求数列极限的方法总结
摘 要 数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法。
关键词 数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量
极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。 1.定义法
利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn ﹜是一个数列,a 是实数,如果对任意给定的ε〉0,总存在一个正整数N ，当n 〉N 时,都有a Xn -<ε,我们就称a 是数列{Xn}的极限.记为a Xn n =∞
→lim .
例1: 按定义证明0!
1lim
=∞
→n n .
解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n 令1/n<ε,则让n>ε
1
即可,
存在N=[ε
1
],当n>N 时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n<ε成
立,
所以0!
1lim
=∞
→n n .
2.利用极限四则运算法则
对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则. 例2: 求n
n n b
b b a a a ++++++++∞
→ 22
11lim
,其中1,1<
解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限
b
b
b
b b a
a
a
a a n n
n n
--=
++++--=
++++++111,1111
21
2
,
原式=a
b b
a
b
b
a
a
n n n n --=
--=----+∞
→+∞→111111
11lim
11lim
1
1
,
3. 利用夹逼性定理求极限
若存在正整数N,当n>N 时,有Xn ≤Yn ≤Zn,且a Zn Xn n n ==∞
→∞
→lim lim ,则有
a
Yn n =∞
→lim .
例3:求{
2
1n
n +}的极限.
解: 对任意正整数n,显然有 n
n
n n
n n 22112
2
=
≤+<
,
而
01→n
,02→n
,由夹逼性定理得 01lim
2
=+∞
→n
n n .
4．换元法
通过换元将复杂的极限化为简单. 例4.求极限2
1lim +-∞
→n n
n a a ，此时
解：若
有
，令
则
5.单调有界原理 例5.证明数列
有极限，并求其极限。
证： 令
，易知｛｝递增，且
我们用归纳法证明 ≤2. 显然
。
若≤２ 则
。
故由单调有界原理｛｝收敛，设→ ，则在 中两
边取极限得 即
解之得 =２ 或 =-１ 明显不合要求，舍去，
从而
6.先用数学归纳法,再求极限. 例6:求极限n
n n 2642)
12(531lim
⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∞
→
解:1
2121
26543210+<
-⋅⋅⋅⋅n
S=n
n 21
2654321-⋅⋅⋅⋅
设*S =1
225432+⋅⋅⋅n n
则有S<*S
S 2
=S*S而1210+<21
lim =+∞
→n n 再由夹逼性定理,得
n
n n 2642)
12(531lim ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∞→ =0
7.利用两个重要极限1sin lim 0
=→x
x x ,e
x
x
x =+
+∞
→)
11(lim .
例7:求x
x x
)
21(lim +
+∞
→
解: 原式=222)1
1()21(lim e e e x
x
x
x
x =⋅=+⋅++∞
→
8.利用等价无穷小来求极限
将数列化成自己熟悉的等价无穷小的形式然后求极限. 例8:求1
1sin 1lim 2
--++
→x
x e
x x
解:当0→x 的时候,0sin →x x ,2
sin ~
1sin 1x x x x -+.
而此时,2~12
x e x -,所以
原式=2
12sin lim
2
=
→x
x x x
9.用洛必达法则求极限.适用于型
和∞∞0
例9:求2
cos 1lim
x
x x -→
解: 是
待定型.
2
0cos 1lim
x
x
x -→=2
12sin lim
=
→x
x x
10.积分的定义及性质 例10:求)0(32
1lim
1
>++++++∞
→p n n
p p
p
p
p
n
解: )0(32
1lim
1
>++++++∞
→p n
n p p p p
p
n =∑
=+∞
→n
i p n n
i n
1
)(1lim
设p x x f =)(,则)(x f 在[0,1]内连续, ],1[
,1n
i
n i n i n x i i -∈=
=
∆ξ取 所以, p i n
i f )()(=ξ
所以原式=1
11
+=
⎰p dx x p
11.级数收敛的必要条件.
设,,1
1
是收敛的再证
等于所求极限的表达式
∑∑∞
=∞
=n n
n n u
u 据必要条件知所求表达式的
极限为0. 例11:求n
n n
n!lim
+∞
→
