•复习1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。
•引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算
问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。
•讲授新课
第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法
一基本积分公式
由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：
以函
数的的形式。
求函数的不定积分的方法叫积分法。 例1•求下列不定积分.（1）
AdX
（ 2） XdX
_ 1
丄+
彳
解：（1 ） . 2
dx
=
x'dx
C=-1C
X
-2 1
X
3
2
5
（2
）.XXdX = χ2
dx =
2
X 2
C J 5
此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为
数的积分公式求积分。
不定积分的基本运算法则
X 〉的形式，然后应用幕函
法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即
[f (X) — g (x)]dx = f (x)dx — g (x)dx
法则1对于有限多个函数的和也成立的.
法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即
kf (x)dx = k f (x)dx ( k = O )
3
X
例 2 求(2x 1 -e )dx
解
(2x 3
1-e" )d )=2 x 3dx + dx - e x dx
1 4 X =X X —e C 。 2
注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，
但是这里并不需要在每一项后面加上
一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和
C 写在末尾，以后仿此。
注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例 由于(-X 4 ^e X C) = 2X 3 ^e X ,所以结果是正确的。
2
三直接积分法
在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果(如上例)但有时，被 积函数常需要经过适当的恒等变形(包括代数和三角的恒等变形)再利用积分的性质和公式求出结 果，这样的积分方法叫直接积分法。
例3 求下列不定积分
解：
(1)首先把被积函数^x - I 1
化为和式，然后再逐项积分得
VX
1 √X
(1)J (V Σ+1)( X -^^=)dx
(2)J x 2 dx
)dx
2
1
= x 、XdX 亠 I xdx _ dx — dx
' L L L
√x
2 5 1 1
=x 2 χ2 -x -2x 2 C 。 5 2
注：（ι）求函数的不定积分时积分常数 C 不能丢掉，否则就会出现概念性的错误。
（2） 等式右端的每个不定积分都有一个积分常数，因为有限个任意常数的代数和仍是一个常
数，所以只要在结果中写一个积分常数
C 即可。
（3） 检验积分计算是否正确，只需对积分结果求导，看它是否等于被积函数。若相等，积分
结果是正确的，否则是错误的。
dx
= dx 「2 P x -2arctan X C 。 J χ2 +1
3
-X arctanx C
2 2
解: ( 1) tan XdX= (SeC xT)dx
2
SeC xdx - dx = tan x - x C
(2) sin 2 ；dx
1 - cos X
1
dx = 2 2
上例的解题思路也是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分, 的恒等变换。
2
X 1^
2
dx= (1_r^)dx X 2 1 X 2
1
上例的解题思路是设法化被积函数为和式,
然后再逐项积分,
是一种重要的解题方法,
须掌握。
练习
x-3x 2 2x 4
X 2
dx ，
2x 2 1
2 2 dx ，
3 x 2(x 2 1)
1 X 2
dx 。
答案
1X 2
-3x 2ln|x|-4
C ,
arcta n
χ-1
c ， X
例4 求下列不定积分.（1）
tan 2
χdx
X
(2
)
s
G dx
1 Sin
不过它实现化和是利用三角式
(2)
X =
2
练习1 cot XdX
答案1 「cot X-X C . 2 X J C
cos dx 3
2
1
(X Sin x) C
2
cos2x I
dx
COSX-S inx
3 Sin X - cosx C
2
例5 设f (sin x)
2
= COS
X，
求f (x) ∙
解：由于f (Sin2x) =cos2x = 1 - sin2x，
所以f (x) =1 -X，故知f (x)是1 - X的原函数，因此
f (X)
2
, X
=(1 - x)dx =X C ∙■ 2
小结基本积分公式，不定积分的性质，直接积分法。练习求下列不定积分∙
(1) (3)
2
(1「2Sinx )dx (2)(
X
(t 1)2
dt，( 4)
t
-V」
cos X Sin
(9)
答案1
1t 2 )dx
X
(5)(6xχ6)dx，
(6)X，( 7)CSC(CSCX - cot
χ)dx，
(COS- Sin-)2dt，( 10)
2 2
X 2COSX 2ln|X| C，
2
2t ln Itl C，
X
-1X7 C，
ln6 7
一CotX CSCX C，
t 一CoSt C，10 (8)
cos2x I 厂
dx，
Sin X
(tan2χ-1)dx，( 11) e x(3x
√1
2 tan x-cot X C，
2arcsin -3arctaħ C，
3 -x C，
8 -CotX- 2 C，
(3e)x
tan X~2X C , 11 2arcsirκ C。
1 In3 X
2e )d x。
2 -X
