C
===⎧⎪⎪=
==⎪⎨⎪===⎪=⎪⎩ ③余弦定理：222222
2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C
⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩，常见的变形：222
222222
cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪
+-⎪=⎨⎪⎪+-=
⎪⎩
④射影定理：cos cos cos cos cos cos a b C c B
b a C
c A c a B b A =+⎧⎪
=+⎨⎪=+⎩
⑤B A B A B A B A cos cos ,sin sin >⇔<<⇔<
