Banach 空间中常微分方程解的存在唯一性定理魏婷婷(天水师范学院 数学与统计学院,甘肃,天水,741000)摘要: 在Banach 空间中, 常微分方程解的存在唯一性定理中},1min{M b L h =,初值问题的解)(t y 的变量t 在h t t h t +≤≤-00上变化,把t 的变化范围扩大为Mbt t Mbt +≤≤-00,为此给出t 变化范围后的Banach 空间中常微分方程解的存在唯一性定理,并对定理给予明确的证明.关键词: 存在唯一;常微分方程;数学归纳法;皮卡逐步逼近法;Banach 空间引言常微分方程解的存在唯一性定理明确地肯定了在一定条件下方程的解的存在性和唯一性,它是常微分方程理论中最基本且实用的定理,有其重大的理论意义,另一方面,它也是近似求解法的前提和理论基础.对于人们熟知的Banach 空间中常微分方程解的存在唯一性定理,解的存在区间较小, 只限制在一个小的球形邻域内,(球形邻域的半径若为δ,还需满足1<δL ,且解只在以0y 为中心以δ为半径的闭球δδ≤-∈=00)(y y X y y B 存在唯一,其中X 是Banach 空间)因此在应用过程中受到了一定的限制.如今我们尝试扩大了解的存在范围,从而使此重要的定理今后有更加广泛的应用.1 预备定理我们给出Banach 空间中常微分方程解的存在唯一性定理如下设X 是Banach 空间, X U ⊂是一个开集. X U f →:上关于y 满足利普希茨)(Lipschitz 条件,即存在常数0>L ,使得不等式2121),(),(y y L y t f y t f -≤-,对于所有U y y ∈21,都成立.取U y ∈0,在U 内,以0y 为中心作一个半径为b 的闭球b y y X y y B b ≤-∈=00)(,对所有的)(0y B y b ∈都成立,且有M y f ≤)(,取},1min{Mb L h =,则存在唯一的1C 曲线)(t y ,使得在h t t h t +≤≤-00上满足)(0y B y b ∈,并有),(y t f y =',00)(y t y =.2 结果与证明笔者通过改进对h 的限制,即仅取Mb h =,预备定理仍然成立,从而使定理的应用进一步广泛.2.1改进条件后的定理定理 假设条件同上预备定理,设初值为),(00y t ,则存在唯一的1C 曲线)(t y ,对任意的Mbt t Mbt +≤≤-00,满足)(0y B y b ∈,且使得),(y t f y =',00)(y t y =.显然可有],[],[0000Mbt M bt h t h t +-⊂+-,且},1min{MbL h =.2.2定理的证明证明 证明过程中我们利用皮卡)(Picard 逐步逼近法.为了简单起见,只就区间00t t Mbt ≤≤-进行讨论,对于区间Mbt t t +≤≤00的讨论完全一样.2.2.1定理证明的思想现在先简单叙述一下运用皮卡逐步逼近法证明的主要思想. 首先证明条件),(y t f y =',00)(y t y =等价于求积分方程dt y t f y t y t t ),()(00⎰+=.(1)再证明积分方程的解的存在唯一性.任取一个)(0t y 为连续函数,将它代入方程(1)的右端),(y t f ,可得到函数dt y t f y t y t t ),()(0010⎰+=,显然,)(1t y 也为连续函数.若)()(01t y t y =,则可知)(0t y 就是方程(1)的解.若不然,我们又把)(1t y 代入积分方程(1)的右端),(y t f ,可得到函数dt y t f y t y t t ),()(1020⎰+=.若)()(12t y t y =,则可知)(1t y 就是方程(1)的解.若不然,我们如此下去,可作连续函数,dt y t f y t y n t t n ),()(100-⎰+=. (2)这样就得到连续函数列),(,),(),(),(210t y t y t y t y n若)()(1t y t y n n =+,那么)(t y n 就是积分方程的解,如果始终不发生这种情况,我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数)(t y ,即)()(lim t y t y n n =∞→存在,因而对(2)式两边取极限时,就得到dt y t f y dt y t f y dt y t f y t y t t n n t t n t t n n n ⎰⎰⎰+=+=+=-∞→-∞→∞→),(),(lim ),(lim )(lim 00001010,即dt y t f y t y t t ),()(00⎰+=,这就是说,)(t y 是积分方程的解.在定理的假设条件下,以上的步骤是可以实现的. 2.2.2定理证明的步骤下面我们分五个命题来证明定理.命题1 设)(t y y =是),(y t f y ='的定义于区间00t t Mbt ≤≤-上,满足初值条件00)(y t y = (3) 的解,则)(t y y =是积分方程dt y t f y t y t t ),()(00⎰+=定义于00t t M b t ≤≤-上的连续解,反之亦然.证明 因为)(t y y =是方程),(y t f y ='的解,故有),()(y t f dtt dy =. 对上式两边从0t 到t 取定积分得到dt y t f t y t y t t ⎰=-),()()(00,00t t M b t ≤≤-,把(3)式代入上式,即有dt y t f y t y t t ⎰+=),()(00,00t t M b t ≤≤-. (4)因此, )(t y y =是(4)的定义于00t t Mbt ≤≤-上的连续解.反之,如果)(t y y =是(4)的连续解, dt y t f y t y t t ⎰+=),()(00,00t t M b t ≤≤-.微分之,得到),()(y t f dtt dy =. 又把0t t =代入(4)式,得到00)(y t y =,因此, )(t y y =是方程),(y t f y ='的定义于区间00t t Mbt ≤≤-,且满足初值条件(3)的解.命题1证毕.现在取00)(y t y =,构造皮卡逐步逼近函数序列如下⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤-+==⎰-),2,1(,),()()(0010000 n t t M b t dt y t f y t y y t y n t t n(5) 命题2 对于所有的n ,(5)中函数)(t y n 在00t t Mb t ≤≤-上有定义,连续且满足不等式b y t y n ≤-0)(.证明 用数学归纳法可以证明,如下)()(0y B t y b n ∈,对于任意N n ∈,00t t Mbt ≤≤-,当1=n 时, ξξd y f y t y t t ),()(0010⎰+=,显然)(1t y 在00t t Mb t ≤≤-上有定义,连续且有b t t M d y f d y f y t y t t t t ≤-≤≤=-⎰⎰)(),(),()(0000100ξξξξ.设当k n =时有)()(0y B t y b k ∈,也即)(t y k 在00t t Mbt ≤≤-上有定义,连续且满足不等式b y t y k ≤-0)(,这时ξξd y f y t y k t t k ),()(001⎰+=+.由假设,命题2当k n =时成立,则可知)(1t y k +在00t t Mb t ≤≤-上有定义,连续且有当1+=k n 时b t t M d y f d y f y t y k t t k t t k ≤-≤≤=-⎰⎰+)(),(),()(00100ξξξξ,即命题2当1+=k n 时也成立,从而得知命题2对于所有的n 均成立.命题2证毕.命题3 函数序列)}({t y n 在00t t Mb t ≤≤-上是一致收敛的.证明 我们考虑级数∑∞=--+110)]()([)(k k k t y t y t y ,00t t Mbt ≤≤-,(6)(6)式级数的部分和为)()]()([)(110t y t y t y t y n nk k k =-+∑=-,因此,要证明函数序列)}({t y n 在00t t Mbt ≤≤-上一致收敛,我们仅证明级数(6)在00t t Mbt ≤≤-上一致收敛.因此,我们可进行如下计算,由)(),(),()(0000100t t M d y f d y f y t y t t t t -≤≤=-⎰⎰ξξξξ, (7)及ξξξd y f y f t y t y t t ⎰-≤-),(),()()(01120,利用利普希茨)(Lipschitz 条件及(7)式可知对于任意的n 为正整数,不等式n n n n t t n ML t y t y )(!)()(011-≤---成立. 则由利普希茨条件,当00t t Mbt ≤≤-时,有为此,由数学归纳法可知,对于所有的正整数k ,可有如下的式子成立,k k k k t t k ML t y t y )(!)()(011-≤---,00t t M b t ≤≤-.因此可有,当k k kk k k M b k ML t t k ML t y t y )(!)(!)()(1011---≤-≤-, (8) (8)式右端为收敛的正项级数∑∞=-11)(!k k k M bk ML 的一般项. 由魏尔斯特拉斯)(s Weierstras 判别法,级数(6)在00t t Mb t ≤≤-上是一致收敛的,因此序列)}({t y n 也在00t t Mbt ≤≤-上一致收敛,命题3证毕.现设)()(lim t y t y n n =∞→,为此)(t y 也在00t t Mbt ≤≤-上连续,且由命题2又可知b y t y ≤-0)(,命题4 )(t y 是积分方程dt y t f y t y t t ),()(00⎰+=的定义在区间00t t M b t ≤≤-上的连续解.证明 由利普希茨条件)()(),(),(t y t y L y t f y t f n n -≤-以及)}({t y n 在2000112)(!2)()()()()(0t t ML d t M L d y y L t y t y t t t t -=-≤-≤-⎰⎰ξξξξξ100111)()!1()(!)()(),(),()()(000+--+-+=-≤-≤-≤-⎰⎰⎰n nnt t n n n t t n n t t n n t t n ML d t n ML d y y L d y f y f t y t y ξξξξξξξξ00t t Mbt ≤≤-上一致收敛于)(t y ,且函数列)}({t y n 逐项连续,即知序列))}(({t y f n 在00t t Mbt ≤≤-上一致收敛于))((t y f .因而对(5)式两边取极限,得到ξξξξd y f y d y f y t y n n t t n t t n n n ),(lim ),(lim )(lim 101000-∞→-∞→∞→⎰⎰+=+=即ξξd y f y t y t t ),()(00⎰+=,这就是说, )(t y 是积分方程dt y t f y t y t t ),()(00⎰+=的定义于00t t Mbt ≤≤-上的连续解.命题4证毕.命题5 (证明解的唯一性)设)(t x 是积分方程dt y t f y t y t t ),()(00⎰+=定义于00t t Mbt ≤≤-上的另一个连续解,则)()(t x t y =,00t t Mbt ≤≤-.证明 现在我们证明)(t x 也是序列)}({t y n 的一致收敛极限函数.为此,从00)(y t y =,.),()(100ξξd y f y t y n t t n ⎰-+= )1(≥n ,ξξd x f y t x t t ),()(00⎰+=,可以进行如下的估计,)(),(),()()(0000t t M d x f d x f t x t y t t t t -≤≤=-⎰⎰ξξξξ200001)(!2)()()(),(),()()(000t t MLd t ML d x y L d x f y f t x t y t t t t t t -=-≤-≤-≤-⎰⎰⎰ξξξξξξξξ现在我们可以假设n n n t t n ML t x t y )(!)()(011-≤---,则有 .)()!1()(!)()(),(),()()(10011000+---+=-≤-≤-≤-⎰⎰⎰n nnt t n n t t n t t n t t n ML d t n ML d x y L d x f y f t x t y ξξξξξξξξ故由数学归纳法得知,对于所有的正整数n ,有下面的估计式10)()!1()()(+-+≤-n nn t t n ML t x t y ,于是我们可知在00t t Mbt ≤≤-上有110)()!1()()!1()()(+++≤-+≤-n n n n n Mb n ML t t n ML t x t y , (9)1)()!1(++n n M b n ML 是收敛级数的公项,且当∞→n 时, 0)()!1(1→++n n Mb n ML . 因而)}({t y n 在00t t Mbt ≤≤-上一致收敛于)(t x .根据极限的唯一性,即可知)()(t x t y =,00t t Mbt ≤≤-.命题5证毕.综合命题1～5,即得到Banach 空间中常微分方程解的存在唯一性定理的证明. 例题 求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)1(22y yt dtdy 其中R :[]0,2-∈t ,[]1,1-∈y 的解的存在区间,并求第二次近似解,给出在解的存在区间的误差估计.解 ()4),(max ,==∈y t f M Ry t则利用本文的结果41==Mbh , 在R 上函数22),(y t y t f -=的利普希茨常数可取2=L ,因为L y yf=≤-=∂∂22. 0)(0=t y ,313))(()(220211+=-=⎰-t d y t y t ξξξ,4211631893))(()(74321212+---=-=⎰-t t t t d y t y t ξξξ.在本文的估计式(9)中令)()(t y t x =,则有误差估计式110)()!1()()!1()()(+++≤-+≤-n n n n n Mb n ML t t n ML t y t y ,从而可得241)41(!324)()(322=⨯⨯≤-t y t y .利用本文结果,初值问题解的存在区间为Mbt t Mbt +≤≤-00为此将10-=t ,41=Mb代入上式,可得解的存在区间为4345-≤≤-t ; 第二次近似解为42116318937432+---=t t t t y ;在解的存在区间的误差估计为2412≤-y y . 结束语在Banach 空间中,通过运用皮卡的逐步逼近法,从证明解的存在性,到解的唯一性,采用严密的逻辑推理和理论证明,得到扩大解的存在区间后Banach 空间中常微分方程解的存在唯一性定理,从而使定理更加实用.当然,展望未来,我们还可以利用所得到的结果进一步作为探究其他问题的可靠性依据.参考文献[1] 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松,编.常微分方程[M].北京：高等教育出版社,2006.[2] 郭大均,孙经先.抽象空间常微分方程[M].济南:山东科学技术出版社,2003.[3] 王兴涛,编.常微分方程[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2004.[4] 邓海荣,马兆丰.Banach空间中常微分方程解的存在唯一性定理的注[J].扬州大学学报:自然科学版,2007,10（1）: 1～3.[5] 房琦贵.关于常微分方程解的存在唯一问题的讨论[J].高校讲坛,2010.[6] 王声望,郑伟行,编.实变函数与泛函分析概要[M].北京：高等教育出版社,2005.如不慎侵犯了你的权益，请联系告知！致谢在完成终稿的今天,在敲完最后一个句号的时刻,我的思想同周围凝固的热气一样停驻了,不知道是慰藉还是悲伤,大学四年的生活就这样结束了,而眼前的路还很长,虽然似乎有些迷茫,但我必须整理心情,背上行囊,坚定的踏上新的征程……我要感谢,非常感谢我的指导老师何老师.在忙碌的教学工作中挤出时间来审查修改我的论文,循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪.他为人随和热情﹑治学严谨细心﹑广博的学识﹑深厚的学术素养,在论文的写作和措辞等方面他也总会以专业标准严格要求,从选题﹑定题﹑开始,一直到论文的反复修改,何老师始终认真负责地给予我深刻而细致地指导,帮助我开拓研究思路,精心点拨﹑热忱鼓励.正是何老师的无私帮助与热忱鼓励,我的毕业论文才能够得以顺利完成,谢谢何老师.再次,我还要认真地谢谢我身边所有的朋友和同学,你们对我的关心﹑帮助和支持是我不断前进的动力之一,我的大学生活因为有你们而更加精彩.最后,向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位专家表示衷心地感谢!（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
