第二章点的投影
教学内容：点的投影
[教学目的]
1. 掌握点在三面体系中的投影规律，以及由点的两投影求作第三投影的基本要领
2. 掌握根据点的投影判断其空间位置的方法
3. 掌握各种位置直线的投影特征
[教学内容特点分析]
直线的投影是图示与图解的基础，而直线又是由点所决定，本节主要研究点的投影，点的投影与坐标的关系及空间点的相对位置，以及直线在三面体系中所处的各种位置及其投影特性。重点要掌握点在三面体系中的投影规律；直线对投影面所处相对位置的投影特性是线、面分析的重要依据，必须要好好掌握。[授课提纲]
一、点的投影
1. 点在单面体系中的投影
分析后指出：在给定一个投影面条件下空间点具有唯一的投影。反之，若已知点的一个投影，是无法确定该点的空间位置（在直观图上进行分析后，用增加投影面的方法解决）
2 .点在两面体系中的投影
①在上面直观图上增补画出二面体系
② 介绍两面体系的有关名词及点的投影表示法
③ 点在二面体系中的投影分析
④ 展开画出点在二面体系中的投影图
⑤ 根据直观图及投影图导出点在二面体系中的投影规律：
作文字说明（此略）
3. 点在三面体系中的投影
① 在二面体系中的直观图上补画出侧立面构成点在三面体系的直观图
② 作三面体系中的名词、术语介绍及点的投影表示法。
③ 展开画出点在三面体系的投影图
④ 根据直观图及投影图分析，导出点在三面体系中的投影规律，
把三面体系看成两个二面体系构成。
由得出：
a a′⊥ox
a′ax=Aa
a ax=Aa′ a a′⊥ox
由V/W得出a′a″⊥oz a′a″⊥oz 作文字说明（此略）
a′ax=Aa″ a ax=a″az
a″az=Aa′
⑤ 点在三面体系中的投影规律的应用（举例）
例一：已知A点的正面投影a′和侧面投影a″，求作其水平投影。
1. 分析
2. 作图（过程在讲课中进行）
二、点的投影与直角坐标（利用点在三面体系中的直观图讲解）
1. 引入笛卡尔坐标系（说明）
2. 空间点上标出坐标值（x、y、z）（在直观图上进行）
3. 直观图上导出：
Aa″ =aaz=aay=oax=x
Aa′=aax=a″az=oay=y 显然，点A（x、y、z）的每个投影由其两个坐标决定，
Aa= a′ax=a″ay=oaz=z
即a′由（x、z）； a由(x、y)；a″由(y、z)决定。
结论：根据点的坐标便可唯一确定点的一组投影，点的任两个投影均反映出该点的三个坐标值，故已知点的两个投影即确定了点的空间位置。故根据点的任两个投影均可求该点的第三个投影（例一的理论依据）4. 举例
例二：试作出点A（15，10，15），B（28，15，0），C（8，0，0）的三面投影图：
①此例中的A点作图在讲解过程中进行。
②此例中的B点，C点的作图可结合直观图（徒手在黑板上画出）进行讨论，得出位于投影面和投影轴上的点的投影特点：
位于投影面上的点，有一个坐标值为0，故有一个投影与空间点本身重合，另两投影落在相应的投影轴上，位于投影轴上的点，有两个坐标值为0，故它有两个投影与空间点本身重合，另一投影落在原点上。
三、两点的相对位置
1. 画出两点相对位置的直观图及投影图
2. 阐述两点的相对位置的概念：
所谓两点的相对位置是指空间两点，哪点在上,哪点在下，哪点在左，哪点在右，哪点在前，哪点在后的位置关系。
3. 判断两点相对位置的方法：
左、右位置由两点的X坐标值确定
前、后位置由两点的Y坐标值确定结合投影图进行讲解，最后得出
上、下位置由两点的Z坐标值确定
A在B点的左、前、下方，具体距离由两点坐标差（Δx、Δy、Δz）确定。
4. 举例
例三：已知A点的三面投影，且已知B点在A点之下10，之前15，之左10，试求B点的三面投影。
① 分析：A的空间位置已定，B相对A的位置已给出，故B点的投影可求出
② 作图：作图过程在讲解中进行。
5. 重影点
画出重影点的直观图及投影图
① 根据直观图解释重影点的概念
② 空间两点处于同一投射线上，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影重合在一起，我们称此两点为对该投影面的重影点。
③ 产生重影点的条件
空间两点：只要有两个坐标值相等（即两个坐标差值为0）必然要对某个投影面产生重影。
若两点：中
上面三种情况只举一种，另两种情况由同学自行总结
④ 重影点的可见性判断
原则：上遮下、左遮右、前遮后
在投影图上的表示：被遮住的点的投影打括号
⑤ 举例
例四：已知A、B两点对W产生重影点，A点的投影已知，B点在A点的左方10m
试求出B点的正面投影b″和水平投影b。
分析
作图在讲解的过程中进行
判别可见性
四、直线的投影
1.画出直线投影的直观图和投影图（利用两点的相对位置直观图和投影图）
2.在直观图上分析
① 两点定一线（连空间两点）
② 直线的投影（连两点的同面投影并作解释）
3. 各种位置直线的投影特性
概述：各种位置直线是指直线对投影面所处的相对位置而言，根据直线对各投影面的相对位置，将直线分为：
（应用教具讲解）
投影面倾斜线——一般位置直线（应用教具讲解）
下面分别对上述三种位置直线的投影进行分析
① 投影面平行线（模型或教具讲解）
定义：平行某一投影面而与另两投影面倾斜的直线称为投影面平行线。
分类：∥V 倾斜H、W面两投影面——正平线
∥H 倾斜V、W面两投影面——水平线
∥W 倾斜H、V面两投影面——侧平线
以正平线为例分析其投影特性。
Ⅰ画出正平线的直观图及投影图
Ⅱ 在直观图上分析正平线的投影情况
Ⅲ 根据正平线的投影情况导出投影面平行线的投影特性：
ⅰ.在与直线平行的投影面上的投影反映真长，且反映直线对另两投影面的倾角；
ⅱ.其余投影平行相应的投影轴，且小于真长
② 投影面垂直线（模型或教具讲解）
定义：垂直某一个投影面的直线称
为投影面垂直线。
分类：⊥V 必平行H、W称为正垂线
⊥H 必平行V、W称为铅垂线
⊥W 必平行V、H称为侧垂线
以铅垂线为例介绍投影面垂直线的投影特性
Ⅰ 画出铅垂线的立体图
