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中文版低温等离子体作业
一. 氩等离子体密度103
210n cm -=⨯, 电子温度 1.0e T eV =, 离子温度0.026i T eV =, 存
在恒定均匀磁场B = 800 Gauss, 求 （1） 德拜半径；
（2） 电子等离子体频率和离子等离子体频率； （3） 电子回旋频率和离子回旋频率； （4） 电子回旋半径和离子回旋半径。 解：1、1/2302
(
)8.310()e i
D e i T T mm T T ne
ελ-==⨯+， 2、氩原子量为40，
221/21/2
00()8.0,()29pe pi e i
ne ne GHz MHz m m ωωεε====，
3、14,0.19e i e i
eB eB GHz MHz m m Ω=
=Ω== 4、设粒子运动与磁场垂直
2
4.210, 1.3e e i i ce ci m v m v r mm r mm qB qB -===⨯===
二、一个长度为2L 的柱对称磁镜约束装置，沿轴线磁场分布为22
0()(1/)B z B z L =+，并满
足空间缓变条件。
求：（1）带电粒子能被约束住需满足的条件。 （2）估计逃逸粒子占全部粒子的比例。
解：1、由B(z)分布，可以求出02m B B =，由磁矩守恒得
22001122m m
mv mv B B ⊥⊥
=
，即0m v ⊥⊥= （1） 当粒子能被约束时，由粒子能量守恒有0m v v ⊥≥，因此带电粒子能被约束住的条件是在磁镜
中央，粒子速度满足002
v v ⊥≥
2
、逃逸粒子百分比20
1
sin 129.3%2P d d π
θ
ϕθθπ
=
==⎰⎰ （2）
三、 在高频电场0cos E E t ω=中，仅考虑电子与中性粒子的弹性碰撞，并且碰撞频率
/t t ea ea v νλ=正比于速度。求电子的速度分布函数，电子平均动能，并说明当t ea ων>>时，
电子遵守麦克斯韦尔分布。 解：课件6.6节。
电子分布函数满足
22
00010220011
cos 1()(())(1.1)32cos (1.2)
t a ea e a t ea e f eE t T f v f v vf t m v v v v m v eE t f f f t
m v ωκνων∂∂∂∂⎧-=+⎪∂∂∂∂⎪
⎨∂∂⎪-=-⎪∂∂⎩
因为0f 的弛豫时间远远大于1f 的弛豫时间，因此近似认为0f 不随时间改变，1f 具有ω的频率，即
111120 (2.1)(,)()cos ()sin (2.2)
f t f v t f v t f v t ωω∂⎧=⎪
∂⎨⎪=+⎩
(2.2)代入(1.2)中，得
00
11121112()cos ()sin cos t
t
ea ea e eE df f f t f f t t m dv
ωνωωνωω+--= （3）
对比cos t ω和sin t ω的系数，(3)解得
0000
11122222
,()()t
ea t t e ea e ea eE df eE df f f m dv m dv
νωωνων==++ （4） (4)代入(1.1)得
2222000
222222
((1cos 2)()sin 2())6t ea t t e ea ea e E v df df d d v t t m v dv dv dv dv
νωωωωνων-++++ 2
002
1(())2t a ea a T f v vf v v m v
κν∂∂=
+∂∂ （5） 对(5)求时间平均得
222
2
000022222
1()(())62t t ea a ea t e ea a e E v df T f d v vf m v dv dv v v m v νκνων∂∂-=++∂∂ （6） 引入有效电场2
2
20
22
2()
t ea
eff
t ea E E νων=+代入(6)得 222
2
00021()(())32eff t a ea t e ea a e E v df T f d v vf dv m dv v m v
κνν∂∂-=+∂∂ （7）
对(7)两端积分，得
22
00
022
203eff a t e ea a e E df T f vf m dv m v
νκ∂++=∂ （8） 所以电子分布函数为 0222200exp()/3()v
e t a
e ea m vdv
f A T e E m κων=-
++⎰ （9） 其中A 为归一化系数，电子动能为
400
2()e e K m f v v dv π∞
=⎰
（10）
当t
ea ων>>时，
0222200exp()/3()v
e t a
e ea m vdv
f A T e E m κων=-
++⎰ 222
00exp()/3v
e a
e m vdv
A T e E m κω≈-+⎰
222
/23/20
2
()e ,23e e m v T e e a e e m e E T T T m πκω
-==+ （11） 为麦克斯韦分布。
四、设一长柱形放电室，放电由轴向电场维持，有均匀磁场沿着柱轴方向，求：
（1）径向双极性电场和双极扩散系数；
（2）电子和离子扩散系数相等时，磁场满足的条件； （3）当磁场满足什么条件时，双极性电场指向柱轴。 解：课件8.5节。
1、粒子定向速度u 满足 n
u E D n
μ⊥⊥⊥∇=- （1） 其中/c eB m ω=，211(/)c m m
e m μωνν⊥=
+，2
11(/)c m m T
D m ωνν⊥=+。 双极性扩散中，电子密度等于离子密度，电子通量等于离子通量，根据(1)，因此径向
方向上有
i i i i i nu nE D n μ⊥⊥⊥Γ==-∇
e e e e e nE D n nu μ⊥⊥⊥=--∇==Γ （2） 解方程(2)得径向双极性电场
