高考数学140分必读之把关题解析10讲（10）
【浙江·文】19．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)假设点P 为l 上的动点，求∠F 1PF 2最大值．
此题要紧考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹
角等基础知识，考查解析几何的差不多思想方法和综合解
题能力。总分值14分。
解：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，半焦距为c ，那么
()
2
1112
22222
,2242,3,1
1.43
a MA a A F a c c
a a a c c a a
b
c a b c x y =-=-?-=-???=??=+???
∴===+=由题意,得 故椭圆方程为 (Ⅱ)()004,,0P y y -≠设
0011221211002112212000012121235
0,
22215tan .1152151515tan 15arctan
.y y PF k PF k F PF PF M F PF y y k k F PF k k y y y y F PF F PF F PF π=-=-<∠<∠<
∴∠-∴∠==≤=++=±∠∠∠设直线的斜率,直线的斜率 为锐角。 当，即=时，取到最大值，此时最大，故的最大值为
【浙江·文】20．函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()22f x x x =+． (Ⅰ)求函数()g x 的解析式；
(Ⅱ)解不等式()()1g x f x x ≥--；
(Ⅲ)假设()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范畴．
此题要紧考查函数图象的对称、二次函数的差不多性质与不等式的应用等基础知识，以及
综合运用所学知识分析和解决咨询题的能力。总分值14分。
解：(Ⅰ)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，那么
00000,,2.
0,2
x x x x y y y y +?=?=-????+=-??=??即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上
∴()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故
(Ⅱ)由()()21210g x f x x x x ≥----≤， 可得
当1x ≥时，2210x x -+≤，现在不等式无解。
当1x <时，2210x x +-≤，解得112x -≤≤
。 因此，原不等式的解集为11,2??-????
。 〔Ⅲ〕()()()21211h x x x λλ=-++-+
①()[]1411,1h x x λ=-=+-当时，在上是增函数，
1λ∴=- ②11.1x λλλ
-≠-=+当时，对称轴的方程为 ⅰ〕111, 1.1λλλλ
-<-≤-<-+当时,解得 ⅱ〕111,10.1λλλλ
->-≥--<≤+当时,解得 0.λ≤综上，
【上海·理】21．(此题总分值16分)此题共有3个小题,第1小题总分值4分, 第2小题总分值6分, 第3小题总分值6分.
对定义域分不是D f 、D g 的函数y=f(x) 、y=g(x),
f(x)·g(x) 当x ∈D f 且x ∈D g
规定: 函数h(x)= f(x) 当x ∈D f 且x ?D g
g(x) 当x ?D f 且x ∈D g
(1) 假设函数f(x)=1
1-x ,g(x)=x 2,x ∈R,写出函数h(x)的解析式; (2) 求咨询题(1)中函数h(x)的值域;
(3)假设g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R 的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.
[解] (1)h(x)= 1
2
-x x x ∈(-∞,1)∪(1,+∞) 1 x=1
(2) 当x≠1时, h(x)= 12-x x =x-1+1
1-x +2, 假设x>1时, 那么h(x)≥4,其中等号当x=2时成立
假设x<1时, 那么h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立
∴函数h(x)的值域是(-∞,0] {1}∪[4,+∞)
(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=
4
π 那么g(x)=f(x+α)= sin2(x+4π)+cos2(x+4π)=cos2x-sin2x, 因此h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x -sin2x)=cos4x.
另解令f(x)=1+2sin2x, α=2
π, g (x)=f(x+α)= 1+2sin2(x+π)=1-2sin2x,
因此h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+2sin2x)( 1-2sin2x)=cos4x.
【上海·理】22．(此题总分值18分)此题共有3个小题,第1小题总分值4分, 第2小
题总分值8分, 第3小题总分值6分.
在直角坐标平面中,点P 1(1,2),P 2(2,22),┄,P n (n,2n ),其中n 是正整数.对平面上任一点A 0,记
A 1为A 0关于点P 1的对称点, A 2为A 1关于点P 2的对称点, ┄, A N 为A N-1关于点P N 的对称点.
(1)求向量20A A 的坐标;
(2)当点A 0在曲线C 上移动时, 点A 2的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期
的周期函数,且当x ∈(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C 为图象的函数在(1,4]上的解析式;
(3)对任意偶数n,用n 表示向量n A A 0的坐标.
[解](1)设点A 0(x,y), A 0为P 1关于点的对称点A 0的坐标为(2-x,4-y),
A 1为P 2关于点的对称点A 2的坐标为(2+x,4+y),
∴20A A ={2,4}.
(2) ∵20A A ={2,4},
∴f(x)的图象由曲线C 向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.
因此, 曲线C 是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x ∈(-2,1]时,g(x)=lg(x+2)-4.因此,当x ∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.
另解设点A 0(x,y), A 2(x 2,y 2),因此x 2-x=2,y 2-y=4, 假设3< x 2≤6,那么0< x 2-3≤3,因此f(x 2)=f(x 2-3)=lg(x 2-3). 当1< x≤4时, 那么3< x 2≤6,y+4=lg(x -1). ∴当x ∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4. (3)n A A 0 =n n A A A A A A 24220-+++ , 由于k k k k P P A A 2122222--=,得 n A A 0 =2(n n P P P P P P 14321-+++ ) =2({1,2}+{1,23}+┄+{1,2n-1}) =2{2
n ,3)12(2-n }={n,3)12(4-n }
高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值
1.(2018 年新课标Ⅲ理)已知集合 A ＝{x |x －1≥0},B ＝{0,1,2},则 A ∩B ＝( ) A .{0} B .{1} C .{1,2} D .{0,1,2} C 【解析】A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1},则 A ∩B ＝{x |x ≥1}∩{0,1,2}＝{1,2}. 2.(2018 年新课标Ⅲ理)(1＋i)(2－i)＝( ) A .－3－i B .－3＋i C .3－i D .3＋i D 【解析】(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i ＝ 3＋i . 3.(2018 年新课标Ⅲ理)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来 .构件的凸出部分叫榫头 ,凹 进部分叫卯眼 ,图中木构件右边的小长方体是榫头 .若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木 构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) A B C D A 【解析】由题意可知木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,小的长方体是榫头,从 图形看出轮廓是长方形,内含一个长方形,且一条边重合,另外 3 边是虚线.故选 A . 1 4.(2018 年新课标Ⅲ理)若 sin α＝ ,则 cos 2α＝( ) 8 7 7 A . B . C .－ 9 9 9 1 7 B 【解析】cos 2α＝1－2sin α＝1－2× ＝ . 2 5.(2018 年新课标Ⅲ理) x ＋ 的展开式中 x 的系数为( ) A .10 B .20 C .40 8 D .－ 9 D .80 2 3 2 9 9 2 5 4 x
2 2 C 【解析】 x ＋ 的展开式的通项为 T ＝C (x ) ＝2 C x r +1 5 5 .由 10－3r ＝4,解得 r 2 ＝2.∴ x ＋ 的展开式中 x 的系数为 2 C ＝40. 5 6.(2018 年新课标Ⅲ理)直线 x ＋y ＋2＝0 分别与 x 轴,y 轴交于 A ,B 两点,点 P 在圆(x －2) ＋ y ＝2 上, △则△ ABP 面积的取值范围是( ) A .[2,6] B .[4,8] C .[ 2,3 2] D .[2 2,3 2] A 【解析】易得 A (－2,0), B (0,－2),|AB |＝2 2.圆的圆心为(2,0),半径 r ＝ 2.圆心(2,0)到 直线 x ＋y ＋2＝0 的距离 d ＝ |2＋0＋2| ＝2 2,∴点 P 到直线 x ＋y ＋2＝0 的距离 h 的取值范围 1 ＋1 1 为[2 2－r ,2 2＋r ],即[ 2,3 2].又△ ABP 的面积 S ＝ |AB |·h ＝ 2h ,∴S 的取值范围是 [2,6]. 7.(2018 年新课标Ⅲ理)函数 y ＝－x ＋ x ＋2 的图象大致为( ) A B C D D 【解析】函数过定点(0,2),排除 A ,B ；函数的导数 y ′＝－4x ＋2x ＝－2x (2x －1),由 y ′＞0 解得 x ＜－ 2 2 或 0＜x ＜ ,此时函数单调递增,排除 C .故选 D . 2 2 8.(2018 年新课标Ⅲ理)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ,各成员的支付方式 相互独立.设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数,DX ＝2.4,P (X ＝4)＜P (X ＝6), 2 5 r 2 5 r r r r 10 3r － － x x 2 5 4 2 2 x 2 2 2 2 2 4 2 3 2
2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总 平面向量专题 （附详细答案解析） 一、选择题。 1.（2019全国Ⅰ文8）已知非零向量a ，b 满足 a =2 b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角 为 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6 【答案】B ． 【解析】因为()-⊥a b b ， 所以()22cos ,0-??-=?<>-=a b b =a b b a b a b b ， 所以2 2 cos ,2<>===?b b a b a b b 又因为0,]π[<>∈，a b ，所以π,3<>= a b ．故选B ． 2.（2019全国Ⅱ文3）已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |= A B ．2 C ． D ．50 【答案】A ． 【解析】因为(2,3)=a ，(3,2)=b ，所以-(1,1)=-a b ， 所以-==a b A. 3.（2018全国卷Ⅰ）在?ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344 AB AC + 【答案】A. 【解析】法一、通解 如图所示， CB AD DB ED EB 2121+= += ()()AC AB AC AB -++?=212121 3144 =-AB AC ．故选A ． C B
法二、优解 111()222=-=- =-?+EB AB AE AB AD AB AB AC 3144 =-AB AC ．故选A ． 4.（2018全国卷Ⅱ）已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】B. 【解析】2 (2)22(1)3?-=-?=--=a a b a a b ，故选B ． 5.（2018天津）在如图的平面图形中，已知1OM =，2ON =， 120MON ∠=，2BM MA =， 2C N N A =，则· BC OM 的值为 A ．15- B ．9- C ．6- D ．0 【答案】C. 【解析】由2BM MA =，可知||2||BM MA =，∴||3|| BA MA =． 由2CN NA =，可知||2||CN NA =，∴||3|| CA NA =，故||||3||||BA CA MA NA ==， 连接MN ，则BC MN ∥，且||3||BA MN =， ∴33()BC MN ON OM ==-， ∴2 3()3()BC OM ON OM OM ON OM OM ?=-?=?- 23(||||cos120||)6ON OM OM =-=-．故选C ． 6.（2018浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2 430-?+= b e b ，则||-a b 的最小值是 A 1 B 1 C ．2 D ．2 【答案】A. 【解析】解法一 设O 为坐标原点，OA =a ，(,)OB x y ==b ，=(1,0)e ， 由2430-?+=b e b 得22430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=， 所以点B 的轨迹是以(2,0)C 为圆心，l 为半径的圆． N M O C B A
2020年高考数学真题汇编答案及解析 (本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！) 一、选择题(每小题6分，共36分) 1．集合A＝{1,2，a}，B＝{2,3，a2}，C＝{1,2,3,4}，a∈R，则集合(A∩B)∩C不可能是( ) A．{2} B．{1,2} C．{2,3} D．{3} 【解析】若a＝－1，(A∩B)∩C＝{1,2}； 若a＝3，则(A∩B)∩C＝{2,3} 若a≠－1且a≠3，则(A∩B)∩C＝{2}，故选D. 【答案】 D 2．(2020全国卷Ⅰ)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合?U(A∩B)中的元素共有( ) A．3个B．4个 C．5个D．6个 【解析】A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，?U(A∩B)＝{3,5,8}，故选A. 【答案】 A 3．(2020年广东卷)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如右图
所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( ) A．3个B．2个 C．1个D．无穷多个 【解析】M＝{x|－1≤x≤3}，M∩N＝{1,3}，有2个． 【答案】 B 4．给出以下集合： ①M＝{x|x2＋2x＋a＝0，a∈R}； ②N＝{x|－x2＋x－2＞0}； ③P＝{x|y＝lg(－x)}∩{y|y＝lg(－x)}； ④Q＝{y|y＝x2}∩{y|y＝x－4}， 其中一定是空集的有( ) A．0个B．1个 C．2个D．3个 【解析】在集合M中，当Δ＝4－4a≥0时，方程有解，集合不是空集；而Q＝{y|y＝x2}∩{y|y＝x－4}＝{y|y≥0}∩{y|y∈R}＝{y|y≥0}，所以不是空集；在P中，P＝{x|y＝lg(－x)}∩{y|y＝lg(－x)}＝{x|x＜0}∩R＝{x|x＜0}，不是空集；在N中，由于不等式－x2＋x－2＞0?x2－x＋2＜0，Δ＝－7＜0，故无解，因此，只有1个一定是空集，所以选B. 【答案】 B 5．如右图所示
卓越联盟2020-2021学年新高考省份高三年级9月份检测数 学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若全集{}1,2,3,4U =，{}1,2M =，{}2,3N =，则 ()()U U M N ?=（ ） A ．{}4 B ．{}1,2,3 C ．{}2 D ．{}1,3,4 2．已知i 为虚数单位，若 ()12i a R a i +∈+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．2- C ．12 D ．12- 3．将函数2sin 23y x π? ?=- ??? 图象上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，则所得函数图象的解析式为（ ） A ．22sin 43y x π? ?=- ??? B ．2sin 43y x π? ?=- ??? C ．2sin 6y x π? ?=- ??? D ．2sin 3y x π? ?=- ??? 4．已知点()0,3A ，()3,2B ，向量()6,2m =-，则向量AB 与m （ ） A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向 5．若()f x 是偶函数且在[)0,+∞上为增函数，又()21f -=，则不等式()11f x -<的解集为（ ） A ．{}13x x -<< B ．{1x x <-或}3x > C ．{1x x <-或}03x << D ．{ 1x x >或}30x -<< 6．股票价格上涨10%称为“涨停”，下跌10%称为“跌停”．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，这只股票先经历了3次跌停，又经历了3次涨停，则该股民在这只股票上的盈亏情况（不考虑其他费用）为（ ） A ．略有盈利 B ．略有亏损 C ．没有盈利也没有亏损 D ．无法判断盈亏情况 7．已知()30A -,，B 是圆()2241x y +-=上的点，点P 在双曲线22145 x y -=的右支上，
一．选填题（每题5分） 1. （2017年，第6题）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ） 2. （2017年，第16题）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。 3. （2016年，第7题）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 3 28π ，则它的表面积是 （ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 4.（2016年，第11题）平面过正文体ABCD —A1B1C1D1的顶点A,，，则m ，n 所成角的正弦值为 （ ） （A ）（B ）（C ）（D ） 5.（2015年，第6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问 题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 斛 斛 斛 斛 6.（2015年，第11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r = （A ）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 7.（2014年，第8题）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学 专题03函数 1.(2019?天津?理T8)已知a ∈R,设函数f(x)={x 2-2ax +2a ,x ≤1, x -alnx ,x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立, 则a 的取值范围为( ) A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e] 【答案】C 【解析】(1)当a ≤1时,二次函数的对称轴为x=a.需a 2 -2a 2 +2a ≥0.a 2 -2a ≤0.∴0≤a ≤2. 而f(x)=x-aln x,f'(x)=1-a x = x -a x >0 此时要使f(x)=x-aln x 在(1,+∞)上单调递增,需1-aln 1>0.显然成立. 可知0≤a ≤1. (2)当a>1时,x=a>1,1-2a+2a ≥0,显然成立. 此时f'(x)= x -a x ,当x ∈(1,a),f'(x)<0,单调递减,当x ∈(a,+∞),f'(x)>0,单调递增. 需f(a)=a-aln a ≥0,ln a ≤1,a ≤e,可知11. 若关于x 的方程f(x)=-1 4x+a(a ∈R)恰有两个互异的实 数解,则a 的取值范围为( ) A.54,9 4 B. 54,94 C. 54,9 4 ∪{1} D.54, 94 ∪{1} 【答案】D 【解析】当直线过点A(1,1)时,有1=-14+a,得a=5 4. 当直线过点B(1,2)时,有2=-14+a,a=9 4. 故当54≤a≤9 4时,有两个相异点. 当x>1时,f'(x 0)=-1x 0 2=-1 4,x 0=2. 此时切点为2,1 2,此时a=1.故选D.
绝密★启用前 2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 参考公式： 样本数据12 ,,,n x x x L 的方差2 2 1111(),n n i i i i s x x x x n n ===-=∑∑其中 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置 上. 1.若复数 12429,69z i z i =+=+，其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为★. 【答案】20- 【解析】略 2.已知向量a 和向量b 的夹角为30o ，||2,||==a b ，则向量a 和向量b 的数量积 =g a b ★ . 【答案】3 【解析】232=?=g a b 。 3.函数 32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 ★ . 【答案】 (1,11)- 【解析】 2 ()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由 (11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。
4.函数 sin()(,,y A x A ω?ω?=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如 图所示，则ω= ★ . 【答案】3 【解析】3 2T π =， 23T π =，所以3ω=， 5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机 抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ★ . 【答案】0.2 【解析】略 6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为 2s = ★ . 【答案】2 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】略 7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ★ . 【答案】22 【解析】略 8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ★ . 【答案】1：8 【解析】略 9.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线 3 :103C y x x =-+上， 且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ★ . 【答案】 (2,15)- w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】略 10.已知 51 2a -= ，函数()x f x a =，若实数,m n 满足()()f m f n >，则,m n 的大 小关系为 ★ . 【答案】m n < 0S ← 结束
2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的、准考证填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 2．设z =–3+2i ，则在复平面z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知AB u u u r =(2,3)，AC u u u r =(3，t )，||BC uuu r =1，则AB BC u u u r u u u r = A ．–3 B ．–2 C ．2 D ．3 4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据
2007-2017高考全国卷线性归划问题总结 2011年： （13）若变量,x y 满足约束条件329,69, x y x y ≤+≤?? ≤-≤?则2z x y =+的最小值为 . 2012年： (14) 设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥??-≥-??+≤? ；则2z x y =-的取值范围为_________. 2013年： 9．已知0a >，,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥??+≤??≥-? ，若2z x y =+的最小值为1，则a = （A ）14 （B ） 12 （C ）1 （D ）2 2014年： 9.不等式组124 x y x y +≥??-≤?的解集记为D .有下面四个命题： 1p ：(,),22x y D x y ?∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ?∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ?∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ?∈+≤-. 其中真命题是 A .2p ，3P B .1p ，4p C .1p ，2p D .1p ，3P 2015年： （15）若x ,y 满足约束条件10040x x y x y -≥??-≤??+-≤?，则y x 的最大值为 . 2016年： （16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元．
绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是． 4．（5分）函数y＝的定义域是． 5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是． 6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是． 7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是． 8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是． 9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD 的体积是．
10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是． 11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是． 12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若?＝6?，则的值是． 13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是． 14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝ 其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值； （2）若＝，求sin（B+）的值． 16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1； （2）BE⊥C1E．
2010年高考试题数学试题（文史类）-福建卷 第I卷（选择题共60分） 1.若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}，则A∩B等于 A {x | 2＜x≤3} B {x | x≥1} C {x | 2≤x＜3} D {x | x＞2} 2.计算1－2sin222.5°的结果等于 A.1/2 B. /2 C/3 D/2 3.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其侧面积 ．．．等于 A. B.2 C.2 D.6 4.i是虚数单位，（（1+i）/(1-i)）4等于 A.i B.-i C.1 D.-1 5.若x，y∈R，且，则z=x+2y的最小值等于 A.2 B.3 C.5 D.9 6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于 A.2 B.3 C.4 D.5 7.函数f（x）= 的零点个数为 A.2 B.2 C.1 D.0 8.若向量a=（x，3）（x∈R），则“x=4”是“| a |=5”的 A.充分而不必要 B.必要而不充分 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是 A.91.5和91.5 B.91.5和92 C 91和91.5 D.92和92
10.将函数f（x）=sin（ωx+φ）的图像向左平移π/2个单位，若所得图像与原图像重合，则ω的值不可能 ．．．等于 A.4 B.6 C.8 D.12 11.若点O和点F分别为椭圆x2/4 +y2/3 =1的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为 A.2 B.3 C.6 D.8 12.设非空集合S=={x | m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S . 给出如下三个命题： ①若m=1，则S={1}；②若m=－1/2 ，则1/4 ≤ l ≤ 1；③l=1/2，则－/2≤m≤0 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡的相应位置. 13.若双曲线x2 / 4－y2 / b2=1 (b＞0) 的渐近线方程为y=±1/2 x ，则b等于. 14.将容量为n的样本中的数据分成6组. 绘制频率分步直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频率之和等于27，则n等于. 15. 对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包涵Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）： 其中为凸集的是（写出所有凸集相应图形的序号）. 16.观察下列等式： ①cos2α=2 cos2α－1； ②cos 4α=8 cos4α－8 cos2α+1； ③cos 6α=32 cos6 α－48 cos4α＋18 cos2α－1； ④cos 8α= 128 cos8α－256cos6 α＋160 cos4α－32 cos2α＋1；
4.考试结束后，将本试题和答题卡 并交 绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A 2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷） 数学 注意事项: 1 .本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。第I 卷1至3页，第II 卷 3至5页。 2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 一、填空题（本大题共有14题，满分48分.）考生应在答题纸相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格埃对4分，否则一律得零分. 1. (4 分)(2015-)设全集 U = R.若集合 A ={1, 2, 3, 4}, B ={x|2WxW3}, 则 A nCuB=. 2. （4分）（20159若复数Z 满足3z+三二1 + i,其中i 是虚数单位，则Z= 2 3 cA 『炉3 3. （4分）（2015）若线性方程组的增广矩阵为 解为 ，则G- 0 1 c 2 （ y=5 x. J J C2=? 4. （4分）（2015）若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16店，则 a=? 5. （4分）（20159抛物线y 2=2px （p>0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1, 则 p=. 6. （4分）（2015）若圆锥的侧面积与过轴的裁面面积之比为2n ,则其母线与轴 的夹角的大小为. 7. (4 分)(2015)方程 log 2 (9x-1-5) =log 2 (3x-1-2) +2 的解为 8. （4分）（2015）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献
血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）. 9. （20159已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q 的轨迹分别为双曲线G和C2.若G的渐近线方程为y二±、/^x,则C2的渐近线方程为. 10. （4 分）（2015）设 L （x）为千（x）=x e [0, 2]的反函数，贝"y=f 2 （x） +" （x）的最大值为. 11. （4分）（2015）在（l+x+弟岸）”的展开式中，x，项的系数为________ （结 2015 X 果用数值表示）. 12. （4分）（2015）赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1, 2, 3, 4, 5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量八和& 2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则E&L E&2=（元）. 13. （4分）（2015）已知函数千（x）=sinx.若存在x- x2,…，乂…,满足0Wx〔V X2
2017年普通高等学校招生全国统一考试（卷） 数学I 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2017年，1，5分】已知集合}2{1A =，，23{},B a a =+．若{}1A B =I ，则实数a 的值为_______． 【答案】1 【解析】∵集合}2{1A =，，23{},B a a =+．{}1A B =I ，∴1a =或231a +=，解得1a =． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用． （2）【2017年，2，5分】已知复数()()1i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z 的模是_______． 【答案】10 【解析】复数()()1i 12i 123i 13i z =-+=-+=-+，∴() 2 21310z = -+=． 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （3）【2017年，3，5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_______件． 【答案】18 【解析】产品总数为2004003001001000+++=件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为606 1000100 = ，则应从丙 种型号的产品中抽取6 30018100 ?=件． 【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例， 即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取． （4）【2017年，4，5分】如图是一个算法流程图：若输入x 的值为1 16 ，则输出y 的值是_______． 【答案】2- 【解析】初始值116 x =，不满足1x ≥，所以41 216 222log 2log 2y =+=-=-． 【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于 基础题． （5）【2017年，5，5分】若1tan 46πα? ?-= ?? ?．则tan α=_______． 【答案】7 5 【解析】tan tan tan 114tan 4tan 161tan tan 4 π απααπαα--??-= == ?+? ?+Q ，∴6tan 6tan 1αα-=+，解得7tan 5α=． 【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题． （6）【2017年，6，5分】如如图，在圆柱12O O 有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相 切。记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12 V V 的值是________． 【答案】3 2 【解析】设球的半径为R ，则球的体积为：3 43 R π，圆柱的体积为：2322R R R ππ?=．则313223423 V R R V ππ==． 【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． （7）【2017年，7，5分】记函数2()6f x x x =+- 的定义域为D ．在区间[45]-，上随机取一个数x ，则x ∈D
1９90年高考试题 (理工农医类) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内. 【】 【】 （3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于 【】 (４)方程sin2x=siｎx在区间(０,2π)内的解的个数是 (A)1?(Ｂ）２?(C)3?（D)４【】 (５)【】 ? 【】 (A){-2,4}?（Ｂ）{-２,0,４｝ （C)｛-2,0,２,4}?(D){-４,-２,0,４}? (7)如果直线y=ax+2与直线y=３x－b关于直线y＝ｘ对称，那么【】
(Ｃ)a=3，b=－2?(D)a=3,b=6 【】 (A)圆???(Ｂ）椭圆 （Ｃ)双曲线的一支?(D）抛物线 【】 ?(B)｛（2，3)} (C）(2，３）(D){(ｘ,y)│ｙ＝x＋１}? 【】 ? (11)如图,正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、 F分别为SＣ、AＢ的中点,那么异面直线EF与SＡ所成的角 等于【】 (Ａ)90°(B)６0°?(Ｃ)4５°?（D）３0°? (１2)已知h>０.设命题甲为:两个实数ａ,ｂ满足│a-b│<2 ｈ;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│ 导数 一．基础题组 1. 【2010新课标，理3】曲线y ＝ 在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2 【答案】A 2. 【2008全国1，理6】若函数的图像与函数的图像关于直线 对称，则（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B. 【解析】由. 3. 【2012全国，理21】已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1 －f (0)x ＋ x 2 ． (1)求f (x )的解析式及单调区间； (2)若f (x )≥ x 2 ＋ax ＋b ，求(a ＋1)b 的最大值． 【解析】(1)由已知得f ′(x )＝f ′(1)e x －1 －f (0)＋x . 所以f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1. 又f (0)＝f ′(1)e －1 ，所以f ′(1)＝e. 从而f (x )＝e x －x ＋ x 2 . 2 x + x (1)y f x = -1y =y x =()f x =21 x e -2x e 21 x e +22 x e +() ()()()212121,1,y x x y x e f x e f x e --=?=-==12 12 12 由于f ′(x )＝e x －1＋x ， 故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0. 从而，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)由已知条件得e x －(a ＋1)x ≥b .① (ⅰ)若a ＋1＜0，则对任意常数b ，当x ＜0，且时，可得e x －(a ＋1)x ＜b ，因此①式不成立． (ⅱ)若a ＋1＝0，则(a ＋1)b ＝0. 所以f (x )≥ x 2 ＋ax ＋b 等价于 b ≤a ＋1－(a ＋1)ln(a ＋1)．② 因此(a ＋1)b ≤(a ＋1)2 －(a ＋1)2 ln(a ＋1)． 设h (a )＝(a ＋1)2 －(a ＋1)2 ln(a ＋1)， 则h ′(a )＝(a ＋1)(1－2ln(a ＋1))． 所以h (a )在(－1，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减， 故h (a )在处取得最大值． 从而，即(a ＋1)b ≤. 当，时，②式成立， 11 b x a -< +12 12 e 1-12 e 1-12 =e 1a -e ()2h a ≤ e 2 1 2 =e 1a -12 e 2 b = 十年真题 _解析几何 _全国高考理科数学 真题 2008-21 ．（12 分） 双曲线的中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 l 1， l 2 ，经过右焦点 F 垂直于 l 1 uuur uuur uuur uuur uuur 的直线分别交 l 1， l 2 于 A ， B 两点．已知 OA 、 、 成等差数列，且 BF 与 FA 同向． AB OB （Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4 ，求双曲线的方程． 2009-21 ．（12 分） 如图，已知抛物线 E : y 2 x 与圆 M : ( x 4)2 y 2 r 2 (r ＞ 0）相交于 A 、B 、C 、D 四个 点。 （I ）求 r 的取值范围： (II)当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 A 、 B 、 C 、 D 的交点 p 的坐标。 2010-21 (12 分 ) 已知抛物线 C : y 2 4x 的焦点为 F ，过点 K ( 1,0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点， 点 A 关于 x 轴的对称点为 D . （Ⅰ）证明：点 F 在直线 BD 上； uuur uuur 8 （Ⅱ）设 FAgFB BDK 的内切圆 M 的方程 . ，求 9 1 / 13 2011-20 （12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1) ， B 点在直线 y = -3 上， M 点满 足 MB//OA ， MA?AB = MB?BA ， M 点的轨迹为曲线 C 。 （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ） P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。 2012-20 （12 分） 设抛物线 C : x 2 2 py( p 0) 的焦点为 F ，准 线为 l ， A C ， 已知以 F 为圆心， FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点； （1）若 BFD 90 0 ， ABD 的面积为 4 2 ；求 p 的值及圆 F 的方程； （2）若 A, B, F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点， 求坐标原点到 m, n 距离的比值。 2013-21 (12 分 ) 2 2 已知双曲线 C ： x 2 y 2 =1 (a ＞ 0， b ＞0)的左、右焦点分别为 F 1， F 2，离心率为 3，直线 y a b ＝2 与 C 的两个交点间的距离为6 . (1)求 a ， b ； (2)设过 F 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A ， B 两点，且 | AF | ＝| BF | ，证明： | AF | ， 2 1 1 2 | AB| ， | BF 2| 成等比数列． 2014-20 已知点 A(0，－ 2)，椭圆 E ： x 2 2 3 ， F 是椭圆 E 的右焦点， 2 y 2 =1 (a>b>0) 的离心率为 a b 2 直线 AF 的斜率为 2 3 ， O 为坐标原点 . 3 2 / 132018年全国卷理科数学十年真题分类汇编 导数
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