第二章状态空间模型

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2.2.2 由系统的动态方程求微分方程模型
例2.3 已知弹簧-阻尼器系统的状 态空间模型如下：
x1 = x2
x 2
=− K M
x1
−
f M
x2
+
1 M
F
y = x1
消去状态变量即可得微分方程：
y + f y + K y = 1 F MM M
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第二章 状态空间数学模型
ψ j 是线性或非线性函数。
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第二章 状态空间数学模型
2.1 状态与状态空间的概念 2.2 系统的状态空间模型 2.3 线性系统的状态空间模型与线性变换 2.4 控制系统的实现 2.5 多变量系统的传递矩阵 2.6 控制系统的离散状态空间模型
2.2.1 状态空间模型的建立 2.2.2 由动态方程转换为微分方程模型
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现代控制理论的学习内容及时间安排
1、绪论（2时） 2、状态空间数学模型（7时） 3、控制系统的稳定性分析（6时） 4、线性系统的动态性能分析（6时） 5、线性系统的能控性和能观性分析（7时） 6、状态反馈设计与观测器（2时） 7、线性二次型最优控制（2时，备选） 8、习题课（2时）
=−
= R1 L2
=
1 C
R1 L1
i1
i2
i1
+
R1 L1
i2
+
1 L1
u
− i − u R1+R2 L2 2
1 L2 c
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写出相应的状态方程
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2.2.1 系统状态空间模型的建立
令 x1
=
i1、 x 2
=
i2、 x 3
=
u
，
c
则系统的状态方程为：
⎡ x1 ⎤
⎢ ⎢
x
2
⎥ ⎥
2.2.1 系统状态空间模型的建立
2）根据基尔霍夫定律，列写2个回路的方程：
L1
di1 dt
+
(i1
−
i2 ) R1
=
uc
L2
di2 dt
+ (i2
− i1 ) R1
+ i2 R2
+ uc
=
0
C
duc dt
= i2
整理得：
如何选取状态 变量？？
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
di1 dt
di2 dt
duc dt
xi = fi (x1, x2 ,", xn;u1, u2 ,", um ), i = 1, 2,..., n
fi 是线性或非线性函数。
输出方程：在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之 间的函数关系。反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因 果关系。方程形式如下：
yj =ψ j (x1, x2,", xn;u1,u2,",um), j =1,2,..., p
问题：若系统的结构和参数未知，如何建模呢？
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2.2.1 系统状态空间模型的建立
例2.1：求图示RLC回路的状态空间表达式
分析如下系统：
方法：
1、根据物理定律建立系统的物理模型。
2 选择系统中储能元件的输出作为状态变量，将物理模型 转化为状态方程和输出方程。
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⎡ x1(t)⎤
X(t)
=
⎢ ⎢
#
⎥ ⎥
的关系？
或： X T (t) = [ x1(t), x2(t)..., xn(t)]
⎢⎣ xn(t)⎥⎦
状态空间：以状态变量x1(t), x2(t),..., xn(t)为坐标轴所构成的
n维空间。在某一特定时刻t ，状态向量X (t) 是状态空间的一个
点。
状态轨迹：以 X (t) = X (t0 ) 为起点，随着时间的推移， X (t) 在
y(t)
=
y(t0 ) + v(t0 )t
+1 2
f (t) t2 m
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2.1 状态与状态空间的概念
状态：是描述系统运动行为的一些信息集合，在已知 未来外部输入的情况下，这些信息对于确定系统未来的行 为是充分且必要的。
状态变量：指足以完全描述系统运动行为的最小变量组。
完全描述：如果给定了t=to时刻这组变量值，和 t>=to时输入
n×n维系统矩阵,表征各状态变量间的关系
⎢⎣an1 an2 " ann⎥⎦
⎡b11 b12 " b1r ⎤
B
=
⎢ ⎢
b21
⎢#
b22 #
"
b2 #
r
⎥
⎥Hale Waihona Puke Baidu⎥
,
⎢ ⎣
bn1
bn2
"
bnr
⎥ ⎦
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n × r维输入矩阵, 表征输入对每个变量的作用
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2.3.1 线性系统的状态空间模型 y(t) = C(t) x(t) + D(t)u(t)
然是不独立的，可以根据其中两个量吗确？定
另外一个量，因此这个量对于描述系2统、状动态行为规律？
态是多余的。
可选择物体在某一时刻的位移及速度为 弹簧-阻尼器系统在某一时刻的状态。
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2.1 状态与状态空间的概念
状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状 态方程。反映系统中状态变量和输入变量的因果关系，也反映 每个状态变量对时间的变化关系。方程形式如下：
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2.3.1 线性系统的状态空间模型
线性系统的状态空间表达式
x (t ) = A (t ) x (t ) + B (t ) u (t ) y(t) = C (t) x (t) + D (t)u(t)
可记为 ∑ ( A(t), B(t), C (t), D(t))
其中：
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[ ] x = x1 x2 " xn T , n × 1维 状态向量
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
u
y
=
⎡1 ⎢⎣0
0 1
0 0
0⎤ 0⎥⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
x1 x2 x3
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
C
⎣x4 ⎦
SIMO系统， 四个储能元件 四个状态变量
问题：上述描述是否是唯一的？
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2.2.1 系统状态空间模型的建立
从上述例题可以看出： （1） 状态变量的选择不唯一，因此状态方程也不唯一
输出 例：比例放大器
输入 初始状态
微分方程 输出 例：带有储能元件的电路
动态系统或 动力学系统
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L di(t) = u(t) dt
∫ i(t) = 1
L
t t0
u(τ )dτ
+
I0
ma = md2y(t) = mdv(t) = f (t)
dt2
dt
v(t)
=
f (t) m
t
+
v(t0)
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第二章 状态空间数学模型
2.1 状态与状态空间的概念 2.2 系统的状态空间模型 2.3 线性系统的状态空间模型与线性变换 2.4 控制系统的实现 2.5 多变量系统的传递矩阵 2.6 控制系统的离散状态空间模型
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2.1 状态与状态空间的概念
两类系统：
输入 代数方程
现代控制理论 (Modern Control Theory )
第二章 状态空间数学模型
教材：王万良，现代控制工程，高等教育出版社，2011
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第1章 绪 论
控制科学的重要性√
控制理论的产生与发展
现代控制理论的研究内容√ 现代控制理论与经典控制理论的对比√
现代控制理论的应用与挑战
现代控制理论的课程要求和评价方式√
B
y = [0 0
C
⎡ x1 ⎤
1]
⎢ ⎢
x
2
⎥ ⎥
⎢⎣ x 3 ⎥⎦
此为SISO系统， 状态变量与系统 的储能元件个数相同
问题：上述描述是否是唯一的？
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2.2.1 系统状态空间模型的建立
[例 2.2 ] 试列出在外力f作用下，以质量M1、M2 的位移y1 和y2 为输出的动态方程。
m × r维前馈矩阵, 又称为直接转移矩阵 表征输入对输出的直接传递关系 通常D＝0
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2.3.1 线性系统的状态空间模型
状态方程的通式为：
x1 = a11 x1 + a12 x2 + " + a1n xn + b11u1 + b12u2 + " + b1rur x2 = a21 x1 + a22 x2 + " + a2n xn + b21u1 + b22u2 + " + b2rur # xn = an1x1 + an2 x2 + " + ann xn + bn1u1 + bn2u2 + " + bnrur
u = [u1 u2 " ]ur T , r ×1维输入向量 [ ] y = y1 y2 " ym T , m × 1维输出向量
22
2.3.1 线性系统的状态空间模型
x (t) = A(t) x(t) + B(t)u(t)
⎡a11 a12 " a1n⎤
A
=
⎢⎢a21 ⎢#
a22 #
"
a2n #
⎥ ⎥, ⎥
u1
y1
u2
状态变量
y2
ur
（x1,x2,…,xn）
ym
Fig.1 MIMO 系统
系统的完全描述 “动态方程”
状态空间模型表达式
⎧状态方程：x (t) ⎨⎩输出方程：y(t)
=f
=ψ
( x(t), ( x(t),
u(t), u(t),
t) t)
问题：何为线性系统和非线性系统？线性系统有何特点？
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（但在相似意义下是唯一的）； （2）状态变量的个数一定，储能元件的个数； （3）状态变量可以是有明显物理意义的量，也可以是
没有明显物理意义的量。状态变量可以是可测的 量，也可以是不可测的量。（参见课本例2.2） (4) 很多系统虽然具有不同的物理特性，但却具有相 同形式的数学模型。
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代入上式并整理得：
⎧x1 = x3
状态方程：
⎪ ⎪
x2
=
x4
⎪ ⎨
x3
⎪
=
−
k1 M1
x1
+
k1 M1
x2
+
B1 M1
x3
+
B2 M1
x4
+
1 M1
u
⎪ ⎪
x4
⎩
=
k1 M2
x1 −
k1 + k2 M2
x2
+
B1 M2
x3
−
B1 + B2 M2
x4
输出方程：
⎧ ⎨ ⎩
y1 y2
= =
x1 x2
的时间函数，那么，系统在t>=to的任何瞬间的行为就完全确 定了。
最小变量组：意味着这组变量是互相独立的。减少变量，描述 不完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。
最大线性无关变量组
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X状(态t) 向的量分：量把，x则1(Xt)(,tx)2称(t为),.状..,态xn向(t量) 这。n记个作状：态变量看分成量是之向间量
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2.2.1 系统状态空间模型的建立
方法：通过系统的物理模型建立动态方程 适用对象：系统结构和参数已知。 核心问题——合理选择系统的状态变量 状态变量的选择规则：
选择系统中储能元件的输出物理量 选择系统的输出及其各阶导数 选择能使状态方程成为某种标准形式的变量
注意事项：
同一系统选择状态变量不同，则其空间表达式不同； 两个不同的系统，其状态空间表达式有可能相同。
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写成矩阵形式： A
⎡0
⎢ ⎢
0
X
=
⎢⎢− ⎢
k1 M1
⎢ ⎢ ⎣
k1 M2
0 0 k1 M1 − k1 + k2 M2
1 0 − B1 M1 B1 M2
B
0⎤
−
1
B1 M1 B1 + B2 M2
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
X
+
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
0 0 1 M1 0
2.1 状态与状态空间的概念 2.2 系统的状态空间模型 2.3 线性系统的状态空间模型与线性变换 2.4 控制系统的实现 2.5 多变量系统的传递矩阵 2.6 控制系统的离散状态空间模型
2.3.1 线性系统的状态空间模型 2.3.2 线性系统的线性变换
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2.3.1 线性系统的状态空间模型
状态空间绘出的一条轨迹。
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2.1 状态与状态空间的概念
例：图2.1所示弹簧-阻尼器系统
在外作用力F(t)已知的情况下，如果知 道了物体在某一时刻的位移及速度,就能 确定系统未来的动态响应。
如果仅知道物体的位移或速度，就不能
确定系统未来的动态响应。
1、描述物体动态的状
物体的位移、速度及加速度这三个态量变显量还有其它选择
⎢⎣ x 3 ⎥⎦
=
⎡ ⎢
−
⎢
R1 L1
⎢ ⎢ ⎢
R1 L2
⎢
R1 L1 − R1 + R 2 L2 1
⎢⎣ 0
C
输出方程为：
A
−
0
1 L2 0
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎡ x1
⎢ ⎢
x
2
⎢⎣ x 3
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
+
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
1 L1 0 0
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
u
机械阻尼运动模型
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隔离受力分析
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则据牛顿第二 定律有：
M 2 y2 = k1( y1 − y2 ) + B1( y1 − y2 ) − B2 y2 − k2 y2 M1y1 = f − B1( y1 − y2 ) − k1( y1 − y2 )
选状态变量 x1 = y1, x2 = y2 , x3 = y1 = v1, x4 = y2 = v2 , u = f
⎡ c11
C
=
⎢ ⎢ ⎢
c21 #
c12 " c1n ⎤
c22 #
"
c2n #
⎥ ⎥, ⎥
⎢⎣cm1
cm2
"
cmn
⎥ ⎦
m× n维输出矩阵 表征输出和每个状态变量的关系
⎡d11 d12 " d1r ⎤
D=
⎢⎢d21 ⎢#
d22 #
"
d2r #
⎥ ⎥, ⎥
⎢⎣dm1 dm2 " dmr⎥⎦
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