电力生产问题的数学模型
摘 要
电力生产问题模型是基于对现有发电产能与每日用电需求的分析，通过制定合理的生产计划，来探讨如何有效降低生产成本。由于电力生产问题中涉及发电机可用数量、输出功率、生产成本与电能安全余量等因素，本文利用数学知识联系电力生产实际问题建立了模型，充分考虑当日与次日24小时生产的连续性，从循环生产的角度出发，寻求最优电力生产计划。
对于问题一，本文通过建立数学成本控制模型，列出了生产总成本构成要素：发电机启动成本、固定成本与边际成本，确定了每日总成本最小的目标函数。出于实际长远生产考虑，给定了系列约束条件：在保证每日电力输出充分满足需求下，我们将正在工作的发电机实际使用数量限制为整数且不大于可用数量，实际输出功率介于该发电机最大最小输出功率之间，并加入了当日日末时段与次日日初时段电力生产内部关联等约束条件。在建立了线性规划方程组基础上，使用LINGO 软件计算出系列参数值与目标函数值，进而得到成本最小的最优生产方案，模型求解得到的总成本最小值为：1448700元。
对于问题二，鉴于市场实际每日用电需求的变化，应充分考虑到需要随时备足电能安全余量以应对用电量可能出现突然上升的情况，将正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力这一情况纳入考虑。在问题一模型基础上微调约束条件3：发电机实际使用数量时，对应时段和对应型号的发电机输出功率要满足不大于对应的最大输出功率的80%，从而建立了含安全余量因素的成本优化模型，得到了新的最优生产方案。同样地运用LINGO 软件求解，经过穷举算得出考虑安全余量后新生产计划下总成本最小值为：1529920元。
关键词：线性规划 电力生产 输出功率 最小总成本
0ij X
1. 问题重述
如何应对每日电力需求，在充分考虑各个约束条件的情况下，做好每日各时段发电机开工的具体计划，控制生产成本是企业不得不思考的问题。在充分了解实际问题的经济背景、掌握准确数据、确定影响因素及目标的前提下，将这些实际生产问题转化为数学模型，通过科学的数学方法找到满意的答案，制定出成本最小的生产方案。当然如何将实际生产问题转化为数学模型，并不断改进模型进一步完善，这是我们需要深入思考的问题。
在本文中，我们考虑如何将经济问题转化为数学模型并用LINGO软件解决成本最低问题，制定最优电力生产方案。
1.1电力供需概况与成本说明
该问题中每日电力需求（单位为兆瓦（MW）），如表1给出了每日7个时间段用电需求情况：
表1每日用电需求
在供电能力方面，每种发电机都有一个最大发电能力，当接入电网时，其输出功率不应低于某一最小输出功率且不能高于最大输出功率。另外发电机工作会产生三类成本：所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个边际成本。需要注意的是：只有在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。与启动发电机不同，关闭发电机不需要付出任何代价。如表2给出了发电机的数量、产能及三类成本的相关信息。
1.2本文需解决的问题
问题一：能否通过线性规划模型的建立求解，在保证每日各时段用电需求、发电机
的功率、数量约束，总成本最低情况下，求出在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，从而制定出一个总成本最低的生产方案。
问题二：以防用电量突然上升，我们需使工作中的发电机组在任何时刻留出20%的发电能力余量。因而在考虑了电能的安全余量条件下，通过模型求解得出在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，从而制定出一个新的总成本最低的生产方案。
2. 模型的假设与符号说明
2.1模型假设
通过对题目的分析，为了使问题得到简化，我们做出了以下合理假设：
假设1：只有在每个时段开始时才启动、关闭发电机，或者调整发动机功率；
假设2：忽略发电机启动的时间；
假设3：发动机不工作时不发生任何成本；
假设4：调整发电机功率没有成本；
假设5：发电机生产的电量在传输过程中没有损耗；
假设6：发电机的功率在时段初调整好后在那个时段内保持不变；
假设7：发电机都能正常工作；
假设8：每天都以最优的电力配置（型号、时间段、数量、功率）运行；
假设9：后一天的第一个时间段是紧接前一天的最后一个时间段进行循环生产；
假设10：在某个时间段某种型号发电机各台实际输出功率相等。
2.2符号说明
3. 问题分析
此问题研究的是如何根据发电机的产能合理安排生产作业计划，在保证市场需求得到满足前提下达到总成本最小的数学建模问题。
针对问题一：已知条件主要提供了每日各时段市场用电需求、发电机产能、发电机工作产生的成本三方面信息。为满足每日7个时间段对应的电力总功率需求，提供了4种不同型号的发电机，其可用数量，最大最小输出功率各不相同，发电机工作产生的单位启动成本、固定成本与边际成本构成单位生产总成本。
本题目标在于寻求生产成本最优下的生产方案，因此目标函数为：生产总成本最小，即要求上述三类成本总和最小。
对于每日总启动成本：由于发动机连续几个时段工作时只产生一次启动成本，关闭不发生成本，故我们设立0-1变量，若当前时段同型号发电机使用数量小于上一时段使用数量时，此时仅需关闭几台发电机，启动成本已计入上一时段中，当前时段不产生新的启动成本；若当前时段同型号发电机使用数量大于上一时段使用数量时，此时需增开几台发电机即可，当前时段只需计入新增开同一型号发电机启动成本。故该时间段该型号发电机工作产生的总启动成本为同种发电机增开台数与单位启动成本之积。则每日总启动成本即为7个时段4个发电机组启动成本累和。
对于每日总固定成本：在某个时间段某种型号发电机工作产生的总固定成本等于该时段该种发电机实际使用数量乘以发电机在该时段的工作时长，再乘以对应单位固定成本。则每日总固定成本即为7个时段4个发电机组固定成本累和。
对于每日总边际成本：在某个时间段某种型号发电机工作产生的总边际成本等于该时段该种电机超出的功率、实际使用数量与该发电机在该时段的工作时长的三者之积再乘以对应单位边际成本。则每日总边际成本即为7个时段4个发电机组边际成本累和。
由于各时间段的用电需求不同，各时段对应发电机型号、使用数量与输出功率也会随之变化，因此必须考虑各时段电力需求、发电机功率与使用数量限制以及各要素内部关联等约束条件。通过建立约束条件的线性规划方程组与成本控制模型，使用LINGO 软件求出成本最小，进而得到最优的电力生产方案。
针对问题二：在问题一基础上充分考虑到应备足安全余量来应对突发状况这一新情况，提出正在工作的发电机组必须随时留出20%的发电能力这一条件。因而在问题二中，目标函数不变，对约束条件进行微调：发电机组在每日第i 时间段所能发出的最大总功率的80%要大于等于当日第i 时段的用电需求，进一步优化建立了含安全余量因素的成本最小化模型，同问题一可以类似的采用线性规划方法和LINGO 软件进行求解。
4. 问题一的解答
4.1模型建立
目标函数：
7
4
(1)1
1[()()]
ij i j j ij ij i j ij i j ij j i j MinC X X S K X T E X T F P A -===-++-∑∑ 约束条件说明：
○
1在每个时间段每种型号的发电机实际使用数量为整数，由此得到约束条件1： ij X Z
∈
