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专题学习：证明线段的和差 （王成.2012-04-19）
一、中考题回顾：
（2011．泸州中考）如图，点P 为等边∆ABC 外接圆劣弧BC 上的一点。求证：PA=PB+PC 。
按照这种思路，尝试完成下面这道题。 二、例题分析
例：如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，求证：AB=AC+BD 。
评讲：容易得到∠AEB=900
。
法一：在AB 边上取点F ，使AF=AC ，证BF=BD 。→分析：这种方法就是把长线段AB 分割成两段，通过将AC 、BD 转化到AB 上，从而使问题获证。本题是利用什么来转化的？（线段相等）利用什么来证相等的？（三角形全等）在证BED ∆≌BEF ∆时之所以如此顺利是因为利用好了题目中的哪个条件？（EBF EBD ∠=∠）→可以看作是将ACE ∆作了怎样的变换？（关于直线AE 成轴对称）
法二：延长AC 、BE 相交于点D ，证AD=AB 。→分析：这种方法就是把BD 转化到CD ，将两条短线段拼接在一起构成线段AD ，通过证明AD=AB ，从而使问题获证。本题是利用什么来实现转化的？（线段相等）利用什么来证相等的？（三角形全等）在证ABE ∆≌ADE ∆时之所以如此顺利是因为利用好了哪个条件？（AE 平分CAB ∠）在证BED ∆≌DEC ∆时之所以如此顺利是因为利用好了哪个条件？（BE DE =）→可以看作是将BED ∆作了怎样的变换？（关于点E 成中心对称）
分析：若问题改成“求证：AB —AC=BD ”也可用这样的方法完成。
小结：像这样，证明线段的和或差大都采用转化的方法进行，就是将有关系的线段转化在一条线段上，转化时大都利用相等转化。（板书：证明证明线段的和差的思想：转化。） 证明线段相等时可能用到的定理： ①全等三角形的对应边相等； ②等腰三角形：等角对等边。 ③平行四边形对边相等；
④菱形、正方形四条边都相等；
⑤轴对称图形、中心对称图形、旋转对称图形、平移前后的图形的对应边都相等。 ⑥线段中垂线上的点到这条线段两个端点的距离相等； ⑦角平分线上的点到这个角两边的距离相等； ⑧切线长定理。 ……
这种题目通常需要作辅助线，作辅助线的目的是实现线段的转化。作辅助线时可以采用的思路有两种：截长、补短。（板书：辅助线作法：割长、补短）
作辅助线时还要考虑如何才能将题目中已有的相等条件利用起来使证明过程变得更顺利。运用旋转、中心对称之类的图形的变换方式思考问题常会使问题的转化变得容易。初中阶段图形的变换方式有：平移、轴对称、旋转（中心对称）。
三、练习：
1、已知：在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，AF 平分∠DAE ，交CD 于F 。求证：AE ＝BE ＋DF
（分析：延长CD 到点G ，使DG=BE 。）
2、以Rt △ABC 两直角边AC ，BC 为边向形外作正方形ACDE 和BCFG ，分别过E ，G 作斜边AB 所在直线的垂线段EE ’，GG ’。求证：AB ＝EE ’＋GG ’。 （分析：过C 作AB CM ⊥于M ）
3、如图，在△ABC 中，BD=FC ，FG ∥DE ∥BA ，D 、F 在BC 上，E 、G 在AC 上。
求证：FG=AB —DE 。
（分析：过D 作DH ∥AC 交AB 于H 。）
4、如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AE 是经过点A 的一条直线，交BC 于F ，且B 、C 在AE 在的异侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E 。
求证：DB=DE+CE 。
5、如图，已知⊿ABC 中，0
90BAC ∠=，AB=AC ，点P 为BC 边上一动点（BP (2) 若点P 为BC 延长线上一点，其他条件不变，则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的 数量关系？画图并直接写出你的结论。 E C 6、如图，正方形ABGE （四边相等，四个角都等于0 90）中，点D 在EG 上，点C 在BG 上，且0 45DAC ∠=。求证：CD=DE+CB 。 （分析：延长GB 到M ，使BM=ED ） 7、如图，在上题中，若点D 在EG 的延长线上，点C 在GB 的延长线上，其余条件不变。求证：DE=BC+CD 。 （分析：在EG 上取点 M ，使 EM=BC ） C G D 分析： 四、拓展： （1）教师：利用这种转化思想，在求一条线段长度时，若该线段不存在于像直角三角形这样的特殊图形中而不能直接求出时，可采用分割的方法将其转化为两段：分别求出再相加。 的平分线交⊙O于（2010.湖北武汉）如图，⊙O的直径AB长为10，弦AC长为6，ACB 点D，则CD的长为_____________。 （2）线段的转化还常和角相联系。 已知：在正方形ABCD中，点E在AB上且CE＝AD＋AE，F是AB的中点 求证：∠DCE＝2∠BCF。 分析：方法一：将AE的等量加在CD的延长线上。（延长CD到G，使DG=AE，如图1） 方法二：将CD的等量加在BA的延长线上。（延长BA到G，使AG=CD，如图2） 图1 图2 五、课后作业： 1、已知：△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD 是高。求证：DC ＝AB ＋BD 。 2、△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD 是角平分线。求证：AC ＝AB ＋BD 。 3、已知：等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝Rt ∠，BD 是角平分线。 求证：BC ＝AB ＋AD 。 4、已知：△ABC 中，∠A ＝100 ，AB ＝AC ，BD 是角平分线。 求证：BC ＝BD ＋AD 。 5、如图，⊿ABC 中，0 90BAC ∠=，AC=2AB ，BO 为中线，AD 为高，OG ⊥AC ，OE ⊥OB 。求证：BC=CE+FG 。 O B 6、 如图，⊿ABC 中，CA=CB ，0 45CAB CBA ∠=∠=，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，点E 为 BC 的中点，CN ⊥AE 交AB 于N ，AE 交CD 于M 。求证：CN+EN=AE 。 N D B 7、如图，⊿ABC 中，0 90ACB ∠=，AC=BC ，若直线l 过顶点A ，BM ⊥l 于M ，CN ⊥l 于N 。 （1）求证：BM+CN=AN ；
