第三章运动学基础

第三章流体运动学基础

一、学习导引

1、流体的速度

流体的速度是一个矢量，记作

V 。x , y , z 方向的速度分量分别记作

u , v , w ,即

V ui vj wk ，流场的速度分布与空间坐标 x ，y ，z 以及时间t 有关，即

u v r cos v sin ,v v r sin v cos v r u cos vsin ,v usin

vcos

3、连续性方程

工程上常用的不可压缩流体的一元总流连续性方程为

V 宀 V 2 A 2

微分形式的连续性方程为

_

( u) ( V) ( w) 0

t x y

z

对于不可压缩流体，连续性方程为

V V(x,y,z,t)

流体质点的加速度等于质点速度对时间的变化率，即

dV V V dx V dy V dz a

dt t x dt y dt

zdt

t x

y

z

投影形式：

u

u

u u

a x u

v-

w —— t

x y z v

v v v a y u — v- — w — t

x y z w

w

w w a z

u

v

w t

x

y z

2、流线微分方程

在直角坐标中，流线方程为

dx dy dz

u

v w

在柱坐标中，流线方程为

dr rd

dz

v r v

v z

u —— v —— w 对于平面流动，这两种坐标系的速度分量的关系分别为

u 12i 2j

从而

3.1 度, 3.2

u v x y

w

0 z

二、习题详解

流体在等截面直圆管内作层流流动，过流断面上的流速分布为

2

U U

max 1

—

式中R 表示圆管的内半径，U max 和U 分别表示断面上的最大流速和断面上的分布速 R 。求断面平均流速。

u ，则

R

u 2 r dr

0 r

解：设管中平均速度为 R 2

—Umax

2

流体在等截面直圆管中作湍流流动，

过流断面上的流速分布为

U U max

式中n 为常数，R 、U max 及U 的意义与上题相同。

求平均流速；若n=7,平均流速为多少?

解： U

当n 7时：

3.3已知速度场为

U (2x 2y)i ( y x)j (x z)k

求：(2,4,2 )点的速度(大小和方向)。

解：将点坐标(2,4,2)代入上式，得

49 60

2n dr

. R 2

=

U max

n 1 2n 1

U

max

0.82U max

u

x 2 y 2

122 22

2、37 ；

方向为：_丄丄。

V37 A 37

3.4已知平面流动的速度场为

u (4y 6x)ti (6y 9x)tj

3.5上题中，若t=1,

⑴求该瞬时的流线方程；

⑵绘出x 0至x 4区间穿过x 轴的四条流线图形。 解：⑴ t=1 时，u 4y 6x v 6y 9x 流线方程为

dx dy

4y 6x 6y 9x

积分得所求流线方程为

9x 2 4y 2

12xy c

其中，c 为积分常数

⑵略

3.6已知平面速度场

u 1 y

t

解：将u 4y

6x t v 6y 9x t t=2 ，x=2 ，

u

u u

v

v a x

u

v ay -

u -

t x y

t

x

得

a x 4y

6x 2

a

y

6y 9x

6

求：t=2s 时，(2, 4)点的加速度为多少？

则 a Ja 2 a ：

2彳0

y=4代入加速度公式

v v

- y

求t=1时过（0,0）点的流线方程及t=1时位于（0,0）点的质点轨迹方程。解：解：该平面流动的流线微分方程为

dx dy

1y t

因x,y与t无关，可直接积分得到

2

2y y 2tx c

由t=1,x=0,y=0 可得：c=0

t 3

x t C2t C1

6

由t=1，x=1，y

=0，

得：C1 — C2 1

3 2

故t=1时，过（0，0）的迹线方程为

3

3.7试求下列流动中的线变形率和角变形率。

⑴u ky, kx ；

⑵u

y x

2 2 ， 2

x y x y

⑶u 2y, 2x。

迹线微分方程为

dx彳

—1 y

dt

及

鱼t

dt

0；

①

②所以，当t=1时，过（0, 0）的流线方程为：2y 2y2 2x

1 2

由②式积分得：y t C2，将其代入①式积分得

2

2