不均匀的，如图所示.图中Oxy平面代表轨道平面，“×”表示磁场的方向垂
直Oxy平面指向纸里，“·”表示磁场的方向垂直Oxy平面指向纸外。规定指
向纸外时B取正埴，“ ×”和“·”的疏密程度表示沿着x轴B的大小分布。
一与轨道平面平行的具有一定质量的金属矩形框MNPQ处在该磁场中，已知与
轨道垂直的金属框边MN的长度为l，与轨道平行的金属框边MQ的长度为d，金
2 0
ri
ri
Bi
k
Ii ri
k
2 0ri
ri2
注意到
ri ri2
ri ri1 ri ri 1
1 ri1
1 ri
riri1 r i(ri ri ) ri2
B 2k 0(a2a1)
a1a 2
BS
2k
0 (a 2
a1a 2
a1
)
a02
E
t
2k
0 (a a1a
2 2
a1
)
a02
t
2k
0 (a2 a1a2
场中。初始时圆盘静止，圆线圈中通有恒定电流I，方向沿顺时针方向
（从上往下看）。若切断圆线圈中的电流，则圆பைடு நூலகம்将发生转动。求薄圆 盘稳定转动后，圆盘在水平方向对每个金属小球的作用力的大小。假设 金属小球可视为质点，不计小圆线圈的自感和带电金属小球因运动所产 生的磁场。
已知固定在圆盘面上的半径为a、通有电流 I的圆线圈在圆盘面内、
盘的约束力；④电荷间的相互作用力。
先求电荷受的涡旋电场力和力矩。由对称性知圆盘边缘处的涡旋电
场处处相等，则有
EC l 2REC
（1）
L
（2）
t
i Bi Si
km
2a 2 I
ri3
2ri (ri1
ri )
4
2kma2I
(ri1 ri ) ri2
4
2
km
a
2
I
(
1 ri
1 )
ri1
S
i
iR
4
2kma
2
I
(
1 ri
1 )
ri1
4 2a2kmI
R
（3）
切断电流，磁场消失，磁鑀改变量：
由（1）、（2）、（3）得
EC
2a 2 km I
R 2 t
（4）
涡旋电场沿顺时针方向，涡旋电场 对4个电荷作用力的合力为零，合力 矩 L 不为零，小球带动圆盘转动。
(11)
Ibb Iba Ibc
2 Bl 2 cos
4R
(12)
Idd Iad Icd
2 Bl 2 cos
4R
(13)
为维持正方体作匀速转动所需的外力矩等于磁场对电路作用的合力矩，即
Faa Fcc BlIaa
Fbb Idd BlIbb
M 2Faa
2 2
l
s in
2Fbb
2 l cos
a1)
a02
I
E R
2k 0 (a2 a1)
Ra1a2
a
02
fy BIx BIx BI2a0
F
BIa0
4k 2 03a03(a2 a1)2
Ra12a22
(0
t)
例（29j5) 如图所示，一半径为R的轻质绝缘塑料薄圆盘水平放置， 可绕过圆盘中心的竖直固轴无摩擦地自由转动。一半径为 a 的轻质 小圆线圈(a ＜＜R)固定在盘面上，圆线圈与圆盘共轴。在盘边缘处等 间隔地固定4个质量均为m的带正电的金属小球，每个小球所带电荷量均 为 q 。此装置处在一磁感应强度大小为Bo、方向竖直向上的均匀强磁
流电，产生随时间、空间作周期性变化的磁场，磁场与固连在车体下端的感
应金属板相互作用，使车体获得牵引力。
设有一与轨道平面垂直的磁场，磁感应强度B 随时间 t 和空间位置
x 变化规律为 B(x,t) B0 cos(ωt kx) 式中 ， B0,, k
均为己知
常量，坐标轴x与轨道平行，在任一时刻t 轨道平面上磁场沿x方向的分布是
1 kI n 3 i1
(ri3
r3 i 1
)
1k Ia3 3
(7)
M k 2a6
(8)
9R
M
1 2
mga
(9)
fa M M
(10)
f
ka 5
1 mg
9R 2
(11)
例(27决) 如图(a)所示,十二根均匀的导线杆联成一边长为l的刚性正方体,每根 导线杆的电阻均为R,该正方体在匀强磁场中绕通过其中心且与abcd 面垂直的转 动轴作匀速转动，角速度为ω。己知磁感应强度大小为B,方向与转动轴垂直,忽 略电路的自感。当正方体转动到如图(b)所示的位置(对角线db与磁场方向夹角为 θ)时，求 1、通过导线 ba、ad、bc和cd 的电流强度。 2、为维持正方体作匀速转动所需的外力矩。
k
E(t) d B0l ( kv){cos[t k(x d )] cos(t kx)}
dt k
i(t) E B0l ( kv){cos[t k(x d )] cos(t kx)}
R kR
f (t) i(t)B(x,t)l i(t)B(x d,t)l
f
(t)
b02l
例 半径为 a 的大圆线圈和半径为 b（b<<a) 的小圆线圈共轴平行放置， 两线圈间距为 h (如图所示）。大线圈中通有恒定电流电流强度为 I ，小 线圈的电阻为R 。小线圈以一条直径为轴，以角速度 ω 匀角速旋转。试 求：1、小线圈中的感应电流强度；2、为使小线圈匀角速度旋转，应给 小线圈加多大的外力矩？3、小线圈对大线圈感应的电动势是多少？
解：1、设t 时刻线圈如图(b)所示，则
a'a
cc'
1
(v
B)
l
2 Bl 2 sin
2
(1)
b'b dd ' 2
2 Bl 2 cos
2
(2)
根据电路的对称性可知
Iba Iab Idc Icd I1
(3)
Iad Ida Icb Ibc I2
根据基尔霍夫第一定律，有
2 (
k
v)
{cos(t
kx)
cos[(t
kx)
kd]}2
R
当kd=2nπ，即 当kd=(2n+1)π，即
专题十四 动生电动势
非静电力：
FK
非静电力的场强为：
qv B
EK
FK q
v
B
导体上Δl 一段的电动势为：
(v
B)
l
或
d
(v
B) dl
FL
长为L的导体棒在磁场中作切割磁感应线运动而产生的动生电动势，
在ΔOCP中用正弦定理得：
x 2R R
sin sin( )
R sin (x
2R) sin( 4 ) (x
2R) 1 (cos sin )
2
[R (x 2R)]sin (x 2R) cos
2
2
tan (x 2R)
x
arctan (x 2R)
x
2 AP
第4讲 电 磁 感 应
专题十三 法拉第电磁感应定律 专题十四 动生电动势 专题十五 感生电动势和感生电场(涡旋电场) 专题十六 自感应 互感应
专题十三 法拉第电磁感应定律
t
通量法则
1 2 N
t t
t t
磁通匝链数或全磁通:
Ψ=Φ1+Φ2+…+ΦN
N t
(当Φ1=Φ2=…=ΦN=Φ时 )
8R
(8)
Iad Ibc I2
2 Bl 2 (cos sin )
8R
(9)
2、当正方体转动到任意位置(对角线db与磁场夹角为任意θ)时，通过a'a、 cc'、b'b、dd'的电流
Iaa Iad Iba
2 Bl 2 sin
4R
(10)
Icc Ibc Icd
2 Bl 2 sin
4R
解 P 点在磁场区域内， x 2R :
1AP
k
SOAP＝
1 2
kxRsin
kR 22
x
P 点在磁场区域外,
x 2R :
2 AP k (SOAC S扇形OCD）
k[(1 R sin ) 2R cos R2 ]
2
2
1 kR2 (sin 2 )
2
2 AP
1 2
kR2 (1
)
2
M B2l 4
2R
专题十五 感生电动势和感生电场(涡旋电场)
1、感生电动势 感生电动势的非静电力？
EK l
F
q(E
v
B)
t
B t
S
磁场随量间变化时能在周围空间激发电场。称这种电场为感生电场或
涡旋电场，用
E
表示。
K
感生电动势计算公式：
B t
S
或
S
B t
dS
显然有
L
等于其上各 l 上的电动势的代数和，即
(v
B)
l
或
(v
B)
dl
L
L
例 如图所示，水平放置的金属细圆环半径为a，竖直放置的金属细圆柱(其半径比a 小得多)的端面与金属圆环的上表面在同一平面内，圆柱的细轴通过圆环的中心O。 一质量为m，电阻为R的均匀导体细棒被圆杯和细圆柱端面支撑，棒的一端有一小 孔套在细轴0上，另一端A可绕轴线沿圆环作圆周运动，棒与圆环的摩擦系数为 μ， 圆环处在磁感应强度大小为B＝kr 、方向竖向上的恒定磁场中，式中 k 为大于零的 常量，r 为场点到轴线的距离。金属细圆柱与圆环用导线 ed 连接。不计棒与轴及与 细圆柱端面的摩擦，也不计细圆柱、
圆环及导线的电阻和感应电流产生的磁场。问
沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒
的A端才能使棒以角速度 匀速转动。
解 i Bviri kririri kri2ri (1)
例：
n
n
i k ri2ri
(2)
i 1
i 1
(r r)3 r3 3r2r 3r(r)2 (r)3
r2r 1 [(r r)3 r3] 3
EK l
S
B
S
t
或
L
EK
dl
S
B t
dS
长圆柱形均匀磁场区的涡旋电场
EK
rk 2
R2 k 2r
(r≤R) (r＞R)
r
kS (r≤R)
kS' ( r＞R)
例 半径为 R 的圆柱形区域内有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外。 磁感应强度 B 随时间均匀变化，变化率 ΔB／Δt ＝k (k为一正值常量）， 圆柱外没有磁场。沿AC弦方向画一直线，并向外延长 ，弦AC与圆柱横 截面半径 OA的夹角α＝π／4。设直线上任一点P与A点的距离为 x ，求直 线上AP两点简的电动势的大小。
1 [ 0 R 4
(h
2
2
Ia2
a2)
3
2
]2
(b2
)
2
s
in
2
t
3、现在很难求，利用互感应部分就容易求了。
例 磁悬浮列车是一种高速运载工具．它具有两个重要系统：一是悬浮系
统，利用磁力(可由超导电磁铁提供)使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接
触；另一是驱动 系统，在沿轨道上安装的三相绕组(线圈)中，通上三相交
Iaa Icc I1 I2
(4)
Ibb Idd I1 I2
(5)
根据基尔霍夫第二定律，有
I1R IaaR I1R Ibb R 2 1 (6)
I2R IddR I2R IaaR 2 1 (7)
根据(1)—(7)解得
Iba Icd I1
2 Bl 2 (cos sin )
解：1、
B大
0 4
2Ia2
(h2 a2 )32
小
B大 S小
0 4
2Ia2
(h2
a2
)3 2
b2
cost
小
- 小 t
0 4
2Ia2
(h2
a
2
)
3 2
b2 sint
i小
小
R
0 4R
2Ia2
(h2
a2
)3 2
b2 sint
2、载流线圈在磁场中受安培力矩为：
M
m
B
则外加力矩
M小 m小 B大
M小
1 2
kR2 (1 arctan
x
x
2R)
例 如图所示，一个用绝缘材料制成的扁平薄圆环，其内、外半径分
别为a1 、a2 ，厚度可以忽略。两个表面都带有电荷，电荷面密度 随离开
环心距离r变化的规律均为 σ(r) σ0 / r 2 , 0 为已知常量．薄圆环绕通
过环心垂直环面的轴以大小不变的角加速度 β 减速转动，t 0 时刻的
角速度为ω0。将一半径为 a0( a0<<a1)、电阻为R并与薄圆环共面的导线圆 环与薄圆环同心放置。试求在薄圆环减速运动过程中导线圆环中的张力
F与时间t的关系。
例
0
r2
解 Si ri2 (r iri )2 2riri
qi
2Si
2 0
ri2
2ri ri
4
ri
0
ri
0 t
Ii
qi
2
1 k
3
n i1
(r
3 i
r3
i1
)
1 3
k[(r13
r03) (r23
r13) (rn3
r3
n1
)
1 ka3
(3)
3
I ka3
(4)
R 3R
(5)
f Ai BIri kIriri
M i f Ai ri kIri2ri
(6)
M
n i 1
M i
n
kI
i 1
ri2ri
距线圈圆心的距离为 r 处（r>>a）产生的磁场的磁感应强度的大小
为： B km 2a2I r3 ， 式中km为已知常量，当线圈中的电流沿顺时针
方向时，盘面上磁场方向垂直盘平面且竖直向上。静电力常量为ke 。
解：电荷受的力：①切断线圈中的电流时，变化的磁场将产生涡旋电场
Ec，所以电荷受到涡旋电场力；②运动电荷受磁场洛仑力；③电荷受圆
属框的电阻为R，不计金属框的电感。
解法二：通量法则
t
B B0 cos(t kr)
d
B
ds
B0
cos(t
kr)ldr
d
xd
x B0 cos(t kr)ldr
xd B0l cos(t kr)d (t kr)
x
k
B0l {sin[t k(x d)] sin(t kx)}
