高中高一数学必修1各章知识点总结
第一章集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素
2、集合的中元素的三个特性：
1.元素的确定性；
2.元素的互异性；
3.元素的无序性
说明：1对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素;
2任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素;
3集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样;
4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性;
3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
2．集合的表示方法：列举法与描述法;
注意啊：常用数集及其记法：
非负整数集即自然数集记作：N
正整数集N或N+整数集Z有理数集Q实数集R
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a是集合A的元素,就说a属于集合A记作a∈A,相反,a不属于集合A记作a A
列举法：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上;
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法;用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法;
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x R|x-3>2}或{x|x-3>2}
4、集合的分类：
1．有限集含有有限个元素的集合
2．无限集含有无限个元素的集合
3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：有两种可能1A是B的一部分,；2A与B是同一集合;
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2．“相等”关系5≥5,且5≤5,则5=5
实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”
结论：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即：A=B
①任何一个集合是它本身的子集;AíA
②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB或BA
③如果AíB,BíC,那么AíC
④如果AíB同时BíA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集;
三、集合的运算
1．交集的定义：一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．
记作A∩B读作”A交B”,即A∩B={x|x∈A,且x∈B}．
2、并集的定义：一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集;记作：A∪B读作”A并B”,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}．
3、交集与并集的性质：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∪A=A,
A∪φ=A,A∪B=B∪A.
4、全集与补集
1补集：设S是一个集合,A是S的一个子集即,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集或余集
记作：CSA即CSA={x|x S且x A}
2全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集;通常用U来表示;
3性质：⑴CUCUA=A⑵CUA∩A=Φ
二、函数的有关概念
1函数的概念：设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=fx,x∈A．其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{fx|x∈A}叫做函数的值域．
注意：2如果只给出解析式y=fx,而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1分式的分母不等于零；2偶次方根的被开方数不小于零；3对数式的真数必须大于零；4指数、对数式的底必须大于零且不等于1.5如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.6指数为零底不可以等于零6实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域;
构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
再注意：1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等或为同一函数2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关;相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致两点必须同时具备
见课本21页相关例2
值域补充
1、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.2.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础;
3.函数图象知识归纳
1定义：在平面直角坐标系中,以函数y=fx,x∈A中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点Px,y 的集合C,叫做函数y=fx,x∈A的图象．
C上每一点的坐标x,y均满足函数关系y=fx,反过来,以满足y=fx的每一组有序实数对x、y为坐标的点x,y,均在C上.即记为C={Px,y|y=fx,x∈A}
图象C一般的是一条光滑的连续曲线或直线,也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成;
2画法
A、描点法：根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以x,y为坐标在坐标系内描出相应的点Px,y,最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法请参考必修4三角函数
常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变
3作用：
1、直观的看出函数的性质；
2、利用数形结合的方法分析解题的思路;提高解题的速度;发现解题中的错误;
4．快去了解区间的概念
1区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；2无穷区间；3区间的数轴表示．
5．什么叫做映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映像;记作“f：AB”
给定一个集合A到B的映像,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
说明：函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说,则应满足：Ⅰ集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的；Ⅱ集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个；Ⅲ不要求集合B中的每一个元素在集合A 中都有原象;
常用的函数表示法及各自的优点：
1函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2解析法：必须注明函数的定义域；3图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4列表法：选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征．
注意啊：解析法：便于算出函数值;列表法：便于查出函数值;图象法：便于量出函数值
补充一：分段函数参见课本P24-25
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数;在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式;分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况．1分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数；2分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集．补充二：复合函数
如果y=fu,u∈M,u=gx,x∈A,则y=fgx=Fx,x∈A称为f、g的复合函数;
例如:y=2sinXy=2cosX2+1
7．函数单调性
1．增函数
设函数y=fx的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有fx1<fx2,那么就说fx在区间D上是增函数;区间D称为y=fx的单调增区间睇清楚课本单调区间的概念
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有fx1＞fx2,那么就说fx在这个区间上是减函数.区间D称为y=fx的单调减区间.
注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质；
2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2；当x1<x2时,总有fx1<fx2;
2图象的特点
如果函数y=fx在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=fx在这一区间上具有严格的单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
3.函数单调区间与单调性的判定方法
A定义法：
1任取x1,x2∈D,且x1<x2；2作差fx1－fx2；3变形通常是因式分解和配方；4定号即判断差fx1－fx2的正负；5下结论指出函数fx在给定的区间D上的单调性．
B图象法从图象上看升降_
C复合函数的单调性
函数的单调性
注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗
8．函数的奇偶性
1偶函数
一般地,对于函数fx的定义域内的任意一个x,都有f－x=fx,那么fx就叫做偶函数．
2．奇函数
一般地,对于函数fx的定义域内的任意一个x,都有f－x=—fx,那么fx就叫做奇函数．
注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数;
2由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则－x也一定是定义域内的一个自变量即定义域关于原点对称．
3具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称；2确定f－x与fx的关系；3作出相应结论：若f－x=fx或f－x－fx=0,则fx是偶函数；若f－x=－fx或f－x＋fx=0,则fx是奇函数．
注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,1再根据定义判定;2有时判定f-x=±fx比较困难,可考虑根据是否有f-x±fx=0或fx/f-x=±1来判定;3利用定理,或借助函数的图象判定.
9、函数的解析表达式
1.函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
2.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法；已知复合函数fgx的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时,也可用凑配法；若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出fx
10．函数最大小值定义见课本p36页
1利用二次函数的性质配方法求函数的最大小值2利用图象求函数的最大小值3利用函数单调性的判断函数的最大小值：如果函数y=fx在区间a,b上单调递增,在区间b,c上单调递减则函数y=fx 在x=b处有最大值fb；如果函数y=fx在区间a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增则函数y=fx在x=b处有最小值fb；
第二章基本初等函数
一、指数函数
一指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地,如果,那么叫做的次方根nthroot,其中>1,且∈．
当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数．此时,的次方根用符号表示．式子叫做根式radical,这里叫做根指数radicalexponent,叫做被开方数radicand 当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数．此时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号－表示．正的次方根与负的次方根可以合并成±>0．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作;
注意：当是奇数时,,当是偶数时,
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定：
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
指出：规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
二指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地,函数叫做指数函数exponential,其中x是自变量,函数的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1．
图象特征
函数性质
1.向x、y轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
2.图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
3.函数图象都在x轴上方
4.函数的值域为R+
5.函数图象都过定点0,1
6.自左向右看图象逐渐上升自左向右看,图象逐渐下降
图象上升趋势是越来越陡
图象上升趋势是越来越缓
函数值开始增长较慢,到了某一值后增长速度极快；
函数值开始减小极快,到了某一值后减小速度较慢；
注意：利用函数的单调性,结合图象还可以看出：
1在a,b上,值域是或；
2若,则；取遍所有正数当且仅当；
3对于指数函数,总有；
4当时,若,则；
二、对数函数
一对数
1．对数的概念：一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作：—底数,—真数,—对数式
两个重要对数：
1常用对数：以10为底的对数；
2自然对数：以无理数为底的对数的对数．
二对数函数
1、对数函数的概念：函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是0,+∞．
注意：1对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别;
图象特征,函数性质
1.函数图象都在y轴右侧
函数的定义域为0,＋∞
2.图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
3.向y轴正负方向无限延伸
函数的值域为R
4.函数图象都过定点1,0
自左向右看,图象逐渐上升,自左向右看,图象逐渐下降
三幂函数
1、幂函数定义：一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数．
2、幂函数性质归纳．
1所有的幂函数在0,+∞都有定义,并且图象都过点1,1；
2时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数．特别地,当时,幂函数的图象下凸；当时,幂函数的图象上凸；
3时,幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
第三章函数的应用
、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点;
2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标;即：
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3、函数零点的求法：
求函数的零点：
1代数法求方程的实数根；
2几何法对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数．
1△＞0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点．
2△＝0,方程有两相等实根二重根,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点．
高一数学必修4
3△＜0,方程无
⎧⎪
⎨⎪⎩
正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角．
第一象限角的集合为{}
36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z
第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z
终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z
3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z
4、已知α是第几象限角,确定
()*
n n
α
∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限对应的标号
即为n
α
终边所落在的区域．
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．
6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l
r α=．
7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=,1180π
=
,180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭
． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则
l r α=,2C r l =+,211
22
S lr r α==．
9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是()
0r r =>,则
sin y r α=,cos x r α=,()tan 0y
x x
α=≠．
10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正．
11、三角函数线：sin α=MP ,cos α=OM ,tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=
()2
222sin
1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()
sin 2tan cos α
αα
= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛
⎫== ⎪⎝⎭
．
13、三角函数的诱导公式：
()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-．
口诀：函数名称不变,符号看象限．
()5sin cos 2π
αα⎛⎫-=
⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
． ()6sin cos 2π
αα⎛⎫+=
⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
． 口诀：奇变偶不变,符号看象限．
14、函数sin y x =的图象上所有点向左右平移ϕ个单位长度,得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长缩短到原来的
1
ω
倍纵坐标不变,得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长缩短到原来的A 倍横坐标不变,得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长缩短到原来的
1
ω
倍纵坐标不变,得到函数 sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左右平移
ϕ
ω
个单位长度,得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长缩短到原来的A 倍横坐标不变,得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2π
ω
T =
；③频率：12f ωπ
=
=T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．
函数()sin y x ωϕ=A ++B ,当1x x =时,取得最小值为min y ；当2x x =时,取得最大值为max y ,
则()max min 12y y A =
-,()max min 12y y B =+,()21122
x x x x T
=-<． 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
图象
定义域 值域
最值
当22
x k π
π=+
()
k ∈Z 时,max 1y =；当
22
x k π
π=-
()k ∈Z 时,min 1y =-．
当()2x k k π=∈Z 时,
max 1y =；当2x k ππ=+
()k ∈Z 时,min 1y =-．
既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在2,222k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦
()k ∈Z 上是增函数；在 ()k ∈Z 上是减函数．
在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在
[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数．
在,22k k ππππ⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭
()k ∈Z 上是增函数．
对称性
对称中心()(),0k k π∈Z
对称轴
()2
x k k π
π=+
∈Z
对称中心
(),02k k ππ⎛
⎫+∈Z
⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z
对称中心
(),02k k π⎛⎫
∈Z ⎪⎝⎭
无对称轴
16、向量：既有大小,又有方向的量．
数量：只有大小,没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．
单位向量：长度等于1个单位的向量．
平行向量共线向量：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：
函 数 性 质
a b a b a b -≤+≤+．
⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()
a b c a b c ++=++；③
00a a a +=+=．
⑸坐标运算：设()11,a x y =,()22,b x y =,则
()1212,a b x x y y +=++．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点,连终点,方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =,()22,b x y =,则
()1212,a b x x y y -=--．
设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算：
⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ． ①a a λλ=；
②当0λ>时,a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时,a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时,0a λ=．
⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()
a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =,则()(),,a x y x y λλλλ==．
20、向量共线定理：向量()
0a a ≠与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ=． 设()11,a x y =,()22,b x y =,其中0b ≠,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、()
0b b ≠共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+．不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底
22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点,1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ,()22,x y ,当
12λP P =PP 时,点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫
⎪++⎝⎭
． 23、平面向量的数量积：
⑴()
cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．
⑵性质：设a 和b 都是非零向量,则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时,a b a b ⋅=；当a 与b 反向时,a b a b ⋅=-；22a a a a ⋅==或a a a =⋅．③a b a b ⋅≤．
⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()
a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =,()22,b x y =,则1212a b x x y y ⋅=+． 若(),a x y =,则222a x y =+,或2a x y =+
设()11,a x y =,()22,b x y =,则12120a b x x y y ⊥⇔+=．
设a 、b 都是非零向量,()11,a x y =,()22,b x y =,θ是a 与b 的夹角,则12
1cos x x a b
a b x θ⋅==+．
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；
⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；
⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；
⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；
⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ
--=+()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=
-()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-． 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴sin22sin cos ααα=． ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-2cos 21cos 2αα+=,21cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα
=-．
26、()sin cos αααϕA +B =+,其中tan ϕB =
A ． 实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点．
特殊几何体表面积公式c 为底面周长,h 为高,为斜高,l 为母线柱体、锥体、台体的体积公式
球体的表面积和体积公式：V=；S=
空间点、直线、平面之间的位置关系1平面含义：平面是无限延展的2三个公理：1公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.符号表示为A ∈LB ∈L=>LαA∈αB∈α公理1作用：判断直线是否在平面内.
2公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面;符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α,使A∈α、B∈α、C∈α;公理2作用：确定一个平面的依据;
3公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线;符号表示为：P∈α∩β=>α∩β=L,且P∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内,有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内,没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点;2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行;符号表示为：设a、b、c是三条直线a ∥bc∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用;公理4作用：判断空间两条直线平行的依据;
3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
4注意点：①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为了简便,点O一般取在两直线中的一条上；
②两条异面直线所成的角θ∈0,；
③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b；
④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角;
—空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：1直线在平面内——有无数个公共点
2直线与平面相交——有且只有一个公共点
3直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用aα来表示aαa∩α=Aa∥α
.直线、平面平行的判定及其性质
直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;
简记为：线线平行,则线面平行;
符号表示：aαbβ=>a∥αa∥b
平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行;符号表示：aβbβa∩b=Pβ∥αa∥αb∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：1用定义；2判定定理；3垂直于同一条直线的两个平面平行;
—∥αaβa∥bα∩β=b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题;
2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行;符号表示：α∥βα∩γ=aa∥bβ∩γ=b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行直线、平面垂直的判定及其性质
⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面;如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足;
PaL2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;
注意点：a定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想;
梭lβBα2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直;
—
2、两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直;第三章直线与方程1直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角;特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度;因此,倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
2直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率;直线的斜率常用k表示;即;斜率反映直线与轴的倾斜程度;当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.当时,；当时,；当时,不存在;②过两点的直线的斜率公式：P1x1,y1,P2x2,y2,x1≠x2
注意下面四点：1当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°；2k与P1、P2的顺序无关；
3以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
4求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到;
3直线方程
①点斜式：直线斜率k,且过点注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1;当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1;
②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b。
