吴老师2015一对一辅导教案
学生姓名
年级
高三
上课时间
学科
数学
教学课题
坐标系与参数方程(4-4)
教学目标 1． 掌握定义及应用公式
教学重点与难点
结合考点特点，灵活应用
1．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任
意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则?
??
??
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ，?
???
?
ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0). 2．圆的极坐标方程
若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20
－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ； (3)当圆心位于M ???
?a ，π
2，半径为a ：ρ＝2a sin θ.
(1)将参数方程化为普通方程，再利用相关知识解决，注意消参后x ，y 的取值范围． (2)观察参数方程有什么几何意义，利用参数的几何意义解题．
2．已知直线l 的参数方程为?
????
x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2
＝1上任意一点，求点P 到直线l 的距
离的最大值．
[例3] (2013·辽宁高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ???
?θ－π
4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；
(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为????
?
x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，
求a ，b 的值．
3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为???
x ＝3cos α，
y ＝sin α
(α为参数)，以原点O 为极点，以x 轴正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ???
?θ＋π
4＝4 2. (1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；
(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标．
一、解答题
1 1 .已知直线l 的参数方程为??
?=+=t
y t x 32 (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为12cos 2
=θρ
(1)求曲线C 的普通方程；(2)求直线l 被曲线C 截得的弦长.
高考试题汇编：坐标系与参数方程 1. x 4 cost x 8cos 已知曲线C1 : （t 为参数），C2 （为参数），y 3 sint y 3sin （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P 对应的参数为t ，Q为C2上的动点，求PQ 中 1 2 1 2 x 3 2t 点M 到直线C3 : x 3 2t（t 为参数）距离的最小值. 3 y 2 t 解：（1）曲线C1的普通方程为（x 4）2（y 3）2 1，表示以点（ 4,3） 为圆心，半径r 1 的圆； 22 曲线C2的普通方程为x y 1，表示中心是坐标原点，焦点在x 轴2 64 9 上，长半轴长是8 ，短半轴长是3的椭圆； 2）点P的坐标为（ 4,4），设点Q的坐标为（8cos ,3sin ）， 8 58 5 5，当且仅当sin（） 1时，取最 小结：本题主要考查 1）参数方程与普通方程的互化； 2）动点到直线距离的最值问题；2
8 8 5 所以点 M 的坐标为 2 4cos ,2 32sin ， 直线 C 3的普通方程为 x 2y 7 0， 所以点 M 到直线 C 3 的距离为 d 2 4cos 4 3sin 7 5 13 5sin 5 小值 8 5 . 5
x 1 tcos x cos 已知直线 C 1: （ t 为参数），圆C 2 : （ 为参数）， y tsin y sin x cos 1）当 时，求 C 1和 C 2的交点坐 标； 2）过坐标原点 O 作 C 1的垂线，垂足为 A ,P 为OA 的中点.当 变化 时，求 P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线 . x 解：（1）当 时，则直线 C 1 : 31 y 1 1t 2 ， 3t ， 2 其普通方程为 3x y 3 0，圆 C 2的普通方程为 y 2 1， 联立得 x 2 3（x 1）2 1，解得 x 1 1 y 1 0 x 2 y 2 1 2 ， 3 2 1 所以 C 1和 C 2的交点坐标为 （1,0） ，（1, 2 23). 2）设垂足 A 点坐标为 1 tcos ,tsin ， 则 OA 1 tcos ,tsin ，直线 C 1 的方向向量为 （cos ,sin ) ， 所以 cos tcos 2 tsin 2 0 ，则 t cos ， 所以 A 点坐标为 1 cos 2 cos sin ，则 P 点坐标为 1 cos 2 sin2 ， 4,4 ， 所以 P 点轨迹的参数方程为 1 cos2 4 ( 为参数)， sin2 4 P 点轨迹的普通方程为 （x 14)2 2 1 y 16 ， 11 表示以 14,0 为圆心，半径为 14 4的圆.
专题九：坐标系与参数方程 1、平面直角坐标系中的伸缩变换 设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换?? ?>?='>?='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用 下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩 变换。 2、极坐标系的概念 在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 注： 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与 ),(θπρ+表示同一点。 如果规定0,02ρθπ>≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或ρ<0，π-＜θ≤π等． 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． 3、极坐标与直角坐标的互化 设是平面内任意一点，它的直角坐标是(,)x y ，极坐标是(,)ρθ，从图中可以得出： ) 0(ta ≠= x x y θ? ?? 图1
第7讲 极坐标与参数方程(教师版 ) 【基础知识】 一．平面直角坐标系中的伸缩变换：设点(,)P x y 在变换?：//,(0) ,(0) x x y y λλμμ?=>??=>??的作用下对应到点 ///(,)P x y ，则称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 二.极坐标知识点 1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴. ①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐 标系的四要素，缺一不可. 2.极坐标与直角坐标的互化： 三.参数方程知识点 1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点满足，该方程叫曲 线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 2．曲线的参数方程 （1）圆的参数方程可表示为. （2）椭圆的参数方程可表示为. （3）抛物线的参数方程可表示为. （4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）. 注意：t 的几何意义 3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致. 规律方法指导： 1.把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有： (,)P x y () () x f t y f t =?? =?2 2 2 )()(r b y a x =-+-)(.sin , cos 为参数θθθ? ??+=+=r b y r a x 122 22=+b y a x )0(>>b a )(. sin ,cos 为参数??????==b y a x px y 22 =)(.2, 22为参数t pt y pt x ? ? ?==),(o o O y x M αl ? ? ?+=+=.sin , cos o o ααt y y t x x t y x , ) 0(n t , sin , cos , 222≠===+=x x y a y x y x θθρθρρ
【高中数学】数学《坐标系与参数方程》复习知识要点 一、13 1．若点P 的直角坐标为() 1,3-，则它的极坐标可以是（ ） A ．52, 3 π?? ?? ? B ．42, 3 π?? ?? ? C ．72, 6 π?? ?? ? D ．112, 6π?? ?? ? 【答案】A 【解析】 【分析】 设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，计算出ρ和tan θ的值，结合点P 所在的象限求出θ的值，可得出点P 的极坐标. 【详解】 设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，则() 2 2132ρ=+-=，3 tan 31 θ-= =-. 由于点P 位于第四象限，所以，53πθ=，因此，点P 的极坐标可以是52,3 π?? ??? ，故选：A. 【点睛】 本题考查点的直角坐标化极坐标，要熟悉点的直角坐标与极坐标互化公式，同时还要结合点所在的象限得出极角的值，考查运算求解能力，属于中等题. 2．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2 x = C ．2202x y x +==或 D ．2y = 【答案】C 【解析】 由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C. 【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=?? =??+=? ，利用这个公式可以实现直角坐标 与极坐标的相互转化． 3．参数方程 （为参数）所表示的图象是
A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由，得，代入，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程中变量、的符号，从而确定曲线的形状。 【详解】 由题意知将代入，得， 解得，因为，所以.故选：D。 【点睛】 本题考查参数方程与普通方程之间的转化，参数方程化普通方程一般有以下几种消参方法：①加减消元法；②代入消元法；③平方消元法。消参时要注意参数本身的范围，从而得出相关变量的取值范围。 4．在同一直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后所得到的曲线A．B． C．D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由，得代入函数，化简可得出伸缩变换后所得曲线的解析 式。 【详解】 由伸缩变换得，代入，有， 即.所以变换后的曲线方程为.故选：C。
坐标系与参数方程 1、（2011天津）下列在曲线sin 2(cos sin x y θ θθθ =??=+?为参数） 上的点是（ ） A 、1 (,2)2- B 、31(,)42 C 、(2,3) D 、 (1,3) 2、(2011·安徽理，5)在极坐标系中点?? ? ??3,2π到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( ) A ．2 B. 4＋π 2 9 C. 1＋π2 9 D. 3 3、(2011·北京理，3)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A ．(1，π2) B ．(1，－π 2 ) C ．(1,0) D ．(1，π) 4、(2010·湖南卷)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程? ?? ?? x ＝－1－t y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是( ) A ．圆、直线 B ．直线、圆 C ． 圆、圆 D ．直线、直线 5、(2010·北京卷)极坐标方程为(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A ．两个圆 B ．两条直线 C ．一个圆和一条射线 D ．一条直线和一条射线 6．N3[2012·安徽卷] 在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝ π 6 (ρ∈R )的距离是________． 7．N3[2012·北京卷] 直线??? ?? x ＝2＋t ， y ＝－1－t (t 为参数)与曲线 ???? ? x ＝3cos α，y ＝3sin α (α为参数)的交点个数为________． 8．N3[2012·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为?? ? x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和 ?? ? x ＝2cos θ，y ＝2sin θ (θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． 9．N3[2012·湖南卷] 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：????? x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：? ?? ?? x ＝a sin θ， y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点 在x 轴上，则a ＝________. 10．N3[2012·湖北卷]在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立坐标系．已知射线θ＝π 4与曲线? ???? x ＝t ＋1，y ＝t －12 (t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________． 11、(2012·高考广东卷)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为???x ＝5cos θ y ＝5sin θ ? ????θ为参数，0≤θ≤π2和 ? ????x ＝1－2 2t y ＝－2 2 t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为__________． 12.【广东省珠海市2012年9月高三摸底考试】在极坐标系中，圆 2cos ρθ=的圆心到直线cos 2ρθ=的距离是_____________. 13、(2011·陕西理，15)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1： ? ???? x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ(θ 为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________． 14、 N3 [2012·陕西卷]直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________． 15、(2012·高考湖南卷)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2·cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝__________． 17．(2011·天津理，11)已知抛物线C 的参数方程为? ?? ?? x ＝8t 2 ， y ＝8t ，(t 为 参数)，若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2 ＋y 2 ＝ r 2(r >0)相切，则r ＝________. 18．(2011·广东理)已知两曲线参数方程分别为?? ? x ＝5cos θ y ＝sin θ (0≤θ<π)和????? x ＝54 t 2 y ＝t (t ∈R )，它们的交点坐标为________． 19、【福建省华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校 2013届高三上学期第一次联考】 已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t =-???=??， （t 为参数）， 在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点， 以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为2 4s 30co ρρθ-+=. ①求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程； ②设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的取值范围. 20、(2012·高考课标全国卷) 已知曲线C 1的参数方程是? ????x ＝2cos φ， y ＝3sin φ，(φ为参数)，以坐标原点为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2， 正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π 3 )． (Ⅰ) 求点A 、B 、C 、D 的直角坐标； (Ⅱ) 设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2 的取值范围．
极坐标系与参数方程 ?知识梳理 、极坐标 在象限确定. 二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程 （1） 圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是 _____ ； （2） ______________________________________________________________ 圆心在极轴上的点（a,0）处，且过极点0的圆的极坐标方程是 _________________________ （3）圆心在点（a,处且过极点的圆0的极坐标方程是 ___________ 。 2、直线的极坐标方程 （1） 过极点且倾斜角为 的直线的极坐标方程是 __________ ； （2） _______________________________________________________ 过点（a,0），且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ___________________________________ 三、常见曲线的参数方程 1、极坐标定义：M 是平面上一点, 表示0M 的长度, 是MOx ，则有序实数实数对 （,）,叫极径，叫极角；一般地, 2、极坐标和直角坐标互化公式: COS 2 2 x 2 y sin 或 t tan y （x 0） 的象限由点（x, y ）所 [0,2 ）， 0 x y
第一节 平面直角坐标系中的伸缩、平移变换 知识点】 点P(x,y)的对应点为P'(x',y')。称 为平面直角坐标系中的伸缩变换 定义 2： 在平面内，将图形 F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为 图形F 的平移。若以向量a 表示移动的方向和长度，我们也称图形 F 按向量a 平移. F 上任意一点P 的坐标为(x, y)，向量a (h, k)，平移后 因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在 平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。 【典例1】(2014年高考辽宁卷(文))将圆x 2 + /= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐 标变为原来的 2 倍，得曲线 C. (I) 写出 C 的参数方程； (II )设直线1: 2x + y - 2二0与C 的交点为P i ，P 2,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，求过线段 P i P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程. 练习: 定义 1：设 P(x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 x' x( y' y( 00) )的作用下， 在平面直角坐标系中，设图形 的对应点为P(x, y )则有: 即有: x x h ， y y k 在平面直角坐标系中，由 (x,y) (h,k) (x,y) xh x h 所确定的变换是一个平移变换。 yk
专题1 极坐标与参数方程 【基本方法】 1．两大坐标系：直角坐标系(普通方程、参数方程)；极坐标系(极坐标方程)； 2．基本转化公式： cos sin x y ρθ ρθ = ? ? = ? ， 222 (0) tan x y x y x ρ θ ?=+ ? ≠ ? = ?? ； 3．参数方程： () () x f t y g t = ? ? = ? ，消去参数t得关于,x y的普通方程，引入参数t得参数方程； 4．直线的参数方程0 0cos sin x x t y y t αα =+ ? ? =+ ? (t为参数)，注意参数t的几何意义；5．用转化法解决第(1)问，用图形法解决第(2)问. 【三年真题】 1．(2017全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos, sin, x y θ θ = ? ? = ? (θ为参数)，直线l的 参数方程为 4, 1, x a t t y t =+ ? ? =- ? （为参数）. (1)若1 a=-，求C与l的交点坐标； (2)若C上的点到l a. 2．(2016全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 cos 1sin x a t y a t = ? ? =+ ? (t为参数， a>).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ. (I)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； (II)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
3．(2015全国I)在直角坐标系xOy 中，直线1C : x =-2，圆2C ：()()22 121x y -+-=，以 坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求1C ，2C 的极坐标方程； (II)若直线3C 的极坐标方程为()4 θρπ =∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积. 【自主研究】 4．(2016届佛山二模)已知曲线C 的极坐标方程为4sin()3 ρθπ =-，以极点为原点， 极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系xOy ． (I)求曲线C 的直角坐标方程； (II)若点P 在曲线C 上，点Q 的直角坐标是(cos ,sin )?? (其中)?∈R ，求PQ 的最大值． 5．(2016届河南八市质检)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为333x y θ θ ???=??＝cos sin (θ为参 数)，以原点O 为起点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P 的极坐标为(2，－3 π )， 直线l 的极坐标方程为ρcos(3 π ＋θ)＝6． (Ⅰ)求点P 到直线l 的距离； (Ⅱ)设点Q 在曲线C 上，求点Q 到直线l 的距离的最大值． 6．(2016年全国卷II )在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2 2 (6)25x y ++=． (Ⅰ)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (Ⅱ)直线l 的参数方程是cos sin x t y t α α=??=? (t 为参数)， l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的 斜率．
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos=
∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．
坐标系与参数方程选做专题（2015-10-14） 命题：靳建芳 1．在直角坐标系x y O 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知 曲线1C :452x t y t =+??=+?（t 为参数），曲线2C :26cos 10sin 90ρρθρθ--+=． （Ⅰ）将曲线1C 化成普通方程，将曲线2C 化成参数方程； （Ⅱ）判断曲线1C 和曲线2C 的位置关系． 2．曲线1C 的参数方程为)(sin 22cos 2为参数αα α ???+==y x ，M 是曲线1C 上的动点，且M 是线段OP 的中点，P 点的轨迹为曲线2C ，直线l 的极坐标方程为sin()4π ρθ+=直线l 与曲线2 C 交于A ，B 两点。 （Ⅰ）求曲线2C 的普通方程； （Ⅱ）求线段AB 的长。 3．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 2(1 cos 2 x y α αα=+???=??为参数），在极坐标系中,曲线2 C 的极坐标方程为sin()4 πρθ-= （1）求曲线2C 的普通方程； （2）设1C 与2C 相交于,A B 两点，求AB 的长． 4．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C 1的极坐标方程为θ ρ2 2sin 12 += ，直线l 的极坐标方程为θ θρcos sin 24+=。
（Ⅰ）写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值。 5．在直角坐标版权法xOy 吕，直线l 的参数方程为132(32 x t t y t ?=+?? ??=??为参数） ，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 的极坐标方程为23sin ρθ=. （Ⅰ）写出的直角坐标方程； （Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标. 6．在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()2 2 121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4 R π θρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN ?的 面积. 7．已知直线l ：3 5132x y t ?=????=??（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程； （2）设点M 的直角坐标为3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA|?|MB|的值． 8.在极坐标系中曲线C 的极坐标方程为2sin cos 0ρθθ-=，点(1,)2 M π ．以极点O 为原点，
极坐标与参数方程（近年高考题和各种类型总结） 一、最近6年极坐标与参数方程题型归纳 （2016）【极坐标方程求长度】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y . （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，AB = 求l 的斜率. (2015）【极坐标方程求长度】 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos , :sin , x t C y t αα=?? =? （t 为参数,且0t ≠ ）, 其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 23:2sin ,:. C C ρθρθ== （I ）求 2C 与3C 交点的直角坐标； （II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3 C 相交于点B ,求AB 最大值. （2014）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程 为2cos ρθ=， 0,2πθ??∈???? . （Ⅰ）求C 的参数方程； （Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确 定D 的坐标. （2013）【轨迹问题】已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =?? =?(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程； (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． （2012）【参数坐标求最值、范围】已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数?? ? ?? ?==，以坐标 原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系， 曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为 (2,)3 π （1）求点,,,A B C D 的直角坐标； （2）设P 为1 C 上任意一点，求 2222 PA PB PC PD +++的取值范围。
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A 组] 一、选择题 1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+??=-? 为参数，则直线的斜率为（ ） A ． 23 B ．2 3- C ．32 D ．32 - 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ θθθ=??=+? 为参数上的点是（ ） A ．1(,2 B ．31 (,)42 - C ． D ． 3．将参数方程2 2 2sin ()sin x y θ θθ ?=+??=??为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2 01y y +==2 x 或 B ．1x = C ．2 01y +==2 x 或x D ．1y = 5．点M 的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2, )3π B ．(2,)3π- C ．2(2,)3π D ．(2,2),()3 k k Z π π+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ） A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 二、填空题 1．直线34()45x t t y t =+?? =-?为参数的斜率为______________________。 2．参数方程()2() t t t t x e e t y e e --?=+??=-??为参数的普通方程为__________________。 3．已知直线113:()24x t l t y t =+?? =-?为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，
坐标系与参数方程高考解答题专题 1、（2018江苏）在极坐标系中，直线l 的方程为π sin()26 ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=， 求直线l 被曲线C 截得的弦长． 2、（2018全国新课标Ⅰ文、理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为 22cos 30ρρθ+-=． （1）求2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程． 3、（2018全国新课标Ⅲ文、理）[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos , sin x y θθ=?? =? （θ为参数）， 过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围； （2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 4、(2017江苏) 在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82 t t y =-+?? ?=??(t 为参数),曲线C 的参数方程为2 2, x s y ?=??=?? (s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的 最小值. 5、（2017全国新课标Ⅰ文、理）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos , sin ,x y θθ=??=?（θ 为参数），直线l 的参数方程为4, 1,x a t t y t =+??=-? （为参数）． （1）若1-=a ，求C 与l 的交点坐标； （2）若C 上的点到l a ．
6、（2017全国新课标Ⅱ文、理） 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=. （1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为π(2,)3 ，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值. 7、（2017全国新课标Ⅲ文、理）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为, ,x t y kt =2+?? =? （t 为参 数），直线l 2的参数方程为, ,x m m y k =-2+?? ?=?? （m 为参数），设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程： （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 设:(cos sin )l ρθθ3+-=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径． 8、（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为112x t y ?=+?? ??=?? （t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos , 2sin x y θθ=??=? （θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于 A ， B 两点，求线段AB 的长. 9、（2016全国Ⅰ文、理）在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t y a t =??=+? （t 为 参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （1）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程； （2）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．
Ⅰ复习提问 1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？ 答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立： ρθρ θy sin x cos = = 3、 参数方程{ cos sin x r y r θθ ==表示什么曲线？ 4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？ 5、 极坐标系的定义是什么？ 答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ. ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就 确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？
Ⅱ 题型与方法归纳 1、 题型与考点（1） { 极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化 （2） { 参数方程与普通方程互化 参数方程与直角坐标方程互化 (3) { 利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程 (),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向 线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程2222 t t t t x t y --?=-? ?=+??（为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()() 2 2 2222224t t t t x y ---=--+=-， 即有22 4y x -=，又注意到 202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为 2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B
极坐标与参数方程（全国卷高考题） 1、（2011）坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 2cos 22sin x y αα =?? =+?（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u u v ,P 点的轨迹为曲 线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程 (Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 π θ=与C 1的异于 极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 解：（I ）设P(x,y),则由条件知M( 2 ,2Y X ).由于M 点在C 1上，所以 ??? ???????????+=?=sin 222,cos 22y x 即 ? ?? ????+=?=sin 44cos 4y x 从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y α α =??=+?（α为参数） （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=。 射线3 π θ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3 π ρ=， 射线3 π θ= 与2C 的交点B 的极径为28sin 3 π ρ=。 所以21||||AB ρρ-== 2、（2012）已知曲线C 1的参数方程是??? x ＝2cos φ y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的 顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π 3) (Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标； (Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。 【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2, )3636 ππππ
高中数学选修4-4经典综合试题（含详细答案） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．曲线与坐标轴的交点是（）． A． B． C． D． 2．把方程化为以参数的参数方程是（）． A． B． C． D． 3．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）．A． B． C． D． 4．点在圆的（）． A．内部B．外部C．圆上D．与θ的值有关 5．参数方程为表示的曲线是（）． A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线 6．两圆与的位置关系是（）． A．内切 B．外切 C．相离 D．内含 7．与参数方程为等价的普通方程为（）． A． B．
C． D． 8．曲线的长度是（）． A． B． C． D． 9．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为（）．A． B． C． D． 10．直线和圆交于两点， 则的中点坐标为（）． A． B． C． D． 11．若点在以点为焦点的抛物线上，则等于（）．A． B． C． D． 12．直线被圆所截得的弦长为（）． A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 13．参数方程的普通方程为__________________． 14．直线上与点的距离等于的点的坐标是_______．15．直线与圆相切，则_______________． 16．设，则圆的参数方程为____________________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离． 18．（本小题满分12分） 过点作倾斜角为的直线与曲线交于点， 求的值及相应的的值． 19．（本小题满分12分） 已知中，(为变数)， 求面积的最大值． 20．（本小题满分12分）已知直线经过点,倾斜角， （1）写出直线的参数方程． （2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积．21．（本小题满分12分） 分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程： （1）为参数，为常数；（2）为参数，为常数． 22．（本小题满分12分） 已知直线过定点与圆：相交于、两点．求：（1）若，求直线的方程； （2）若点为弦的中点，求弦的方程． 答案与解析：
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面 直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作. 一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数. 特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点直角坐标极坐标 互化公 在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程
注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程. 二、参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的那么,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,并且对于的每一个允许值,函数①． 方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致. 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3．圆的参数 如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周