对数平均不等式的典型应用
极值点偏移问题的母题
对数、指数平均不等式与高考中的一类热点,即极值点的偏移(类对称或淮对称)问题具有深该的内在联系,利用对数与 指数平均不等式可建立极值点的偏移母题如下.
[母题结构]:(Ⅰ)(对数模型)设P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)是函数f(x)=mlnx+ax 2+bx+c(m ≠0)图像上的任意两点,则当m>0
时,f '(
221x x +) 21x x +)>k PQ ; (Ⅱ)(指数模型)设P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)是函数f(x)=me x +ax 2 +bx+c(m ≠0)图像上的任意两点,则当m>0时,f '(2 2 1x x +) 2 2 1x x +)>k PQ . [母题解析]:(Ⅰ)由f(x)=mlnx+ax 2+bx+c ? f '(x)= x m +2ax+b ?f '(221x x +)=212x x m ++a(x 1+x 2)+b;又由k PQ =2 121) ()(x x x f x f --= m ? 2121ln ln x x x x --+a(x 1+x 2)+b ?k PQ -f '(221x x +)=m(2121ln ln x x x x ---212x x +),由对数平均不等式:2b a +>b a b a ln ln --? 2 12 1ln ln x x x x --> 2 12 x x +?当m>0时,f '(221x x +) +ax 2 +bx+c ?f '(x)=me x +2ax+b ?f '(2 21x x +)=me 2 21x x ++a(x 1+x 2)+b;又由k PQ =2121)()(x x x f x f --=m ?2 121x x e e x x --+ a(x 1+x 2)+b ?k PQ -f '(221x x +)=m(2 12 1x x e e x x ---e 2 21x x +),由指数平均不等式:b a e e b a -->e 2 b a +? 2 12 1x x e e x x -->e 2 21x x +?当m>0时, f '( 221x x +) 21x x +)>k PQ . 1.对数模型 子题类型Ⅰ:(2011年辽宁高考试题)已知函数f(x)=lnx-ax 2 +(2-a)x. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设a>0,证明:当0 a 1时,f(a 1+x)>f(a 1 -x); (Ⅲ)若函数y=f(x)的图像与x 轴交于A,B 两点,线段AB 中点的横坐标为x 0,证明:f '(x 0)<0. [解析]:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),由f(x)=lnx-ax 2+(2-a)x ? f '(x)=- x x 1 2+(ax-1);①当a ≤0时,f '(x)>0?f(x)在(0,+∞)上递增;②当a>0时,f(x)在(0, a 1)上递增,在(a 1 ,+∞)递减; (Ⅱ)令g(x)=f( a 1+x)-f(a 1-x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax,则g '(x)=ax a +1+ax a -1-2a=222 312x a x a ->0?g(x)在[0,a 1)上递增?g(x)>g(0)=0?f( a 1+x)>f(a 1 -x); (Ⅲ)设A(x 1,0),B(x 2,0),则k AB =0,由f '(2 2 1x x +) [点评]:若连续函数f(x)在区间(x 1,x 2)内有唯一的极值点x 0,且f(x 1)=f(x 2),研究 221x x +与x 0的大小或判断f '(2 21x x +)的符号,统称为极值点的偏移问题;母题结论具有解决极值点偏移问题的根本性. 2.指数模型 子题类型Ⅱ:(2010年天津高考试题)已知函数f(x)=xe -x (x ∈R). (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,证明:当x>1时,f(x)>g(x); (Ⅲ)如果x 1≠x 2,且f(x 1)=f(x 2),证明:x 1+x 2>2. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=xe -x ? f '(x)=e -x -xe -x =(1-x)e -x ,列表如下,由表知f(x)在(-∞,1) 内是增函数,在(1,+∞)内是减函数,函数f(x)在x=1处取得极大值f(1),且f(1)=e -1 ; (Ⅱ)由函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称?g(x)=f(2-x)= (2-x)e x-2 ;当x>1时,令F(x)=f(x)-g(x)=xe -x +(x-2)e x-2 ,则F '(x)=(x-1)(e 2x-2 -1)e -1 >0?函数F(x)在[1,+∞)是增函数 ?F(x)>F(1)=0?f(x)>g(x); (Ⅲ)设P(x 1,y 0),Q(x 2,y 0),由x 1≠x 2,且f(x 1)=f(x 2),则x 1,x 2>0;令g(x)=lnf(x)=lnx-x,则g '(221x x +) 12 x x +-1< 0?x 1+x 2>2. [点评]:指数与对数函数模型不仅具有相似的结论,实质上,由函数y=e x 与y=lnx 的对称性知,母题中,指数与对数函数模 型的结论是等价的;把指数函数问题转化为对数函数问题是解决指数函数问题的常用方法. 3.切线背景 子题类型Ⅲ:(2005年湖南高考试题)已知函数f(x)=lnx,g(x)= 2 1ax 2 +bx,a ≠0. (Ⅰ)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a 的取值范围; (Ⅱ)设函数f(x)的图象C 1与函数g(x)图象C 2交于点P 、Q,过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1,C 2于点M 、N,证明:C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行. [解析]:(Ⅰ)当b=2时,h(x)=f(x)-g(x)=lnx-2 1ax 2-2x ? h '(x)= x 1-ax-2=-x 1(ax 2 +2x-1)(x>0);所以,h(x)存在单调递减区间?h '(x)≤0在(0,+∞)内有解集区间?T(x)=ax 2 +2x-1≥0在(0,+∞)内有解集区间?a>0,或a<0,且4+4a>0? a 的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞); (Ⅱ)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),A(x 1,0),B(x 2,0),由h(x)=f(x)-g(x)=lnx-2 1ax 2 +bx ?h '(x)=f '(x)-g '(x)?h '(221x x +)= f '( 221x x +)-g '(221x x +) 21x x +) 2 2 1x x +)?C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行. [点评]:对数、指数平均不等式及其引伸的母题结论具有广泛的应用,尤其在解决双切线问题中,具有十分有力的深刻应 用;掌握对数、指数平均不等式及其引伸的母题结论的证明是十分必要的. 4.子题系列: 1.(2016年安徽蚌埠二模试题)设函数f(x)=x 2 +3x+3-ae x (a 为非零常数). (Ⅰ)求g(x)= x e x f )(的单调区间; (Ⅱ)若存在b,c ∈R,且b ≠c,使f(b)=f(c),试判断a f '( 2 c b +)的符号. 2.(2014年江苏南通二模试题)设函数f(x)=e x -ax+a(a ∈R),其图像与x 轴交于A(x 1,0),B(x 2,0)两点,且x 1≠x 2. (Ⅰ)求a 的取值范围; (Ⅱ)证明:f '(21x x )<0(f '(x)为函数f(x)的导函数). 3.(2013年湖南高考试题)已知函数f(x)=2 11x x +-e x . (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)证明:当f(x 1)=f(x 2)(x 1≠x 2)时,x 1+x 2<0. 4.(2014年广东韶关二模试题)已知函数f(x)=ln(x+a 1 )-ax,其中,a ∈R 且a ≠0. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)若不等式f(x) 1 -alnx(a ∈R), (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)若f(x)有两个极值点x 1和x 2,记过点A(x 1,f(x 1)),B(x 2,f(x 2)),的直线的斜率为k,问:是否存在a,使得k=2-a?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由. 6.(2015年广东广州二模试题)已知函数f(x)=alnx-1 1+-x x ,g(x)=e x (其中e 为自然对数的底数). (Ⅰ)若函数f(x)在区间(0,1)内是增函数,求实数a 的取值范围; (Ⅱ)当b>0时,函数g(x)的图象C 上有两点P(b,e b ),Q(-b,e -b ),过点P,Q 作图象C 的切线分别记为l 1,l 2,设l 1与l 2的交点为M(x 0,y 0),证明:x 0>0. 5.子题详解: 1.解:(Ⅰ)由g(x)= x e x f )(=(x 2+3x+3)e -x -a ?g '(x)=-x(x+1)e -x ?g(x)在(-∞,-1)和(0,+∞)上递减,在(-1,0)上递增; (Ⅱ)令P(b,f(b)),Q(c,f(c)),则k PQ =0;①当-a>0,即a<0时,f '( 2c b +) c b +)>0;②当-a<0,即a>0时, f '( 2c b +)>k PQ =0?a f '(2c b +)>0.综上,a f '(2 c b +)>0. 2.解:(Ⅰ)由f '(x)=e x -a;①当a ≤0时,f '(x)>0?f(x)在(-∞,+∞)上单调递增?f(x)至多有一个零点,不合题意;②当a>0时,f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,由f(x)有两个零点?f min (x)=f(lna)=2a-alna<0?a>e 2 ?lna>2;又f(1)=e>0,f(a -1 lna)=e 1-a lna -lna+a>a -1lna+1-(a-1)+a=a -1 lna+2>0?f(x)有两个零点x 1,x 2,且1 取值范围是(e 2 ,+∞); (Ⅱ)由f '( 2 21x x +) -a 在(-∞,+∞)上单调递增;又由1 2 2 1x x +?f '(21x x )< f '( 2 2 1x x +)<0. 3.解:(Ⅰ)由f(x)= 2 11x x +-e x ?f '(x)=- 2 22) 1()32(x x x x ++-e x ?f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减; (Ⅱ)不妨设x 1 2 1111x x +-e 1x = 2 2 211x x +-e 2x >0?0 )+x 1=ln(1- x 2)-ln(1+x 22 )+x 2?(x 1+x 2) 2 2212 221) 1ln()1ln(x x x x -+-++)1()1()1ln()1ln(2121x x x x ------=1;根据对数平均不等式,有22 212 221)1ln()1ln(x x x x -+-+> 2 2 2 2 21 ++ x x , )1()1()1ln()1ln(2121x x x x ------>)(2221x x +-?(x 1+x 2)22222 1++x x +)(2221x x +-<1?(x 1+x 2)222221++x x +) (22 21x x +--1<0 ?(x 1+x 2) 2 2 22 21 ++ x x + )(22122x x x x +-+<0?(x 1+x 2)[222221++x x +) (2121x x +-]<0;由x 1<0,0 21x x +->0 ? 2 2 2 2 21 ++ x x + ) (21 21x x +->0?x 1+x 2<0. 4.解:(Ⅰ)由f(x)的定义域为(-a 1,+∞),f '(x)=-1 2+ax x a ;①当a<0时,f '(x)>0?f(x)在(-a 1,+∞)上单调递增;②当a>0 时,在区间(- a 1,0)上,f '(x)>0,在区间(0,+∞)上,f '(x)<0?f(x)在(-a 1 ,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减; (Ⅱ)由f(x) a 1)>0,令x=e-a 1得:2a(e-a 1)-1>0?2ea-3>0?a>0;令g(x)=2ax-ln(x+a 1 ),则g '(x)= 1 22 +ax a (x+a 21)?g(x)在(-a 1,-a 21)上单调递减,在(-a 21,+∞)上单调递增?g min (x)=g(-a 21)=-1-ln(2a);由g min (x)>0 ?a> 2e ?a 的取值范围是(2 e ,+∞); (Ⅲ)由(Ⅰ)知a>0,且-a 1 1 =e 2ax ?x 2-x 1 =e 2ax -e 1a x ? 1212ax ax e e ax ax --=a 1;又x 1+x 2+a 2=e 1a x +e 2ax ,根据指数平均不等式,有=e 1a x +e 2ax >2?1 212ax ax e e ax ax --=a 2?x 1+x 2+a 2>a 2 ?x 1+x 2>0. 5.解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)= 2 1x (x 2 -ax+1);①当a ≤2时,f '(x)≥0?f(x)在(0,+∞)上单调递增;②当a>2 时,由f '(x)=0?x 1= 242--a a ,x 2=2 4 2-+a a ?f(x)在(0,x 1)和(x 2,+∞)上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,a<2,且x 1x 2=1;由k= 2121)()(x x x f x f --=1+211x x -a 2121ln ln x x x x --;若存在a,使得k=2-a,则2121ln ln x x x x --=1,即2 12 1ln ln x x x x --= 21x x ;但由加细基本不等式知; 2 12 1ln ln x x x x -->21x x .故不存在a,使得k=2-a. 6.解:(Ⅰ)由函数f(x)在区间(0,1)内是增函数?当x ∈(0,1)时,f '(x)= x a -2 )1(2+x ≥0? 当x ∈(0,1)时,a ≥2 12++x x ?a ≥ 21.故实数a 的取值范围为[2 1 ,+∞); (Ⅱ)由g(x)=e x ?g '(x)=e x ?切线l 1:y=e b (x-b)+e b ,l 2:y=e -b (x+b)+e -b ?x 0=b ?b b b b e e e e ---+-1=b ? b b e e 2211---+-1;设t=e -2b ∈(0,1), 则lnt=-2b ?-1= t b ln 2?x 0=b ? t t -+11+t b ln 2=b(t t -+11+t ln 2);由(Ⅰ)知,当a=21时,f(x)=2 1lnx-11 +-x x 在区间(0,1)内是增函数?f(t)= 2 1lnt-11+-t t >0?x 0>0. 极值点偏移问题专题（0)——偏移新花样（拐点偏移） 例１已知函数()22ln f x x x x =++，若正实数1x ,2x 满足()()12+=4f x f x , 求证：122x x +≥。 证明：注意到()1=2f ，()()()12+=21f x f x f ()()()12+=21f x f x f ()2 = +210f x x x '+> ()22 =2f x x ''-+,()1=0f '',则（1,2)是()f x 图像的拐点,若拐点(１,２）也是()f x 的对称 中心,则有12=2x x +,证明122x x +≥则说明拐点发生了偏移,作图如下 想到了“极值点偏移”,想到了“对称化构造”,类似地,不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设1201x x <≤≤，要证 ()() 1221212 212x x x x f x f x +≥?≥-≥?≥- ()() ()() 11114242f x f x f x f x ?-≥-?≥+- ()()()2F x f x f x =+-,(]0,1x ∈,则 ()()()()222212212F x f x f x x x x x '''=--????=++-+-+ ? ?-???? () () 1 4110 2 x x x ?? =--≥ ? ? - ?? , 得() F x在(]0,1上单增，有()()() 1214 F x F ≤=+=，得证。 2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路 1、极值点偏移(()00 f x '=) 二次函数()() 12120 2 f x f x x x x =?+= 2、拐点偏移() () f x ''= ()()() 120120 22 f x f x f x x x x +=?+= 极值点偏移问题专题(１)——对称化构造（常规套路） 例1（２０１0天津） 已知函数()e x f x x- =． (１）求函数() f x的单调区间和极值； (2)已知函数() g x的图像与() f x的图像关于直线1 x=对称,证明:当1 x> ()() 12201 120 2 2 f x f x x x x x x x =?>- ?+> ()()() 120201 120 22 2 f x f x f x x x x x x x +=?>- ?+> 1平均值不等式及其证明 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1 平均值不等式 一般地，假设12,,...,n a a a 为n 个非负实数，它们的算术平均值记为 12...,n n a a a A n +++= 几何平均值记为 112(...)n n n G a a a == 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。 12...n a a a n +++≥ 即 n n A G ≥， 当且仅当12...n a a a ===时，等号成立。 上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。 平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。 1.2 平均值不等式的证明 证法一（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 1 1212...(...)k k n a a a a a a k +++≥。 那么，当1n k =+时，由于 121 1 (1) k k a a a A k +++++= +，1k G +=， 关于121,,...,k a a a +是对称的，任意对调i a 与j a ()i j ≠，1k A +和1k G +的值不改变，因此不妨设{}1121min ,,...,k a a a a +=，{}1121max ,,...,k k a a a a ++= 显然111k k a A a ++≤≤，以及1111()()0k k k a A a A +++--<可得 111111()k k k k A a a A a a +++++-≥. 所以 1111211 1(1)...k k k k k k kA k A A a a a A A k k k +++++++-+++-= == 2111...()k k k a a a a A k ++++++-=≥即12111...()k k k k k A a a a a A +++≥+- 两边乘以1k A +，得 111211112111...()...()k k k k k k k k k k A a a A a a A a a a a G ++++++++≥+-≥=。 从而，有11k k A G ++≥ 证法二（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 12...k a a a +++≥ 那么，当1n k =+时，由于 高考又见对数平均数 在历年的高考压轴题中我们总是能见到对数平均数的影子。2018年高考理科数学全国Ⅰ卷的压轴题最后一问，实际上就是对数平均数不等式的应用。加强对对数平均数的理解，无疑能对我们解决压轴题有很大的帮助。 对于a>b>0，我们把 b a b a ln ln --称作a 与 b 的对数平均数，并且有： 算术平均数>对数平均数>几何平均数，即： 2b a +>b a b a ln ln -->a b 证明方法Ⅰ（几何证明）：如图，分别过A(a,0)、B(b,0)、C( 2b a +,0)、D(ab ,0)作x 轴的垂线，与函数y=x 1 交于F 、G 、E 、H 四点，过E 作函数的切线，分别与BG 、AF 交于M 、N 两点。 比较曲边四边形GBAF 的面积S 1与梯形MBAN 的面积S 2，得S 1>S 2，其中： S 1=?a b dx x 1 =ln a-ln b ， S 2= 2AN BM +?AB=CE ?AB=b a +2 ?(a-b) ∴ ln a-ln b>b a +2 ?(a-b) 即：2b a +>b a b a ln ln --……① 比较梯形GBDH 的面积S 3与曲边四边形GBDH 的面积S 4，得S 3>S 4，其中： S 3=21 (GB+HD)?BD=21(b 1+ab 1)(ab -b)=ab b a 2- S 4=?ab b dx x 1=ln ab -ln b= 2ln ln b a +-ln b=2 ln ln b a - ∴ ab b a 2->2ln ln b a - 即： b a b a ln ln -->a b ……② 综合①②，得：2b a +>b a b a ln ln -->a b (a>b>0) 证明方法Ⅱ（函数证明）： 令f(x)= 2ln x +1 2 +x -1 (x>1)，则有： f`(x)=x 21 -2 )1(1+x =22)1(24)1(+-+x x x x =22)1(2)1(+-x x x >0 ∴ f(x)>f(1)=0，即： 2ln x +1 2 +x -1>0， 令x=b a ，代入整理得： 2ln ln b a ->b a b a +- 即：2b a +>b a b a ln ln --……① 令g(x)=x-2?ln x-x 1 (x>1)，则有： g`(x)=1-x 2+21x =22 )1(x x ->0 ∴ g(x)>g(1)=0，即x-2?ln x-x 1 >0， 令x= b a ，代入整理得：ab b a ->ln a-ln b 极值点偏移问题总结 一、 判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为 21x x 、，且b x x a <<<21， （1）若 02 12x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移； （2） 若0212 x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0 x 左偏； （3）若02 12 x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0 x 右偏。 2、极值点偏移的判定定理 证明：（1）因为可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又 b x x a <<<21，有 ),(221b a x x ∈+由于0)2('21>+x x f ，故),(2 02 1x a x x ∈+，所以02 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏。 证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又 b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以 02 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏. 结论（2）证明略。 二、 运用判定定理判定极值点偏移的方法 1.方法概述： （1）求出函数()f x 的极值点； （2）构造一元差函数00()()()F x f x x f x x =+-- （3）确定函数()F x 的单调性； （4）结合(0)0F =，判断()F x 的符号，从而确定00(),()f x x f x x -+的大小关系。 2.抽化模型 答题模板：若已知函数()f x 满足12()()f x f x =，0x 为()f x 的极值点，求证：1202x x x +< （1）讨论函数()f x 的单调性并求出()f x 的极值点0x ； 假设此处()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞ 上单调递增。 （2）构造00()()()F x f x x f x x =+--； 对数平均不等式 1.定义：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b a b +->>-ln ln a b a b -- 为对数平均数. 2.几何解释： 反比例函数()()10f x x x =>的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||， MN CD x ||||轴， (),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???,,T 作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+?? 处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知， 变形公式： )0.()(2ln ln >≥+-≥-b a b a b a b a 3.典例剖析 对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的． （一） ()0ln ln b a b a a b a ->>>-的应用 例1 （2014年陕西）设函数 )1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数． （1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++L 与()n f n -的大小，并加以证明． . （二） ()0ln ln b a b a b a ->>-的应用 例 2 设数列{} n a 的通项n a =，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1n S n <+． （三） ()02ln ln a b b a b a b a +->>>-的应用 例3. 设数列{}n a 的通项111123n a n =++++L ，证明：()ln 21n a n <+． （四） ()2011ln ln b a b a b a a b ->>>-+的应用 例4. （2010年湖北）已知函数()()0b f x ax c a x =++>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-．（1）用a 表示出,b c ；（2）（略） （3）证明：()() ()1111ln 11.2321n n n n n ++++>++?+L （五） )0ln ln b a b a b a ->>>-的应用 例5. （2014福建预赛）已知1()ln(1)311f x a x x x =++ +-+． （1）（略） （2）求证：()222223411ln 21411421431414 n n n +++++>+?-?-?-?-L 对一切正整数n 均成立． 强化训练 1. （2012年天津）已知函数()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0． （1）（2）（略）（3）证明：()()12ln 212*.21 n i n n N i =-+<∈-∑ 2.（2013年新课标Ⅰ）已知函数()()()1ln 11x x f x x x λ+=+-+． 极值点偏移问题的两种常见解法之比较 浅谈部分导数压轴题的解法 在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数()y f x =是连续函数，在区间12(,)x x 内有且只有一个极值点0x ，且 12()()f x f x =，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点12 02 x x x += ，我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点12 02 x x x +≠的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”. 极值点偏移问题常用两种方法证明：一是函数的单调性，若函数()f x 在区间(,)a b 内单调递增，则对区间(,)a b 内的任意两个变量12x x 、， 1212()()f x f x x x . 二是利用“对数平均不等式”证明，什么是“对数平均”？什么又是“对数平均不等式”？ 两个正数a 和b 的对数平均数定义：,,(,)ln ln ,, a b a b L a b a b a a b -?≠? =-??=? 对数平均数与算术平均数、 (,)2 a b L a b +≤≤，（此式记为对数平均不等式） 下面给出对数平均不等式的证明： i ）当0a b =>时，显然等号成立 ii ）当0a b ≠>时，不妨设0a b >>， ln ln a b a b --， ln ln a b a b -<-， 只须证：ln a b < 1x =>，只须证：1 2ln ,1x x x x ≤-> 设1 ()2ln ,1f x x x x x =-+>，则222 21(1)()10x f x x x x -'=--=- <，所以()f x 学习好资料 欢迎下载 证明n 元均值不等式 1212n n n a a a n a a a +++≥证明： 首先证明，23n 2,222当，，，，时，不等式成立。 显然，12122a a a a +≥， 又因为412341234123412342+2222=4a a a a a a a a a a a a a a a a +++≥≥?， 同理可以证明得到n 2也成立。 再证明，当k k+1n 22∈（，） 也成立。 k k n=2+i 1i 2-1≤≤不妨设 ，其中，则有k k k k 21212 222a a a a a a ++ +≥， k+1k+1k+1k+121212 222a a a a a a ++ +≥ 则k k k 121222+12+i =++ +n a a a a a a a a +++++ +（）， k k k k k k k k k k k k k k k k+1212 22k 2+i 1212 22+12+i 1222+1k 2+i 12 22+1 2++1 2+i i 2+2-i =++++2-i 2i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++ ?+≥? （则（）（）） k k k k k k k k k 2+i 12 22+1 2+i k 2+i 12 22+1 2+i 2-2i i -a a a a a a a a a a 其中可以看成是（）个相（）加所得。 k k k k k k k k k k k k 2+i 12 22+12+i k 2+i 1212 22+12+i 22+1 2+i 2-i ++ +2+i a a a a a a a a a a a a a a a ?++ +≥（）最后，在式两边同时减去就得到了（）（） 1212 n n n a a a n a a a ++ +≥即：得证。 对数平均数的不等式链的几何解释及应用 中学数学教育专家安振平先生在剖析2014年陕西高考数学试题时指出，其压轴题的理论背景是： 设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b ab a b +->>-，其中ln ln a b a b --被称之为对数平均数. 童永奇老师构造函数，借助于导数证明了对数平均数的上述不等式，难度较大，为此，我作了深入地 探讨，给出对数平均数的不等关系的几何解释，形象直观，易于理解. 1 对数平均数的不等关系的几何解释 反比例函数()()1 0f x x x = >的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴，(),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???,1,,T ab ab ?? ???作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+?? 处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知， 因为ABNM ABQP ABFE S S S >=矩形曲边梯形梯形， 所以 ()12 ln ln ,b a dx b a b a x a b =->-+ò ① 又1 ln ln ab AUTP a S dx ab a x = =-ò 曲边梯形， ()11 ln ln 22ABQP b a S = -=曲边梯形， () 11111 222AUTP ABCD b a S ab a S a ab ab 骣-÷?=+ -=?÷?÷?桫梯形梯形， 根据右图可知，AUTP AUTP S S <曲边梯形梯形 ，所以ln ln b a b a ab --<， ② 另外，ABQX ABYP ABQP ABQP S S S S <<<矩形矩形曲边梯形梯形，可得： ()()()11111 ln ln ,2b a b a b a b a b a b a 骣÷?-<-<+-<-÷?÷?桫 ③ 综上，结合重要不等式可知： ()()()()211111 ln ln 2b a b a b a b a b a b a b a b a b a ab 骣--÷?-<<-<<+-<-÷?÷?桫+， 即()2011 2ln ln a b b a b ab a b a b a a b +-> >>> >>>-+. ④ 2 不等式链的应用 对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的． 2.1 ()0ln ln b a b a a b a -> >>-的应用 例1（2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数． （1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++ 与()n f n -的大小，并加以证明． 解析（3）因为()1x g x x = +， 所以()()()121111223123 1n g g g n n n n ??+++= +++=-+++ ?++?? ， 而()()ln 1n f n n n -=-+，因此，比较()()()12g g g n +++ 与()n f n -的大小，即只需比较 1 1 3121++++n 与()ln 1n +的大小即可． 根据0b a >>时，ln ln b a b b a ->-，即()1ln ln , b a b a b -<- 令,1,a n b n = =+则 ()1 ln 1ln ,1 n n n <+-+ 所以1ln 2ln1ln 22<-=，1ln 3ln 23<-，1 , ln(1)ln 1 n n n <+-+ ， 极值点偏移问题专题（0）——偏移新花样（拐点偏移） 例1已知函数()22ln f x x x x =++，若正实数1x ，2x 满足()()12+=4f x f x ， 求证:122x x +≥。 证明：注意到()1=2f ，()()()12+=21f x f x f ()()()12+=21f x f x f ()2 =+210f x x x '+> ()22 =2f x x ''-+，()1=0f ''，则（1,2）是()f x 图像的拐点，若拐点（1,2）也是()f x 的 对称中心，则有12=2x x +，证明122x x +≥则说明拐点发生了偏移，作图如下 想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设1201x x <≤≤，要证 ()() 1221212 212x x x x f x f x +≥?≥-≥?≥- ()() ()() 11114242f x f x f x f x ?-≥-?≥+- ()()()2F x f x f x =+-，(]0,1x ∈，则 ()()()()222212212F x f x f x x x x x '''=--????=++-+-+ ? ?-???? () ( ) 1 4110 2 x x x ?? =--≥ ? ? - ?? ， 得() F x在(]0,1上单增，有()()() 1214 F x F ≤=+=，得证。 2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路 1、极值点偏移（()00 f x '=） 二次函数()() 12120 2 f x f x x x x =?+= 2、拐点偏移() () f x ''= ()()() 12 0120 22 f x f x f x x x x +=?+= 极值点偏移问题专题（1）——对称化构造（常规套路） 例1（2010 天津）已知函数()e x f x x- =． （1）求函数() f x的单调区间和极值； （2）已知函数() g x的图像与() f x的图像关于直线1 x=对称，证明：当1 x>时， ()() 12201 120 2 2 f x f x x x x x x x =?>- ?+> ()()() 120201 120 22 2 f x f x f x x x x x x x +=?>- ?+> 均值不等式的证明(精选多篇) 第一篇：常用均值不等式及证明证明 常用均值不等式及证明证明 这四种平均数满足hn?gn? an?qn ?、ana1、a2、 ?r?，当且仅当a1?a2?? ?an时取“=”号 仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用 均值不等式的变形： (1)对实数a,b，有a 2 22 ?b2?2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a,b?0?2ab (4)对实数a,b，有 a?a-b??b?a-b? a2?b2? 2ab?0 (5)对非负实数a,b，有 (8)对实数a,b,c，有 a2? b2?c2?ab?bc?ac a?b?c?abc(10)对实数a,b,c，有 均值不等式的证明： 方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序 不等式法、柯西不等式法等等 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。 引理：设a≥0，b≥0，则?a?b??an?na?n-1?b n 注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0 ，a+b≥0 (用数学归纳法)。 当n=2时易证； 假设当n=k时命题成立，即 那么当n=k+1时，不妨设ak?1是则设 a1,a2,?,ak?1中最大者， kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak 用归纳假设 下面介绍个好理解的方法琴生不等式法 琴生不等式：上凸函数f?x?,x1,x2,?,xn是函数f?x?在区间(a,b)内的任意n个点， 设f?x??lnx，f ?x?为上凸增函数所以， 在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦） 第二篇：均值不等式证明 均值不等式证明一、 已知x,y为正实数，且x+y=1求证 xy+1/xy≥17/4 1=x+y≥2√(xy) 得xy≤1/4 而xy+1/xy≥2 当且仅当xy=1/xy时取等 也就是xy=1时 画出xy+1/xy图像得 01时，单调增 而xy≤1/4 ∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4 得证 继续追问： 拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证 补充回答： 我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二： 证xy+1/xy≥17/4 对数平均数的不等式链的几何解释及应用 [文档副标题] [日期] [公司名称] [公司地址] 对数平均数的不等式链的几何解释及应用 中学数学教育专家安振平先生在剖析2014年陕西高考数学试题时指出，其压轴题的理论背景是： 设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b a b +->>-ln ln a b a b --被称之为对数平均数. 童永奇老师构造函数，借助于导数证明了对数平均数的上述不等式，难度较大，为此，我作了深入地 探讨，给出对数平均数的不等关系的几何解释，形象直观，易于理解. 1 对数平均数的不等关系的几何解释 反比例函数()()1 0f x x x = >的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴， () ,0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???, ,T 作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+??处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知， 因为ABNM ABQP ABFE S S S 矩形曲边梯形梯形， 所以 1 2ln ln ,b a dx b a b a x a b ① 又1ln ln ab AUTP a S dx ab a x 曲边梯形， 1 1 ln ln 2 2 ABQP b a S 曲边梯形， 1111 222 AUTP ABCD S ab a S a ab ab 梯形梯形， 根据右图可知， AUTP AUTP S S 曲边梯形梯形 ，所以ln ln b a ab ， ② 另外，ABQX ABYP ABQP ABQP S S S S 矩形矩形曲边梯形梯形，可得： 11111ln ln ,2b a b a b a b a b a b a ③ 综上，结合重要不等式可知： 211111ln ln 2b a b a b a b a b a b a b a b a ab ， 即20112 ln ln a b b a b ab a b a b a a b . ④ 2 不等式链的应用 对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的． 2.1 0ln ln b a b a a b a 的应用 例1,,（2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数． （1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n ++ +与()n f n -的大小，并加以证明． 解析,,（3）因为()1x g x x =+， 所以()()()121111223 123 1n g g g n n n n ?? ++ += +++ =-+++ ?++?? ， 而()()ln 1n f n n n -=-+，因此，比较()()()12g g g n +++与()n f n -的大小，即只需比较 1 13121++++n 与()ln 1n +的大小即可． 根据0b a 时， ln ln b a b b a ，即1ln ln , b a b a b 令,1,a n b n 则 1 ln 1 ln ,1 n n n 所以 1ln 2ln1ln 22<-=，1 ln 3ln 23 <-，1 , ln(1)ln 1 n n n <+-+， 对 数平均不等式 1.定义：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b a b +->>-ln ln a b a b -- 为对数平均数. 2.几何解释： 反比例函数()()10f x x x = >的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||，MN CD x |||| 轴， (),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???,,T 作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+??处的切线分别与 ,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知， 变形公式： )0.()(2ln ln >≥+-≥-b a b a b a b a 3.典例剖析 对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的． （一） ()0ln ln b a b a a b a ->>>-的应用 例1 （2014年陕西）设函数 )1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数． （1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++L 与()n f n -的大小，并加以证明． . （二）()0ln ln b a b a b a ->>-的应用 例2 设数列{} n a 的通项n a =，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1n S n <+． （三） ()02ln ln a b b a b a b a +->>>-的应用 函数极值点偏移问题 在近年的高考和各地的质检考试中，经常可以看到与函数的极值点偏移有关的问题，这类问题由于难度大，往往使得考生望而生畏，不知如何下手，本文试提供一种解题策略，期望对考生有所帮助．先看一道试题： 【例1】（2015年蚌埠市高三一质检试题）已知函数f（x）=xe－x． （1）求函数f（x）的单调区间和极值； （2）若x1≠x2，f（x1）=f（x2），求证x1+x2＞2．该题意在考查学生运用导数处理有关函数的单调性及极值问题以及综合运用有关知识分析、解决问题的能力和化归转化的数学思想． 解析1．e 第（2）问： 构造函数F（x）=f（1+x）－f（1－x）=（1+x）e－（1+x）－（1－x）ex－1，则F'（x）=x［ex－1－e－（1+x）］， 当x＞0时，F'（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）单调递增， 又F（0）=0，∴F（x）＞0，即f（1+x）＞f（1－x）． ∵x1≠x2，不妨设x1＜x2，由（1）知x1＜1，x2＞1，所以f（x1）=f（x2）=f［1+（x2－1）］＞f［1－（x2－1）］=f（2－x2），∵x2＞1，∴2－x2＜1，又f（x）在（－∞，1）上单调递增，∴x1＞2－x2，∴x1+x2＞2． 上述解答，通过构造差函数F（x）=f（1+x）－f（1－x），紧接着对F（x）进行求导，判断性质，不需复杂的变形，切入点好，程序清晰，易操作．其解题本质是x1与2－x2的大小关系不易直接比较时，通过化归转化为比较函数值f（x1）与f（2－x2）的大小关系，再结合f（x）的单调性获得解决．这里的1显然是f（x）的极值点，就是直线y=f（x1）=f（x2）=h被函数y=f（x）图象所截线段中点的横坐标，要证x1+x2＞2，只需证f（x1）＞f（2－x2），因此，问题本质是证极值点偏移问题． 若设f（x）的极值点为x0，则可将上述的解题策略程序化如下： ①构造差函数F（x）=f（x0+x）－f（x0－x） ②对F（x）求导，判断F'（x）的符号，确定F（x）的单调性， ③结合F（0）=0，判断F（x）的符号，确定f（x0+x）与f（x0－x）的大小关系 柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong （数学之家） 本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。 一般的均值不等式我们通常考虑的是n n G A ≥: 一些大家都知道的条件我就不写了 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出： 8444844)()(: 4422)()(abcdefgh efgh abcd h g f e d c b a abcd abcd cd ab d c b a d c b a ≥+≥+++++++=≥+≥+++=+++八维时二维已证，四维时： 这样的步骤重复n 次之后将会得到 n n n x x x x x x n 2 221221 (2) ...≥ +++ 令A n x x x x x x x x x x n n n n n n =+++= =====++......;,...,2122111 由这个不等式有 n n n n n n n n n n A x x x A x x x A n nA A 2 121 212 221)..(..2 )2(- -=≥ -+= 即得到 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子： 例1： 1 1 12101(1,2,...,)11(...)n i i i n n n a i n a a a a =<<=≥ --∑ 若证明 例2： 1 1 1211(1,2,...,)1 1(...)n i i i n n n r i n r r r r =≥=≥ ++∑ 若证明 这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法： 给出例1的证明： 12121 2 212 2 123 4 211(1)2(1)(1) 11,(1)(2)2(1) 22(1)2(1)2211111111n a a a a a a p a q a q p p q p q pq q p q q q p q a a a a =+ ≥ ?- --≥----=+= ?--≥-+?-+≥?+≥+?≥+ + + ≥+ ----≥ 当时设，而这是元均值不等式因此此过程进行下去 因2 1 1 2 1221 1212221 12 2 1 1 2 11(...)...(...)112 2 (2) 1111() 111n n n n n n n n i i n n n n n n n n n i i n n i i a a a a a a a a a a G n a G G G G n a G =++-==≥ --=====+-≥ = ----≥ --∑ ∑ ∑ 此令有即 例3： 1 115,,,,1(1),,111,,11( )( ) 1 1 n n i i i i i i i i i n n n i i i i i i n n i i i i i i i i i i i n r s t u v i n R r S s n n T t U u V v n n n r s t u v R ST U V r s t u v R ST U V =>≤≤== = = = ++≥--∑∑∑∑∑∏ 已知个实数都记，求证下述不等式成立： 要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式 极值点偏移——对数平均不等式（本质回归） 笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链： ， 不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数，，且，定义为，的对数平均值，且 ，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为． 先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造） 设 ，则， ，构造函数，则．由得，且在上，在上，为的极大值点．对数平 ，等价于，这是两个常规的极值点偏移问题，留给读者尝试． 证法2（比值代换） 令，则 ，构造函数可证． 证法3（主元法） 不妨设 ， 1 1 1ln 2e e 2ln b a b a a a b b ab ab b a b a b a b a b b b a a a ---??-+?? < <<<<< ? ?+ -?? ??a b a b ≠ln ln a b a b --a b ln ln 2 a b a b a b -+< -()()(),,,G a b L a b A a b <<0 ln ln a b R a b -= >-ln ln k a k b a b -=-ln ln k a a k b b -=-()ln f x k x x =-()()f a f b =()1k f x x '= -()0f k '=()f x ()0,k Z (),k +∞]x k =()f x 2a b k +<< 2 2a b k ab k +>??()()11ln ln 2ln 2 b t b t a b a b a b t -+-+< 对数平均数不等式链的几何证明及变式探究 中学数学教育专家安振平在剖析2013年陕西高考数学压轴题时指出，其理论背景是： 设0b a >>，则211 2ln ln a b b a b ab a b a a b +-> >>> >-+，其中 ln ln a b a b --被称为“对数 平均数”. 安振平老师通过构造函数，借助导数，证明了上述对数平均数不等式链，难度较大.基于此，笔者进行了深入的探讨，给出对数平均数不等式链的几何证明，形象直观，易于理解. 1 对数平均数不等式链的几何证明 如图，先画反比例函数()()1 0f x x x = >的图象，再画其他的辅助线，其中AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴，(),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???,1,T ab ab ?? ? ? ?.设函数()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+?? 处的切线分别与直线,AP BQ 交于点,E F ，则根据左图可知： 因为ABNM ABQP ABFE S S S >=矩形曲边梯形梯形， 所以 ()12 ln ln b a dx b a b a x a b =->-+ò . ① 因为1 ln ln ab AUTP a S dx ab a x = =-ò 曲边梯形()11ln ln 22ABQP b a S =-=曲边梯形， () 11111 222AUTP ABCD b a S ab a S a ab ab 骣-÷?=+ -=?÷?÷?桫梯形梯形， 而根据右图可知：AUTP AUTP S S <曲边梯形梯形，所以ln ln b a b a ab --<. ② 另外，根据ABQX ABYP ABQP ABQP S S S S <<<矩形矩形曲边梯形梯形，可得： ()()()11111 ln ln 2b a b a b a b a b a b a 骣÷?-<-<+-<-÷?÷?桫 . ③ 综上，结合重要不等式可知： ()()()()211111 ln ln 2b a b a b a b a b a b a b a b a b a ab 骣--÷?-<<-<<+-<-÷?÷?桫+， 即()2011 2ln ln a b b a b ab a b a b a a b +-> >>> >>>-+. ④ 2 对数平均数不等式链的变式探究 近年来，以对数平均数不等式链为落点的压轴试题层出不穷，如2010年湖北卷、2012年天津、2013年新课标Ⅰ、2014年陕西卷、2014福建预赛、2014年绵阳一、三诊、2015合肥最后一卷等等，因此关注对数平均数不等式链的变式探究是十分必要的. 为了行文叙述的方便，将对数平均数不等式链中的不等式 2ln ln a b b a b a +->-，记为①式；将ln ln b a ab b a -> -，记为②式；将2 11 ln ln b a b b a a b -> >-+，记为③式. 变式探究1：取12,a x b x ==，则由①知： 1221 21 2ln ln +-> -x x x x x x .于是，可编制如下试题：已知210>>x x ，求证：212112 2()ln ln --> +x x x x x x . 变式探究2：取12,a x b x ==，则由②知： 21 1221 ln ln ->-x x x x x x .于是，可编制如下试题：已知 210>>x x ，求证：21 2112 ln ln --< x x x x x x . 变式探究3：取12,a x b x ==，则由③知：2122112 2 11 ln ln -> > -+x x x x x x x .于是，可编制如下试题：已知210>>x x ，求证：22 12121212 1ln ln 2--<-< x x x x x x x x . 3不含参数的极值点偏移问题 函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 例1：已知函数()()x f x xe x R -=∈ ，如果12x x ≠，且12()()f x f x =. 证明：12 2.x x +> 构造函数()(1)(1),(0,1]F x f x f x x =+--∈， 则0)1()1(')1(')('21>-=--+=+x x e e x x f x f x F ， 所以()F x 在(0,1]x ∈上单调递增，()(0)0F x F >=， 也即(1)(1)f x f x +>-对(0,1]x ∈恒成立. 由1201x x <<<，则11(0,1]x -∈， 所以11112(1(1))(2)(1(1))()()f x f x f x f x f x +-=->--==， 即12(2)()f x f x ->，又因为122,(1,)x x -∈+∞，且()f x 在(1,)+∞上单调递减， 所以122x x -<，即证12 2.x x +> 法2：由12()()f x f x =，得1212x x x e x e --=，化简得212 1x x x e x -=， 不妨设21x x >，由法一知，1201x x <<<. 令21t x x =-，则210,t x t x >=+，代入式，得11 t t x e x +=， 反解出11 t t x e =-， 则121221t t x x x t t e +=+= +-，故要证122x x +>， 即证221 t t t e +>-， 又因为10t e ->，等价于证明：2(2)(1)0 t t t e +-->， 构造函数()2(2)(1),(0)t G t t t e t =+-->，则()(1)1,()0t t G t t e G t te '''=-+=>， 故()G t '在(0,)t ∈+∞上单调递增，()(0)0G t G ''>=， 从而()G t 也在(0,)t ∈+∞上单调递增，()(0)0G t G >=， 即证：②式成立，也即原不等式X1+X2＞2成立极值点偏移问题专题
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