第4讲 电 磁 感 应
专题十三 法拉第电磁感应定律 专题十四 动生电动势 专题十五 感生电动势和感生电场(涡旋电场) 专题十六 自感应 互感应
专题十三 法拉第电磁感应定律
t
通量法则
1 2 N
t t
t t
磁通匝链数或全磁通:
Ψ=Φ1+Φ2+…+ΦN
N t
(当Φ1=Φ2=…=ΦN=Φ时 )
解：1、设t 时刻线圈如图(b)所示，则
a'a
cc'
1
(v
B)
l
2 Bl 2 sin
2
(1)
b'b dd ' 2
2 Bl 2 cos
2
(2)
根据电路的对称性可知
Iba Iab Idc Icd I1
(3)
Iad Ida Icb Ibc I2
根据基尔霍夫第一定律，有
S
i
iR
4
2kma
2
I
(
1 ri
1 )
ri1
4 2a2kmI
R
（3）
切断电流，磁场消失，磁鑀改变量：
由（1）、（2）、（3）得
EC
2a 2 km I
R 2 t
（4）
涡旋电场沿顺时针方向，涡旋电场 对4个电荷作用力的合力为零，合力 矩 L 不为零，小球带动圆盘转动。
在ΔOCP中用正弦定理得：
x 2R R
sin sin( )
R sin (x
2R) sin( 4 ) (x
2R) 1 (cos sin )
2
[R (x 2R)]sin (x 2R) cos
2
2
tan (x 2R)
x
arctan (x 2R)
x
2 AP
解：1、
B大
0 4
2Ia2
(h2 a2 )32
小
B大 S小
0 4
2Ia2
(h2
a2
)3 2
b2
cost
小
- 小 t
0 4
2Ia2
(h2
a
2
)
3 2
b2 sint
i小
小
R
0 4R
2Ia2
(h2
a2
)3 2
b2 sint
2、载流线圈在磁场中受安培力矩为：
M
m
B
则外加力矩
M小 m小 B大
M小
2 0
ri
ri
Bi
k
Ii ri
k
2 0ri
ri2
注意到
ri ri2
ri ri1 ri ri 1
1 ri1
1 ri
riri1 r i(ri ri ) ri2
B 2k 0(a2a1)
a1a 2
BS
2k
0 (a 2
a1a 2
a1
)
a02
E
t
2k
0 (a a1a
2 2
a1
)
a02
t
2k
0 (a2 a1a2
2 (
k
v)
{cos(t
kx)
cos[(t
kx)
kd]}2
R
当kd=2nπ，即 当kd=(2n+1)π，即
专题十四 动生电动势
非静电力：
FK
非静电力的场强为：
qv B
EK
FK q
v
B
导体上Δl 一段的电动势为：
(v
B)
l
或
d
(v
B) dl
FL
长为L的导体棒在磁场中作切割磁感应线运动而产生的动生电动势，
例 半径为 a 的大圆线圈和半径为 b（b<<a) 的小圆线圈共轴平行放置， 两线圈间距为 h (如图所示）。大线圈中通有恒定电流电流强度为 I ，小 线圈的电阻为R 。小线圈以一条直径为轴，以角速度 ω 匀角速旋转。试 求：1、小线圈中的感应电流强度；2、为使小线圈匀角速度旋转，应给 小线圈加多大的外力矩？3、小线圈对大线圈感应的电动势是多少？
等于其上各 l 上的电动势的代数和，即
(v
B)
l
或
(v
B)
dl
L
L
例 如图所示，水平放置的金属细圆环半径为a，竖直放置的金属细圆柱(其半径比a 小得多)的端面与金属圆环的上表面在同一平面内，圆柱的细轴通过圆环的中心O。 一质量为m，电阻为R的均匀导体细棒被圆杯和细圆柱端面支撑，棒的一端有一小 孔套在细轴0上，另一端A可绕轴线沿圆环作圆周运动，棒与圆环的摩擦系数为 μ， 圆环处在磁感应强度大小为B＝kr 、方向竖向上的恒定磁场中，式中 k 为大于零的 常量，r 为场点到轴线的距离。金属细圆柱与圆环用导线 ed 连接。不计棒与轴及与 细圆柱端面的摩擦，也不计细圆柱、
EK l
S
B
S
t
或
L
EK
dl
S
B t
dS
长圆柱形均匀磁场区的涡旋电场
EK
rk 2
R2 k 2r
(r≤R) (r＞R)
r
kS (r≤R)
kS' ( r＞R)
例 半径为 R 的圆柱形区域内有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外。 磁感应强度 B 随时间均匀变化，变化率 ΔB／Δt ＝k (k为一正值常量）， 圆柱外没有磁场。沿AC弦方向画一直线，并向外延长 ，弦AC与圆柱横 截面半径 OA的夹角α＝π／4。设直线上任一点P与A点的距离为 x ，求直 线上AP两点简的电动势的大小。
角速度为ω0。将一半径为 a0( a0<<a1)、电阻为R并与薄圆环共面的导线圆 环与薄圆环同心放置。试求在薄圆环减速运动过程中导线圆环中的张力
F与时间t的关系。
例
0
r2
解 Si ri2 (r iri )2 2riri
qi
2Si
2 0
ri2
2ri ri
4
ri
0
ri
0 t
Ii
qi
2
场中。初始时圆盘静止，圆线圈中通有恒定电流I，方向沿顺时针方向
（从上往下看）。若切断圆线圈中的电流，则圆盘将发生转动。求薄圆 盘稳定转动后，圆盘在水平方向对每个金属小球的作用力的大小。假设 金属小球可视为质点，不计小圆线圈的自感和带电金属小球因运动所产 生的磁场。
已知固定在圆盘面上的半径为a、通有电流 I的圆线圈在圆盘面内、
a1)
a02
I
E R
2k 0 (a2 a1)
Ra1a2
a
02
fy BIx BIx BI2a0
F
BIa0
4k 2 03a03(a2 a1)2
Ra12a22
(0
t)
例（29j5) 如图所示，一半径为R的轻质绝缘塑料薄圆盘水平放置， 可绕过圆盘中心的竖直固轴无摩擦地自由转动。一半径为 a 的轻质 小圆线圈(a ＜＜R)固定在盘面上，圆线圈与圆盘共轴。在盘边缘处等 间隔地固定4个质量均为m的带正电的金属小球，每个小球所带电荷量均 为 q 。此装置处在一磁感应强度大小为Bo、方向竖直向上的均匀强磁
2
M B2l 4
2R
专题十五 感生电动势和感生电场(涡旋电场)
1、感生电动势 感生电动势的非静电力？
EK l
F
q(E
v
B)
t
B t
S
磁场随量间变化时能在周围空间激发电场。称这种电场为感生电场或
涡旋电场，用
E
表示。
K
感生电动势计算公式：
B t
S
或
S
B t
dS
显然有
L
1 [ 0 R 4
(h
2
2
Ia2
a2)
3
2
]2
(b2
)
2
s
in
2
t
3、现在很难求，利用互感应部分就容易求了。
例 磁悬浮列车是一种高速运载工具．它具有两个重要系统：一是悬浮系
统，利用磁力(可由超导电磁铁提供)使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接
触；另一是驱动 系统，在沿轨道上安装的三相绕组(线圈)中，通上三相交
k
E(t) d B0l ( kv){cos[t k(x d )] cos(t kx)}
dt k
i(t) E B0l ( kv){cos[t k(x d )] cos(t kx)}
R kR
f (t) i(t)B(x,t)l i(t)B(x d,t)l
f
(t)
b02l
流电，产生随时间、空间作周期性变化的磁场，磁场与固连在车体下端的感
应金属板相互作用，使车体获得牵引力。
设有一与轨道平面垂直的磁场，磁感应强度B 随时间 t 和空间位置
x 变化规律为 B(x,t) B0 cos(ωt kx) 式中 ， B0,, k
均为己知
常量，坐标轴x与轨道平行，在任一时刻t 轨道平面上磁场沿x方向的分布是
Iaa Icc I1 I2
(4)
Ibb Idd I1 I2
(5)
根据基尔霍夫第二定律，有
I1R IaaR I1R Ibb R 2 1 (6)
I2R IddR I2R IaaR 2 1 (7)
根据(1)—(7)解得
Iba Icd I1
2 Bl 2 (cos sin )
不均匀的，如图所示.图中Oxy平面代表轨道平面，“×”表示磁场的方向垂
直Oxy平面指向纸里，“·”表示磁场的方向垂直Oxy平面指向纸外。规定指
向纸外时B取正埴，“ ×”和“·”的疏密程度表示沿着x轴B的大小分布。
一与轨道平面平行的具有一定质量的金属矩形框MNPQ处在该磁场中，已知与
