动点与平行四边形存在性问题(解析版)

平行四边形动点问题方法总结大家好，今天我们来聊聊平行四边形动点问题。

这个问题可大可小，有时候我们在生活中也会碰到这样的问题。

比如说，你拿着一个碗，碗口朝下放在地上，然后用一根棍子在碗里搅动，碗里的水会形成一个漩涡。

这个现象背后就隐藏着平行四边形动点问题。

那么，我们怎么解决这个问题呢？接下来，我就要给大家普及一下解决平行四边形动点问题的三大法宝：三角形法则、相似三角形法则和向量法。

我们来说说三角形法则。

三角形法则是解决平行四边形动点问题的基本方法。

它的核心思想是利用三角形的三个顶点和三条边的关系，将平行四边形分解成若干个三角形，然后分别求解这些三角形的问题，最后将结果合并起来得到原问题的解。

这个方法简单易懂，而且非常实用。

但是，有时候三角形法则并不能直接解决问题，这时候我们就需要用到第二个法宝：相似三角形法则。

相似三角形法则是解决平行四边形动点问题的另一个重要方法。

它的核心思想是利用相似三角形的性质，将平行四边形分解成若干个相似的三角形，然后分别求解这些三角形的问题，最后将结果合并起来得到原问题的解。

这个方法比三角形法则更加灵活，可以处理更多的问题类型。

但是，相似三角形法则也有它的局限性，有些问题无法用相似三角形法则解决。

这时候，我们就需要用到第三个法宝：向量法。

向量法是解决平行四边形动点问题的最高级方法。

它的核心思想是利用向量的概念，将平行四边形分解成若干个向量，然后分别求解这些向量的问题，最后将结果合并起来得到原问题的解。

这个方法非常强大，可以处理各种复杂的问题类型。

而且，向量法还有一个优点，就是它可以避免一些几何陷阱，让你在解决问题的过程中更加得心应手。

解决平行四边形动点问题有三大法宝：三角形法则、相似三角形法则和向量法。

这三大法宝各有优缺点，我们需要根据具体的问题类型来选择合适的方法。

如果你觉得这些方法还是太难了，也不用担心，我们还有很多其他的方法可以用来解决这个问题。

比如说，你可以尝试画图、列方程、用公式等等。

专题17 函数动点问题中平行四边形存在性类型一、平行四边形存在性结论：A C B D A C B Dx x x x yy y y +=+⎧⎨+=+⎩类型二、特殊平行四边形存在性1. 矩形存在性常用解题思路：构造一线三直角（借助相似或三角函数求解）；利用矩形对角线相等（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）借助勾股定理求解等.2. 菱形存在性常用解题思路：利用菱形四条边相等，对角线互相垂直，借助勾股定理等求解.3. 正方形存在性常用解题思路：兼具矩形和菱形二者.【例1】（2018·郑州预测卷）如图，直线y =与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y =334x -+经过B 、C 两点.234ax x c ++（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一个动点，当△BEC 的面积最大时，求出点E 的坐标和最大值；（3）在（2）条件下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使以点P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵直线y =与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，334x -+∴B (0,3)，C (4,0)，将B (0,3)，C (4,0)代入y = 得：234ax x c ++，解得：，16303a c c ++=⎧⎨=⎩383a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为：.233384y x x =-++（2）过点E 作EF ⊥x 轴于F ，交BC 于M，设E （x ，），则M （x ，），233384x x -++334x -+∴ME =－（）=233384x x -++334x -+23382x x-+∴S △BEC =×EM ×OC 12=2EM=2()23382x x -+=,()23234x --+∴当x =2时，△BEC 的面积取最大值3，此时E (2，3).（3）由题意得：M (2，)，抛物线对称轴为：x =1，A (－2,0),32设P (m ，y )，y =，Q (1，n )233384m m -++①当四边形APQM 为平行四边形时，有：，解得：m =－3，212m -+=+即P (－3，)；218-②当四边形AMPQ 为平行四边形时，有：－2+m =2+1，即m =5即P (5, )；218-③当四边形AQMP 为平行四边形时，有：2－2=1+m ，得：m =－1，即P (－1，)；158综上所述，抛物线上存在点P ，使以点P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标为：(－3，)，(5, )，(－1，).218-218-158【变式1-1】（2018·河师大附中模拟）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A (－1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，－3).（1）求抛物线的解析式与顶点M 的坐标；（2）求△BCM 的面积与△ABC 面积的比；（3）若P 是x 轴上一个动点，过P 作射线PQ ∥AC 交抛物线于点Q ，随着P 点的运动，在x 轴上是否存在这样的点P ，使以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (－1，0)，B (3，0)， C (0，－3)代入y =ax 2+bx +c ，得：，09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩解得：a =1，b =－2，c =－3，即抛物线的解析式为：y=x2－2x－3，顶点M的坐标为：（1，－4）；（2）连接BC，BM，CM，过M作MD⊥x轴于D，如图所示，S△BCM=S梯形ODMC+S△BDM－S△BOC=3，S△ACB=6，∴S△BCM：S△ACB=1：2；（3）存在.①当点Q在x轴上方时，过Q作QF⊥x轴于F，如图所示，∵四边形ACPQ为平行四边形，∴QP∥AC，QP=AC∴△PFQ≌△AOC，∴FQ=OC=3，∴3=x2﹣2x﹣3，解得x或x，∴Q，3)或，3)；②当点Q在x轴下方时，过Q作QE⊥x轴于E，如图所示，同理，得：△PEQ ≌△AOC ，∴EQ =OC =3，∴﹣3=x 2﹣2x ﹣3，解得：x =2或x =0(与C 点重合，舍去)，∴Q (2，﹣3)；综上所述，点Q 的坐标为：，3)或，3)或(2，﹣3).【例2】（2018·郑州三模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx －5与x 轴交于A (-1,0),B (5,0)两点，与y 轴交于点C .（1）求抛物线的解析式；（2）如图2所示，CE ∥x 轴与抛物线相交于点E ，点H 是直线CE 下方抛物线上的动点，过点H 且与y 轴平行的直线与BC 、CE 分别交于点F 、G ，试探究当点H 运动到何处时，四边形CHEF 的面积最大，求点H 的坐标及最大面积；（3）点M 是（1）中所求抛物线对称轴上一动点，点N 是反比例函数y =图象上一点，若以点B 、kxC 、M 、N 为动点的四边形是矩形，请直接写出满足条件的k 的值.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (-1,0),B (5,0)代入y =ax 2+bx －5得：，解得：，5025550a b a b --=⎧⎨+-=⎩14a b =⎧⎨=-⎩即抛物线的解析式为：y =x 2－4x －5.（2）在y =x 2－4x －5中，当x =0时，y =－5，即C (0，－5),∵CE ∥x 轴，则C 、E 关于直线x =2对称，∴E (4，－5), CE =4，由B （5,0）, C (0，－5)得直线BC 的解析式为：y =x －5，设H (m ，m 2－4m －5)，∵FH ⊥CE ，∴F (m ，m －5)，∴FH = m －5－（m 2－4m －5)= －m 2+5m ，S 四边形CHEF =·FH ·CE 12=（－m 2+5m ）×412=－2（m －）2+，52252当m =时，四边形CHEF 的面积取最大值，此时H (，).5225252354-（3）设M （2，m ），N (n ，)，B (5,0)，C (0，－5)，k n①当BC 为矩形对角线时，此时：2+n =5+0，m +=0－5，即n =3，kn设BC 与MN 交于点H ，则H (，)，MH =BC ，5252-12∴，22255222m ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：m =1或m =－6，当m =1时，k =－18；m =－6时，k =3，②当BC 为矩形边时，分两种情况讨论：（i ）当点M 在直线BC 下方时，即四边形BCMN 为矩形，则∠BCM =90°，2+5=n +0，m =－5，kn过M 作MH ⊥y 轴于H ，则由OB =OC 知，∠OCB =45°，∴∠MCH =∠CMH =45°，即CH =MH ，∴－5－m =2，解得：m =－7，n =7，k =－14；（ii ）当点M 在直线BC 上方时，即四边形BCNM 为矩形，则∠CBM =90°，n +5=2，=m －5，kn设对称轴与x 轴交于点H ，同理可得：BH =MH ，∴3=m ，n =－3，k =6；综上所述，k 的值为：－18，3，－14或6.【变式2-1】（2019·驻马店二模）如图，抛物线 y =-x 2+bx +c 经过 A (-1，0)，B (3，0)两点，且与 y 轴交于点 C ，点 D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E ，连接BD ．（1）求经过 A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式．（2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE =PC 时，求点 P 的坐标．（3）在（2）的条件下，过点 P 作 PF ⊥x 轴于点 F ，G 为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F ，M ，G ，N 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线 y =-x 2+bx +c 经过 A (-1，0)，B (3，0)两点，∴，解得：，10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩23b c =⎧⎨=⎩即抛物线的解析式为：y =-x 2+2x +3.（2）由y =-x 2+2x +3知，C (0，3)，E (1，0)，D (1,4)，可得直线BD 的解析式为：y =-2x +6，设P （m ，-2m +6），由勾股定理得：PE 2=，PC 2=，()()22126m m -+-+()22263m m +-+-由PE =PC ，得：=，()()22126m m -+-+()22263m m +-+-解得：m =2，即P (2，2).（3）∵M 在x 轴上，N 在直线PF 上，∴∠NFM =90°，由四边形MFNG 是正方形，知MF =MG ，设M (n ，0)，则G (n ，-n 2+2n +3)，MG =|-n 2+2n +3|，MF =|n -2|，∴|-n 2+2n +3|=|n -2|，解得：n n n 或n ，故点M 0），，0），，0），，0）.【变式2-2】（2019·大联考）如图1，抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），点P 在抛物线上，且在x 轴的上方，点P 的横坐标记为t .（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点P 作y 轴的平行线交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ，若MC 平分∠PMO ，求t 的值.（3）点D 在直线AC 上，点E 在y 轴上，且位于点C 的上方，那么在抛物线上是否存在点P ，使得以点C 、D 、E 、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出菱形的面积.图1图2【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），∴，解得：，301640c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩39434c b a ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩即抛物线的解析式为：y =x 2x +3.34-94-（2）由A (-4,0)，C (0,3)得直线AC 的解析式为：y =，334x +∵点P 的横坐标为t ，∴M (t , )，334t +∵PN ∥y 轴，∴∠PMC =∠MCO ，∵MC 平分∠PMO ，∴∠PMC =∠OMC ，∴∠MCO =∠OMC ，即OM =OC =3，∴OM 2=9，即，解得：t =0（舍）或t =，223394t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭7225∴当MC 平分∠PMO 时，t =.7225（3）设P (t , t 2t +3)，34-94-①当CE 为菱形的边时，四边形CEPD 为菱形，则PD ∥y 轴，CD =PD ，则D (t ，),334t +∴PD =t 2t +3－（）=t 2t ，34-94-334t +34-3-由勾股定理得：CD =，54t -∴t 2t =，解得：t =0（舍）或t =，34-3-54t -73-即PD =，菱形面积为：×=；351235127324536②当CE 为菱形的对角线时，此时P 与D 点关于y 轴对称，则D (-t , t 2t +3)，将D 点坐标代入y =，得：34-94-334x +t 2t +3=，解得：t =0（舍）或t =－2，34-94-()334t -+PD =4，CE =3，菱形的面积为：×4×3=6；12综上所述，菱形的面积为：或6.245361.（2019·南阳毕业测试）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB ＝4，矩形OBDC 的边CD ＝1，延长DC 交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵矩形OBDC 的边CD ＝1，∴OB ＝1，由AB ＝4，得OA ＝3，∴A （﹣3，0），B （1，0），∵抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点，∴a +b +2=0，9a －3b +2=0，解得：a =，b =，23-43-∴抛物线解析式为y ＝x 2x +2；23-43-（2）以AC 为边或对角线分类讨论：A （﹣3，0），C （0，2），抛物线y ＝x 2x +2的对称轴为x ＝﹣1，23-43-设M (m , y M )，N (－1，n )，y M =m 2m +223-43-①当四边形ACMN 为平行四边形时，有：，312Mm y n -+=-⎧⎨=+⎩解得：m =2，y M =，即M (2，)；103-103-②当四边形ACNM 为平行四边形时，有：，312Mm y n --=⎧⎨+=⎩解得：m =－4，y M =，即M (－4，)；103-103-③当四边形AMCN 为平行四边形时，有：，312Mm y n -=-⎧⎨=+⎩解得：m =－2，y M =2，即M (－2，2)；综上所述，点M 的坐标为（2，）或（﹣4，）或（﹣2，2）．103-103-2.（2019·开封模拟）如图，直线y ＝﹣x +4与抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 交于A ，B 两点，点A 在y 轴上，12点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴下方的抛物线上存在一点P ，使得∠ABP ＝90°，求出点P 坐标；（3）点E是抛物线对称轴上一点，点F 是抛物线上一点，是否存在点E 和点F 使得以点E ，F ，B ，O 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）在y ＝﹣x +4中，当x ＝0时， y ＝4，当y ＝0时，x ＝4，即点A 、B 的坐标分别为（0，4）、（4，0），将（0，4）、（4，0），代入二次函数表达式，并解得：b =1，c =4，抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+x +4；12（2）∵OA ＝OB ＝4，∴∠ABO ＝45°，∵∠ABP ＝90°，则∠PBO =45°，若直线PB 交y 轴于点M ，则OM =OB =4，可得直线BP 的解析式为：y =x －4，联立：y =x －4，y ＝﹣x 2+x +4，得：12x =4，y =0(即B 点)；x =－4，y =－8，即P (－4，－8).（3）存在；由y ＝﹣x 2+x +4知抛物线的对称轴为：x =1，12设E (1，m )，F (n ，﹣n 2+n +4)，O (0,0)，B (4,0)，12①当四边形OBEF 是平行四边形时，有：EF =4，∴n -1=-4，即n =-3，F 点坐标为（-3，）；72-②当四边形OBFE 是平行四边形时，有：EF =4，n -1=4，即n =5，F 点坐标为（5，）；72-③当四边形OFBE 是平行四边形时，有：,410Fnm y =+⎧⎨=+⎩即n =3，F 点坐标为（3，）；52综上所述：点F 的坐标为（5，），（﹣3，），（3，）．72-72-523.（2019·开封二模）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +2与直线y ＝﹣x 交第二象限于点E ，与x 轴交于A （﹣3，0），B 两点，与y 轴交于点C ，EC ∥x 轴．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N 是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线上存在一动点M，若以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知：A （﹣3，0），C （0，2），EC ∥x 轴∴点E 的纵坐标为2，∵点E 在直线y ＝﹣x 上，∴点E （﹣2，2），∵将A （﹣3，0）、E （﹣2，2）代入y ＝ax 2+bx +2，得：，解得：93204222a b a b -+=⎧⎨-+=⎩2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩抛物线的解析式为：；224233y x x =--+（2）由知，抛物线的对称轴为x =－1，224233y x x =--+设N (－1，n )，M (m ，)，224233m m --+∵A （﹣3，0），C （0，2），（1）当四边形ACNM 是平行四边形时，有：，得：m =－4，y M = ；312Mm n y --=⎧⎨=+⎩103-即M (－4，).103-（2）当四边形ACMN 是平行四边形时，有：，得：m =2，y M = ；312Mm n y -+=-⎧⎨+=⎩103-即M (2，).103-（3）当四边形ANCM 是平行四边形时，有：，得：m =－2，y M = 2；312Mmn y -=-+⎧⎨=+⎩即M (－2，2).综上所述，M 点的坐标是(－4，)，(2，)，(－2，2).103-103-4.（2019·名校模考）如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1（a ≠0）交x 轴于A ，B （1，0）两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF ⊥x 轴，交抛物线于点F（1）求抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系内存在点G ，使得G ，E ，D ，C 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G 的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）将y ＝0代入y ＝x +3，得x ＝﹣3．∴A （﹣3，0）．∵抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1交x 轴于A （﹣3，0），B （1，0）两点，∴，解得：109310a b a b +-=⎧⎨--=⎩1323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩抛物线的解析式为y ＝x 2+x ﹣1；1323（2）点G 的坐标为（2，1），（，﹣1），（，﹣1），（﹣4，3）．①当四边形DCEG 是菱形时，CD =CE =EG =4，设E (m ，m +3)，则G （m ，m +7），由C (0，－1)，E (m ，m +3)，得：CE 2=m 2+(m +4)2=16，解得：m =0（舍）或m =－4，此时G (－4,3)；②当四边形DCGE 是菱形时，CG 2=16,设E (m，m +3)，则G （m，m －1），即m 2+ m 2=16，解得：m =m =－此时，G (1)或G (－－1)；③当四边形DGCE 是菱形时，设E (m ，m +3)，则G （－m ，－m －1），此时E 在CD 的垂直平分线上，即m +3=1，m =－2，此时G (2，1);综上所述，点G 的坐标为：(－4,3)、(1)、(－－1)、(2，1).5.（2019·枫杨外国语三模）（2019·枫杨外国语三模）如图，抛物线 y ＝﹣x 2+bx +c 与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于点 C ，点 A 的坐标为(-1，0)，点 C 的坐标为(0，3)，点D 和点 C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 与 y 轴交于点 E ．（1）求抛物线的解析式；（2）点 M 是抛物线的顶点，点 P 是 y 轴上一点，点 Q 是坐标平面内一点，以 A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是以 AM 为边的矩形．若点 T 和点 Q 关于 AM 所在直线对称，求点 T 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）将 (-1，0)， (0，3)代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得：－1－b +c =0，c =3，解得：b =2，c =3，即抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3.（2）由y ＝﹣x 2+2x +3知，点M (1，4)，分两种情况讨论，①当四边形MAPQ 是矩形时，过M 作MH ⊥x 轴于H ，则MH =4，AH =2，易证得：∠APO =∠MAH ，∴tan ∠APO = tan ∠MAH ，即=2，OA MHOP AH∴OP =，12即P （0，－），12由A (-1，0)、M (1，4)，P （0，－）得：点Q 坐标为（2，），1272∵点 T 和点 Q 关于 AM 所在直线对称，即点Q 与点T 关于点M (1，4)对称，∴T (0，)；92②当四边形AMPQ 是矩形时，同理可得：T (0，)；12-综上所述，点 T 的坐标为(0，)，(0，).9212-6.（2019·焦作二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =x +b 的图象经过点A (-2，0)，与反比例函数（x >0）的图象交于点B (a ，4).ky x=（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设M 是直线AB 上一点，过M 作MN ∥x 轴，交反比例函数（x >0）的图象于点N ，若以ky x=A ，O ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的横坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (-2,0)代入y =x +b ，得：b =2，即一次函数的解析式为：y =x +2，将B (a ，4)代入y =x +2，得：a =2，即B (2，4),将B (2，4)代入得：x =8，ky x=即反比例函数的解析式为：.8y x=（2）设M (m ，m +2)，则N (，m +2)，82m +由题意知，MN ∥OA ，则需MN =OA =2时，以A ，O ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，∴=2，82m m -+解得：m =或m =－（舍）或m =或m =－（舍），22-∴点M 的坐标为：（，，+2）.27.（2019·许昌月考）如图1，二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （3，0），B （﹣1，0）两点，43与y 轴交于点C ．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求△ACD 的面积（请在图1中探索）；（3）若点P ，Q 同时从A 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB ，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P ，Q 运动到t 秒时，△APQ 沿PQ 所在的直线翻折，点A 恰好落在抛物线上E 点处，请直接判定此时四边形APEQ 的形状，并求出E 点坐标（请在图2中探索）．图1图2【答案】见解析．【解析】解：（1）∵二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （3，0），B （﹣1，0），43∴，解得：，493034103b c b c ⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯-+=⎪⎩834b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩即抛物线的解析式为：y =x 2﹣x ﹣4；4383（2）过点D 作DM ⊥y 轴于点M ，y =x 2﹣x ﹣44383=（x ﹣1）2﹣，43163∴点D （1，﹣）、点C （0，﹣4），163S △ACD =S 梯形AOMD ﹣S △CDM ﹣S △AOC=×（1+3）×﹣×（﹣4）×1﹣×3×4121631216312=4；（3）四边形APEQ 为菱形，理由如下：E 点关于PQ 与A 点对称，过点Q 作QF ⊥AP 于F ，由折叠性质知： AP =EP ，AQ =EQ ∵AP =AQ =t ，∴AP =AQ =QE =EP ，∴四边形AQEP 为菱形，∵FQ ∥OC ，∴，AF FQ AQOA OC AC ==∴345AF FQ t==∴AF =t ，FQ =t ，Q （3﹣t ，﹣t ），E （3﹣t ﹣t ，﹣t ），354535453545∵E 在二次函数y =x 2﹣x ﹣4上，4383∴﹣t =（3﹣t ）2﹣（3﹣t ）﹣4，4543858385∴t =或t =0（舍去），14564∴E （﹣，﹣）．5829168.（2018·新乡一模）如图，一次函数分别交y 、x 轴于A 、B 两点，抛物线122y x =-+过A ，B 两点.2y x bx c =-++（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直于x 轴的直线x ＝t，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N . 求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？（3）在(2)的情况下，以A ，M 、N 、D 为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D 的坐标.【答案】见解析【解析】解：（1）在得，当x =0时，y =2；y =0时，x =4，122y x =-+即A （0，2），B （4，0），把A (0，2)，B (4，0)代入，得：2y x bx c =-++，解得，21640c b c =⎧⎨++=⎩-722b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴抛物线解析式为.2722y x x =-++（2）由题意知，，，1(,2)2M t t -+27(,2)2N t t t -++∴MN =2712(2)22t t t -++--+=，2(2)4t --+∴当t =2时，MN 有最大值4.（3）根据平行四边形的性质，得：D 点坐标为：（0，6），（0，-2）或（4，4）.9.（2019·周口二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设E 是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，再过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，得到矩形EFGH ．在点E 的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，直接写出该正方形的边长．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，∴，4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得：，13a b =-⎧⎨=⎩即抛物线的解析式为：y =－x 2+3x +4.（2）∵四边形EFGH 是矩形，∴当EF =EH 时，四边形EFGH 是正方形，设E (m , －m 2+3m +4)，则F (3－m ，－m 2+3m +4)，m >，32∴EF =2m －3，EH =|－m 2+3m +4|，∴2m －3=|－m 2+3m +4|，解得：m或m（舍）或m或m（舍）∴正方形的边长EF －2，综上所述，正方形EFGH 的边长为：－2.10.（2019·郑州一中模拟）如图所示，平面直角坐标系中直线y =x +1交坐标轴于点A 、D 两点，抛物线y =ax 2+bx －3经过A 、C 两点，点C 坐标为（a ，5）. 点M 为直线AC 上一点，过点M 作x 轴的垂线，垂足为F ，交抛物线于点N .（1）求抛物线解析式；（2）是否存在点M ，使得以点D 、E 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，如果有，求点M 的坐标，如果没有，请说明理由.【解析】解：∵直线y =x +1交坐标轴于点A 、D 两点，∴A (－1,0)，D (0，1)，∵点C （a ，5）在直线y =x +1上，∴a =4，即C (4,5)，将A (－1,0)，C (4,5)代入y =ax 2+bx －3得：，解得：，3016435a b a b --=⎧⎨+-=⎩12a b =⎧⎨=-⎩∴抛物线的解析式为：y =x 2－2x －3.（2）存在，E （0，－3），∴DE =4，由题意知：DE ∥MN ，∴当DE =MN =4时，四边形DENM 是平行四边形，设N (m , m 2－2m －3)，则M (m , m +1)，∴| m +1-（m 2－2m －3）|=4，解得：m =0（舍）或m =3或m 或m ，综上所述，点M 的坐标为：（3,4），），）.11.（2019·郑州模拟）如图，已知二次函数的图象经过点A (4,0),与y 轴交于点23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭B ，在x 轴上有一动点C (m ,0) （0<m <4），过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，交该二次函数图象于点D .（1）求a 的值和直线AB 的解析式；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，设△ACE ，△DEF 的面积分别为S 1，S 2，若S 1=4S 2，求m 的值；（3）点H 是该二次函数图象上第一象限内的动点，点G 是线段AB 上的动点，当四边形DEGH 是平行四边形，且平行四边形DEGH 的周长取最大值时，求点G 的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (4,0)代入得：a =，23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭34-∴抛物线的解析式为：，239344y x x =-++设直线AB 的解析式为：y =kx +b ，∴4k +b =0，b =3，即k =，b =3，34-∴直线AB 的解析式为：y =x +3.34-（2）∵点C 的横坐标为m ，∴D (m , )，E (m , m +3)，239344m m -++34-AC =4－m ，DE =－(m +3)= ，239344m m -++34-2334m m -+∵BC ∥y 轴，∴，即，43AC OA CE OB ==443m CE -=∴CE =，AE =，()344m -()544m -∵∠DFA =∠DCA =90°，∠DBF =∠AEC ，∴△DFE ∽△ACE ，∵S 1=4S 2，∴AE =2DE ，即=2（），解得：m =4（舍）或m =，()544m -2334m m -+56即m 的值为.56（3）如图，过点G 作GM ⊥DC 于M ，设G 、H 点横坐标为n ，由DE =，得GH =，2334m m -+2334n n -+=，得：m =n （舍）或n =4－m ，2334m m -+2334n n -+∴MG =4-2m ，由得：EG =,45MG EG =()5424m -∴C 四边形DEGH =2()25342344m m m ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦=23102m m -++=，23161236m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭∴当m =时，C 最大，此时n =，13113即G (，)，E (，),1131413114由图象可知当E 、G 互换位置时满足题意，即G (，),E (，)，1311411314综上所述，G 点坐标为：(，)，(，).131141131413.（2018·郑州模拟）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接DB ．（1）求此抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是抛物线上的动点，设点M 的横坐标为m ．①当∠MBA ＝∠BDE 时，求点M 的坐标；②过点M 作MN ∥x 轴，与抛物线交于点N ，P 为x 轴上一点，连接PM ，PN ，将△PMN 沿着MN 翻折，得△QMN ，若四边形MPNQ 恰好为正方形，直接写出m 的值．【答案】见解析.【解析】解：（1）将点B （3，0），C （0，3）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，并解得：b =2，c =3，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3．顶点D （1，4）．（2）①过点M 作MG ⊥x 轴于G ，连接BM ．则∠MGB ＝90°，设M （m ，﹣m 2+2m +3），∴MG ＝|﹣m 2+2m +3|，BG ＝3﹣m ，∵DE ⊥x 轴，D （1，4），B （3，0），∴∠DEB ＝90°，DE ＝4，OE ＝1，BE ＝2，∵∠MBA ＝∠BDE ，∴tan ∠MBA ＝tan ∠BDE ＝，12∴＝2233m m m-++-12解得：m =或m =或m =3（舍）12-32-∴满足条件的点M 坐标（，）或（，）；12-7432-94-②∵MN ∥x 轴，∴点M 、N 关于抛物线的对称轴对称，∵四边形MPNQ 是正方形，∴OP ＝1，由∠QPM =∠MPO =45°，得：GM ＝GP ，即|﹣m 2+2m +3|＝|1﹣m |，解得：m 或m 或m 或m即满足条件的m .14.（2017·信阳二模）如图，抛物线y =ax 2+bx ﹣4与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心做菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）将A （﹣2，0）、B （8，0）代入y =ax 2+bx ﹣4并解得：a =，b =，1432-即抛物线的解析式为：y =x 2x －4.1432-（2）由y =x 2x －4知，C (0，－4),1432-由菱形的性质可知：D （0，4），设直线BD 的解析式为：y =kx +n ，将点B （8,0）、D （0，4）代入得：k = ,n =4，12-即直线BD 的解析式为：y =x +4,12-由M （m ，m +4），Q （m ，m 2m －4）．12-1432-当MQ =DC 时，四边形CQMD 为平行四边形．∴m +4﹣（m 2m －4）=8，解得m =4或m =0（舍去）．12-1432-∴MD ∥CQ ，MD =CQ ，M （4，2），∴M 为BD 的中点，∴MD =MB ．∴CQ =MB ，又∵MB ∥CQ ，∴四边形CQBM 为平行四边形．。

平行四边形存在性（习题）例题示范例1：如图，在平面直角坐标系中，直线1=+交y x=-+与3y x于点A，与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上一动点，则在直线AB上是否存在点E，使以O，D，A，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【思路分析】1.研究背景图形2.根据不变特征确定分类标准E(，)？O．，A．，D，E平行四边形3.分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解①当OA作为边时，根据平行四边形的判定，需满足OA∥DE，OA=DE，要找DE，借助平移，由于点D在直线AC上，让线段DE沿直线AC上下平移，确保点D在直线AC上，来找直线AB上的点E，注意需要沿AC的上方、下方分别平移，找出点之后，设计方案，利用平移性质，求出坐标；②当OA作为对角线时，利用平行四边形的判定，需满足OA，DE互相平分，设出E点坐标，根据中点坐标公式表达出D点坐标，代入直线AC表达式即可．4.结果验证【过程书写】解：由题意得，B (1，0)，C (-3，0)∵直线1y x =-+与3y x =+交于点A∴A (-1，2)①当OA 作为边时，OA ∥DE ，OA =DE ，如图所示，设1E (1)t t -+，根据平移可得，1(13)D t t --+，∵点1D 在直线AC 上∴t -1+3=-t +3解得，12t =∴111()22E ，同理可得，257()22E -，②当OA 作为对角线时，DE 与OA 互相平分，设OA 的中点为F ∵A (-1，2)，O (0，0)∴F 1(1)2-，设3E (1)m m -+，，则3(11)D m m --+，∵点3D 在直线AC 上∴-m -1+3=m +1解得，12m =∴311()22E ，点3E 与点1E 重合，如图所示，综上，符合题意的点E 的坐标为1157()()2222-，，，巩固练习1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线323y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点C 在y 轴正半轴上，且12OB BC =，直线CD ⊥AB 于点P ，交x 轴于点D ．在坐标平面内是否存在点M ，使得以A ，P ，C ，M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA边上，点E在OC边上，将矩形OABC沿直线DE折叠，点O恰好落在BC边上的点F处，且43CFCE ．已知OC=8，BC=12，OD=10，请解答下列问题．（1）求直线DE的解析式．（2）若M为直线DF上一点，则在直线DE上是否存在点N，使得以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．思考小结1.存在性问题处理框架是什么？①研究背景图形；2分析不变特征，确定分类标准；3分析形成因素，画图求解；4结果验证．2.拿“两定两动”的平行四边形存在性为例，我们一起看看存在性框架分析怎么用：第一步，研究背景图形需要研究哪些内容？答：研究背景图形需要研究边、角、特殊图形；坐标、解析式．第二步，如何分析不变特征，确定分类标准？答：分析谁是定点，谁是动点，两个定点连成定线段，定线段可以作为平行四边形的边或对角线来进行分类．第三步，分析形成因素，画图，求解；根据特征，往往需要利用______（填“判定”或“性质”）分析？定线段为边和为对角线分类作图时，依据的原理是什么？求解坐标的操作手段是什么？答：判定；定线段为边时依据的原理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；定线段为对角线时依据的原理：对角线互相平分的四边形是平行四边形；定线段为边时求解坐标：通过平移找点，“设→传→代”进行求解；定线段为对角线时求解坐标：通过旋转找点，利用中点坐标公式“设→传→代”进行求解．【参考答案】1．存在，点M 的坐标为(33-，3)，(33，9)或(3-，3-)．2．（1）152y x =-+．（2）存在，点N 的坐标为(345，85)或(665，85-)．。

专题17 函数动点问题中平行四边形存在性类型一、平行四边形存在性结论：A C B DA CB Dx x x xy y y y+=+⎧⎨+=+⎩类型二、特殊平行四边形存在性1. 矩形存在性常用解题思路：构造一线三直角（借助相似或三角函数求解）；利用矩形对角线相等（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）借助勾股定理求解等.2. 菱形存在性常用解题思路：利用菱形四条边相等，对角线互相垂直，借助勾股定理等求解.3. 正方形存在性常用解题思路：兼具矩形和菱形二者.【例1】（2018·郑州预测卷）如图，直线y=334x-+与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y= 234ax x c++经过B、C两点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一个动点，当△BEC的面积最大时，求出点E的坐标和最大值；（3）在（2）条件下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵直线y =334x -+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，∴B (0,3)，C (4,0)，将B (0,3)，C (4,0)代入y = 234ax x c ++得： 16303a c c ++=⎧⎨=⎩，解得：383a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为：233384y x x =-++.（2）过点E 作EF ⊥x 轴于F ，交BC 于M ，设E （x ，233384x x -++），则M （x ，334x -+），∴ME =233384x x -++－（334x -+）=23382x x -+∴S △BEC =12×EM ×OC =2EM=2(23382x x -+)=()23234x --+,∴当x =2时，△BEC 的面积取最大值3，此时E (2，3).（3）由题意得：M (2，32)，抛物线对称轴为：x =1，A (－2,0),设P (m ，y )，y =233384m m -++，Q (1，n )①当四边形APQM 为平行四边形时，有：212m -+=+，解得：m =－3， 即P (－3，218-)； ②当四边形AMPQ 为平行四边形时，有：－2+m =2+1，即m =5 即P (5, 218-)； ③当四边形AQMP 为平行四边形时，有：2－2=1+m ，得：m =－1， 即P (－1，158)； 综上所述，抛物线上存在点P ，使以点P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标为：(－3，218-)，(5, 218-)，(－1，158).【变式1-1】（2018·河师大附中模拟）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A (－1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，－3).（1）求抛物线的解析式与顶点M 的坐标； （2）求△BCM 的面积与△ABC 面积的比；（3）若P 是x 轴上一个动点，过P 作射线PQ ∥AC 交抛物线于点Q ，随着P 点的运动，在x 轴上是否存在这样的点P ，使以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (－1，0)，B (3，0)， C (0，－3)代入y =ax 2+bx +c ，得：9303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩， 解得：a =1，b =－2，c =－3，即抛物线的解析式为：y=x2－2x－3，顶点M的坐标为：（1，－4）；（2）连接BC，BM，CM，过M作MD⊥x轴于D，如图所示，S△BCM=S梯形ODMC+S△BDM－S△BOC=3，S△ACB=6，∴S△BCM：S△ACB=1：2；（3）存在.①当点Q在x轴上方时，过Q作QF⊥x轴于F，如图所示，∵四边形ACPQ为平行四边形，∴QP∥AC，QP=AC∴△PFQ≌△AOC，∴FQ=OC=3，∴3=x2﹣2x﹣3，解得x或x=1，∴Q，3)或(1，3)；②当点Q在x轴下方时，过Q作QE⊥x轴于E，如图所示，同理，得：△PEQ≌△AOC，∴EQ=OC=3，∴﹣3=x2﹣2x﹣3，解得：x=2或x=0(与C点重合，舍去)，∴Q(2，﹣3)；综上所述，点Q的坐标为：，3)或(1，3)或(2，﹣3).【例2】（2018·郑州三模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx－5与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点，与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）如图2所示，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC、CE分别交于点F、G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（3）点M是（1）中所求抛物线对称轴上一动点，点N是反比例函数y=kx图象上一点，若以点B、C、M、N为动点的四边形是矩形，请直接写出满足条件的k的值.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (-1,0),B (5,0)代入y =ax 2+bx －5得：5025550a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩， 即抛物线的解析式为：y =x 2－4x －5.（2）在y =x 2－4x －5中，当x =0时，y =－5，即C (0，－5), ∵CE ∥x 轴，则C 、E 关于直线x =2对称， ∴E (4，－5), CE =4，由B （5,0）, C (0，－5)得直线BC 的解析式为：y =x －5， 设H (m ，m 2－4m －5)， ∵FH ⊥CE ， ∴F (m ，m －5)，∴FH = m －5－（m 2－4m －5)= －m 2+5m ， S 四边形CHEF =12·FH ·CE =12（－m 2+5m ）×4 =－2（m －52）2+252，当m =52时，四边形CHEF 的面积取最大值252，此时H (52，354-).（3）设M （2，m ），N (n ，kn)，B (5,0)，C (0，－5)， ①当BC 为矩形对角线时，此时：2+n =5+0，m +kn=0－5，即n =3，设BC 与MN 交于点H ，则H (52，52-)，MH =12BC =2，∴222552222m ⎛⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得：m =1或m =－6，当m =1时，k =－18；m =－6时，k =3， ②当BC 为矩形边时，分两种情况讨论：（i ）当点M 在直线BC 下方时，即四边形BCMN 为矩形，则∠BCM=90°，2+5=n+0，m=kn－5，过M作MH⊥y轴于H，则由OB=OC知，∠OCB=45°，∴∠MCH=∠CMH=45°，即CH=MH，∴－5－m=2，解得：m=－7，n=7，k=－14；（ii）当点M在直线BC上方时，即四边形BCNM为矩形，则∠CBM=90°，n+5=2，kn=m－5，设对称轴与x轴交于点H，同理可得：BH=MH，∴3=m，n=－3，k=6；综上所述，k的值为：－18，3，－14或6.【变式2-1】（2019·驻马店二模）如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1，0)，B(3，0)两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式．（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F ，M ，G ，N 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线 y =-x 2+bx +c 经过 A (-1，0)，B (3，0)两点，∴10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，即抛物线的解析式为：y =-x 2+2x +3.（2）由y =-x 2+2x +3知，C (0，3)，E (1，0)，D (1,4)， 可得直线BD 的解析式为：y =-2x +6，设P （m ，-2m +6），由勾股定理得：PE 2=()()22126m m -+-+，PC 2=()22263m m +-+-， 由PE =PC ，得：()()22126m m -+-+=()22263m m +-+-， 解得：m =2，即P (2，2).（3）∵M 在x 轴上，N 在直线PF 上， ∴∠NFM =90°，由四边形MFNG 是正方形，知MF =MG ， 设M (n ，0)，则G (n ，-n 2+2n +3)， MG =|-n 2+2n +3|，MF =|n -2|， ∴|-n 2+2n +3|=|n -2|，解得：n n n n ，故点M 的坐标为：0），0），（12，0），（12-，0）.【变式2-2】（2019·大联考）如图1，抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），点P 在抛物线上，且在x 轴的上方，点P 的横坐标记为t .（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点P 作y 轴的平行线交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ，若MC 平分∠PMO ，求t 的值.（3）点D 在直线AC 上，点E 在y 轴上，且位于点C 的上方，那么在抛物线上是否存在点P ，使得以点C 、D 、E 、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出菱形的面积.图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），∴301640c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：39434c b a ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，即抛物线的解析式为：y =34-x 294-x +3. （2）由A (-4,0)，C (0,3)得直线AC 的解析式为：y =334x +， ∵点P 的横坐标为t ， ∴M (t ,334t +)， ∵PN ∥y 轴， ∴∠PMC =∠MCO ， ∵MC 平分∠PMO ， ∴∠PMC =∠OMC ， ∴∠MCO =∠OMC ， 即OM =OC =3，∴OM 2=9，即223394t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得：t =0（舍）或t =7225，∴当MC 平分∠PMO 时，t =7225. （3）设P (t , 34-t 294-t +3)， ①当CE 为菱形的边时，四边形CEPD 为菱形，则PD ∥y 轴，CD =PD ，则D (t ，334t +),∴PD =34-t 294-t +3－（334t +）=34-t 23-t ， 由勾股定理得：CD =54t -，∴34-t 23-t =54t -，解得：t =0（舍）或t =73-， 即PD =3512，菱形面积为：3512×73=24536； ②当CE 为菱形的对角线时，此时P 与D 点关于y 轴对称，则D (-t , 34-t 294-t +3)，将D 点坐标代入y =334x +，得： 34-t 294-t +3=()334t -+，解得：t =0（舍）或t =－2， PD =4，CE =3，菱形的面积为：12×4×3=6；综上所述，菱形的面积为：24536或6.1.（2019·南阳毕业测试）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB ＝4，矩形OBDC 的边CD ＝1，延长DC 交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵矩形OBDC 的边CD ＝1， ∴OB ＝1，由AB ＝4，得OA ＝3， ∴A （﹣3，0），B （1，0），∵抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点， ∴a +b +2=0，9a －3b +2=0， 解得：a =23-，b =43-， ∴抛物线解析式为y ＝23-x 243-x +2； （2）以AC 为边或对角线分类讨论： A （﹣3，0），C （0，2），抛物线y ＝23-x 243-x +2的对称轴为x ＝﹣1， 设M (m , y M )，N (－1，n )，y M =23-m 243-m +2 ①当四边形ACMN 为平行四边形时，有：312Mm y n -+=-⎧⎨=+⎩，解得：m =2，y M =103-，即M (2，103-)； ②当四边形ACNM 为平行四边形时，有：312Mmy n --=⎧⎨+=⎩，解得：m =－4，y M =103-，即M (－4，103-)； ③当四边形AMCN 为平行四边形时，有：312Mm y n -=-⎧⎨=+⎩，解得：m =－2，y M =2，即M (－2，2)； 综上所述，点M 的坐标为（2，103-）或（﹣4，103-）或（﹣2，2）． 2.（2019·开封模拟）如图，直线y ＝﹣x +4与抛物线y ＝﹣12x 2+bx +c 交于A ，B 两点，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴下方的抛物线上存在一点P ，使得∠ABP ＝90°，求出点P 坐标；（3）点E 是抛物线对称轴上一点，点F 是抛物线上一点，是否存在点E 和点F 使得以点E ，F ，B ，O 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）在y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，即点A、B的坐标分别为（0，4）、（4，0），将（0，4）、（4，0），代入二次函数表达式，并解得：b=1，c=4，抛物线的解析式为：y＝﹣12x2+x+4；（2）∵OA＝OB＝4，∴∠ABO＝45°，∵∠ABP＝90°，则∠PBO=45°，若直线PB交y轴于点M，则OM=OB=4，可得直线BP的解析式为：y=x－4，联立：y=x－4，y＝﹣12x2+x+4，得：x=4，y=0(即B点)；x=－4，y=－8，即P(－4，－8).（3）存在；由y＝﹣12x2+x+4知抛物线的对称轴为：x=1，设E(1，m)，F(n，﹣12n2+n+4)，O(0,0)，B(4,0)，①当四边形OBEF是平行四边形时，有：EF=4，∴n-1=-4，即n=-3，F点坐标为（-3，72 -）；②当四边形OBFE是平行四边形时，有：EF=4，n-1=4，即n=5，F点坐标为（5，72 -）；③当四边形OFBE 是平行四边形时，有：410Fn m y =+⎧⎨=+⎩,即n =3，F 点坐标为（3，52）；综上所述：点F 的坐标为（5，72-），（﹣3，72-），（3，52）． 3.（2019·开封二模）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +2与直线y ＝﹣x 交第二象限于点E ，与x 轴交于A （﹣3，0），B 两点，与y 轴交于点C ，EC ∥x 轴．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N 是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线上存在一动点M ，若以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知：A （﹣3，0），C （0，2），EC ∥x 轴 ∴点E 的纵坐标为2， ∵点E 在直线y ＝﹣x 上， ∴点E （﹣2，2），∵将A （﹣3，0）、E （﹣2，2）代入y ＝ax 2+bx +2，得：93204222a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩抛物线的解析式为：224233y x x =--+；（2）由224233y x x =--+知，抛物线的对称轴为x =－1，设N (－1，n )，M (m ，224233m m --+)，∵A （﹣3，0），C （0，2），（1）当四边形ACNM 是平行四边形时，有：312Mm n y --=⎧⎨=+⎩，得：m =－4，y M = 103-； 即M (－4，103-). （2）当四边形ACMN 是平行四边形时，有：312Mm n y -+=-⎧⎨+=⎩，得：m =2，y M = 103-； 即M (2，103-). （3）当四边形ANCM 是平行四边形时，有：312Mmn y -=-+⎧⎨=+⎩，得：m =－2，y M = 2； 即M (－2，2).综上所述，M 点的坐标是(－4，103-)，(2，103-)，(－2，2). 4.（2019·名校模考）如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1（a ≠0）交x 轴于A ，B （1，0）两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF ⊥x 轴，交抛物线于点F（1）求抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系内存在点G ，使得G ，E ，D ，C 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G 的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）将y ＝0代入y ＝x +3，得x ＝﹣3．∴A（﹣3，0）．∵抛物线y＝ax2+bx﹣1交x轴于A（﹣3，0），B（1，0）两点，∴109310a ba b+-=⎧⎨--=⎩，解得：1323ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；（2）点G的坐标为（2，1），（﹣，﹣1），（﹣1），（﹣4，3）．①当四边形DCEG是菱形时，CD=CE=EG=4，设E(m，m+3)，则G（m，m+7），由C(0，－1)，E(m，m+3)，得：CE2=m2+(m+4)2=16，解得：m=0（舍）或m=－4，此时G(－4,3)；②当四边形DCGE是菱形时，CG2=16,设E(m，m+3)，则G（m，m－1），即m2+ m2=16，解得：m=m=－此时，G(1)或G(－－1)；③当四边形DGCE是菱形时，设E(m，m+3)，则G（－m，－m－1），此时E在CD的垂直平分线上，即m+3=1，m=－2，此时G(2，1);综上所述，点G的坐标为：(－4,3)、(1)、(－－1)、(2，1).5.（2019·枫杨外国语三模）（2019·枫杨外国语三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(-1，0)，点C的坐标为(0，3)，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）将(-1，0)，(0，3)代入y＝﹣x2+bx+c，得：－1－b+c=0，c=3，解得：b=2，c=3，即抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3.（2）由y＝﹣x2+2x+3知，点M(1，4)，分两种情况讨论，①当四边形MAPQ是矩形时，过M作MH⊥x轴于H，则MH=4，AH=2，易证得：∠APO=∠MAH，∴tan∠APO= tan∠MAH，即OA MHOP AH=2，∴OP=12，即P（0，－12），由A(-1，0)、M(1，4)，P（0，－12）得：点Q坐标为（2，72），∵点T和点Q关于AM所在直线对称，即点Q与点T关于点M(1，4)对称，∴T(0，92 )；②当四边形AMPQ是矩形时，同理可得：T(0，12 -)；综上所述，点T的坐标为(0，92)，(0，12-).6.（2019·焦作二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b的图象经过点A(-2，0)，与反比例函数kyx=（x>0）的图象交于点B(a，4).（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数kyx=（x>0）的图象于点N，若以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的横坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A(-2,0)代入y=x+b，得：b=2，即一次函数的解析式为：y=x+2，将B(a，4)代入y=x+2，得：a=2，即B(2，4),将B(2，4)代入kyx=得：x=8，即反比例函数的解析式为：8 yx =.（2）设M(m，m+2)，则N(82m+，m+2)，由题意知，MN∥OA，则需MN=OA=2时，以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，∴82mm-+=2，解得：m=2或m=－2（舍）或m=m=－（舍），∴点M的坐标为：（2，+2）.7.（2019·许昌月考）如图1，二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．图1 图2【答案】见解析．【解析】解：（1）∵二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），∴493034103b cb c⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯-+=⎪⎩，解得：834bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，即抛物线的解析式为：y=43x2﹣83x﹣4；（2）过点D作DM⊥y轴于点M，y =43x 2﹣83x ﹣4 =43（x ﹣1）2﹣163， ∴点D （1，﹣163）、点C （0，﹣4）， S △ACD =S 梯形AOMD ﹣S △CDM ﹣S △AOC=12×（1+3）×163﹣12×（163﹣4）×1﹣12×3×4 =4；（3）四边形APEQ 为菱形，理由如下：E 点关于PQ 与A 点对称，过点Q 作QF ⊥AP 于F ，由折叠性质知： AP =EP ，AQ =EQ ∵AP =AQ =t ， ∴AP =AQ =QE =EP ， ∴四边形AQEP 为菱形， ∵FQ ∥OC ，∴AF FQ AQOA OC AC ==， ∴345AF FQ t ==∴AF =35t ，FQ =45t ，Q （3﹣35t ，﹣45t ），E （3﹣35t ﹣t ，﹣45t ），∵E 在二次函数y =43x 2﹣83x ﹣4上，∴﹣45t =43（3﹣85t ）2﹣83（3﹣85t ）﹣4，∴t =14564或t =0（舍去）， ∴E （﹣58，﹣2916）．8.（2018·新乡一模）如图，一次函数122y x =-+分别交y 、x 轴于A 、B 两点，抛物线2y x bx c=-++过A ，B 两点.（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直于x 轴的直线x ＝t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N . 求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？（3）在(2)的情况下，以A ，M 、N 、D 为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D 的坐标.【答案】见解析【解析】解：（1）在122y x =-+得，当x =0时，y =2；y =0时，x =4，即A （0，2），B （4，0），把A (0，2)，B (4，0)代入2y x bx c =-++，得： 21640c b c =⎧⎨++=⎩-，解得722b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线解析式为2722y x x =-++. （2）由题意知，1(,2)2M t t -+，27(,2)2N t t t -++，∴MN =2712(2)22t t t -++--+=2(2)4t --+， ∴当t =2时，MN 有最大值4.（3）根据平行四边形的性质，得：D 点坐标为：（0，6），（0，-2）或（4，4）.9.（2019·周口二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设E 是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，再过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，得到矩形EFGH ．在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，直接写出该正方形的边长．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，∴4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：13a b =-⎧⎨=⎩，即抛物线的解析式为：y =－x 2+3x +4. （2）∵四边形EFGH 是矩形，∴当EF =EH 时，四边形EFGH 是正方形，设E(m, －m2+3m+4)，则F(3－m，－m2+3m+4)，m>32，∴EF=2m－3，EH=|－m2+3m+4|，∴2m－3=|－m2+3m+4|，解得：m或m（舍）或m或m（舍）∴正方形的边长EF2，综上所述，正方形EFGH的边长为：2.10.（2019·郑州一中模拟）如图所示，平面直角坐标系中直线y=x+1交坐标轴于点A、D两点，抛物线y=ax2+bx－3经过A、C两点，点C坐标为（a，5）. 点M为直线AC上一点，过点M作x轴的垂线，垂足为F，交抛物线于点N.（1）求抛物线解析式；（2）是否存在点M，使得以点D、E、M、N为顶点的四边形为平行四边形，如果有，求点M的坐标，如果没有，请说明理由.【解析】解：∵直线y =x +1交坐标轴于点A 、D 两点， ∴A (－1,0)，D (0，1)，∵点C （a ，5）在直线y =x +1上， ∴a =4，即C (4,5)，将A (－1,0)，C (4,5)代入y =ax 2+bx －3得：3016435a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为：y =x 2－2x －3. （2）存在，E （0，－3），∴DE =4， 由题意知：DE ∥MN ，∴当DE =MN =4时，四边形DENM 是平行四边形， 设N (m , m 2－2m －3)，则M (m , m +1)， ∴| m +1-（m 2－2m －3）|=4，解得：m =0（舍）或m =3或m =或m = ，综上所述，点M 的坐标为：（3,4），，）.11.（2019·郑州模拟）如图，已知二次函数23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭的图象经过点A (4,0),与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点C (m ,0) （0<m <4），过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，交该二次函数图象于点D .（1）求a 的值和直线AB 的解析式；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，设△ACE ，△DEF 的面积分别为S 1，S 2，若S 1=4S 2，求m 的值； （3）点H 是该二次函数图象上第一象限内的动点，点G 是线段AB 上的动点，当四边形DEGH 是平行四边形，且平行四边形DEGH 的周长取最大值时，求点G 的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (4,0)代入23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭得：a =34-，∴抛物线的解析式为：239344y x x =-++，设直线AB 的解析式为：y =kx +b ， ∴4k +b =0，b =3，即k =34-，b =3， ∴直线AB 的解析式为：y =34-x +3. （2）∵点C 的横坐标为m ，∴D (m , 239344m m -++)，E (m , 34-m +3)，AC =4－m ，DE =239344m m -++－(34-m +3)= 2334m m -+，∵BC ∥y 轴， ∴43AC OA CE OB ==，即443m CE -=， ∴CE =()344m -，AE =()544m -， ∵∠DF A =∠DCA =90°，∠DBF =∠AEC ， ∴△DFE ∽△ACE ， ∵S 1=4S 2， ∴AE =2DE ， 即()544m -=2（2334m m -+），解得：m =4（舍）或m =56， 即m 的值为56.（3）如图，过点G 作GM ⊥DC 于M ，设G 、H 点横坐标为n ，由DE =2334m m -+，得GH =2334n n -+，2334m m -+=2334n n -+，得：m =n （舍）或n =4－m ，∴MG =4-2m ，由45MG EG =得：EG =()5424m -, ∴C 四边形DEGH =2()25342344m m m ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦=23102m m -++=23161236m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，∴当m =13时，C 最大，此时n =113，即G (113，14)，E (13，114), 由图象可知当E 、G 互换位置时满足题意，即G (13，114),E (113，14)，综上所述，G 点坐标为：(13，114)，(113，14).13.（2018·郑州模拟）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接DB ．（1）求此抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是抛物线上的动点，设点M 的横坐标为m ． ①当∠MBA ＝∠BDE 时，求点M 的坐标；②过点M 作MN ∥x 轴，与抛物线交于点N ，P 为x 轴上一点，连接PM ，PN ，将△PMN 沿着MN 翻折，得△QMN ，若四边形MPNQ 恰好为正方形，直接写出m 的值．【答案】见解析.【解析】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，并解得：b=2，c=3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．顶点D（1，4）．（2）①过点M作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB＝90°，设M（m，﹣m2+2m+3），∴MG＝|﹣m2+2m+3|，BG＝3﹣m，∵DE⊥x轴，D（1，4），B（3，0），∴∠DEB＝90°，DE＝4，OE＝1，BE＝2，∵∠MBA＝∠BDE，∴tan∠MBA＝tan∠BDE＝12，∴2233m mm-++-＝12解得：m=12-或m=32-或m=3（舍）∴满足条件的点M坐标（12-，74）或（32-，94-）；②∵MN∥x轴，∴点M、N关于抛物线的对称轴对称，∵四边形MPNQ是正方形，∴OP＝1，由∠QPM=∠MPO=45°，得：GM＝GP，即|﹣m2+2m+3|＝|1﹣m|，解得：m或m或m或m即满足条件的m.14.（2017·信阳二模）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心做菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N，试探究m为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）将A（﹣2，0）、B（8，0）代入y=ax2+bx﹣4并解得：a=14，b=32-，即抛物线的解析式为：y=14x232-x－4.（2）由y=14x232-x－4知，C(0，－4),由菱形的性质可知：D（0，4），设直线BD的解析式为：y=kx+n，将点B（8,0）、D（0，4）代入得：k=12-,n=4，即直线BD的解析式为：y=12-x+4,由M（m，12-m+4），Q（m，14m232-m－4）．当MQ=DC时，四边形CQMD为平行四边形．∴12-m+4﹣（14m232-m－4）=8，解得m=4或m=0（舍去）．∴MD∥CQ，MD=CQ，M（4，2），∴M为BD的中点，∴MD=MB．∴CQ=MB，又∵MB∥CQ，∴四边形CQBM为平行四边形．。

专题06 动点与平行四边形存在性问题大视野【例题精讲】题型一、平行四边形存在性问题例1. 【2019·长沙市天心区期中】如图，在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=3，OB=2OA，C为直线y=2x与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD=√5．（1）求点C的坐标；（2）若P为线段AD上一动点（不与A、D重合）．P的横坐标为x，△POD的面积为S，请求出S与x的函数关系式；（3）若F为直线AB上一动点，E为x轴上一点，是否存在以O、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．题型二、特殊平行四边形（矩形）存在性问题例1. 【2019·武汉市期中】如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm/s．（1）证明：当E在AO上运动，F在CO上运动，且E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形；（2）点E，F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由．例2. 【2019·禹城市期末】如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交△ACB的角平分线于点E，交△ACB的外角平分线于点F（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．（3）在第（2）问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，请直接写出凹四边形ABCE的面积为．题型三、特殊平行四边形（菱形）存在性问题例1. 【2019·福州市晋安区期末】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（4，5），直线l的解析式为y＝kx+2﹣4k（k＞0）．（1）当直线l经过原点O时，求一次函数的解析式；（2）通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点C；（3）在（1）的条件下，点M为直线l上的点，平面内是否存在x轴上方的点N，使以点O、A、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由．题型四、特殊平行四边形（正方形形）存在性问题例1. 【2019·华蓥市期末】如图，已知一次函数y=12x+b的图象过点A（0，3），点p是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形PMON上分别截取：PC=13 MP，MB=13OM，OE=13ON，ND=13NP．（1）b=______；（2）求证：四边形BCDE是平行四边形；（3）在直线y=12x+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，请求出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【刻意练习】1. 【2019·阳江市期中】如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为（2，3），B 点坐标为（-2，0），C点坐标为（0，-1）（1）AC的长为______；（2）求证：AC△BC；（3）若以A、B、C及点D为顶点的四边形组成平行四边形，画出符合条件的所有平行四边形，并写出D 点的坐标______．2. 【2018·莆田市期中】已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF△BC，交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）填空：△当AB=AC时，四边形ADCF是______形；△当△BAC=90°时，四边形ADCF是______形．3. 【2018·琼中县期中】如图在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝，平行四边形CDEB为菱形．4. 【2019·宿迁市期末】如图，平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有______次．5. 【2019·惠州市期末】如图所示，在梯形ABCD中，AD△BC，△B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P 、Q 分别从点A 和点C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD 是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形PQBA 是矩形？6. 【2019·武昌期末】如图，在平面直角坐标系中，OA =OB , △OAB 的面积是2.（1）求线段OB 的中点C 的坐标.（2）连结AC ，过点O 作OE △AC 于E ，交AB 于点D ，△直接写出点E 的坐标.△连结CD ，求证：△ECO =△DCB .（3）点P 为x 轴上一动点，点Q 为平面内一点，以点A 、C 、P 、Q 为顶点作菱形，直接写出点Q 的坐标.7. 【2018·襄阳市期中】如图,矩形OABC 的边OA ,OC 分别与坐标轴重合,并且点B 的坐标为（8，）.将该矩形沿OB 折叠,使得点A 落在点E 处,OE 与BC 的交点为D .（1）求证:△OBD 为等腰三角形;（2）求点E 的坐标;（3）坐标平面内是否存在一点F,使得以点B,E,F,O为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点F 的坐标;若不存在,请说明理由.8. 【2019·天津蓟县期中】如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．（1）求证：四边形DBEC是平行四边形．（2）若△ABC=120°，AB=BC=4，则在点E的运动过程中：△当BE= 时，四边形BECD是矩形，试说明理由；△当BE= 时，四边形BECD是菱形．专题06 动点与平行四边形存在性问题大视野【例题精讲】题型一、平行四边形存在性问题例1. 【2019·长沙市天心区期中】如图，在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=3，OB=2OA，C为直线y=2x与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD=√5．（1）求点C的坐标；（2）若P为线段AD上一动点（不与A、D重合）．P的横坐标为x，△POD的面积为S，请求出S与x的函数关系式；（3）若F为直线AB上一动点，E为x轴上一点，是否存在以O、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意得：A（3，0），B（0，6），设直线AB解析式为：y=kx+b，△306k bb+=⎧⎨=⎩，解得：26kb=-⎧⎨=⎩，△直线AB解析式为：y=-2x+6，联立：y=-2x+6，y=2x，解得：323xy⎧=⎪⎨⎪=⎩，△点C坐标为：（32，3）.（2）过点D作DG△x轴于点G，过点P作PH△x轴于点H，设点D（m，2m）△OD=√5，△m2+（2m）2=5解得：d=1，或d=-1（舍），△D（1，2），DG=2，可得直线AD的解析式为：y=-x+3，△点P在线段AD上，且横坐标为x，△OH=x，PH=y P=-x+3，△S=S△AOD-S△AOP=12OA•DG-12OA•PH=12OA（DG-PH）=33 22 x-.（3）存在．△当OD为平行四边形的边时，△|y F|=y D=2即：|-2x+6|=2，解得：x1=2，x2=4△F（2，2）或（4，-2）△当OD为平行四边形的对角线时，△DF△x轴，y F=y D=2，△F（2，2），综上所述，点F的坐标为（2，2）或（4，-2）．题型二、特殊平行四边形（矩形）存在性问题例1. 【2019·武汉市期中】如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm/s．（1）证明：当E在AO上运动，F在CO上运动，且E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形；（2）点E，F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形，理由：由题意知，AE=CF，△四边形ABCD是平行四边形，△OD=OB，OA=OC，△OA-AE=OC-CF，△OE=OF，△四边形DEBF是平行四边形；（2）当运动时间t=4或28时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形，理由：分为两种情况：△△四边形DEBF是矩形，△BD=EF=12，即AE=CF=0.5t，则16-0.5t-0.5t=12，解得：t=4；△当E到F位置上，F到E位置上时，AE-AF=AC-CF，即0.5t-12+0.5t=16，解得：t=28，即当运动时间t=4s或28s时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形.例2. 【2019·禹城市期末】如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交△ACB的角平分线于点E，交△ACB的外角平分线于点F（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．（3）在第（2）问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，请直接写出凹四边形ABCE的面积为．【答案】见解析．【解析】（1）证明：△EF△BC，△△OEC＝△BCE，△CE平分△ACB，△△BCE＝△OCE，△△OEC＝△OCE，△EO＝CO，同理：FO＝CO，△EO＝FO；（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；理由如下：由（1）得：EO＝FO，△O是AC的中点，△AO＝CO，△四边形CEAF是平行四边形，△EO＝FO＝CO，△EO＝FO＝AO＝CO，△EF＝AC，△四边形CEAF是矩形；（3）解：由（2）得：四边形CEAF是矩形，△△AEC＝90°，由勾股定理得：AC5，S△ACE＝12AE×EC＝12×3×4＝6，△122+52＝132，即AB2+AC2＝BC2，△△ABC是直角三角形，△BAC＝90°，△S△ABC＝12AB•AC＝12×12×5＝30，△S凹四边形ABCE＝S△ABC﹣S△ACE＝30﹣6＝24；故答案为：24．题型三、特殊平行四边形（菱形）存在性问题例1. 【2019·福州市晋安区期末】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（4，5），直线l的解析式为y＝kx+2﹣4k（k＞0）．（1）当直线l经过原点O时，求一次函数的解析式；（2）通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点C；（3）在（1）的条件下，点M为直线l上的点，平面内是否存在x轴上方的点N，使以点O、A、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）△直线l经过原点，△将点（0，0）代入y＝kx+2﹣4k，得：2﹣4k＝0，解得：k=12，△一次函数的解析式为：y=12 x；（2）由题意可知，点C的坐标为（4，2），当x＝4时，y＝4k+2﹣4k＝2，△不论k为何值，直线l总经过点C；（3）设点M（x，12 x）△以OA为菱形的边，此时，OM＝OA＝5，则222152x x⎛⎫+=⎪⎝⎭，△x＝点M的坐标为（-；△以OA为菱形的一条对角线，MN垂直平分OA，则：12x＝52△x＝5，则M的坐标为（5，52）；综上所述，满足条件的点M为（）或（-5，52）．题型四、特殊平行四边形（正方形形）存在性问题例1. 【2019·华蓥市期末】如图，已知一次函数y=12-x+b的图象过点A（0，3），点p是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形PMON上分别截取：PC=13 MP，MB=13OM，OE=13ON，ND=13NP．（1）b=______；（2）求证：四边形BCDE是平行四边形；（3）在直线y=12-x+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，请求出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）一次函数y=12-x+b的图象过点A（0，3），3=12-×0+b，解得：b=3，故答案为：3；（2）证明：过点P分别作PM△x轴于点M，PN△y轴于点N，△△OMP=△PNO=△MON=90°，△四边形PMON是矩形，△PM=ON，OM=PN，△MPN=90°．△PC=13MP，MB=13OM，OE=13ON，ND=13NP，△PC=OE，CM=NE，ND=BM，PD=OB，△△OBE△△PDC（SAS），△BE=DC，在△MBC和△NDE中，△BM=DN，△M=△N，MC=NE，△△MBC△△NDE（SAS），△DE=BC，△BE=DC，DE=BC，△四边形BCDE是平行四边形；（3）设P点坐标（x，y），当△OBE△△MCB时，四边形BCDE为正方形，△OE=BM，当点P在第一象限时，x=y，联立y=12-x+3，y=x，解得：22xy=⎧⎨=⎩，当点P在第二象限时，联立y=12-x+3，y=-x，解得：66xy=-⎧⎨=⎩，综上所述，存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形，P点坐标是（2，2）或（-6，6）．【刻意练习】1. 【2019·阳江市期中】如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为（2，3），B 点坐标为（-2，0），C点坐标为（0，-1）（1）AC的长为______；（2）求证：AC△BC；（3）若以A、B、C及点D为顶点的四边形组成平行四边形，画出符合条件的所有平行四边形，并写出D 点的坐标______．【答案】（1）；（2）见解析；（3）（0，4），（4，2），（-4，-4）.【解析】（1）解：AC=√22+42=2√5．故答案为2√5．（2）△BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，AC2=20，△BC2+AC2=AB2，△△ABC是直角三角形，△AC△BC．（3）如图所示：D点的坐标（0，4），（4，2），（-4，-4）．故答案为：（0，4），（4，2），（-4，-4）．2. 【2018·莆田市期中】已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF△BC，交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）填空：△当AB=AC时，四边形ADCF是______形；△当△BAC=90°时，四边形ADCF是______形．【答案】见解析.【解析】证明：△AF△BC，△△AFE=△EBD．在△AEF和△DEB中，△△AFE=△DBE，△FEA=△BED，AE=DE，△△AEF△△DEB（AAS），△AF=BD．△AF=DC．又△AF△BC，△四边形ADCF为平行四边形；（2）△当AB=AC时，四边形ADCF是矩形；△当△BAC=90°时，四边形ADCF是菱形．故答案为矩形，菱形．3. 【2018·琼中县期中】如图在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝，平行四边形CDEB为菱形．【答案】75．【解析】解：如图，连接CE交AB于点O，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，△AB＝5，当平行四边形CDEB为菱形时，CE△BD，OD＝OB，CD＝CB．△AB•OC＝AC•BC，△OC＝125，在Rt△BOC中，由勾股定理得，OB＝95，△AD＝AB﹣2OB＝75．故答案为：75．4. 【2019·宿迁市期末】如图，平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有______次．【答案】3.【解析】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，则DP=BQ，△点Q的运动路线是C→B，12-4t=12-t，解得：t=0，此时不符合题意；△点Q的运动路线是C→B→C，4t-12=12-t，解得：t=4.8；△点Q的运动路线是C→B→C→B，12-（4t-24）=12-t，解得：t=8；△点Q的运动路线是C→B→C→B→C，4t-36=12-t，解得：t=9.6；△点Q的运动路线是C→B→C→B→C→B，12-（4t-48）=12-t，解得：t=16，此时P点走的路程为：1×16=16 ＞AD，此时不符合题意．故答案为：3．5. 【2019·惠州市期末】如图所示，在梯形ABCD中，AD△BC，△B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？【答案】见解析.【解析】解：（1）设经过xs，四边形PQCD为平行四边形即：PD=CQ24-x=3x，解得：x=6．（2）设经过y s，四边形PQBA为矩形，即AP=BQ，y=26-3y，解得：y=13 2.6. 【2019·武昌期末】如图，在平面直角坐标系中，OA=OB, △OAB的面积是2.（1）求线段OB的中点C的坐标.（2）连结AC，过点O作OE△AC于E，交AB于点D，△直接写出点E的坐标.△连结CD，求证：△ECO=△DCB.（3）点P为x轴上一动点，点Q为平面内一点，以点A、C、P、Q为顶点作菱形，直接写出点Q的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）△OA=OB，S△BAO=2，△OA=OB=2，△C点是OB中点，△C（-1,0）.（2）△根据C（-1,0），A(0，2)，求得直线AC的解析式为：y=2x+2，△OE△AC，△直线OE的解析式为：y=-0.5x，联立y=-0.5x，y=2x+2，解得：x=45-，y=25即E点坐标为（45-，25）；△过点B作BH△x轴交OD延长线于H，则△HBO=△AOC=90°，△△CAO=△BOH，△OA=OB，△△OAC△△BOH，△△ACO=△H，OC=BH=BC=1，△OA=OB，△△ABO=45°，△HBD=45°，△BD=BD，△△HBD△△CBD，△△H=△DCB，△△ECO=△DCB.（3）△当AC为边时，若四边形ACPQ为菱形，则AC=CP=QA当P（-10）时，Q（2）当P（-0）时，Q2）当P（1，0）时，Q（0,-2）△AC为对角线时，设菱形边长为x，则x2=（x-1）2+22，解得：x=52，即Q（-52，2）综上所述，点Q的坐标为：)、()、(0，-2)、(5,2 2 -).7. 【2018·襄阳市期中】如图,矩形OABC的边OA,OC分别与坐标轴重合,并且点B的坐标为（8，）.将该矩形沿OB折叠,使得点A落在点E处,OE与BC的交点为D.（1）求证:△OBD为等腰三角形;（2）求点E的坐标;（3）坐标平面内是否存在一点F,使得以点B,E,F,O为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点F 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：(1)解：由翻折得：△OBE△△OBA，△△1=△2△四边形OABC 是矩形△OA △BC△△1=△3△OD =BD△△OBD 为等腰三角形.（2）过点E 作EF △x 轴于F ，交BC 于G ，设CD =x ,则BD =8-x由(1)知OD =BD =8-x在Rt △OCD 中，由勾股定理得： 2223(8)x x +=-解得：x =3即CD =3，OD =BD =5由(1)知△OBE △△OBA△△OEB =△OAB =90°△△OCD =△BED =90°△△OCD △△BED△DE =CD =3，BE =OC =4 △1122BDE S DE BE BD EG ∆=⋅=⋅ 即1134522EG ⨯⨯=⨯ △125EG =.△在Rt DGE ∆中95DG ===，可得四边形OFGC是矩形，△OF=OG=CD+DG=245，EF=EG+GF=325△点E的坐标为(245，325).(2) F点坐标为：1612(,)55-，1612(,)55-，6452(,)55.8. 【2019·天津蓟县期中】如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．（1）求证：四边形DBEC是平行四边形．（2）若△ABC=120°，AB=BC=4，则在点E的运动过程中：△当BE= 时，四边形BECD是矩形，试说明理由；△当BE= 时，四边形BECD是菱形．【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：△AB//CD△△CDF=△BEF,△DCF=△EBF△F是BC中点△BF=CF△△DCF△△EBF(AAS)△CD=BE△DC//BE△四边形BECD是平行四边形.（2）△BE=2时，四边形BECD是矩形.△BE=4时，四边形BECD是菱形.。

二次函数中的动点问题（二）平行四边形的存在性问题一.技巧提炼如图1,点人（召,开）、3（忑,儿）、C（X3Os）是坐标平面内不在同一直线上的三点。

平面直角坐标系中是否存在点D,使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D的坐标。

如图2,过A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。

由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。

3、平面直角坐标系中直线和直线12:当h时k尸k2；当h丄I2时ki-k2=-14、二次函数中平行四边形的存在性问题：解题思路：（1）先分类（2）再画图（3）后计算二、精讲精练1、已知抛物线y=ax-+bx+c与x轴相交于A、E两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C点，且OA：OB：OC=1：3：3,AABC的面积为6,（如图1）（1）求抛物线的解析式：（2）坐标平面内是否存在点M,使得以点M、A、B、C为顶点四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2,在直线BC±方的抛物线上是否存在一动点P,ABCP面枳最大？如果存在，求出最人面积,2、如图，己知抛物线经过A(-2,0),B(・3,3)及原点6顶点为C(1)求抛物线的函数解析式：(2)设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标。

【变式练习】7如图，对称轴为直线x二一的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4)・2(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点，且位于第四彖限，四边形0EAF是以0A为对角线的平行四边形, 求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形0EAF是否为菱形？②是否存在点E,使平行四边形0EAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.、方法规律1、平行四边形模型探究如图1，点&（內,开）、3（七,儿）、C（X3，”）是坐标平面内不在同一直线上的三点。

专题08二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法类型一、平行四边形存在性问题(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，连接BC ，PB ，PC ，设PBC 的面积为①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点(3)如图2，设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为边形CDPM 是平行四边形？若存在，直接写出点【答案】(1)22y x=-(2)①23922S t t =-+；②点P 到直线BC 的距离的最大值为(3)存在，()1,6M 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）①在图1中，过点P 作PF y ∥轴，交BC 于点P 的坐标为()2,23t t t -++，则点F 的坐标为(t 2139222S PF OB t t =⋅=-+；②根据二次函数的性质得出当32t =时，S 取最大值，最大值为面积法求得点P 到直线BC 的距离，进而得出P （3）如图2，连接PC ，交抛物线对称轴l 于点设直线BC 的解析式为将()3,0B 、()0,3C 代入30,3m n n +=⎧⎨=⎩，解得：∴直线BC 的解析式为∵点P 的坐标为(,t t -∴点F 的坐标为(,t -∴(223PF t t =-++-∴1322S PF OB =⋅=-②12S PF OB =⋅=-∵302-<，∴当32t =时，S 取最大值，最大值为抛物线2y x bx =-++∴抛物线的对称轴为直线 1D C x x -=，∴1P M x x -=，∴2P x =，()2,3P ∴，在223y x x =-++中，当()0,3C ∴，∴3C D y y -=，∴3M P y y -=，∴6M y =，∴点M 的坐标为()1,6；当2P x ¹时，不存在，理由如下，若四边形CDPM 是平行四边形，则 点C 的横坐标为0，点∴点P 的横坐标12t =⨯又 2P x ¹，(1)求点C 的坐标；(2)点P 为直线AC 下方抛物线上一点，过点此时点P 的坐标；(3)抛物线顶点为M ，在平面内是否存在点若存在请求出N 点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()4,5C (2)315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，点N 的坐标为：()154N -，，【详解】（1）解：在2=23y x x --中，令解得：11x =-，23x =，()()1,0,3,0A B ∴-，直线y x m =+经过点()1,0A -，∴01m =-+，解得：1m =，∴直线AC 的解析式为1y x =+，联立方程组，得2123y x y x x =+⎧⎨=--⎩，解得：1110x y =-⎧⎨=⎩，2245x y =⎧⎨=⎩()4,5C ∴；（2）如图1，设点2(,23)P n n n --，则点∴2212334()PE n n n n n =+---=-++ 10-<，∴当32n =时，PE 取得最大值254，此时，（3） 2223(1)4y x x x =--=--，∴抛物线顶点为()14M -，，如图2，点,,,A B M N 为顶点的四边形是平行四边形时，设①BM 为对角线时，AN 的中点与BM ∴(1)3122m +-+=，04022n +-+=，解得：∴()154N -，，②AM 为对角线时，BN 的中点与AM ∴31122m +-+=，04022n +-+=，解得：(1)求此拋物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P ，使得PA PC +值最小，求最小值；(3)点M 为x 轴上一动点，在拋物线上是否存在一点N ，使以边形为平行四边形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)215222y x x =--(2)552(3)54,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，5214,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭，5214,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）把()1,0A -，()5,0B 两点代入求出a 、b 的值即可；（2）因为点A 关于对称轴对称的点B 的坐标为()5,0，连接BC 点坐标即可；（3）分点N 在x 轴下方或上方两种情况进行讨论．拋物线的解析式为212y x =-∴其对称轴为直线2b x a =-=-当0x =时，52y =-，50,2C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，又()5,0B ，∴设BC 的解析式为(y kx b =+5052k b b +=⎧⎪∴⎨=-⎪⎩，解得：12k =，52b =-，∴BC 的解析式为1522y x =-，当2x =时，1532222y =⨯-=-，①当点N 在x 轴下方时，抛物线的对称轴为2x =，0,C ⎛- ⎝154,2N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，②当点N 在x 轴上方时，如图，过点在2AN D △和2M CO △中，22N AD AN N DA ∠⎧⎪⎨⎪∠⎩252N D OC ∴==，即2N 点的纵坐标为21552222x x ∴--=，解得：2x =+25214,2N ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，35214,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述符合条件的N 的坐标有⎛ ⎝【点睛】本题考查的是二次函数综合题，式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，两点间距离的求解，在解答（意进行分类讨论．(1)求抛物线的解析式：(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E 在x 轴上运动，点F 在抛物线上运动，当以点B ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E 的坐标．【答案】(1)213222y x x =-++(2)存在，3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)541,02⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭或541,02⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或(7,0)或(1,0)【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）分两种情况：以C 为顶点，即CP CD =；以D 为顶点，即CD =等腰三角形的定义建立方程即可完成；（3）分三种情况：当BC 是对角线时；当BE 是对角线时；当BF 是对角线时；分别设点与F 的坐标，利用中点坐标公式即可求解．【详解】（1）解：∵点B 的坐标是(40)，，点C 的坐标是(02)，，∴16602a c c ++=⎧⎨=⎩，解得：122a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴所求抛物线解析式为213222y x x =-++；（2）解：存在(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB 的面积为(3)在（2）的条件下，若点F 是对称轴上一点，点H 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G ，使以E ，F ，G ，H 为顶点的四边形是菱形，且存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)232333y x x =-++(2)()2,33E 2039⎫⎪⎭或532,339⎛⎫⎪⎝⎭）根据待定系数法求解即可；∵232333y x x =-++()23143x =--+，∴()1,43D ．令232333y x x =-++中0y =，则解得=1x -或3x =，抛物线的对称轴与x轴交于点M，过点∵四边形EFGH 是菱形，EFG ∠∴EF FG GH EG ===，∵60EFG ∠=︒，∴EFG 是等边三角形．∴60FEG EF FG ∠=︒=，，∵()2,33E ，()0,33C ，(1,4D ∴2CE CD ==，()24333-+同理可证： EFG 是等边三角形，∵CF FE =，=GE FE ，∴DG ∴CDG CEG ∆∆≌．∴DCG ∠=∴直线CG 的表达式为：33y =与抛物线表达式联立得33y y ⎧=⎪⎨⎪=-(1)求抛物线的表达式；(2)若点D 是直线AC 上方拋物线上一动点，连接BC ，AD ADM △的面积为1S ，BCM 的面积为2S ，当121S S -=时，求点(3)如图2，若点P 是抛物线上一动点，过点P 作PQ x ⊥轴交直线上是否存在点E ，使以P ，Q ，E ，C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)223y x x =-++(2)271,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或271,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．(3)符合条件的点E 有三个，坐标为：()0,1E ，(10,132E -【分析】（1）把点()30A ，和()10B -，代入解析式求解即可；（2）由121S S -=得121S S =+从而121ABM ABM S S S S +=++ 程求解即可；（3）分类当CQ 为对角线和菱形边时，利用直线AC 与x 轴成标的方程，进而求出点的坐标．【详解】（1）把点()3,0A 和()1,0B -代入得：93330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩解得：12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =-++；（2）设(),D x y ，对于抛物线223y x x =-++，令0x =，则()0,3C ∴．121S S -= ，121S S ∴=+．∵()30A ，，()0,3C ，∴3OA OB ==，45OCA ∴∠=︒，此时四边形CEQP 是正方形．PQ EQ ∴=．设()2,23P m m m -++，则23PQ m m =-+，23m m m ∴-+=，解得m =此时32OE OC m =-=-=②当CQ 为菱形的边时，如图设()2,23P m m m -++，则∴HQ m =，2PQ m =-+作QH OC ⊥于点H ，45OCA ∠︒= ，∴22CQ HQ m ==．∴23CE PQ m m ==-+=解得：132m =-，23m =()323213OE =+-=+()10,132E ∴-，(20,1E +综上所述，符合条件的点【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键．【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，点（点A 在点B 左侧），与(1)求ABC 的面积；（3）解：∵抛物线212y x x =--∴()211942212y x x x =--+=-2＋＋∵将抛物线2142y x x =--+沿着水平方向向右平移∴新抛物线为：()112y x =--2＋∴原抛物线与新抛物线的交点，∴()()1111992222x x -=--22＋＋＋，∴解得：0x =，【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数与特殊图形，二次函数的平移规律，掌握二次函数与特殊图形的位置关系是解题的关键．类型三、矩形存在性问题(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 是抛物线上位于直线直线AC 于点D ，交x 轴于点E ，(3)在抛物线上是否存在点M ，对于平面内任意点一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出【答案】(1)2142y x x =--(2)335,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；254(3)()4,8M -、()8,4N -【分析】（1）把点()4,0A 和点B a 、b 的值；（2）先用待定系数法求出直线2211,422D t t t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，然后求出最大值时t 的值，即可求出点P （3）假设抛物线上是存在点M ，一条边的四边形为矩形，过点O 点A 且与OH 平行的直线解析式，经计算验证可得过点立方程可求得M 的坐标，通过平移即可求得点【详解】（1）解：把点()4,0A 和点∵()4,0A ，()0,4C -，∴OAC 为等腰直角三角形，∴点H 为AC 的中点，即(H 则OH 所在的直线方程为y =∵四边形AMNC 为矩形，∴过A 与直线AC 相垂直的直线函数解析式中的∴设AM 所在的直线解析式为∵点A 在直线AM 上，(1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)将抛物线L 向右平移1个单位，得到新抛物线对称轴l 上是否存在点D ，使得以点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()1,0A -，()3,0B (2)存在，点D 的坐标为()2,1或【分析】（1）分别令0y =和x （2）先求得平移后的抛物线L 角线时，根据矩形的性质求解即可．【详解】（1）解：令0y =，则解得11x =-，23x =，当AD 为对角线时，连接AC ，过点 ()1,0A -，()0,1C -，∴1OA OC ==，∴45OCA ∠=︒∴45OCG ∠=︒∴1OG OC ==，∴()1,0G ．设CG 所在直线解析式为y kx =+将()0,1C -，()1,0G 代入得，⎧⎨⎩解得11k b =⎧⎨=-⎩，∴CG 所在直线解析式为1y x =-当2x =时，1211y x =-=-=．∴()2,1D ．当AD 为边时，同理过点A 作AC 易得AH 所在直线解析式为y =当AC 为对角线时，DE 也为对角线，∴此种情况不存在．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P 为第一象限内抛物线上的一点，设PBC 的面积为S ，求S 坐标；(3)已知M 是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点N ，使以B 的四边形是矩形？若存在，直接写出N 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22+3y x x =-+(2)S 最大值为278，315(,)24P (3)存在，点1(2,(317))2N +或1(2,(317))2-或(2,1)-或(4,1)．【分析】（1）运用抛物线交点式解析式求解，设抛物线(1)(y a x x =+解；（2）如图，过点P 作PD AC ⊥，垂足为点D ，交BC 于点E ，设(,P m 的解析式3y x =-+，于是23PE m m =-+，从而13(22S PE OC m ==- 时，S 最大值为278，进而求得315(,)24P ；设2(,23)P m m m -++设直线BC 的解析式为y kx =033k hh =+⎧⎨=⎩，解得13k h =-⎧⎨=⎩∴3y x =-+则点(,3)E m m -+，2PE m =-∴2113(22S PE OC m ==´-+ ∴当32m =时，S 最大值为2782915233344m m -++=-++=∴315(,)24P ；（3）存在．设(1,)M p ，如图，223BC =222(13)(0)CM p p =-+-=如图，当BM 为对角线时，∠222BM CM BC =+，即26p p -+01330n p q +=+⎧⎨+=+⎩解得21n q =-⎧⎨=⎩∴点(2,1)N -如图，当CM 为对角线时，MBC ∠222BM BC CM +=，即26p p -+(1)求抛物线的对称轴方程；(2)若点P 满足PAB PBA ∠=∠，求点P 的坐标；(3)设M 是抛物线的对称轴上一点，N 是坐标平面内一点，正方形的面积．【答案】(1)32x =-(2)()51,51P --+(3)正方形AMPN 的面积为172或372【分析】（1）由4y x =+可知()4,0A -，()0,4B ，进而求得抛物线解析式为即可得抛物线的对称轴方程；（2）由题意可知PAB PBA ∠=∠，可知PA PB =，进而值OP 其与AB 交于点Q ，可得()2,2Q -，可求得OP 的解析式为则90PDM ACM ∠=∠=︒∴DPM PMD PMD ∠+∠=∠∴(AAS PDM MCA △≌△∴PD MC =，MD AC =，∵()4,0A -，3,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴35422MD AC ==-=，则90PEM ACM ∠=∠=︒∴EPM PME PME ∠+∠=∠∴(AAS PEM MCA △≌△∴PE MC =，ME AC =，∵()4,0A -，3,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴35422ME AC ==-=，则P y CE MC ME ==+=即：32P x m =-，P y m =-(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线(2)在点P 的运动过程中，求使四边形(3)点N 为平面内任意一点，在（2N 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点【答案】(1)()1,0A -，()3,0B ，C (2)32m =-(3)()1221,2Q +，2252,2Q ⎛+ ⎝【分析】（1）分别令0y =，0x =，可求出点∵()3,0B ，()0,3C ，∴3OB OC ==，∴BOC 是等腰直角三角形，∴点()221,2Q +，∴()22132322EQ =+--=-∴PE EQ =，此时点()221,2Q +使得以P ，E 如图，过点E 作EQ PM ⊥于点Q ，过点由（2）得：45BED ∠=︒，∵PM BC ∥，∴45BED DPQ ∠=∠=︒，∴PEQ ，PSQ 是等腰直角三角形，∴此时点Q 使得以P ，E ，Q ，N 为顶点的四边形是正方形；∴132222PS SE PE -===，∴点5232,12S ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，对于321y x =-++，当5212y =-时，222x =+，(1)求抛物线的解析式；(2)点E 在第一象限内，过点E 作EF y ∥轴，交BC 于点F ，作EH 点H 在点E 的左侧，以线段,EF EH 为邻边作矩形EFGH ，当矩形求线段EH 的长；(3)点M 在直线AC 上，点N 在平面内，当四边形OENM 是正方形时，请直接写出点标．【答案】(1)抛物线的解析式为2142y x x =-++；(2)4EH =；(3)点N 的坐标为()44，或7322⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线BC 的解析式为4y x =-+，设2142x E x x ⎛ ⎝-++，对称性质求得21422H x x x ⎛⎫- ⎪+⎝-+⎭，，推出2122GH EF x -=-+矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解；（3）先求得直线AC 的解析式为24y x =+，分别过点M 、E 作90OPE MQO ∠=∠=︒，90OEP ∠=︒∴OEP MOQ ≌△△，∴PE OQ =，PO MQ =，设2142m E m m ⎛⎫ ⎪⎝-++⎭，，∴PE OQ m ==-，12P m O M Q ==-∵点M 在直线AC 上，∴244212m m m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-，解得m =当4m =时，()04M ，，()40E ，，即点M 与点C 重合，点E 与点B 重合时，四边形当1m =-时，512M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，512E ⎛- ⎝，点O 向左平移52个单位，再向下平移则点E 向左平移52个单位，再向下平移∴551122N ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，，即7322N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．课后训练(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点P 、Q 为直线BC 下方抛物线上的两点，点Q 的横坐标比点过点P 作PM y ∥轴交BC 于点M ，过点Q 作QN y ∥轴交BC 于点N ，求值及此时点Q 的坐标；(3)如图3，将抛物线()230y ax bx a =+-≠先向右平移1个单位长度，再向下平移长度得到新的抛物线y '，在y '的对称轴上有一点D ，坐标平面内有一点E D 、E 为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为2=23y x x --(2)当1a =时，max ()4PM QN +=，()2,3Q -(3)()1,2E --或()5,2-或3171,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,2⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答；（2）设()2,23P a a a --，则()21,4Q a a +-，进而得到(),3M a a -，(N 出222422(1)4PM QN a a a +=-++=--+，最后根据二次函数的性质即可解答；（3）分以BC 为矩形一边和对角线两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可．【详解】（1）解：把()1,0A -和()3,0B 代入()230y ax bx a =+-≠，得309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得1a =，2b =-∴222422(1)4PM QN a a a +=-++=--+∴当1a =时，max ()4PM QN +=∴()2,3Q -．（3）解：由题意可得：()()()222=1213152x y x x x x --'---=---=-，∴y '的对称轴为2x =∵抛物线()230y ax bx a =+-≠与y 轴交于点C ．∴()0,3C -,∵()3,0B ,∴3OC OB ==,45BCO CBO ∠=∠=︒；如图：当BC 为矩形一边时，且点D 在x 轴的下方，过D 作DF y ⊥轴，∵D 在y '的对称轴为2x =，∴2FD =，∴2CF FD ==,325OF =+=,即点()2,5D -，∴点C 向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到点D ，则点B 向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到()5,3E -；如图：当BC 为矩形一边时，且点D 在x 轴的上方，y '的对称轴为2x =与x 轴交于F ，∵D 在y '的对称轴为2x =，∴2FO =，∴321BF =-=，∵45CBO ∠=︒，即45DBO ∠=︒，∴321BF FD ==-=,即点()2,1D ，∴点B 向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D ，则点C 向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点()1,2E --；如图：当BC 为矩形对角线时，设∴BC 的中点F 的坐标为32⎛ ⎝∴2322322m d n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得：m d =⎧⎨+⎩又∵DE BC =,∴()()22222133d n -+-=+联立173d n d n ⎧-=±⎪⎨+=⎪⎩，解得：∴点E 的坐标为3171,2⎛-- ⎝综上，存在()1,2E --或(5,的四边形是矩形．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y 轴交于点C ，点P 为抛物线上的动点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线y x =上的动点，当点P 在第四象限时，求四边形PBDC 面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)已知点E 为x 轴上一动点，点Q 为平面内任意一点，是否存在以点P ，C ，E ，Q 为顶点的四边形是以PC 为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)2=23y x x --(2)278，315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)3333,2⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭；3333,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；(3,3)-；(3,2)【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）作直线BC ，过P 作PH x ⊥轴于点G ，交BC 于点H ．设()2,23P m m m --，则(,3)H m m -，23PH m m =-+，则2139()228BPC S t ∆=--+，当32t =时，BPC △的面积最大值为从而求出此时四边形PBDC 面积的最大值，P 点坐标；（3）设()2,23P m m m --，(,0)E n ，分四种情况画出图形，利用正方形性质求解即可．【详解】（1）解：将(1,0)A -，(3,0)B 代入23y ax bx =+-中，得309330a b a b --=⎧⎨+--⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩．∴该抛物线的函数表达式为2=23y x x --．（2）解：作直线BC ，过P 作PH x ⊥轴于点G ，交BC 于点H ．设直线BC 的表达式为：y kx =+得303k n n +=⎧⎨=-⎩，解得13k n =⎧⎨=-⎩，3y x ∴=-．设()2,23P m m m --，则(,H m m ∵BPC CPH BPHS S S =+△△△∴1122BPC S PH OG PH BG =⋅+⋅△∴(21322BPC S PH OB m =⨯=-+△∴28323272BPC S m ⎛⎫=-+ ⎪⎝-⎭△，∴当32m =时，BPC △面积的最大值为BC 与直线y x =平行，1122DBC OBC S S OB OC ∴==⋅=△△∴四边形PBDC 面积的最大值为当32m =时，2332322y ⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=315,24P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭（3）解：设()2,23P m m m --，I.如图，当点E 在原点时，即点∵四边形PECQ 为正方形，∴点3(3,)Q -，II.如解图3-2，当四边形PECQ 作PI x ⊥轴，垂足为I ，作QH ⊥又∵90CEO OCE ∠+∠=︒，∴OCE PEO ∠=∠，∴(ASA)OCE PEI ≅ △∴3CO IE ==，22EO IP m ==-同理可得：3QH CO IE ===，∴3OE OI IE m =+=+，HO IO=∴2323m m m +=--，解得：m ∴3332HO IO +==，∴点)33(3,32Q +-，同理可得：PI OE CH ==，IE QH =∴3OE IE IO m =-=+，∴2233m m m =---，解得：m =∴3332HO IO -+==，∴点3,(Q -IV.如解图3-4，当四边形PECQ 为正方形时，同理可得：PI OE CH ==，EI HQ =∴2323m m m -=--，解得：m =∴2HO IO ==，∴点(3,2)Q ，综上所述：点Q 坐标为3333,2⎛+- ⎝【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、数解析式、正方形性质、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的解法、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．3．如图，抛物线212y x bx c =++与物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点综上所述，341,22N ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或341,22N ⎛- ⎝【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，面积问题，平行四边形的性质，熟练掌握是二次函数的性质解题的关键．4．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax =(1)求抛物线的表达式；(2)若直线x m =与x 轴交于点求出抛物线上点M 的坐标；(3)若点P 为抛物线y ax =位长度后，Q 为平移后抛物线上一动点，在（构成平行四边形？若能构成，求出【答案】(1)223y x x =-++(2)315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)1(2-，15)4或3(2-，7)4或【分析】（1）利用待定系数法，即可求出抛物线的表达式；（2）由“直线x m =与x 轴交于点的坐标，进而可得出AN 再利用二次函数的性质，即可求出（3）利用平移的性质，可得出平移后抛物线的表达式为点的坐标特征，可求出点点P 的坐标为(1,)m ，点Q 线三种情况考虑，由平行四边形的对角线互相平分，可得出关于得出n 值，再将其代入点【详解】（1）解：将(1,0)-09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：∴抛物线的表达式为y =-（2） 直线x m =与x 轴交于点∴点M 的坐标为2(,m m -。

二次函数中平行四边形的存在性问题解析二次函数解析式的三种形式1、一般式：y = ax2 + bx + c （a , b , c 为常数，a ≠0 ）；2、顶点式：y = a（x - h ）2 + k （a , b , c 为常数，a ≠0 ）；3、两点式：y = a（x - x1 ）（x - x2 ）（a ≠0 ）.平行四边形的判定方法及性质平行四边形1、平行四边形的判定方法定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 .2、平行四边形的性质性质1：平行四边形的邻角互补，对角相等；性质2：平行四边形的对边平行且相等；性质3：平行四边形的对角线互相平分.二次函数中平行四边形的存在性问题二次函数中平行四边形的存在性问题学习目标：1、会用分类思想讨论平行四边形的存在问题；2、会用数形结合的思想解决综合性问题.重点：分类讨论平行四边形的存在性；难点：数形结合思想及画图.一、知识回顾（储备）1、线段的中点坐标公式线段的中点坐标公式在平面直角坐标系中，有任意两点A、B，若点A 坐标为(x1，y1)，点B 坐标为(x2，y2)，则线段AB 的中点P 的坐标为(（x1 + x2 ）/ 2 , （x1 + x2 ）/ 2 ) .2、知识拓展与应用：思考：在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)，已知其中3 个顶点的坐标，如何确定第4 个顶点的坐标？引例：如图，已知□ABCD 中A (-2，2)，B (-3，-1)，C (3，1)，则点D 的坐标是(4，4) .利用中点公式分析：( x1 + x3 ）/ 2 = ( x2 + x4 ）/ 2 , ( y1 + y3 ）/ 2 = ( y2 + y4 ）/ 2 .结果化简可以化为“对点法”的形式: x1 + x3 = x2 + x4 , y1 + y3 = y2 + y4 .二、对点法（数学方法）如图，在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)，则这4 个顶点坐标之间的关系是什么？结论：x1 + x3 = x2 + x4 ，y1 + y3 = y2 + y4 .平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等．三、典例学习（三定一动）【例1】如图，在平面直角坐标系中，已知A (-1，0)，B (1，-2)，C (3，1)，点D 是平面内一动点，若以点A 、B 、C、D 为顶点的四边形是平行四边形，则点D 的坐标是______.分析：设点D（x，y），①点A 与点B 相对：-1 + 1 = 3 + x，0 - 2 = 1 + y；x = -3，y= -3 ，此时D2（-3，-3）；②点A 与点C 相对：-1 + 3 = 1 + x，0 + 1 = -2 + y；x = 1，y = 3，此时D1（1，3）；③点A 与点D 相对：-1 + x = 1 + 3，0 + y = -2 + 1；x = 5，y = -1，此时D3（5，-1）；综上所述：点D 的坐标是(-3,-3)，(1,3)，(5,-1) .说明：（细节）若题中四边形ABCD 是平行四边形，则点D（1，3），与四个点为顶点的四边形是平行四边形不同.四、问题解决【例题2】已知，抛物线y = - x2 + x +2 与x 轴的交点为A、B，与y 轴的交点为C，点M 是平面内一动点，若以点M、A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形，请写出点M 的坐标．解析：（三定一动）先求出A( -1,0 )，B ( 2,0 )，C( 0,2 )，设点M（x，y），①点A 与点B 相对：M3（1，-2）；②点A 与点C 相对：M2（-3，2）；③点A 与点M 相对：M1（3，2）；综上所述：点M 的坐标是M1（3，2），M2（-3，2），M3（1，-2）.【例题3】如图，平面直角坐标中，y = - 0.25x2 + x 与x 轴相交于点B (4，0)，点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，且以点O、B、Q、D 为顶点的四边形是平行四边形，写出相应的点P 的坐标 .解析：（两定两动其中一点为半动点）已知B (4，0)，O（0，0），设Q ( 2, a )，P ( m, -0.25m2 + m ).①点B 与点O 相对：m = 2，a = -1；P1（2，1）；②点B 与点Q 相对：m = 6，a = -3；P2（6，-3）；③点B 与点P 相对：m = -2，a = -3；P3（-2，-3）；综上所述：P1（2，1），P2（6，-3），P3（-2，-3）.【例题4】如图，平面直角坐标中，y = 0.5x2 + x - 4 与y 轴相交于点B (0，-4)，点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y = - x 上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，写出相应的点Q 的坐标.解析：（两定两动）已知B (0，-4)，O（0，0），设P ( m, 0.5m2 + m - 4 )，Q ( a, -a ).①点B 与点O 相对：a1 = 4 , a2 = 0 （舍）；②点B 与点P 相对：a = -2 ±2√5 ;③点B 与点Q 相对：a1 = - 4 , a2 = 0 （舍）；综上所述：Q1（-2 + 2√5 ，2 - 2√5 ），Q2（-2 - 2√5 ，2 + 2√5 ），Q3（-4，4）, Q4（4，-4 ）.五、总结“对点法”，需要分三种情况，得出三个方程组求解，动点越多，优越性越突出！从“几何”的角度解决问题的方法，能够使问题直观呈现，问题较简单时，优越性较突出！“数无形时不直观，形无数时难入微”，数形结合是一种好的解决问题的方法！六、作业（略）。

有关平行四边形的存在性问题一．知识与方法积累：1.已知三个定点，一个动点的情况在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标。

二．例题解析：如图，抛物线32++=bxaxy与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，31tan=∠OCA，6=∆ABCS．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式及顶点坐标；（3）设点E在x轴上，点F在抛物线上，如果A、C、E、F构成平行四边形，请求出点E的坐标．巩固练习：1. 已知抛物线322++-=xxy与x轴的一个交点为 A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．问坐标平面内是否存在点M，使得以点M和抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2. 若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点E在y轴上，写出点P的坐标．CAB Oyx3．如图，抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D .（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BCPF DE ∥为平行四边形4. 已知抛物线y =2x =分别与x 轴，y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N .在抛物线22y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由.5．如图，已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为Q ()1,2-，且与y 轴交于点C ()3,0，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ． (1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上， 问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形若存在， 求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．6. 如图，抛物线21y ax bx =++与x 轴交于两点A （－1，0），B （1，0），与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；（12+-=x y ）(2)过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，求四边形ACBD 的面积；四边形ACBD 的面积S =12AB •OC +12AB •DE 112123422=⨯⨯+⨯⨯= （也可直接求直角梯形ACBD 的面积为4）(3)在x 轴下方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．。

专题04一次函数中的特殊平行四边形存在性问题类型一、菱形问题(1)如图1，请直接写出点A 的坐标，并求出直线AB 的解析式．(2)如图2，直线2y x b =+是线段AB 的垂直平分线，垂足为点D ，且交y 轴于点C ，连接BC 线CD 上的一动点，当点P 使得32ACP ACD S S =△△时，请求出符合条件的点P 坐标．(3)在（2）的条件下，若点P 在直线CD 上且在第三象限内，在平面内是否存在其它点Q ，使得以点P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()0,2A ，122y x =-+(2)()3,3或者()3,9--(1)求A C 、两点坐标；(2)若点M 是直线CB 上一点，且(3)点P 是y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点直接写出点Q 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(1,0)A ，(3,0)C -∵(1,0),(0,3),(3,0),,A B C M m ⎛- ⎝∴1(3)4AC =--=，3OB =，MD ∴23ABC S = ，12ACM S AC MD = △∴(,3)F m ，BF m =，33MF =∵90ABC ∠=︒，∴90ABM ∠=︒，即ABM 是直角三角形，∴AB BP PQ AQ ===∴()1,2Q ；②如图所示，以AP 为对角线，四边形同理，AB BP PQ ==∴()1,2Q -；③如图所示，以AB 为对角线，四边形在Rt AOB △中，OA =∴根据菱形的性质可知，∵30ABO ∠=︒，∴30PAH QAH ∠=∠=∴AB BQ QP AP ====∴(0,3),(1,0)P Q --；综上所述，点P 是y 轴上的点，坐标平面内存在点为()1,2或()1,2-或21,⎛ ⎝∴存在，点Q 坐标为(1,(1)如图1，求点E 坐标和直线CE 的解析式；(2)点P 为x 轴正半轴上的动点，设OP t =．①如图2，当点P 在线段OA （不包含端点A ，O ）上运动时，过点P 作直线l ∥y 的线段长为d ．求d 关于t 的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围；∵OP t=，∴31,6,,43 G t t H t t ⎛⎫⎛-+-+ ⎪⎝⎭⎝∴136634d t t⎛⎫=-+--+=⎪⎝⎭②当CE 为对角线时，如图，∵四边形CPEG 是菱形，∴设CP PE n ==，则OP =在直角三角形O C P 中，根据勾股定理可得当CE 为边时，如图，∵四边形CEPG 是菱形，∴∵CG PE ∥，∴(10,6G 综上，点G 的坐标是25⎛【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、勾股定理、折叠的性质、待定系数法求一次函数的解析式等知识，具有较强的综合性，熟练掌握相关图形的性质、熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式、灵活应用数形结合思想是解题的关键．类型二、矩形存在性问题(1)求直线BD的表达式；(2)求OFH的面积；(3)点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2833 y x =+(2)64 21(3)存在，N点坐标为208,93⎛⎫-⎪⎝⎭或104,3⎛⎫--⎪⎝⎭或84,3⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）根据旋转的性质求出D点坐标，根据矩形的性质求出B 析式即可；（2）分别求出80,,(4,2)3F E⎛⎫⎪⎝⎭，先确定直线OE的解析式，从而求出∵MF FD FO MD ⊥⊥，，∴90MFD ∠=°，FOM DOF ∠=∠(1)求A，B，C三点的坐标；(2)点D是折线B A C--上一动点．①如图（1），当点D是线段AB的中点时，在y轴上找一点E，使ED EB+最小；用直尺和圆规画出点位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求出点E的坐标；点D 是AB 的中点，(0,6)A ，(6,0)B ，(3,3)D \，6,90OA OB AOB ==∠=︒ ，AOB ∴ 为等腰直角三角形，即BAO ∠=∠在BOF 与AOC 中，FBO CAO ∠=∠⎧类型三、正方形存在性问题(1)求点A ，点B 的坐标；(2)若AOC BCP S S =△△，求点P 的坐标；(3)若点E 是直线54y x =上的一个动点，在平面内是否存在点F ，使四边形APEF 点E 的坐标；若不存在，请说明理由．99⎝⎭②当点P 在点E 的右侧时，如图同理可得AMP PNE ≌△△，∴6NE PM ==，NP AM =，即65684m n m n +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得：16m =，5204m =，【点睛】本题考查了一次函数综合问题，一次函数与坐标轴交点问题，正方形的性质，三角形面积问题，坐标与图形，熟练掌握一次函数的性质，数形结合是解题的关键．例2．如图，在平面直角坐标系中，直线（0k ≠）交于点P ，4OC OD OA ==(1)求直线CD 的解析式；(2)连接OP 、BC ，若直线AB 上存在一点Q ，使得(3)将直线CD 向下平移1个单位长度得到直线，直线角坐标系中，是否存在点M ，使以点O ，E ，N ，M 标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)4y x =-+；∵3AC=，点P的坐标为∴12PQC P S AC y=⨯+△∴点N 的坐标为(0,3)，∴点M 的坐标为(3,3)；当3OE =作为矩形OEMN ∴点F 的坐标为3(,0)2，∵tan 11OEN ∠=-=，∴45OEN ∠=︒，∵ON NE ⊥，∴ONE ∆是等腰直角三角形，(1)求直线l 的解析式；(2)求证：ABC 是等腰直角三角形；(3)将直线l 沿y 轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与存在点P ，使得A B P ''△是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点【答案】(1)142y x =-+∴90DPE A PB ''∠=∠=︒，∴A PD B PE ''∠=∠，∵90A FP CEB ''∠=∠=︒，∴A FP CEB '' ≌，∴4,PE PF A F B E ''===，此时点P 的坐标为()44--，；同理此时点P 的坐标为()44-，；如图，若以点B '为直角顶点时，过点P 作同理A OB B GP ''' ≌，∴44OB PG OF t '====+，B '∴8t =-或0（舍去），∴8B G OA ''==，∴12OG =，∴此时点P 的坐标为()412--，；如图，若以点B '为直角顶点时，过点同理PB M A B O ''' ≌，∴44B M B O t ''===+，82PM OA t '==+，∴0=t （舍去）；如图，若以点A '为直角顶点时，同理A PF B A O ''' ≌，∴,PF A O B O A F '''==，∴4482t t --=---，解得：8t =-，∴8PF =，此时点P 的坐标为()48-，；如图，若以点A '为直角顶点时，同理A PF B A O ''' ≌，(1)求直线1l的解析式；(2)设2P m（，），求ABP的面积S (3)当ABP的面积为3时，则以点【答案】(1)114y x =-+(2)当12m>时，21S m=-；当m90CBF PBE CFB PEB BC BP ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴CBF PBE AAS ≌（）．∴2BF CF PE EB ====．∴426OF OB BF =+=+=．∴62C （，）；如图3，PBC 是等腰直角三角形，∴PE CE =，∴22C （，-），∴以点B 为直角顶点作等腰直角BPC △，点C 的坐标是62（，）或22（，-）．当123m -=时，1m =-，可得21P （，-），同法可得32C （，）或52-（，）．综上所述，满足条件的点C 坐标为62（，）或22（，-）或（3，2）或52（，-）．【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，同时考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．2．如图1，在平面直角坐标系中，△ABO 为直角三角形，∠ABO ＝90°，∠AOB ＝30°，OB ＝3，点C 为OB 上一动点．∵将△OAB绕点O顺时针旋转，∴BO=B'O=3，∠AOB=∠A'OB'=30°，∵将△OAB绕点O顺时针旋转，∴∠BOB'=∠AOA'=90°，OB=OB'=3，∴点B'在y轴上，∴点B'（0，-3），如图，由中心对称的性质可得：点B'的坐标综上所述：点B '的坐标()03-，或332⎛- ⎝，【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，一次函数的性质等知识，中心对称的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．．如图，在平面直角坐标系中，直线y =与直线CD 交于点(),3A m ．(1)求直线AB 的解析式；(2)点E 是射线CD 上一动点，过点E 作EF y ∥轴，交直线平行四边形，请求出点E 的坐标；(3)设P 是射线CD 上一点，在平面内是否存在点Q ，使以直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．∵()0,3B -，()0,6C ∴直线PQ 的解析式是直线32y =，M 令362y x =-+=，解得92x =，∴点P 的坐标是93,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点P 的坐标是(,6b b -+∵BC BP =，即()20b -解得：9b =或0b =(此时点∴点P 的坐标是()9,3-∴9PQ BC ==，设点P 的坐标是(,b b -+解得：922b =或b =-又∵9PQ =，∴点Q 的坐标是综上所述：点Q 的坐标为：【点睛】本题考查待定系数法求直线的解析式，一次函数的图象与性质，平行四边形的性质，菱形的性质，（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线【答案】（1）见解析；（2）点【详解】（1）证明：∵90ACB ∠=︒，AD l ⊥，∴90ACB ADC ∠=∠=︒，∵ACE ADC CAD ∠=∠+∠，ACE ACB BCE ∠=∠+∠，∴CAD BCE ∠=∠，∵90ADC CEB ∠=∠=︒，AC BC =，∴()AAS ACD CBE ≌ ，∴AD CE =，CD BE =；（2）解：如图2，过点F 作FM y ⊥轴，垂足为M ，过点G 作GN x ⊥轴于点N ，交MF 的延长线于J ，∵()3,1G -，∴3ON =，1GN =，由已知可得OG GF =，且90OGF ∠=︒，∵FM y ⊥轴，GN x ⊥轴，∴90JMO MON JNO ∠=∠=∠=︒，∴四边形JMON 是矩形，∴90ONG FJG ∠=∠=︒，JM ON =，∴90FGJ OGN OGN GON ∠+∠=∠+∠=︒，∴FGJ GON ∠=∠，∵OG GF =，90ONG FJG ∠=∠=︒，∴()AAS GJF ONG ≌ ，∴3GJ ON ==，1JF GN ==，∴3JM ON ==，过点3P 作3P E x ⊥轴于点E ，由（1）知3P EN NOM ≌ ，∴33P E ON ==，1NE OM ==，∴314OE =+=，∴()343P ，，同理可得()42,3P -．综上所述点P 的坐标为()34，或()32-，或()41，或（()2,1--）．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定方法．5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数(0)y kx b b =+≠的图象经过(1,0)A -，(0,2)B ，D 三点，点D 在x 轴上方，点C 在x 轴正半轴上，且5OC OA =，连接，BC CD ，已知2ADC ABC S S =△△．(1)求直线AB 的表达式；(2)求点D 的坐标；(3)在线段AD CD ，上分别取点M ，N ，使得MN x ∥轴，在x 轴上取一点P ，连接MN NP MP ，，，是否存(1)求直线1l 的函数表达式；(2)在平面直角坐标系中有一点()5,P m ，使得S (3)点M 为直线1l 上的动点，过点M 作y 轴的平行线，交直角三角形，请直接写出满足条件的点M 的坐标．【答案】(1)26y x =-+；(2)点P 坐标为()5,2或()5,8；则||M MN x t ==，∴36t t -=，∴32t =或3t =，∴332,M ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()3,0M ，综上所述，点M 的坐标为618,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或()6,6-或⎛ ⎝。

坐标系中四边形存在性问题5题解析版一、解答题1．如图，平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（﹣3，0），B（3，0），C（0，4），连接OD，点E是线段OD的中点．（1）求点E和点D的坐标；（2）平面内是否存在一点N，使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）D（-6,4），E（-3,2）；（2）点N的坐标为(3,2)或(-9,2)或(-3,6)【分析】（1）根据平行四边形的性质即可得到点D的坐标，过点E作EF⊥OC于F，EH⊥C D与H，则四边形EFCH是矩形，利用矩形的性质求出点E的坐标；（2）根据平行四边形对角顶点的横、纵坐标的和分别为零求解即可．【详解】解：（1）∵A（﹣3，0），B（3，0），C（0，4），∴OA=OB=3，OC=4，CD⊥OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=6，CD∥AB，∴点D的坐标为（-6,4）；过点E作EF⊥OC于F，EH⊥C D与H，则四边形EFCH是矩形，∵点E是线段OD的中点，∴CE=OE=DE，∴CH=DH=3，CF=OF=2，∴点E的坐标为（-3,2）；（2）存在点N ，使以C 、D 、E 、N 为顶点的四边形是平行四边形∵C （0，4），D （-6,4），E （-3,2），∴当点N 与点D 为对角顶点时，N (3,2)；当点N 与点C 为对角顶点时，N (-9,2)；当点N 与点E 为对角顶点时，N (-3,6)；∴点N 的坐标为(3,2)或(-9,2)或(-3,6)．【点睛】此题考查了平行四边形的性质及判定，矩形的判定定理及性质定理，熟记各定理是解题的关键．2．如图，在平面直角坐标系xOy ，四边形OBCD 是正方形，()0,4D ，点E 是OB 延长线上的一点，M 是线段OB 上一动点（不包括O 、B ），作MN DM ⊥，交CBE ∠的平分线于点N ．(1)直接写出C 点的坐标；(2)求证：MD MN =；(3)如图2，若()3,0M ，在OD 上找一点P ，使四边形MNCP 是平行四边形，求点N 的坐标．【答案】(1)()4,4C (2)见解析(3)点N 的坐标为()7,3【分析】（1）由正方形的性质结合点D 的坐标可得出CD y ⊥轴，CB x ⊥轴，4CD CB OD ===，进而可得出点C 的坐标；（2）在OD 上截取OH OM =，连接HM ，则DH MB =，由OH OM =可得出45OHM ∠=︒，进而可得出135DHM ∠=︒，由角平分线的定义及邻补角互补可求出135MBN ∠=︒，进而可得出DHM MBN ∠=∠，利用同角的余角相等可得出MDH NMB ∠=∠，可证出()ASA DHM MBN ≌，再利用全等三角形的性质可证MD MN =；（3）作NF x ⊥轴，垂足为点F ，易证()AAS DMO MNF ≌，利用全等三角形的性质可得出MF ，NF 的长度，进而可得出点N 的坐标．【详解】（1）解： 四边形OBCD 是正方形，()0,4D ，∴CD y ⊥轴，CB x ⊥轴，4CD CB OD ===，∴()4,4C ．（2）证明：如图，在OD 上截取OH OM =，连接HM ，OBCD 是正方形，∴OD OB =，OH OM =，90HOM ∠=︒，∴OD OH OB OM -=-即DH MB =，45OHM ∠=︒，∴180135DHM OHM ∠=︒-∠=︒，BN 平分CBE ∠，18090CBE OBC ∠=︒-∠=︒，45NBE ∴∠=︒，180135MBN NBE DHM ∴∠=︒-∠=︒=∠，MN DM ⊥ ，90DMO NMB ∴∠+∠=︒，又90DMO MDH ∠+∠=︒ ，MDH NMB ∴∠=∠，在DHM △和MBN △中，MDH NMB DH MBDHM MBN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA DHM MBN ≌，∴MD MN =．（3）解：作NF x ⊥轴，垂足为点F ，90MFN =∴∠︒，90FMN MNF ∴∠+∠=︒，MN DM ⊥，90DMO FMN ∴∠+∠=︒，DMO MNF ∴∠=∠，由（2）可知DM MN =，在DMO 和MNF 中，90DOM MFN DMO MNFDM MN ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS DMO MNF ∴ ≌，()0,4D ，()3,0M ，∴4MF OD ==，3NF OM ==，437OF ∴=+=，∴点N 的坐标为()7,3．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线、余角及补角，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．3．综合与探究如图，平行四边形ABCD 在平面直角坐标系中，点B 在x 轴负半轴上，点D 在第一象限，A ，C 两点的坐标分别为（0，4），（3，0），边AD 的长为6．。

四边形中的动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或直线上运动的一类开放性题目。

解决这类问题关键是动中求静,灵活运用有关数学知识。

数学思想：分类思想、函数思想、方程思想、数形结合思想、转化思想，其注重对几何图形运动变化能力的考查。

这类类问题从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力。

解决这类问题首先要在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要画出图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程；其次在变化中找到不变量的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

动点问题题型方法归纳：动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就四边形中的动点问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB ＝60°，则矩形ABCD的面积是_____________2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为________（第1题）（第2题）（第3题）3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为____________4、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0 < t ≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.(1)求证：AE＝DF；(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）；（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）求当t为何值时，四边形ACFE是菱形；（3）是否存在某一时刻t，使以A、F、C、E为顶点的四边形内角出现直角？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．6、在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在射线BC上运动，∠EAF=60°，点F在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB；（2）当点E在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为______时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．8、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．9、如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是______；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是______（第9题）（第10题）10、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为______．11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD 的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求AP的长；若不可能，请说明理由．12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F 是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm／s。

平行四边形的动点问题1. 平行四边形是指具有两对相对平行的边的四边形。

在这个问题中，我们关注一个动点在平行四边形内移动的情况。

2. 首先，让我们定义平行四边形的四个顶点为A、B、C和D，并假设它们按顺时针方向排列。

我们还假设动点记为P，并且它可以在平行四边形内的任意位置移动。

3. 问题的第一部分是，如果动点P从A点出发，按一定路径移动，最后回到A点，那么它经过的路径会是什么样子4. 要回答这个问题，我们需要注意到平行四边形的两对相对边分别是AB和CD，以及AD和BC。

因此，如果动点P从A点出发并回到A 点，它必定会经过平行四边形的另外两个顶点，即C和B。

5. 为了更具体地描述动点P的路径，我们可以进一步假设动点P沿着直线AC移动到顶点C，然后沿着直线CB移动到顶点B，最后沿着直线BA移动回到顶点A。

这样，动点P所经过的路径形成了一个三角形ABC。

6. 需要注意的是，这个路径并不是唯一的。

动点P可以按任意方式从A到C，再从C到B，最后从B到A。

但无论路径如何，最终的路径都是一个三角形ABC。

7. 接下来，让我们来看问题的第二部分。

如果动点P从一个顶点出发，按一定路径移动，最后回到另一个顶点，那么它经过的路径会是什么样子8. 在这种情况下，我们可以假设动点P从顶点A出发，并沿着直线AC移动到顶点C。

然后，它会继续按照平行四边形的形状，沿着直线CB移动到顶点B，并最终沿着直线BA返回到顶点A。

9. 与第一部分类似，这个路径也不是唯一的。

动点P可以从任意顶点出发，按照相应的顺序经过其他两个顶点，最后回到初始的顶点。

10. 总结起来，平行四边形的动点问题涉及动点在平行四边形内移动的路径问题。

无论是从一个顶点出发回到同一个顶点，还是从一个顶点出发回到另一个顶点，最终路径都可以看作是一个三角形。

11. 这个问题的解答可以帮助我们更好地理解平行四边形的形状和特性，以及动点在平行四边形内移动时的可能路径。

它也为我们提供了一种思考和探索几何问题的方式。

动点问题中平行四边形存在性问题的探究一、知识点综述动点问题是近几年各地中考的重中之重，也是教学的难点，其中平行四边形的存在性问题是其中的一种题型。

此类题目通常与代数式、平面直角坐标系、勾股定理、平行四边形及特殊平行四边形的判定等结合起来，综合性特别强。

二、典型图形分析图形条件结论ABCD为平行四边形A(x A，y A)、B(x B，y B)、C(x C，y C)、D(x D，y D) x A+ x C= x B+ x D y A+ y C= y B+ y DA、B、C是已知点，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形这样的四边形有三个：四边形FACB、四边形ABCD、四边形ABEC三、易错点分析1. 注意区分“以A、B、C、D为顶点的四边形”和“四边形ABCD”的不同之处；2. 注意分析动点的运动过程，看它是否反复运动而存在多种情况；3. 看清题目，注意“当AB=CD和AB∥CD时，分别求出动点P的运动时间”和“当AB=CD且AB∥CD时，动点P的运动时间”之间的区别.下面我们就以一些具体实例加以分析论述.四、典型例题例题1. 如图1-1，在平面直角坐标系中，以A（﹣1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，则平行四边形顶点D的坐标是图1-1例题2.如图2-1，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以每秒3个单位的速度沿A→D→C向终点C运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度沿B→A向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）图2-1A．4s B．3s C．2s D．1s例题3. 如图3-1所示，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．图3-1例题4. 如图4-1，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，动点M从点D出发，沿折线DCBAD方向以2单位每秒的速度运动，动点N从点D出发，沿折线DABCD方向以1单位每秒的速度运动，.（1）若动点M、N同时出发，多长时间相遇？（2）若点E在线段BC上，且BE=3. 若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形.图4-1例题5．如图5-1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造□PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满足PE＝AO．（1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（2）当点P运动的时间为32秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少？图5-1例题6. 如图6-1，在矩形ABCD 中，AB ＝30 cm ，BC ＝10 cm ，点P 从A 开始沿折线A －B －C －D 以6cm /s 的速度移动，点Q 从点C 开始沿折线C －D －B 以6 cm /s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t (s )．当t 为何值时，以Q 、P 、B 、C 为顶点的四边形是矩形？DCBAQP图6-1例题7. 如图7-1，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 的延长线上，并且AF =CE ．（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？请回答并证明你的结论．图7-1例题8. 如图8-1所示，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是每秒2个单位长度，连结PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．图8-1例题9. 如图9-1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．图9-1答案与解析题1. 如图1-1，在平面直角坐标系中，以A（﹣1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，则平行四边形顶点D的坐标是图1-1【答案】(3,1)或(-3,1)或(1,-1).【解析】分两种情况讨论：①AB为边，则AB=CD=3，所以D点坐标为(3,1)或(-3,1)②AB为对角线，根据x A+ x B= x C+ x D，y A+ y B= y C+ y D得：x D=1，y D=-1，即D点坐标为(1,-1).故答案为：(3,1)或(-3,1)或(1,-1).题2.如图2-1，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以每秒3个单位的速度沿A→D→C向终点C运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度沿B→A向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）图2-1A．4s B．3s C．2s D．1s【答案】B.【解析】因为AB∥CD，即PC∥BQ，所以只需PC=BQ时，四边形PQBC为平行四边形设运动时间为t，则PC=AD+CD－3t，BQ=t∴5+7－3t=t解得：t=3故答案为：B.题3. 如图3-1所示，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．图3-1 【答案】见解析.【解析】（1）如图3-2所示.图3-2 证明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACB的外角，∴∠2=∠5，∠4=∠6，∵MN∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF；（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，∠2+∠5+∠4+∠6=180°∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，∵CE=12，CF=5，∴在Rt△CEF中，由勾股定理得：∴EF=13，又∵O是EF的中点∴OC=12EF=6.5；（3）解：当点O在边AC上运动到线段AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．题4. 如图4-1，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，动点M从点D出发，沿折线DCBAD方向以2单位每秒的速度运动，动点N从点D出发，沿折线DABCD方向以1单位每秒的速度运动，.（1）若动点M、N同时出发，多长时间相遇？（2）若点E在线段BC上，且BE=3. 若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形.图4-1【答案】见解析.【解析】（1）设动点M、N同时出发，x秒相遇，由题意得：2x+x=2×(4+8)解得：x=8.即8秒点M、N相遇.（2）分两种情况讨论：①AE为边时，如图4-2所示.图4-2因为AN∥EM，只需AN=EM时，AEMN为平行四边形设运动时间为t，则AN=8－t，CM=2t－4，EM=5－CM=9－2t，所以8－t=9－2t，解得：t=1不符合题意，舍去.②AE为对角线时，如图4-3所示.图4-3因为AN∥EM，只需AN=EM时，AEMN为平行四边形设运动时间为t，则AN=8－t，CM=2t－4，EM= CM－5=2t－9，所以8－t=2t－9，解得：t=17 3.所以173秒时，点A、E、M、N组成平行四边形.题5．如图5-1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造□PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满足PE＝AO．（1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（2）当点P运动的时间为32秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少？图5-1【答案】见解析.【解析】（1）证明：连接CD交AE于F，如图5-2所示.图5-2∵四边形PCOD 是平行四边形，∴CF ＝DF ，OF ＝PF ，∵PE ＝AO ，∴AF ＝EF ，又∵CF ＝DF ，∴四边形ADEC 为平行四边形；（2）解：当点P 运动的时间为32秒时，OP ＝32，OC ＝3，则OE ＝92，在Rt △AOC 中，由勾股定理得，AC ＝32，在Rt △COE 中，由勾股定理得，CE ＝3132，∵四边形ADEC 为平行四边形，∴周长为（32+3132）×2＝62313．题6. 如图6-1，在矩形ABCD 中，AB ＝30 cm ，BC ＝10 cm ，点P 从A 开始沿折线A －B －C －D 以6 cm /s 的速度移动，点Q 从点C 开始沿折线C －D －B 以6 cm /s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t (s )．当t 为何值时，以Q 、P 、B 、C 为顶点的四边形是矩形？D CBA Q P图6-1【答案】见解析.【解析】依据点P 、Q 所在不同位置分类讨论：①如图6-2所示，点P 在线段AB 上，点Q 在线段CD 上时，D CBA Q P图6-2 根据题意得：CQ =6t ，AP =6t ，则BP =30－6t ，∵四边形ABCD 是矩形∴∠B =∠C =90°，CD ∥AB ，∴只有CQ =BP 时四边形QPBC 是矩形，即6t =30－6t解得：t =52即当t =52时，四边形QPBC 是矩形．②如图6-3所示，点P 在线段CD 上，点Q 在线段AB 上时，D CBA P Q图6-3 根据题意得：BQ =70－6t ，CP =6t －40，当BQ =CP 时四边形QPBC 是矩形，即70－6t =6t －40解得：t =556即当t =556时，四边形QPBC 是矩形．题7. 如图7-1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE的延长线上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．图7-1【答案】见解析.【解析】（1）证明：∵DE为BC的垂直平分线，∴∠EDB=90°，BD=DC，又∵∠ACB=90°，∴DE∥AC，∴E为AB的中点，∴在Rt△ABC中，CE=AE=BE，∴∠AEF=∠AFE，且∠BED=∠AEF，∠DEC=∠DFA，∴AF∥CE，又∵AF=CE，∴四边形ACEF为平行四边形；（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形，理由如下：因为∠B=30°，所以∠BAC=60°又EC=AE，所以△AEC是等边三角形，所以EC=AC，又ACEF为平行四边形所以ACEF为菱形.故当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形.题8. 如图8-1所示，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是每秒2个单位长度，连结PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．图8-1【答案】见解析.【解析】（1）解：因为ABCD为矩形，所以AP∥BQ，当AP=BQ时，ABQP为矩形，由题意知：AP=12－2t，BQ=2t，所以12－2t=2t，解得：t=3.即t=3时，四边形ABQP是矩形.（2）解：由题意知：BQ=PD，由矩形性质得：AD=BC所以CQ=AP，又CQ∥AP，所以四边形AQCP是平行四边形，当AQ=QC时，AQCP是菱形，即AQ2=QC2，在Rt△ABQ中，由勾股定理得：AQ2=AB2+BQ2，所以82+(2t)2=(12－2t)2，解得：t=5 3，即t=53时，四边形AQCP是菱形.（3）由（2）知：AP=12－2t= 26 3所以菱形AQCP的周长为：104 3，菱形AQCP的面积为：208 3.题9. 如图9-1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．图9-1【答案】见解析.【解析】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；（2）解：四边形BECD是菱形.理由是：∵D为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD，∴平行四边形BECD是菱形；（3）解：当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．。

特殊平行四边形中的三种几何动点问题类型一、面积问题 例．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，90BCD ∠=，10cm AB AD ==，=8cm BC ．点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线ABC 方向运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动．已知动点P ，Q 同时发，当点Q 运动到点C 时，P ，Q 运动停止，设运动时间为t ．(1)直接写出CD 的长（cm ）；(2)当四边形PBQD 为平行四边形时，直接写出四边形PBQD 的周长（cm ）；(3)在点P 、点Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BPQ V 的面积为215cm ？若存在，请求出所有满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)16(2)(3)存在，满足条件的t 的值为2512秒或5秒【分析】（1）过点A 作AM CD ⊥于M ，根据题意证明四边形ABCD 是平行四边形，然后根据平行四边形的性质以及勾股定理可得结果；（2）当四边形PBQD 是平行四边形，则点P 在AB 上，点Q 在DC 上，则103BP t =−，2DQ t =，根据平行四边形的性质可得1032t t −=，求解得出平行四边形的各边长，求其周长即可；（3）分两种情况进行讨论：①当点P 在线段AB 上时；②当点P 在线段BC 上时；根据三角形面积列方程计算即可．【详解】（1）解：如图1，过点A 作AM CD ⊥于M ，AM CD ⊥，=90BCD ∠︒，∴AM CB ∥，∵AB CD ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，10cm CM AB ∴==，在t R ADM 中，10cm AD =，8cm AM BC ==，根据勾股定理得，6cm DM =，16cm CD DM CM ∴=+=；（2）当四边形PBQD 是平行四边形，则点P 在AB 上，点Q 在DC 上，如图3，由运动知，103BP t =−，2DQ t =，1032t t ∴−=，2t ∴=，此时，4BP DQ ==，12CQ =，根据勾股定理得，BQ =∴四边形PBQD 的周长为()28BP BQ +=+（3）①当点P 在线段AB 上时，即：1003t ≤≤时，如图2，()1110381522BPQ S PB BC t =⋅=−⨯=，2512t ∴=；②当点P 在线段BC 上时，即：1063t <≤时，如图4，310BP t =−，162CQ t =−，()()113101621522BPQ S PB CQ t t ∴=⋅=−−=，5t ∴=或193t =（舍）， 即：满足条件的t 的值为2512秒或5秒．【点睛】本题考查了四边形的动点问题，平行四边形的判定与性质，勾股定理，读懂题意，根据相应图形的性质列出方程是解本题的关键．【答案】(1)①12DP t =−；15BQ t =−；②7.5t =(2)()()()220<12=12<151345 15<1844t S t t t t −≤−≤−−≤⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩【分析】（1）①根据路程等于速度乘以时间列代数式即可；②AP BQ =时，四边形APQB 是平行四边形；（2）求出相关线段的长度，利用三角形面积公式，分情况讨论即可．【详解】（1）解：①由题意可知=cm AP t ，cm CQ t =，∴()12cm DP AD AP t =−=−，()15cm BQ BC CQ t =−=−；②当四边形APQB 是平行四边形时，AP BQ =，即15t t =−，解得7.5t =．故答案为：()12cm t −，()15cm t −（2）解：如图，过点D 作DE BC ⊥于点E ，则90A B DEB ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABED 是矩形，∴90ADE ∠=︒，()12cm BE AD ==， ∴()15123cm CE BC BE =−=−=，∵120ADC ∠=︒，∴30CDE ADC ADE ∠=∠−∠=︒，∴()26cm DC EC ==，∴)cm DE ===，∴点P 运动到点D 时，需12秒，点P 到点C 时，需18秒；点Q 从点C 到点B 需15秒，从点B 到点A 需15+秒．故分三种情况讨论：①当012t <≤时，如图，11==(1522S BQ AB t ⋅−−）②当1215t <≤时，如图，过点P 作DH BC ⊥于点H ，()18cm PC AD DC t t =+−=−，易知DE PH ∥∴30CPH CDE ∠=∠=︒， ∴()119cm 22CH PC t ==−，∴())cm PH t ==−，∴211(15))22S BQ PH t t =⋅=−−=；③当1518t <≤时，如图，()15cm BQ t BC t =−=−，()111596cm 22BH BC CH t t ⎛⎫=−=−−=+ ⎪⎝⎭， ∴211113(15)(6)4522244S BQ BH t t t t =⋅=−⋅+=−−，综上，))()220<12=12<15134515<1844t S t t t t ≤−≤−−≤⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩．【点睛】本题考查列代数式、三角形面积公式、平行四边形的判定、勾股定理、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、四边形上的动点问题等，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．【答案】(1)10(2)12(3)S=18(09)6216(918)t t t t <≤⎧⎨−+<≤⎩(4)t= 4或8或12【分析】（1）当t=4时，AP=8，PD=AD -AP=BC -AP=18-8=10；（2）当四边形ABQP为矩形时，AP=BQ，根据不同的时间段AP的关系式求出t值即可；（3）由（2）中不同时间段AP的关系式得出S的分段函数即可；（4）PQ所在的直线将矩形ABCD分成面积比为1：2的两部分时，可能再两个不同的时间段存在12ABQPPDCQss=四边形四边形和12PDCQABQPss=四边形四边形两种可能，根据（3）中面积的函数关系式分段求t值即可．（1）解：当t=4时，AP=2t=8，∴PD=AD-AP=18-8=10，故答案为10（2）解：当四边形ABQP为矩形时，AP=BQ，若0≤t≤9时，AP=2t，则2t=t，解得t=0（不符合题意，舍去）；若9＜t≤18时，AP=36-2t，则36-2t=t，解得t=12；故答案为12（3）解：当0<t≤9时，S=12(BQ +AP)⋅AB =12(t+2t)×12= 18t；当9<t<18时，S=12(BQ +AP)．AB =- 6t + 216．综上所述，S =18(09)6216(918)t tt t<≤⎧⎨−+<≤⎩（4）解：当0≤t≤9时，若12ABQPPDCQss=四边形四边形，则ABQPs四边形=13ABCDS矩形，∴18t=13×12×18，解得t=4；若12PDCQABQPss=四边形四边形，则ABQPs四边形=23ABCDS矩形，∴18t=23×12×18，解得t=8；当9＜t≤18时，若12ABQPPDCQss=四边形四边形，则ABQPs四边形=13ABCDS矩形，∴-6t+216=13×12×18，解得t=24（舍）；若12PDCQABQPss=四边形四边形，则ABQPs四边形=23ABCDS矩形，∴-6t+216=23×12×18，解得t=12；综上，当t=4或8或12时，PQ所在的直线将矩形ABCD分成面积比为1：2两部分．【点睛】本题主要考查四边形的综合题型，涉及动点问题，矩形的性质，梯形的面积等知识点，会用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．如图，在ABD中，几秒钟后，MON的面积为【答案】(1)见解析(2)5米，24平方米；(3)1秒或4秒【分析】（1）根据题意，用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”先判定平行四边形，再用邻边相等证明菱形；（2）解方程可得OA 、OB 的长，用勾股定理可求AB ，根据“菱形的面积对应对角线积的一半”计算连线面积；（3）根据点M 、N 运动过程中与O 点的位置关系，分三种情况分别讨论．【详解】（1）证明：AO 平分BAD ∠，AB CD ∥，DAC BAC DCA ∠∠∠∴==， ACD ∴是等腰三角形，AD DC =，又AB AD =，AB CD ∴=，∴四边形ABCD 为平行四边形，又AB AD =，∴四边形ABCD 是菱形；（2）解：解方程27120x x −+=，得，14x =，23x = 4OA ∴=，3OB =，利用勾股定理5AB ==，28,26AC OA BD OB ∴====，∴ABCD S =菱形118622AC BD ⨯=⨯⨯24=平方米．（3）解：在第(2)问的条件下，设M 、N 同时出发x 秒钟后，MON 的面积22m ，当点M 在OA 上时，2x <，MON S =12()()4232x x −−=， 解得1214x x ==， (大于2，舍去)；当点M 在OC 上且点N 在OB 上时，23x <<，MON S =12()()3242x x −−=，整理得，2580x x −+=，此时，2=541870∆−⨯⨯=−<，∴原方程无解；当点M 在OC 上且点N 在OD 上时，即34x <≤，MON S =12 ()()2432x x −−=，整理得，2540x x −+=，解得1241x x ==， (小于3，舍去)．综上所述：M ，N 出发1秒或4秒钟后，△MON 的面积为22m ．【点睛】本题考查了菱形的判定方法，菱形的面积计算方法，分类讨论的数学思想．类型二、几何图形存在性问题 Rt ABC 中， (1)求AB AC ，的长；(2)求证：AE DF =；(3)当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．【答案】(1)AB=5，AC=10；(2)证明见解析(3)当52t =秒或4秒时，DEF 为直角三角形，理由见解析【分析】（1（2）利用已知用未知数表示出DF ，AF 的长，进而得出AE DF =；（3）利用①当90EDF ∠=︒时；②当90DEF ∠=︒时；③当90EFD ∠=︒时，分别分析得出即可．【详解】（1）解：设AB x =，90B ∠=︒，30C ∠=︒，22AC AB x ∴==．由勾股定理得，()(2222x x −=， 解得：5x =， 5AB ∴=，10AC = ；（2）证明：由题意得AE t =，CD=2t ，则102AD t =−，在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴12DF CD t==．又AE t=，AE DF∴=；（3）解：当52t=秒或4秒时，DEF为直角三角形，理由如下：分情况讨论：①∠EDF=∠DFC=90°时，则DE BC∥，∴∠AED=∠B=90°，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE，∴10-2t=2t，∴52t=；②∠DEF=90°时，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE DF．又∵AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形，∴AD EF，∴∠ADE=∠DEF=60°，∴∠AED=30°，∴12AD AE=，∴1 1022t t−=，∴4 t=；③∠EFD=90°时，此种情况不存在． 当52t =秒或4秒时，DEF 为直角三角形．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识．理解相关知识是解答关键． (1)连接PD 、PQ 、DQ ，求当t 为何值时，PQD △的面积为(2)当点P 在BC 上运动时，是否存在这样的t 使得△合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1秒或4秒(2)存在，43t =秒或4)秒【分析】（1）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解；（2）根据勾股定理、等腰三角形的性质得出一元二次方程，分情况讨论以PD 为腰的等腰三角形即可说明．【详解】（1）解：当P 在BC 上时如图：根据题意，得4AB BC CD AD ====AQ t =，4QB t =−，2BP t =，42PC t =−，7PQD ADQ BPQ DPC ABCD S S S S S =−−−=△△△△正方形，1111642(4)4(42)7222t t t t −⨯⨯−⨯−−⨯⨯−=整理，得2210t t −+=，解得121t t ==．当P 在CD 上时，此时24t <≤4(24)82DP t t =−−=− 1(82)472PQD S t ∴=−⨯=△94t ∴=答：当t 为1秒或94秒时，PQD △的面积为27cm ．（2）①当PD DQ =时，根据勾股定理，得2216(42)16t t +−=+，解得143t =，24t =（不符合题意，舍去）．②当PD PQ =时，根据勾股定理，得22216(42)(4)(2)t t t +−=−+，整理得：28160t t +−=解得14t =，24t =−（不符合题意，舍去）．答：存在这样的43t =秒或4)秒，使得PQD △是以PD 为一腰的等腰三角形．【点睛】本题考查了正方形、一元二次方程、等腰三角形的相关知识，解决本题的关键是分类讨论思想的运用．例3．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，BC ＝18cm ，点P 从点A 出发以1cm/s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以2cm/s 的速度向点B 运动，当点Q 到达点B 时，点P 也停止运动，设点P ，Q 运动的时间为t s ．(1)从运动开始，当t 取何值时，PQ ∥CD ？(2)在整个运动过程中是否存在t 值，使得四边形PQCD 是菱形？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由；(3)从运动开始，当t 取何值时，四边形PQBA 是矩形？(4)在整个运动过程中是否存在t 值，使得四边形PQBA 是正方形？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)4(2)不存在，理由见解析(3)6(4)不存在，理由见解析【分析】（1（2）利用菱形的判定和性质进行求解即可；（3）利用矩形的判定和性质进行求解即可；（4）利用正方形的判定和性质进行求解即可．（1）解：由运动知，AP ＝tcm ，CQ ＝2tcm ，∴DP ＝AD ﹣AP ＝（12﹣t ）cm ，∵AD BC ∥，要PQ CD ∥，∴四边形CDPQ 为平行四边形，∴DP ＝CQ ，∴12﹣t ＝2t ，∴t ＝4，即t ＝4时，PQ ∥CD ；（2）不存在，理由：∵四边形PQCD 是菱形，∴CQ ＝CD ，∴2t ＝10，∴t ＝5，此时，DP ＝AD ﹣AP ＝12﹣5＝7（cm ），而DP≠CD ，∴四边形PQCD 不可能是菱形；（3）如图4，∵∠B ＝90°，AD ∥BC ，∴当AP ＝BQ 时，四边形ABQP 是矩形，即t ＝18﹣2t ，解得：t ＝6，∴当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形；（4）由当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形，∴AP ＝6cm ，∵AB ＝8cm ，∴AP≠AB ，∴矩形PQBA 不能是正方形，即不存在时间t ，使四边形PQBA 是正方形．【点睛】本题考查四边形中的动点问题．解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定和性质，确定动点的位置． 例4．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且8AC =，6BD =，现有两动点M ，N 分别从A ，C 同时出发，点M 沿线段AB 向终点B 运动，点N 沿折线C D A −−向终点A 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t （秒）．(1)填空：AB = ；菱形ABCD 的面积S = ；菱形的高h = ．(2)若点M 的速度为每秒1个单位，点N 的速度为每秒a 个单位（其中52a <），当4t =时在平面内存在点得以A ，M ，N ，E 为顶点的四边形为菱形，请求出所有满足条件的a 的值．【答案】(1)5；24；245(2)1.5或1.94或1.4【分析】（1）先由菱形的性质和勾股定理求得AB ，再跟菱形面积为对角线之积的一半可得S ，最后根据菱形的面积为边长×高，由此可得高h 的长；（2）当4t =，时间固定，AM 的长度也就固定，A 、M 、N 、E 四点要形成菱形，分两大类情况，第一类以AM 为边，这种情况可以画两种菱形；第二类以AM 为对角线，只有一种．因此共三种情况，分别计算．【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，86AC BD ==，，∴43AO CO BO DO AC BD ====⊥，，，∴AB=5，设菱形的高为h,则菱形ABCD 的面积为186242AB h ⨯⨯=⨯=∴245h =故答案为：5，24，245（2）解：当4t =时，4AM =，①如图2，四边形AMEN 为菱形，4AN AM ∴==，1046ND CD ∴+=−=，46a ∴=，32a =．②如图3，AENM 为菱形，EM 交AN 于点R ，作DP 垂直BC 于P ，菱形面积为24，4.8DP ∴=，75CP ∴=，MAR BCD ∠=∠，AMR PDC ∴∠=∠，AR CP AM CD ∴=，1.12AR ∴=，2.24AN ∴=，()()410 2.244 1.94a ND CD ∴=+÷=−÷=，③如图4，AEMN 为菱形，EN 交AM 于点T ，作BS 垂直CD 于S ，则2AT MT ==，523BT NS ∴==−=，4.8BS =， 1.4CS ∴=，1.43 4.4CN NS CS∴=+=+=，4 4.44 1.1a CN∴=÷=÷=；综上所述，a的取值有1.5或1.94或1.4．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、三角函数、勾股定理、面积计算，分类讨论等重要知识点，综合性和技巧性很强，计算量也较大，对学生的能力要求较高，因此综合应用所学知识成为解答本题的关键．类型三、直线位置关系问题(1)直接写出AB的长．(2)当点Q落在AB边上时，用含t的代数式表示【答案】(1)3(2)3523t−或5332t−(3)12、或175(4)920或215【分析】（1）根据勾股定理直接求出AB 的长度；（2）分类讨论Q 在AD 和BD 上的两种情况，DQ AD AQ =−或 DQ AQ AD =−；（3）当平行四边形PQDM 为菱形或矩形时即为轴对称图形，因为PQ AC ⊥，所以当Q 在AB 上时，PQD ∠不可能为直角，平行四边形PQDM 不可能为矩形，只存在菱形的情况，根据PQ DQ =建立等量解出t 值；当Q 在BC 上时，表示出DQ 的长度较为复杂，所以可以表示出2DQ ，利用22PQ DQ =建立方程解出t 值；当Q 点在BC 中点时，平行四边形PQDM 为矩形，可直接求得t 值；（4）因为平行四边形PQDM 的四个顶点顺序已经确定，所以Q 在过点D 的AC 平行线的下方，分类讨论Q 在AD 上和在CN （见详解图）上的两种况下QM 平行于不同边时的情况，注意，根据平行线的定义，当Q 在AB 上时，QM 不可能平行于AB ，当Q 在BC 上时，QM 不可能平行于BC ．【详解】（1）解：在Rt ABC 中，222AB AC BC =−，∴3=AB ；（2）解：P 从点A 出发以每秒个单位的速度沿AC 向终点C 运动，∴AP t =，PQ AC ⊥，∴APQ ABC △△∽，::3:4:5AB BC AC =，∴::3:4:5AP QP AQ =， ∴5533AP t AQ ==，点D 是边AB 的中点，∴32AD BD ==， ∴ 3523DQ t =−或5332t −；（3）解：当平行四边形PQDM 为菱形或矩形时即为轴对称图形， ∴ PQ DQ =或平行四边形PQDM 某一内角为90︒，①当Q 在AB 上时，990510t t ⎛⎫≤≤≠ ⎪⎝⎭，由（1）得43PQ t =，3523DQ t =−或5332t −， ∴354233t t −=或534323t t −=， 解得12t =或92， 990510t t ⎛⎫≤≤≠ ⎪⎝⎭，∴12t =；Q 在AB 上时，PQD ∠不可能为90︒，故不存在矩形的情况；②如图，当Q 在BC 上时，955t ≤≤，CPQ CBA △△∽，∴::4:3:5CP QP CQ =，AP t =，∴5CP t =−， ∴()354PQ t =−，()554CQ t =−， ∴()55945444BQ t t =−−=−， ∴222222359254511724416816DQ BD BQ t t t ⎛⎫⎛⎫=+=+−=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当22PQ DQ =时，平行四边形PQDM 为菱形， ∴()22254511735168164t t t ⎡⎤−+=−⎢⎥⎣⎦，解得t =，955t ≤≤，∴t =；当Q 点在BC 中点时，平行四边形PQDM 为矩形， 此时485255t −=⨯=， 解得175t =；综上所述：当平行四边形PQDM 为轴对称图形时，t 的值为12、或175；（4）解：平行四边形PQDM ，∴Q 在过点D 的AC 平行线的下方， ①如图，Q 在AD 上，9010t ≤<，QM AC ∥时，易得DQM QAP △△∽，平行四边形PQDM ，∴43DM QP t ==， 由（1）得3523DQ t =−， ∴35523443t DQ DM t −==， 解得920t =；②如图，Q 在AD 上，9010t ≤<，QM BC ∥时， 易得DQM QPA △△∽，∴35423453tDQDM t−==，解得8245t=（舍）；③过点D的平行线交BC于点N，点Q在CN上移动才可能会出现平行四边形PQDM的对角线QM平行于直角三角形的边，此时1755t≤≤，如图，当QM AC∥时，延长DM交AC于点H，平行四边形PQDM，∴()354DM PQ t==−且DH AC⊥，QM AC∥，∴四边形MQPH为矩形，∴()354MH PQ DM t===−，∴()365245t DH−⨯==，解得215t=；不存在QM AB∥的情况；综上所述：当QM与Rt ABC△的某条边平行时，t的值为920或215．【点睛】本题考查了几何动点问题，涉及到相似、平行线的性质、平行四边形以及特殊的平行四边形的性质和判定，还会用到分类讨论的思想，难度较大，解决本题的关键是能准确找到不同的情况并对问题进行分类讨论．【答案】(1)BD =，9BE cm =(2)PQ AD ⊥，理由见详解(3)存在，t 的值为125或4(4)或【分析】（1）可求出30ADB ∠=︒，根据含30︒的直角三角形的性质可得212AD AB cm ==，BD =，根据平行四边形的性质可得AD BC ∥，则30DBC ∠=︒，即可得12DE BD =，BE =，即可求解； （2）先证四边形DEQP 是平行四边形，可得四边形DEQP 是矩形，即可得出结论；（3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可得AP BQ =，列出方程可求解；（4）分两种情况讨论，由轴对称的性质和等边三角形的性质以及勾股定理可求解．【详解】（1）四边形ABCD 是平行四边形，90ABD Ð=°，60A ∠=︒，6AB cm =，30ADB ∴∠=︒，AD BC ∥，212AD AB cm ∴==，BD ==，30DBC ADB ∠=∠=︒，DE BC ⊥，12DE BD ∴==，BE =，9BE cm ∴==；（2）PQ AD ⊥，理由如下：如图1，动点P 从点D 出发沿DA 以1/s cm 的速度向终点A 运动，同时点Q 从点B 出发，以4/cm s 的速度沿射线BC 运动，∴当95t =时，95PD =，365BQ =， 369955QE BE BQ PD ∴=−=−==， AD BC ，∴四边形DEQP 是平行四边形，DE BC ⊥，∴四边形DEQP 是矩形，PQ AD ∴⊥；（3）存在，当CD 为边时，四边形PQCD 是平行四边形，PD CQ ∴=，124t t ∴=−，125t ∴=；当CD 为对角线时，四边形PCQD 是平行四边形，PD CQ ∴=，412t t ∴=−，4t ∴=，综上所述：t 的值为125或4；（4）如图，当点P 的对称点在线段CD 上时，60ADQ QDC ∴∠=∠=︒，60QDC BCD ∴∠=∠=︒，CDQ ∴是等边三角形，CD CQ ∴=，6124t ∴=−，32t ∴=，过点P 作PH BC ⊥于H ，则PH DE ==，32EH PD cm ==， 60BCD ∠=︒，6CD AB cm ==，DE BC ⊥，13cm 2CE CD ∴==，32QH CQ EH CE cm ∴=−−=，在Rt PQH 中，PQ =； 如图，当点P 的对称点在线段CD 的延长线上时，120CDA ∠=︒，60PDP '∴∠=︒，点P 的对称点在线段CD 的延长线上，1302CDQ PDP '∴∠=∠=︒，BCD CDQ CQD ∠=∠+∠， 30CDQ CQD ∴∠=∠=︒，6CD CQ ∴==，12618BQ ∴=+=，418t ∴=，92t ∴=，过点P 作PH BC ⊥于H ，则PH DE ==，92EH PD cm ==，60BCD ∠=︒，6CD AB cm ==，DE BC ⊥，132CE CD cm ∴==，272QH CQ EH CE cm ∴=++=，在Rt PQH 中，PQ ==；综上所述：点P ，Q 之间的距离为或．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．课后训练1．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，24cm DC =，26cm AB =，动点P 从D 开始沿DC 边向C 点以1cm /s 的速度运动，动点Q 从点B 开始沿BA 向A 点以3cm /s 的速度运动，P ，Q 分别从点D ，B 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动的时间为t 秒．(1)t 为何值时，四边形DPQA 为矩形？(2)t 为何值时，四边形PQBC 为平行四边形？【答案】(1)当132t =秒时，四边形DPQA 为矩形(2)当6t =秒时，四边形PQBC 为平行四边形【分析】（1）根据AB CD ∥，矩形的判定和性质，得AQ DP =，求出t ，即可；（2）根据平行四边形的判定和性质，得PC QB =，求出t ，即可．【详解】（1）∵AB CD ∥，∴AQ DP ∥，当AQ DP =时，四边形DPQA 为平行四边形，∵90A ∠=︒，∴平行四边形DPQA 为矩形，∵动点P 从D 开始沿DC 边向C 点以1cm /s 的速度运动，动点Q 从点B 开始沿BA 向A 点以3cm /s 的速度运动， ∴cm DP t =，3cm BQ t =，∴263AQ AB BQ t =−=−，∴263t t =−，解得：261342t ==， ∴当132t =秒时，四边形DPQA 为矩形．（2）∵AB CD ∥，∴QB PC ∥，当PC QB =时，四边形PQBC 为平行四边形，∴24PC t =−，∴243t t −=，解得：6t =，∴当6t =秒时，四边形PQBC 为平行四边形．【点睛】本题考查动点与几何的综合，矩形和平行四边形的知识，解题的关键是掌握矩形和平行四边形的判定和性质． 在ABC 中， 发现：(1)在点O 的运动过程中，OE 与OF 的关系是(2)当=2t 时，=EF ______cm ．【答案】(1)OE OF =，详见解析(2)8cm ，探究：3，拓展：=AB 10cm【分析】()1根据角平分线的定义、平行线的性质分别得到OEC ACE ∠=∠，ACF OFC ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理得到OE OC =，OF OC =，等量代换证明结论；()2根据直角三角形斜边上的中线的性质解答；探究：根据矩形的判定定理得到=OA OC 时，四边形AECF 是矩形，进而求出OA ，求出t ；拓展：根据正方形的对角线平分一组对角得到45ACE ∠=︒，进而得到90ACB ∠=︒，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】（1）解：OE OF =，理由如下：CE 平分ACB ∠，BCE ACE ∴∠=∠，EF BC ∥，BCE OEC ∴∠=∠，OEC ACE ∴∠=∠，OE OC ∴=，同理可得，ACF OFC ∠=∠，OF OC ∴=，OE OF ∴=，故答案为：OE OF =；（2）由题意得，当=2t 时，2cm OA =，则4cm OC AC OA =−=，BCE ACE ∠=∠，GCF ACF ∠=∠，90ECF ∴∠=︒，OE OF =，()28cm EF OC ∴==，故答案为：8； 探究：当=3t 时，四边形AECF 是矩形，理由如下：90ECF ∠=︒，OE OF =，∴当=OA OC 时，四边形AECF 是矩形，此时，3cm OA OC ==，3t ∴=时，四边形AECF 是矩形，故答案为：3；拓展：当四边形AECF 是正方形时，45ACE ∠=︒，CE 平分ACB ∠，290ACB ACE ∴∠=∠=︒，()10cm AB ∴=．【点睛】本题考查的是正方形的性质、矩形的判定、平行线的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质，掌握矩形的判定定理、正方形的性质是解题的关键． 3．已知正方形ABCD 中，8AB BC CD DA ====，90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒．动点P 以每秒2个单位速度从点B 出发沿线段BC 方向运动，动点Q 同时以每秒8个单位速度从B 点出发沿正方形的边BA AD DC CB −−−方向顺时针作折线运动，当点P 与点Q 相遇时停止运动，设点P 的运动时间为t ．(1)当运动时间为 秒时，点P 与点Q 相遇；(2)当BQ PD ∥时，求线段DQ 的长度；(3)连接PA ，当PAB 和QAD 全等时，求t 的值．【答案】(1)3.2(2)3.2(3)t 为0.8或83【分析】（1）先判断出点P ，Q 相遇时，必在正方形的边BC 上，利用运动路程之和为正方形的正常建立方程即可；（2）先判断出四边形BQDP 是平行四边形，得出BP DQ =，进而表示出BP ，DQ ，用BP DQ =建立方程求解即可；（3）分点Q 在正方形的边AB ，AD ，CD ，BC 上，建立方程求解即可得出结论；【详解】（1）解：点P 的运动速度为2，8BC =，∴点P 运动到点C 的时间为4，点Q 的运动速度为8，∴点Q 从点B 出发沿BA AD DC CB −−−方向顺时针作折线运动到点C 的时间为(888)83++÷=，∴点P ，Q 相遇时在边BC 上，284832t t ∴+=⨯=，3.2t ∴=，故答案为3.2；（2）解：如图1，//BQ PD ，∴点Q 只能在边AD 上，四边形ABCD 是正方形，//AD BC ∴，∴四边形BQDP 是平行四边形，BP DQ ∴=，2288t t ∴=⨯−，1.6t ∴=，288 3.2DQ t ∴=⨯−=；（3）解：①当点Q 在边AB 上时，如图2，AB AD =，ABP DAQ ∠=∠，要使PAB ∆和ΔQAD 全等，只能是PAB QDA ≅，BP AQ ∴=，88AQ t =−，2BP t =，882t t ∴−=，0.8t ∴=，②当点Q 在边AD 时，不能构成QAD ，③当点Q 在边CD 上时，如图3，同①的方法得，要使PAB 和QAD 全等，只能是PAB QAD ≅，BP DQ ∴=，2816t t ∴=−，83t ∴=，④当点Q 在边BC 时，QAD 不是直角三角形，而PAB 是直角三角形，所以，不能全等；即：当PAB 和QAD 全等时，t 的值为0.8或83；【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论． 4．如图，在ABCD Y 中，9034BAC CD AC ∠=︒==，，．动点P 从点A 出发沿AD 以1cm /s 速度向终点D 运动，同时点Q 从点C 出发，以4cm /s 速度沿射线CB 运动，当点P 到达终点时，点Q 也随之停止运动，设点P 运动的时间为t 秒()0t >．(1)CB 的长为______．(2)用含t 的代数式表示线段QB 的长．(3)连接PQ ，①是否存在t 的值，使得PQ 与AC 互相平分？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；②是否存在t 的值，使得PQ 与AB 互相平分？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．(4)若点P 关于直线AQ 对称的点恰好落在直线AB 上，请直接写出t 的值．【答案】(1)5(2)55404QB t t ⎛⎫=−<≤ ⎪⎝⎭或5454QB t t ⎛⎫=−> ⎪⎝⎭(3)①不存在，理由见解析；②存在，t 的值为53(4)t 的值为12或2【分析】（1）根据平行四边形的性质得3AB DC ==，再根据勾股定理即可求解；（2）根据题意可得4CQ t =，先求出当点Q 与点B 重合时，所花费的时间，再根据题意分两种情况讨论即可：当点Q 在线段BC 上时和当点Q 在线段CB 的延长线上时；（3）①连接PC AQ ，，假设PQ 与AC 互相平分，则可得四边形APCQ 是平行四边形，进而可得AP CQ =，解得即可到答案；②连接PB AQ ，，假设PQ 与AB 互相平分，则可得四边形APBQ 是平行四边形，进而可得AP BQ =，解得即可到答案；（4）根据题意分两种情况讨论即可：当点P 关于直线AQ 对称的点落在点A 下方时和当点P 关于直线AQ 对称的点落在点A 上方时．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴3AB DC ==，∵90BAC ∠=︒，∴5BC =，故答案为：5；（2）在ABCD Y 中，AD BC =，AD BC ∥，由题意得，4CQ t =，当点Q 与点B 重合时，45t =， ∴5s 4t =， 当点Q 在线段BC 上时，54QB BC CQ t =−=−，当点Q 在线段CB 的延长线上时，45QB CQ BC t =−=−， 综上所述，55404QB t t ⎛⎫=−<≤ ⎪⎝⎭或5454QB t t ⎛⎫=−> ⎪⎝⎭；（3）①不存在，理由如下：如图，连接PC AQ ，，若PQ 与AC 互相平分，则四边形APCQ 是平行四边形，∴AP CQ =，∵4AP t CQ t ==，，∴4t t =，解得0=t （不合题意），∴不存在t 的值，使得PQ 与AC 互相平分；②存在，如图，连接PB AQ ，，若PQ 与AB 互相平分，则四边形APBQ 是平行四边形，∴AP BQ =，∴45t t =−， ∴5s 3t =， ∴当5s 3t =时，PQ 与AB 互相平分； （4）当点P 关于直线AQ 对称的点落在点A 下方时，如图，由对称得，PAQ P AQ '∠=∠，∵AD BC ∥，∴PAQ AQB ∠=∠，∴P AQ AQB '∠=∠，即BAQ AQB ∠=∠，∴3BQ AB ==，∴2CQ BC BQ =−=，∴42t =，解得12t =；当点P 关于直线AQ 对称的点落在点A 上方时，如图，由对称得，12∠=∠，∵AD BC ∥，∴13∠=∠，∵24∠∠=∴3=4∠∠，∴3BQ AB ==，∴8CQ BC BQ =+=，∴48t =，解得2t =，综上所述，t 的值为12或2．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理的应用和动点问题，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 5．如图，矩形ABCD 中，4CD =，30CBD ∠=︒．一动点P 从B 点出发沿对角线BD 方向以每秒2个单位长度的速度向点D 匀速运动，同时另一动点Q 从D 点出发沿DC 方向以每秒1个单位长度的速度向点C 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P 、Q 运动的时间为t 秒()0t >．过点P 作PE BC ⊥于点E ，连接EQ ，PQ ．(1)求证：PE DQ =；(2)四边形PEQD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由．(3)当t 为何值时，PQE V 为直角三角形？请说明理由．【答案】(1)见解析(2)能，83t =(3)当2t =或165，见解析【分析】（1）由垂直得90BEP ∠=︒，在Rt BEP 中，2BP t =，由30CBD ∠=︒，可得PE t =，即可证明结果；（2）先证明四边形PEQD 是平行四边形，82PD t =−，DQ t =，当PD DQ =时，四边形PEQD 为菱形，即可求解；（3）分类讨论：①当90EPQ ∠=︒，②当90PQE ∠=︒，③当90PEQ ∠=︒即可．【详解】（1）证明：∵PE BC ⊥，∴90BEP ∠=︒，在Rt BEP 中，2BP t =，∵30CBD ∠=︒，∴PE t =，又∵DQ t =，∴PE DQ =；（2）解：能，理由如下：∵四边形ABCD 为矩形，PE BC ⊥，90BEP C ︒∠==∠，∴PE DQ ∥，由（1）知，PE DQ =，∴四边形PEQD 为平行四边形，在Rt CBD 中，4CD =，30CBD ∠=︒，∴28BD CD ==，∵2BP t =，∴82PD BD BP t =−=−，若使平行四边形PEQD 为菱形，则需PD DQ =，即82t t −=， ∴83t =， 即当83t =时，四边形PEQD 为菱形； （3）解：①当90EPQ ∠=︒时，四边形EPQC 为矩形，∴PE QC =，∵PE t =，4QC t =−，∴4t t =−，即2t =；②当90PQE ∠=︒时，90DPQ PQE ∠=∠=︒，在Rt DPQ 中，906030PQD ∠=︒−︒=︒，∴2DQ DP =，∵DQ t =，82DP t =−∴()282t t =−，即165t =．③当90PEQ ∠=︒时，此种情况不存在，综上所述，当2t =或165时，PQE V 为直角三角形．【点睛】本题考查动点问题、菱形的判定与性质及矩形的性质，找到动点运动的规律和路线、速度、以及是否停止和有无取值范围是解题的关键．(1)=a ______cm ，b =______cm ；(2)t 为何值时，EP 把四边形BCDE 的周长平分？(3)另有一点Q 从点E 出发，按照E D C →→的路径运动，且速度为1cm /s ，若P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t 为何值时，BPQ V 的面积等于26cm ．【答案】(1)3，3(2)2s =t(3)3s 2或11s 3或5s【分析】（1）由非负性可求a ，b 的值；（2）先求出18cm BCDE C =四边形，可得9cm BE BP +=，可求4cm BP =，即可求解；（3）分三种情况讨论，由三角形的面积公式可求解．【详解】（1）∵()230a −=，∴30,290a a b −=+−=，∴3,3a b ==；故答案为：3，3；（2）∵3cm,3cm AE DE ==，∴6cm AD BC ==，∴18cm BCDE C BC CD DE EB =+++=四边形，∵EP 把四边形BCDE 的周长平分，∴9cm BE BP +=，∴4cm BP =，点P 在BC 上，∴42s 2t ==；（3）①点P在BC上(03)t<≤，∵12462BPQtS=⨯⨯=V，∴3.2t=；②相遇前，点P在CD上13 (3)3t<≤，∵[]1(4(3)(26)662BPQS t t=⨯−−−−⨯=，∴113t=；③相遇后，点P在CD上13(5)3t<≤，∵[]1(3)(26)4662BPQS t t=⨯−+−−⨯=，∴.5t=；∴综上所述，当3s2t=或11s3或5s时，BPQV的面积等于26cm．【点睛】本题考查了矩形的性质，非负数的性质，一元一次方程的应用等知识，利用分类讨论思想是解本题的关键．角形与DCQ全等．【答案】(1)1(2)54t=或4或232(3) 3.5t=，5.5或10【分析】（1）根据题中条件求出AP 的长即可求解；（2）分三种情况讨论：①当点P 在AB 上时，②当点P 在BC 上时，③当点P 在AD 上时；（3）连接CQ ，要使一个三角形与DCQ 全等，则另一条直角边必须等于DQ ，分类讨论即可．【详解】（1）解：动点P 的速度是2cm/s ，∴当2t =时，224AP =⨯=，∵5cm AB =，∴BP =1cm ；（2）解：①当点P 在AB 上时，CDP △是等腰三角形，∴PD CP =，在长方形ABCD 中，,90AD BC A B =∠=∠=︒，∴()HL DAP CBP ≌，∴AP BP =， ∴1522AP AB ==，∵动点P 的速度是2cm/s ， ∴54t =；②当点P 在BC 上时，CDP △是等腰三角形，如图所示，∵90C ∠=︒，∴5CD CP ==，∴3BP CB CD =−=， ∴53422AB BP t ++===；③当点P 在AD 上时，CDP △是等腰三角形．如图所示，∵90D Ð=°，∴5DP CD ==， ∴585523222AB CB CD DP t ++++++===， 综上所述，54t =或4或232时，CDP △是等腰三角形； （3）解：根据题意，如图，连接CQ ，∵5,90,6AB CD A B C D DQ ==∠=∠=∠=∠=︒=，∴要使一个三角形与DCQ 全等，则另一条直角边必须等于DQ ．①当点P 运动到1P 时，16CP DQ ==，此时1DCQ CDP △≌△， ∴点P 的路程为：1527AB BP +=+=， ∴72 3.5t =÷=；②当点P 运动到2P 时，26BP DQ ==，此时2CDQ ABP △≌△， ∴点P 的路程为：25611AB BP +=+=，∴112 5.5t =÷=③当点P 运动到3P 时，35AP DQ ==，此时3CDQ BAP △≌△， ∴点P 的路程为：3585220AB BC CD DP +++=+++=， ∴20210t =÷=，④当点P 运动到4P 时，即P 与Q 重合时，46DP DQ ==，此时4CDQ CDP △≌△， ∴点P 的路程为：4585624AB BC CD DP +++=+++=∴24212t =÷=，此结果舍去，不符合题意，综上所述，t 的值可以是： 3.5t =，5.5或10．【点睛】本题考查了动点问题，灵活运用分类讨论思想是解题关键．。

环球雅思学科教师辅导讲义组长签字：学员编号： 年 级：八年级 课时数：3 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师： 赵文娜 授课日期及时段 教学目标重点难点教学内容平行四边形动点及存在性问题【例1】正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为 。

MB CADNDO Cx yBA DO CxyB A【练习1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA =3，OB =4，D 为边OB 的中点.（1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.【例3】 如图，在平面直角坐标系中,矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为（10，0），（0，4）,点D 是OA 的中点,点P 在BC 上运动,当三角形△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，P 的坐标为 ；DBCA O xy P【练习2】如图，在平面直角坐标系中，AB ∥OC ，A （0，12），B （a ，c ），C （b ，0），并且a ，b 满足212116b a a =-+-+．一动点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；动点Q 从点O 出发在线段OC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，点P 、Q 分别从点A 、O 同时出发，当点P 运动到点B 时，点Q 随之停止运动．设运动时间为t （秒） （1）求B 、C 两点的坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCB 是平行四边形？并求出此时P 、Q 两点的坐标；（3）当t 为何值时，△PQC 是以PQ 为腰的等腰三角形？并求出P 、Q 两点的坐标．【例4】（1）如图，矩形ONEF 的对角线相交于点M ，ON 、OF 分别在x 轴和y 轴上，O 为坐标原点，点E 的坐标为（4，3），则点M 的坐标为 ； （2）在直角坐标系中，有A （-1，2），B （3，1），C （1，4）三点，另有一点D 与点A 、B 、C 构成平行四边形的顶点，求点D 的坐标．MOE (4,3)x y FNCBAxy【练习3】如图，四边形ABCD 为矩形，C 点在x 轴上，A 点在y 轴上，D 点坐标是（0，0），B 点坐标是（3，4），矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点A 落在BC 边上的G 处，E 、F 分别在AD 、AB 上，且F 点的坐标是（2，4）．（1）求G 点坐标；（2）求直线EF 解析式；（3）点N 在x 轴上，直线EF 上是否存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．O xy AB CGBO (D )yxACF E【例5】在Rt △ABC 中，∠B =90°，AC =60cm ，∠A =60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm /s 的速度运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是ts （0<t ≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ． （1）求证：AE =DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由； （3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由．FBCA DE【练习4】如图，等腰三角形OAB 的一边OB 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为（6，8），OA =OB ，动点P 从原点O 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向点B 匀速运动，动点Q 从原点O 出发，沿y 轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点Q 作x 轴的平行线分别交OA ，AB 于E ，F ，设动点P ，Q 同时出发，当点P 到达点B 时，点Q 也停止运动，他们运动时间为t 秒（0t ≥） （1）点E 的坐标为 ，F 的坐标为 ； （2）当t 为何值时，四边形POFE 是平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使△PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．Q FE BA (6,8)OxyP【巩固练习】1、菱形ABCD 中，AB =2， ∠BAD =60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE +PB 的最小值为 。