北京航空航天大学数学分析(下)期中考试试题
2007年5月20日
1．
0220
x y x y →→+＝
2． 设
()2
1010x f x x x ππ
--<≤⎧=⎨+<≤⎩ 以2π为周期， 则其Fourier 级数在点x π=
处收敛于
3． 方程 ''3'2
3-++=x
y y y e 的通解是
4. 幂级数 2
111(1)
n n n x n ∞
=⎛⎫+- ⎪⎝⎭∑ 的收敛域是
二、单项选择(每小题5分,共10分)
1. 在下列四个反常积分中， 条件收敛的积分是： 【 】 A ．1+∞
⎰ B .
1
1x
dx x +∞
+⎰
C .
1
1
ln dx x x +∞
⎰
D . 21cos x dx x +∞⎰
2. 若
()()
00
00
lim lim ,,lim lim ,x x y y y y x x f x y f x y →→→→存在但是不相等，则 【 】
A ．
()
lim ,x x y y f x y →→一定不存在 B .
()
lim ,x x y y f x y →→一定存在
C .
()
00
lim ,x x y y f x y →→存在性无法判断 D .
()00
lim ,0
x x y y f x y →→=
三、计算题（本题40分，每小题10分）
(1) 把函数 ln(1)
1x x ++ 展开成关于x 的幂级数（请注明收敛区间）。
(2) 证明
2
2
400
lim x y xy x y →→+ 不存在。
(3) 设
,x z y f x y y ⎛⎫= ⎪
⎝⎭，其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数，求 2z
x y ∂∂∂。 （4）设 ()u x 由方程组 (,),(,,)0,(,)0u f x y g x y z h x z === 所确定，其中,,f g h 都
有连续的一阶偏导数且 0,0
g h y z ∂∂≠≠∂∂，求 d d u x 。
设(,)z f x y =在有界闭区域 D 内有二阶连续偏导数，且 ''''0,''0xx
yy xy f f f +=≠。
证明(,)z f x y =的最大值和最小值只能在D 的边界上取得。 五、证明题（10分）
设
()()
,f x y x y ϕ=，其中(0)0ϕ=，在0u =的附近满足 2
()u u ϕ≤，
求证(,)f x y 在（0，0）处可微。
简述你学习数学分析课程的感想与体会（200字左右）。
七、加选题（10分）
设
,:
n
E R f E R
⊂→，且f在E上一致连续，证明：
若{}
k
P E
⊂
是柯西序列，则
()
{}()
k
f P f E
⊂
也是一个柯西序列。
