曲率及其计算公式

有如下关系：
1 1 r ， K ． r K
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
y
y=0．4 x2
4
2
O
2
x
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径． y0．8x ，y0．8， y|x00，y|x00．8． 把它们代入曲率公式，得
设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数． 因为tan a y ，所以
da y y da sec a y， ， 2 2 dx dx 1 tan a 1 y y 于是 da dx．又知 ds 1 y 2 dx． 1 y2
2
Ds MM Dx | MM |
(
(
y M Ds
2
Dy 2 1 Dx
(
M0
O x0
M
Dy
Dx
x x+Dx x
Ds MM | Dx | MM
2
Dy 2 1 Dx
2
从而，有
| y | K ． 2 32 (1 y )
| y | K 例1 计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率． (1 y 2 ) 3 2
解
1 由y ，得 x
x 因此，y|x11，y|x12．
y
1
2
，y
2 x
3
．
曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
M0
s>0
M
M
s<0
M0
O
x0
x
x
O
x
x0
x
下面来求s(x)的导数及微分． 设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点 ，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
(
Ds MM Dx Dx
(
Dy | MM | | MM | y， lim 因为 lim 1， 又 lim Dx0 Dx Dx 0 | MM | M M | MM | ds 2 因此 1 y ． dx ds ds 1 y2 ． 由于ss(x)是单调增加函数，从而 &g | MM ( Dx ) ( Dy ) 2 | MM | ( Dx ) 2 | MM | (Dx)
(
2
2
2
2 MM Dy 1 | MM | Dx
于是 ds 1 y2 dx．这就是弧微分公式．
(
(
二、曲率及其计算公式
观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：
M1
M2 N2 )j
N1
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧 为Ds ，切线的转角为D a ． y M0 O M a
| 2a | | y | K ． 2 32 [1 (2ax b) 2 ]3 2 (1 y ) b b 要使K 最大，只须2axb0， 即 x 对应的点为 ．而 x 2a 2a 抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为
K|2a| ．
讨论： 1．直线上任一点的曲率等于什么？ 提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是 | y | K 0. 2 3 2 (1 y ) x j (t ) 2．若曲线由参数方程 给出，那么曲率如何计算？ y (t ) 提示：
| y | 2 1 2 K ． 0．8． 2 3 2 2 32 2 (1 y ) (1 (1) ) 2
抛物线顶点处的曲率半径为
1 r 1．25． K
所以选用砂轮的半径不得超过1．25单位长，即直径不得超过 2．50单位长．
§3．9 曲 率
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
一、弧微分
有向弧段 M0 M 的值 s(简称为弧s) ： s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0． 显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数． y y (
| y | 2 1 2 K ． 2 32 2 32 2 (1 y ) (1 (1) ) 2
| y | K 2bxc 上哪一点处的曲率最大？ 例2 抛物线yax (1 y 2 ) 3 2
解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ， 代入曲率公式，得
Da 为弧段 MM 的平均曲率． 我们称 K Ds 曲率： Da 为曲线C在点M处的曲率． 我们称 K lim Ds 0 Ds da Da da K lim 在 存在的条件下 ． Ds 0 Ds ds ds
C M Ds Da a+Da x
s
）

平均曲率：
曲率的计算公式：
K da ． ds
| j (t ) (t ) j (t ) (t ) | K ． 2 2 32 [j (t ) (t )]
三、曲率圆与曲率半径
y D y=f(x) r M
曲线在M点的曲率半径
1 |DM| r K
O 曲线在M点的曲率圆
x 曲线在M点的曲率中心
曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r