图 4
立体几何专题
1．如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，AD AE =，
F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点
G ，将ABF
∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中BC =
． (1) 证明：DE //平面BCF ； (2) 证明：CF ⊥平面ABF ；
(3) 当2
3
AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -．
【解析】（1）在等边三角形ABC 中，AD AE =
AD AE
DB EC
∴
=
,在折叠后的三棱锥A BCF -中 也成立，//DE BC ∴ ,DE ⊄平面BCF ，
BC ⊂平面BCF ，//DE ∴平面BCF ；
（2）在等边三角形ABC 中，F 是
BC 的中点，所以AF BC ⊥①，12
BF
CF ==. 在三棱锥A BCF -中，2
BC =
，222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥② BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥平面；
（3）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GE
DFG ⊥平面
.
111111132323323324F DEG E DFG
V V DG FG GF --⎛⎫∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
【解析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.
2．如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中,AB ⊥平面PAD,AB CD,PD=AD,E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF=
2
1
AB,PH 为∆PAD 中AD 边上的高． （1） 证明：PH ⊥平面ABCD ；
（2） 若PH=1，AD=2,FC=1，求三棱锥E-BCF 的体积； （3） 证明：EF ⊥平面PAB ． 解：(1)
ABCD
PH PAD PAD AB PAD 平面所以平面，面又中的高为⊥=⋂⊥∴⊂⊥⊥∴∆A
AD AB AB PH PH AD PH PH
(2):过B 点做BG G CD BG ，垂足为⊥；
连接HB,取HB 中点M ，连接EM ，则EM 是BPH ∆的中位线
ABCD )1(平面知：由⊥PH
ABCD 平面⊥∴EM BCF 平面ＥＭ⊥∴
即EM 为三棱锥B CF -E 底面上的高
BG FC •=
∆2
1S BCF =22
2121=
⨯⨯
2
1
21=
PH ＥＭ＝12
221223131
=⨯⨯=••=-EM
S V BCF BCF E
（3）：取AB 中点N ，PA 中点Q ，连接EN ，FN ，EQ ，DQ N
FN EN FN AB NADF AB 2
1
DF //EN PAB EN PAD PAD AB PAD ,//=⋂⊥∴∴=⊥∴∴∆⊥∴⊂⊥∴⊥是距形四边形又的中位线是又平面，平面平面 EN
AB PA PA
AB PA CD CD AB
3、如图，已知三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ， AC ⊥BC ， M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。 （Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ；
（Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ；
（Ⅲ）若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D —BCM 的体积．
4、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，其棱长为2，O 是底ABCD 对角线的交点。 求证：（1）C 1O ∥面AB 1D 1；
（2）A 1C ⊥面AB 1D 1。
NEF
AB N NE NF
NF AB NADF AB
EF NEF EF NEF AB 平面是距形四边形平面又平面⊥∴=⋂⊥∴∴⊥∴⊂⊥∴
（3）若M 是CC 1的中点，求证：平面AB 1D 1⊥平面MB 1D 1
5.如图，P A 垂直于矩形ABCD 所在的平面，AD ＝P A ＝2，CD ＝22，E 、F 分别是AB 、PD 的中点.
(1)求证：AF ∥平面PCE ； (2)求证：平面PCE ⊥平面PCD ； (3)求四面体PEFC 的体积.
6.如图，已知在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AC ＝BC ，M 、N 、P 、Q 分别是
AA 1、BB 1、AB 、B 1C 1的中点. (1)求证：平面PCC 1⊥平面MNQ ；
D 1O
D
B A
C 1
B 1
A 1
C
M
(2)求证：PC 1∥平面MNQ .
7.如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，
E 、
F 分别为1DD 、DB 的中点.
（1）求证：EF //平面11D ABC ； （2）求证：EF C B 1⊥
8.右图为一简单集合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，
//EC PD ，且2PD AD EC ===2 .
（1）画出该几何体的三视图； （2）求四棱锥B －CEPD 的体积；
P
D
E
（3）求证：//BE 平面PDA ．
9.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点． （1）求证：EFP GC 面⊥； （2）求证：；EFG PA 面//； （3）求三棱锥P EFG -的体积．
3、解：（Ⅰ）由已知得，MD 是∆ABP 的中位线
∴AP MD ∥ ……………2分
