圆锥曲线常见题型归纳
一、基础题
涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意：
（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；
（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中
222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；
例题：
（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）
A ．421=+PF PF
B ．6
21=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122
2
2
1
=+PF PF （答：C ）；
（2）
方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）
（3）已知点)0,22(Q 及抛物线4
2
x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）
（4）已知方程1232
2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11
(3,)
(,2)22
---）； （5）双曲线的离心率等于25
，且与椭圆14
922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2
214x y -=）；
（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为
_______（答：226x y -=）
二、定义题
对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理；
圆锥曲线的几何性质：
（1）椭圆（以122
22=+b
y a x （0a b >>）为例）：
①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤； ②焦点：两个焦点(,0)c ±；
③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为
2a ，短轴长为2b ； ④准线：两条准线2
a x c
=±；
⑤离心率：c
e a
=，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。
例：（1）若椭圆1522=+m
y x 的离心率510
=
e ，则m 的值是__（答：3或325）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：
p e c b a ,,,,
22）
（2）双曲线（以22
221x y a b
-=（0,0a b >>）为例）：
①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；
③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤两条渐近线：b
y x a
=±。
⑥离心率：c
e a
=，双曲线⇔1e >，等轴双曲线⇔e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；
例：（3）双曲线的渐近线方程为y=±3x/4,则双曲线的离心率为______
（4）双曲线
221ax by -=:a b = （答：4或1
4）； （5）设双曲线122
22=-b
y a x （a>0,b>0）中，离心率e ∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是
________（答：[,]32
ππ
）； （3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：
①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2
p
，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；
③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；
④准线：一条准线2
p
x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线⇔1e =。
（4）点00(,)P x y 和椭圆122
22=+b
y a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b +>；
2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b
y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200
221x y a b +<
例：（6）1162522=+y x 设R a a ∈≠,0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为________（答：)161
,0(a
）；
（7）已知椭圆上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为____（答：
35
3
）； （8）已知抛物线方程为x y 82=，若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；
（9）若该抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标为_____（答：7,(2,4)±）；
（10）点P 在椭圆19
252
2=+y x 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为
_______（答：
25
12
）；
三、直线与圆锥曲线的关系题
（1）写直线方程时，先考虑斜率k 存在，把直线方程设为b kx y +=的形式，但随后应对斜率k 不存在的情况作出相应说明，因为k 不存在的情况很特殊，一般是验证前面的结论此时是否成立； （2）联立直线方程和圆锥曲线方程，消去x 或消去y ，得到方程02=++c bx ax ①或02=++c by ay ②，此方程是后一切计算的基础，应确保不出错。
（3）当方程①或②的二次项系数0=a 时,方程是一次方程，只有唯一解，不能用判别式，这种情况是直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行； （过抛物线外一点作与抛物线只有一个公共点的直线有三条，
过双曲线含中心的区域内一点（不在渐近线上）作与双曲线只有一个公共点的直线有四条；） （4）当方程①或②的二次项系数0≠a 时，判别式△0<、△0=、△0>，与之相对应的是，直线与圆锥曲线分别相离、相切、相交。如直线与圆锥曲线有公共点，应用△0≥来求斜率k 的范围； 例题：
（1）过点)4,2(作直线与抛物线x y 82=只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；
（2）过点(0,2)与双曲线116
92
2=-y x 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______（答：
4,33⎧⎪±±⎨⎪⎪⎩
⎭）；
（3）直线y ―kx ―1=0与椭圆22
15x y m
+
=恒有公共点，则m 的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；
（4）过双曲线12
12
2=-y x 的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若│AB ︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）；
（5）直线与圆锥曲线相交成弦（前提0≠a ，△0>），记为AB ，其中),(11y x A ，),(22y x B ，AB 的坐标可由方程①或②求得，一般是由方程①求出21,x x ，再代入直线方程求21,y y ，或由方程②求出
21,y y ，再代入直线方程求21,x x 。
（6）涉及弦长问题，可用韦达定理，由方程02=++c bx ax ①求出2121,x x x x +，
),(11y x A ，),(22y x B 在直线b kx y +=上，∴b kx y +=11，b kx y +=22，
)(2121x x k y y -=-,∴2212221221))(1()()(x x k y y x x AB -+=-+-=
]4))[(1(212212x x x x k -++=a
k ∆+=)1(2。
请注意，如果联立直线和圆锥曲线方程，消去x ，得到02=++c by ay ②，继而用韦达定理，求出
2121,y y y y +， )(1
212
1y y k
x x -=
-,∴2212221221))(1
1()()(y y k
y y x x AB -+
=
-+-=
]4))[(1
1(212212
y y y y k -++
=
a k
∆+
=)11(2
；
（6）若抛物线22(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++；②
2
21212,4
p x x y y p ==-
（7）若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p
（7）涉及弦中点问题，可用韦达定理，由方程02=++c bx ax ①求出21x x +，设弦),(11y x A ),(22y x B 的中点为),(00y x M ，则2
2
10x x x +=
， M 点也在直线b kx y +=上，∴b kx y +=00。 如果问题仅仅与弦中点和弦的斜率k 有关，而不涉及弦长，则可把弦AB 的坐标),(11y x ，),(22y x 直接代入曲线方程，然后相减，因式分解，所得的式子中只有)(21x x -、)(21x x +、)(21y y -、)(21y y +，这些都与弦中点坐标和弦的斜率k 有关。（点差法）
（8）弦AB 满足有关的向量的条件，如0=⋅OB OA （O 为原点），则02121=+y y x x ， b kx y +=11，
b kx y +=22，∴0)()1())((2212122121=++++=+++b x x kb x x k b kx b kx x x .
又如过椭圆2222=+y x 的右焦点1F 的直线l 与该椭圆交于,M N 两点，3262=+，求直线l 的方程。
特别提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！ 例：（1）抛物线x y 22=上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为______（答：2）；
（2）如果椭圆22
1369
x y +
=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：280x y +-=）；
（3）已知直线y=－x+1与椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线L ：
x －2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：2
）；
（1）双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为02222
=-b
y a x ；
（2）以x a
b y ±=为渐近线（即与双曲线12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(2222
=-b
y a x 为参
数，λ≠0）。
如（4）与双曲线116
92
2=-y x 有共同的渐近线，且过点)32,3(-的双曲线方程为_______（答：
22
4194
x y -=） （5）．经过双曲线13
22
=-y x 的右焦点F 2作倾斜角为30°的弦AB ，
（1）求|AB|
（2）求三角形AB F 1的周长，（F 1是左焦点）
（6）．已知抛物线x y -=2与直线y=k(x+1)相交于A 、B 两点
（1）求证：OB OA ⊥
（2）当10=∆OAB S ，求k 的值。
（7）已知动直线(1)y k x =+与椭圆22
:155
3
x y C +=相交于A 、B 两点,已知点 7
(,0)3
M -
， 求证：MA MB ⋅为定值. 解: 将(1)y k x =+代入
22
155
3
x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-= 4
2
2
2
364(31)(35)48200k k k k ∴∆=-+-=+>，
2122631k x x k +=-+，2122
35
31
k x x k -=+ 所以112212127777
(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=+
+=+++ 2121277
()()(1)(1)33
x x k x x =+++++
2221212749
(1)()()39
k x x k x x k =++++++
222
2
22
2357649(1)()()313319
k k k k k k k -=+++-++++ 422
2
316549319k k k k ---=+++49
=。
（8）过椭圆
14
162
2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
四、关于圆锥曲线的最值
（1）圆锥曲线上的动点到一个定点的距离的最值。设动点的坐标),(00y x M ，用两点间的距离公式表示距离d ，利用点M 的坐标),(00y x 满足圆锥曲线方程，消去0y （或消去0x ），把2d 表示成0x （或0y ）
的二次函数，因为0x （或0y ）有一个取值范围（闭区间或半开半闭区间），所以问题转化为：求二次函数在闭区间上的最值。有时须针对二次函数的对称轴与闭区间的关系进行分类讨论。
（2）圆锥曲线上的动点到一条定直线的距离的最值。作圆锥曲线与定直线平行的切线，切点即为所求的点，切线与定直线的距离即为所求最值。
例：（1）椭圆x^2/3+y^2=1上的点到直线x-y+4=0的最短距离；
五、求动点的轨迹方程
（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；
注意：不重合的两条直线0:1111=++C y B x A 与0:2222=++C y B x A ，1 的法向量为：),(111B A n =，
方向向量为),1(),(1111k A B e =-=，0212121=+⇔⊥B B A A
1 ∥21212A B B A =⇔ 且2121A C C A ≠；
（2）求轨迹方程的常用方法：
①直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系(,)0F x y =；
(1)已知动点P 到定点F(1,0)和直线3=x 的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．（答：212(4)(34)y x x =--≤≤或24(03)y x x =≤<）；
②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。
（2）线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m ，0）)0(>m ，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答：22y x =）；
③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
(3)由动点P 向圆221x y +=作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600，则动点P 的轨迹方程为 （答：224x y +=）；
（4）点M 与点F(4,0)的距离比它到直线05=+x l ：的距离小于1，则点M 的轨迹方程是_______ （答：216y x =）；
(5) 一动圆与两圆⊙M ：122=+y x 和⊙N ：012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；
④代入转移法：动点(,)P x y 依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而变化，并且00(,)Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，再将00,x y 代入已知曲线得要求的轨迹方程；
(6)动点P 是抛物线122+=x y 上任一点，定点为)1,0(-A ,点M 分−→
−PA 所成的比为2，则M 的轨迹方程为__________（答：3
162-=x y ）；
（7）AB 是圆O 的直径，且|AB|=2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使||||OP MN =，求点P 的轨迹。（答：22||x y a y +=）；
（8）若点),(11y x P 在圆122=+y x 上运动，则点),(1111y x y x Q +的轨迹方程是____（答：
21
21(||)2
y x x =+≤）；
（9）过抛物线y x 42=的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程是________（答：222x y =-）；
（14全国卷）
20.（本小题满分12分）已知点A （0，-2），椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>，F 是椭圆的焦点，
直线AF ，O 为坐标原点. （Ⅰ）求E 的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程. 20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设(,0)F c ，由条件知，
2c =，得c =
又
2
c a =，所以222
2,1a b a c ==-= 故E 的方程为2
214
x y +=………………………………………………5分 （Ⅱ）当l x ⊥轴时不合题意，故设:2l y kx =-，1122(,),(,)P x y Q x y ，将2y kx =-代入2
214
x y +=得 22(14)16120k x kx +-+=
当2
16(43)0k ∆=->，即2
34k >时，1,2x =
从而122|||41
PQ x x k =-=+
又点O 到直线PQ 的距离
d =
OPQ ∆的面积
1||2OPQ
S d PQ ∆=⋅=……………………9分
t =，则0t >，244
4
4OPQ t S t t t
∆=
=
++
因为4
4t t
+
≥，当且仅当2t =，即k =±0∆>
所以当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为
2y x =
-或2y x =-……………………………12分
答案
一：1.C 2.双曲线的左支
3∵y=x^2/4 即x^2=4y ∴焦点F 为（0,1）准线：y=-1 过点P 作PM ⊥y=-1于M ∴│PM │=│PF │ ∴y+|PQ|=│PM │+|PQ|-1=│PF │+|PQ|-1 ∵当F,P,Q 三点共线时│PF │+|PQ|最小 （│PF │+|PQ|）min=√[（2√2）^2+1]=3
∴（y+|PQ|）min=（│PF │+|PQ|-1）min=3-1=2
4.11(3,)(,2)22
---）； 5.2
214x y -=； 6.226x y -=
二：1. 3或
3
25
2.设焦点在x 轴上,则椭圆上的一点和两个焦点为顶点的三角形,底边长为2c,面积最大时,底边上的高最大,即该动点必须位于椭圆与y 轴的交点上,即此时高为b,即 2c*b/2=1,bc=1,c=1/b 而c^2= a^2-b^2 =(1/b)^2 即a^2= b^2 +(1/b)^2 ≥2 a ≥√2 长轴2a ≥2√2
3.（1）焦点在x 轴上,渐近线y=±(b/a)x ∴ b/a=3/4 ∴ b=3t, a=4t ∴ c=5t ∴ e=c/a=5/4
（2）焦点在y 轴上,渐近线y=±(a/b)x ∴ a/b=3/4 ∴ a=3t, b=4t ∴ c=5t ∴ e=c/a=5/3
4. 4或1
4
5. e=c/a ∈[√2,2],
∴cos[(π-θ)/2]=a/c ∈[1/2,1/√2], ∴(π-θ)/2∈[π/4,π/3], ∴π-θ∈[π/2,2π/3], ∴θ的取值范围是[π/3,π/2].
6.)161
,0(a 7.
353 8. 7 9. （ 7,(2,4)±） 10. 2512
三： 1、2 2.4,33⎧⎪±±⎨⎪⎪⎩⎭
显然该抛物线焦点是（2,0）这个点在x=5上.解方程组x=5,y ²=8x ,
则x=5,y=2√10.∴该点坐标为（5,2√10）. 用公式算得该点至抛物线距离为7.
2.设直线为y=kx+a,∵过（0,2）点,∴可得a=2 y=kx+2与x2/9-y2/16=1有且只有一个公共点 也就是方程组x2/9-y2/16=1；y=kx+2}只有一组解
将y=kx+2代入x2/9-y2/16=1得到：
(16-9k2)x2-18kx-180=0
就此讨论：
当16-9k2=0时,方程只有一组解,也就是k=±(4/3)时,方程
只有一组解
当16-9k2不等于0时,一元二次方程有且只有唯一解的条件
也就是b2-4ac=0,可以得到另一组k的值
3：∵椭圆，∴且，直线恒过定点，欲使其与椭圆恒有公共点，只需让落在椭圆内或者椭圆上，即：，∴，选C.
4. X^2 - Y^2/2 =1 c²=1+2=3 F(√3,0)
过F且垂直x轴的直线是x=√3 代入则y²=4 y=±2
所以此时AB=2-(-2)=4 所以这里有一条
且AB都在右支时其他的直线则AB都大于4 所以AB都在右支只有1条
直线L交双曲线于A,B两点,A、B分别在两支时, 顶点是(-1,0),(1,0)
顶点距离是2<4 所以也有两条,关于x轴对称所以共有3条
1. 2
2. 280
x y
+-= 3.
2
2
4.
22
4
1
94
x y
-=
5
6、（1）将y=k(x+1)代入y^2=-x, 设A （X1,y1）,B(X2,y2)
易得X1+X2=-(2k^2+1)/k^2,X1*X2=1 y1*y2=k^2(X1+1)(X2+1)=-1
0A 斜率K1为y1/X1,0B 斜率K2为y2/X2, 所以K1*K2=-1得证
（2）1/2(根x1^2+y1^2*根下x2^2+yx^2)=根10 （x1^2+y1^2）*（x2^2+yx^2）=40 x1^2x2^2+(x1^2+y2^2+x2^2y1^2)=40 2-(x1^2x2+x2^2x1)=40 x1x2(x1+x2)=-38 (2k^2+1)/-k^2=-38 k^2=1/36 k=-1/6
7、7、解: 将(1)y k x =+代入
22
155
3
x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-= 4
2
2
2
364(31)(35)48200k k k k ∴∆=-+-=+>，
2122631k x x k +=-+，2122
35
31
k x x k -=+ 所以112212127777
(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=+
+=+++ 2121277
()()(1)(1)33
x x k x x =+++++
2221212749(1)()()39k x x k x x k =+++++
+ 2222222357649(1)()()313319
k k k k k k k -=+++-++++ 4222316549319k k k k ---=+++49
=。
8.设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B
)1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y
又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642
222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x
于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴2
1244)(421212121-=⨯-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2
11--=-x y ，即042=-+y x 。 四、 1.解：将直线L 向椭圆方向平移至直线L ’:x-y+c=0，使直线L ’与椭圆恰好相切，切点为P ， 把x=y-c 代入椭圆方程x^2/3+y^2=1……（1）,
得 （y-c)^2/3+y^2=1
整理得：4y^2-2cy+c^2-3=0
由△=0得4c^2-4×4×(c^2-3)=0
c=±2
即直线L ’方程为:x-y ±2=0
方程为:x-y+2=0……（2） 符合题意
解（1）、（2）得P 点坐标为（-3/2,1/2）。
∴点P 到直线L:x-y+4=0的距离的最小值为：d=|-3/2-1/2+4|/√2=√2/2。
五、1. 212(4)(34)y x x =--≤≤或24(03)y x x =≤<）；
2. 22y x =
3.224x y +=
4.216y x =
5.双曲线的一支
6. 3
162-=x y 7. 222x y =- 20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设(,0)F c ，由条件知，2c =，得c =
又c a =，所以2222,1a b a c ==-= 故E 的方程为2
214
x y +=………………………………………………5分 （Ⅱ）当l x ⊥轴时不合题意，故设:2l y kx =-，1122(,),(,)P x y Q x y ，将2y kx =-代入2
214
x y +=得 22(14)16120k x kx +-+=
当216(43)0k ∆=->，即2
34k >时，1,2x =
从而122|||41PQ x x k =-=+ 又点O 到直线PQ 的距离
d =OPQ ∆的面积
1||2OPQ S d PQ ∆=⋅=……………………9分
t =，则0t >，2444
4OPQ t S t t t
∆==++
因为44t t
+≥，当且仅当2t =，即2k =±时等号成立，且满足0∆> 所以当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为
22y x =-或22
y x =--……………………………12分
1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+ =kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其 中O 为原点）. 求k 的取值范围. 解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-b y a x ).0,0(>>b a 由已知得.1,2,2,32222==+== b b a c a 得再由 故双曲线C 的方程为.13 22 =-y x （Ⅱ）将得代入13 222 =-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-. 0)1(36)31(36)26(, 0312 222 k k k k 即.13 1 22<≠ k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319 ,31262 2>+>⋅--=-= +B A B A B A B A y y x x OB OA k x x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x .1 37 3231262319)1(22222 -+=+-+--+=k k k k k k k 于是解此不等式得即,01393,213732 222>-+->-+k k k k .33 1 2< 圆锥曲线经典题型 一．选择题（共10小题） 1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离 心率的范围是（） A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（） A．B．C． D． 3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（） A．B． C．D． 4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D． 5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此 双曲线的离心率的取值范围是（） A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞） 6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线 的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（） A．B．C．D．2 7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的 左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x 8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心 率的取值范围是（） A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2） 9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（） A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（） A．B．C．D． 二．填空题（共2小题） 11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是． 12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为． 三．解答题（共4小题） 经典例题精析 类型一：求曲线的标准方程 1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横 坐标为的椭圆标准方程. 思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）. 解析： 方法一：因为有焦点为， 所以设椭圆方程为，, 由，消去得， 所以 解得 故椭圆标准方程为 方法二：设椭圆方程,,, 因为弦AB中点,所以， 由得,（点差法） 所以 又 故椭圆标准方程为. 举一反三： 【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直， 且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程. 【答案】依题意设椭圆标准方程为()， 并有，解之得，, ∴椭圆标准方程为 2．根据下列条件，求双曲线的标准方程. （1）与双曲线有共同的渐近线，且过点； （2）与双曲线有公共焦点，且过点 解析： （1）解法一：设双曲线的方程为 由题意，得，解得， 所以双曲线的方程为 解法二：设所求双曲线方程为（）， 将点代入得， 所以双曲线方程为即 （2）解法一：设双曲线方程为－=1 由题意易求 又双曲线过点，∴ 又∵，∴， 故所求双曲线的方程为. 解法二：设双曲线方程为， 将点代入得， 所以双曲线方程为. 总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程. 然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程. (1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及 准线）之间的 关系，并注意方程思想的应用. (2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为 （）. 举一反三： 【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程. （1）一渐近线方程为，且双曲线过点. 圆锥曲线整理 1．圆锥曲线的定义： (1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d . 圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时 要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1 （0a b >>）。 % （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。 （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。 2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 双曲线：由x 2 ,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大，222 c a b =+。 | 3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2 b 2＝λ(λ≠0)，渐近线方程为y ＝±b a x 的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．要求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)的渐近线，只需令λ＝0即可． 4．直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系． 解决直线与圆锥曲线问题的通法 (1)设方程及点的坐标． (2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程． (3)应用韦达定理及判别式． (4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解． — 5．若直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且直线P 1P 2的斜率为k ， 则弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2|y 1－y 2|(k ≠0)．|x 1－x 2|，|y 1－y 2|的求法， 通常使用根与系数的关系，需要作下列变形：|x 1－x 2|＝x 1＋x 2 2－4x 1x 2，|y 1 －y 2|＝ y 1＋y 2 2－4y 1y 2. 6．与圆锥曲线的弦的中点有关的问题 (1)通法．联立方程利用根与系数的关系 (2)“点差法”．点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率． 点差法的步骤： ①将两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标代入曲线的方程． ②作差消去常数项后分解因式得到关于x 1＋x 2，x 1－x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2的关系式． 圆锥曲线常见题型归纳 一、基础题 涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意： （1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况； （3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中 222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=； 例题： （1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ） A ．421=+PF PF B ．6 21=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122 2 2 1 =+PF PF （答：C ）； （2） 方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支） （3）已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2） （4）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11 (3,) (,2)22 ---）； （5）双曲线的离心率等于25 ，且与椭圆14 922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2 214x y -=）； （6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为 _______（答：226x y -=） 二、定义题 对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理； 圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤； ②焦点：两个焦点(,0)c ±； ③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为 2a ，短轴长为2b ； ④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 例：（1）若椭圆1522=+m y x 的离心率510 = e ，则m 的值是__（答：3或325）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答： p e c b a ,,,, 圆锥曲线练习题 一、填空题 1. 一个动点到两个定点A ，B 的距离的差为定值(小于两个定点A ，B 的距离)，则动点的轨迹为________． 2. (2011·海安中学模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2 被抛物线y 2＝2bx 的焦点F 分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为________． 3. 已知动圆过定点(0，－1)，且与定直线y ＝1相切，则动圆圆心的轨迹方程为________． 4. (2010·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦 点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________． 5. 已知P 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过P 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若Q 在直线 l 上，且满足|AP →|·|QB →|＝|AQ →|·|PB → |，则点Q 总在定直线x ＝－1上．试猜测：如果P 为椭圆x 225 ＋ y 29＝1的左焦点，过P 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，若Q 在直线l 上，且满足|AP →|·|QB →|＝|AQ →|·|PB →|，则点Q 总在定直线________上． 6. 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________. 7. (2010·重庆)已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A 、B 满足AF →＝3FB → ，则弦AB 的中点到准线的距离为________． 8. 已知过椭圆的左焦点F 1且倾斜角为60°的直线交椭圆于A 、B 两点，若F 1A ＝2F 1B ，则椭圆的离心率为________． 二、解答题 9. 抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的一个焦点，且与双曲线实轴垂直， 已知抛物线与双曲线的交点为⎝⎛⎭⎫32，6.求抛物线与双曲线的方程． 10. 如图，已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A 、B 两点，且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，求m 6＋m 4的值． 圆锥曲线经典题型 的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双 曲线C 的离心率为（ ） ?选择题（共 10小题） 1 .直线 y=x - 1 与双曲线 x 2 =1 （b > 0）有两个不同的交点，则此双曲线 离 心率的范围是（ A . （1,工） ) B . r ：：, +x) C. (1, +x D . (1, ：)U( ：!, 2 4 2 M ?丫卩< 0,则yo 的取值范围是（ 2.已知M （x o , y o ）是双曲线C:[ 个焦点，若 A . =1上的一点，F 1, F 2是C 的左、右两 V3 . 2 2 、-（a >0, b >0）的左、右焦点，若双曲线右 a 2 / B. 3.设F 1, F 2分别是双曲线 支上存在一点P ,使得：-一…卜-|,其中0为坐标原点，且 - -I-',则该双曲线的离心率为（ ） A . ，B. in C. D . 2 2 2 4.过双曲线 ———=1 （a >0, b >0）的右焦点F 作直线y=— x 的垂线，垂足 为A ,交双曲线左支于B 点，若日=2匚，则该双曲线的离心率为（ ） A .」B. 2 C. ! D.. 5.若双曲线 —=1 （a >0, b >0）的渐近线与圆（x - 2） 2+y 2=2相交，则此 双曲线的离心率的取值范围是（ ） A . （2, +x ） B. （1, 2） C. （1 ,：） D. ( :■:, +x) 6.已知双曲线C : b>Q ）的右焦点为F ,以F 为圆心和双曲线 a b A.丄B?口c. :: D. 2 2 2 2 7. 设点P是双曲线——=1 （a>0, b>0）上的一点，Fi、F2分别是双曲线的 左、右焦点，已知PF丄PR,且|PF i|=2|PR|，则双曲线的一条渐近线方程是（） A., 丄 B. , .. C. y=2x D. y=4x 2 2 8. 已知双曲线务壬二1的渐近线与圆x2+ （y-2）2=1相交，贝够双曲线的离心 a2b2 率的取值范围是（） A. （:, +x） B. （1,「;） C. （2. +x） D. （1，2） 9. 如果双曲线经过点P （2,庾），且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是（） 10. 已知F是双曲线C: X2-—=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直, 点A的坐标是（1, 3）,则A APF的面积为（） 二.填空题（共2小题） 2 11 ?过双曲线/七二1的左焦点F1作一条I交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ=8, F2是双曲线的右焦点，则△ PRQ的周长是_______ . 2 2 12.设F1, F2分别是双曲线三；■=1 （巴〉Q, 的左、右焦点，若双曲线右 支上存在一点P,使：卜…—-丨，O为坐标原点，且|F-；--, 则该双曲线的离心率为____________________________ . .解答题（共4小题） 椭圆题型总结 一、 椭圆的定义和方程问题 （一） 定义： 1. 命题甲：动点P 到两点A, B 的距离之和 PA+|PB =2a （a >0,常数）;命题乙：P 的轨迹是以 A B 为 焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 （B ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 已知F l 、F 2是两个定点，且 "F2 =4，若动点P 满足|PF"+|PF2|=4则动点P 的轨迹是（D ） A.椭圆B.圆C.直线D.线段 3. 已知F i 、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上的一个动点，如果延长* 到 Q ,使得 |PQ =|PF 2 ，那么 动点Q 的轨迹 是（B ） A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 2 2 …一 x y … ，一一 ,一 … 一一 一 ..... 4. 椭圆一十二=1上一点M 到焦点F i 的距离为2, N 为MF i 的中点，O 是椭圆的中心，则 ON 的值 25 9 是 4。 2 2 5. 选做：F I 是椭圆 —=1的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （ 1, 1）,求| PA | + | PF 1 |的最小值。 9 5 解：| PA | | PF 1 |=| PA | 2a - | PF 2 |_ 2a-| AF 2 |=6 - .. 2 （二） 标准方程求参数范围 2 2 1. 试讨论k 的取值范围，使方程 —二 十 _匚=1表示圆，椭圆，双曲线。（略） 5 —k k -3 2 "m 》n >0”是“方程mx 2 +ny 2 =1表示焦点在y 轴上的椭圆”的（c ） A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.若方程x 2sina +y 2cosa =1表示焦点在y 轴上的椭圆，0所在的象限是（A ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 5.已知方程x 2+ky 2 =2表示焦点在X 轴上的椭圆，则实数k 的范围是 k>1 （三）待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程： （1） 两个焦点的坐标分别为（0, 5）和（0, —5）,椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为 26; 2 2 匕』=1 169 144 （2） 长轴是短轴的2倍，且过点（2, — 6）; 2 2 2 2 L+L =1 或 土+匕=1 52 13 ' 148 37 （3） 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 4.方程x = J I -3y 2 所表示的曲线是 椭圆的右半部分 日（」6,1）,以- 。3,-/2）,求椭圆方程. 圆锥曲线 一、填空题 1、对于曲线C ∶1 42 2-+-k y k x =1，给出下面四个命题： ①由线C 不可能表示椭圆； ②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆； ③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4; ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜2 5 其中所有正确命题的序号为_____________. 2、已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，且满足 021=⋅PF PF ，2tan 21=∠F PF ，则该椭圆的离心率为 3.若0>m ，点⎪⎭ ⎫ ⎝⎛25,m P 在双曲线15422=-y x 上，则点P 到该双曲线左焦点的距离为 . 4、已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ． 5、已知点P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是（4，a ），则当||a >4时，||||PA PM +的最小值是 ． 6. 在ABC 中,7 ,cos 18 AB BC B ==-．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ． 7.已知ABC ∆的顶点B ()-3,0、C ()3,0，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，AB 和AC 边上的中线交于G ，且5|GF |+|GE |=，则点G 的轨迹方程为 8.离心率3 5 = e ，一条准线为x ＝3的椭圆的标准方程是 . 9.抛物线)0(42<=a ax y 的焦点坐标是_____________; 10将抛物线)0()3(42≠-=+a y a x 按向量v =（4，－3）平移后所得抛物线的焦点坐标为 . 11、抛物线)0(12 <=m x m y 的焦点坐标是 . 12.已知F 1、F 2是椭圆2 2 22)10(a y a x -+=1(5＜a ＜10＝的两个焦点，B 是短轴的一个端点，则 △F 1BF 2的面积的最大值是 13.设O 是坐标原点，F 是抛物线)0(22 >=p px y 的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60°，则||OA 为 . 14.在ABC △中，AB BC =，7 cos 18 B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆的离心率e = ． 二.解答题 15、已知动点P 与平面上两定点(2,0),(2,0)A B -连线的斜率的积为定值12 -. （Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程C. （Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=3 2 4时，求直线l 的方程. 16、已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）。 圆锥曲线专题练习 一、选择题 1.已知椭圆 116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 （ ） A ． 116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或125 162 2=+y x D ．以上都不对 3．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是 （ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线 4．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．3 5．抛物线x y 102 =的焦点到准线的距离是 （ ） A ． 25 B ．5 C ．2 15 D ．10 6．若抛物线2 8y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 （ ） A ．(7, B ．(14, C ．(7,± D ．(7,-± 7．如果22 2 =+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．()+∞,0 B ．()2,0 C ．()+∞,1 D ．()1,0 8．以椭圆 116 252 2=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（ ） A ． 1481622=-y x B ．127922=-y x C ．1481622=-y x 或127 92 2=-y x D ．以上都不对 9．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠2 1π = Q PF ，则双曲线的离心率 e 等于（ ） A ．12- B ．2 C ．12+ D ．22+ 10．21,F F 是椭圆17 92 2=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则Δ12AF F 的面积为（ ） A ．7 B ． 47 C ．2 7 D ．257 11．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆09622 2 =++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程（） A ．2 3x y =或2 3x y -= B ．2 3x y = C ．x y 92 -=或2 3x y = D ．2 3x y -=或x y 92 = 圆锥曲线经典题型 一．选择题〔共10小题〕 1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1〔b＞0〕有两个不同的交点，那么此双曲线离心率的围是〔〕 A．〔1，〕B．〔，+∞〕C．〔1，+∞〕D．〔1，〕∪〔，+∞〕2．M〔x0，y0〕是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，假设＜0，那么y0的取值围是〔〕 A．B．C．D． 3．设F1，F2分别是双曲线〔a＞0，b＞0〕的左、右焦点，假设双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，那么该双曲线的离心率为〔〕 A．B． C．D． 4．过双曲线﹣=1〔a＞0，b＞0〕的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，假设=2，那么该双曲线的离心率为〔〕A．B．2 C．D． 5．假设双曲线=1〔a＞0，b＞0〕的渐近线与圆〔x﹣2〕2+y2=2相交，那么此双曲线的离心率的取值围是〔〕 A．〔2，+∞〕B．〔1，2〕 C．〔1，〕D．〔，+∞〕 6．双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐 近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，那么双曲线C的离心率为〔〕 A．B．C．D．2 7．设点P是双曲线=1〔a＞0，b＞0〕上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，那么双曲线的一条渐近线方程是〔〕A．B．C．y=2x D．y=4x 8．双曲线的渐近线与圆x2+〔y﹣2〕2=1相交，那么该双曲线的离心率的取值围是〔〕 A．〔，+∞〕B．〔1，〕C．〔2．+∞〕D．〔1，2〕 9．如果双曲线经过点P〔2，〕，且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是〔〕 A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 10．F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是〔1，3〕，那么△APF的面积为〔〕 A．B．C．D． 二．填空题〔共2小题〕 11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，假设|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，那么△PF2Q的周长是． 圆锥曲线经典题型 一．选择题（共10小题) １．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=１（b＞0)有两个不同的交点,则此双曲线离心 率的范围是（） A.（1，）ﻩB．（,+∞) C．（１，＋∞) D．（1,）∪(，+∞） 2．已知Ｍ(ｘ0，y0)是双曲线Ｃ：=１上的一点,F1，F2是Ｃ的左、右两个焦点，若＜0,则y0的取值范围是( ) Ａ.ﻩB． C.ﻩD. 3．设Ｆ１，F２分别是双曲线（a>０，ｂ＞０)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点Ｐ,使得，其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为( ） Ａ.B．ﻩC.D． 4.过双曲线﹣=1(ａ>０,ｂ＞0）的右焦点F作直线y＝﹣x的垂线,垂足为 A，交双曲线左支于B点，若＝2,则该双曲线的离心率为（） A.ﻩＢ．2ﻩC.ﻩD. 5.若双曲线=1(a>０，b>０）的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2相交,则此双曲线的 离心率的取值范围是（) A．(2，＋∞）ﻩＢ．（1,2）ﻩC.（1,）D.（,＋∞） 6.已知双曲线C：的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐 近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C 的离心率为(） A．ﻩＢ．ﻩＣ.ﻩD．2 7．设点P是双曲线=1(ａ＞0，b＞0）上的一点,Ｆ１、F２分别是双曲线的 ⊥PF2，且|PF1|=２|PF２|，则双曲线的一条渐近线方程是左、右焦点,已知ＰF １ () Ａ.B．Ｃ.y=2xﻩD．y=4x 8．已知双曲线的渐近线与圆ｘ2+(y﹣2）２=１相交，则该双曲线的离心率的取值范围是(） A．(，+∞）B.（1，）Ｃ.(２.+∞）ﻩD.(1,2) 9．如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为ｙ=ｘ，那么该双曲线的方程是（） A．ｘ2﹣=1 Ｂ．﹣=１ C.﹣＝１Ｄ．﹣＝１ 10．已知F是双曲线C：x２﹣＝1的右焦点，Ｐ是C上一点，且PF与ｘ轴垂直，点A的坐标是（1，３),则△AＰＦ的面积为(） A.Ｂ．ﻩＣ.D． 二．填空题(共２小题) 1１．过双曲线的左焦点Ｆ1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点，则△PF２Ｑ的周长是． 12.设F１，F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点Ｐ,使，O为坐标原点，且,则该双曲线的离心率为． 三．解答题（共4小题） １3.已知点Ｆ1、F2为双曲线C：x２﹣=1的左、右焦点,过Ｆ2作垂直于x轴的直 圆锥曲线解答题十大题型 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点的问题 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：向量问题 题型六：面积问题 题型七：弦或弦长为定值、最值问题 题型八：直线问题 题型九：对称问题 题型十、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形（等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆） 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系（简单题型未总结） 题型二：弦的垂直平分线问题 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2 (1) y k x y x =+⎧⎨ =⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+=① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104 k <<② 由韦达定理，得：212221 ,k x x k -+=-121x x =。则线段 AB 的中点为22211 (,)22k k k -- 。 线段的垂直平分线方程为： 22 1112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k = -，则2 11 (,0)22 E k - ABE ∆为正三角形，∴211( ,0)22 E k -到直线AB 的距离d 为 。 AB =2 2 1k k = +d =2 1k += 解得k =053 x =。 【涉及到弦的垂直平分线问题】 这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者．．．．韦达定理．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。 圆锥曲线基础训练 一、选择题： 1． 已知椭圆116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 （ ） A ．116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或125 162 2=+y x D ．以上都不对 3．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是 （ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线 4．抛物线x y 102 =的焦点到准线的距离是 （ ） A ． 25 B ．5 C ．2 15 D ．10 5．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 （ ） A ．(7, B ．(14, C ．(7,± D ．(7,-± 二、填空题 6．若椭圆22 1x my +=_______________. 7．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。 8．若曲线22 141x y k k +=+-表示双曲线，则k 的取值范围是 。 9．抛物线x y 62=的准线方程为 . 10．椭圆552 2=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。 三、解答题 11．k 为何值时，直线2y kx =+和曲线22236x y +=有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？ 12．在抛物线24y x =上求一点，使这点到直线45y x =-的距离最短。 13．双曲线与椭圆有共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -，点(3,4)P 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点， 求渐近线与椭圆的方程。(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)
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