第六节偏导数的几何应用
二、曲面的切平面与法线
一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的方程)
1()()
()(
t z t y t x o
z
y
x
(1)式中的三个函数均可导.
一、空间曲线的切线与法平面
M
.
),,(0000t t t z z y y x x M 对应于;
),,,(0000t t z y x M 对应于设
M
第六节偏导数的几何应用
考察割线趋近于极限位置——切线的过程z
z z y y y x x x 0
00t t t
上式分母同除以,
t o z
y
x
M
M
割线的方程为
M M ,0
00z z z y y y x x x
,
0,时即当 t M M 曲线在M 处的切线方程
000
000()()()
x -x y -y z -z ==.φt ψt ωt 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
000()()()
T =φt ,ψt ,ωt 法平面：过M 点且与切线垂直的平面.
()()()()()() 0000000
φt x -x ψt y -y ωt z -z
例1 求曲线: t
u
udu e x 0cos ，t
y sin 2 t cos ,t
e z 31 在0 t 处的切线和法平面方程.
解当0 t 时，,
2,1,0 z y x ,cos t e x t
,sin cos 2t t y ,
33t
e z ,
1)0( x ,2)0( y ,
3)0( z 切线方程,
3
2
2110 z y x 法平面方程,
0)2(3)1(2 z y x .
0832 z y x 即
1.空间曲线方程为
y =ψx z =ωx ,
),,(000处在z y x M , 000
001()()
x -x y -y z -z ==ψt ωt ()()()()() 000000.
x -x ψt y -y ωt z -z 法平面方程为
切线方程为
特殊地：
2.空间曲线方程为,
),,(0
),,( z y x G z y x F 切线方程为000
00
z x y z x y z x y z
x y
x -x y -y z -z ==,F F F F F F G G G G G G 法平面方程为
000()()()
00
=0.
y z x y
z
x
y z x y
z x F F F F F F x -x y -y z -z G G G G G G
例2 求曲线62
22 z y x ，0 z y x 在点)1,2,1( 处的切线及法平面方程.
解1 直接利用公式;
2
2
2
6,设 F x,y,z =x +y +z -
G x,y,z = x +y +z
则
222111
x y z x y z F =x, F =y, F =z G =, G =, G =
11221
1
226
1
1
y z x=x=y
z
y=-y=-z=z=F F y z G G
11221
1
221
1
z x x=x=z
x
y=-y=-z=z=F F z x G G 11
2
21
1
226
11x y x=x=x
y
y=-y=-z=z=F F x y G G 由此得切向量},
1,0,1{ T
所求切线方程为,1
10211 z y x 法平面方程为,
0)1()2(0)1( z y x 0
z x
例2 求曲线62
22 z y x ，0 z y x 在点)1,2,1( 处的切线及法平面方程.
解2 将所给方程的两边对x 求导并移项，得
1dx dz dx dy x dx dz z dx dy
y ,z
y x z dx dy ,z
y y x dx dz ,
0)
1,2,1( dx dy
,
1)
1,2,1( dx dz
由此得切向量
},
1,0,1{ T
所求切线方程为,1
1
0211 z y x 法平面方程为,
0)1()2(0)1( z y x 0
z x
n
M 设曲面方程为
),,(: z y x F )},
(),(),({0'0'0't z t y t x T
曲线在M 0处的切向量二、曲面的切平面与法线
2
2
T 1
T 1
()()()x =t Γ:y =ψt ,
z =ωt 0000M x ,y ,z 在曲面上任取一条通过点的曲线
