函数奇偶性的判定问题
1. 判断下列函数的奇偶性：
（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；
（2）f （x ）=（x －1）·x
x -+11； （3）f （x ）=2
|2|12
-+-x x ； （4）f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).
0()1(),0()1(x x x x x x （5）x
x x f 2)21()(2
+= 2.判断下列函数的奇偶性2211(0)2()11(0)2x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩
3.判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3－3x 2＋1x ＞
0x 3＋3x 2－1x ＜
0的奇偶性．
4.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递增的函数是( )答案：B
A. B.
C. D.
1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （ ）A
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既奇又偶函数
D ．非奇非偶函数
5.已知函数
)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7．若y ＝（m +1）x 2＋8mx ＋3是偶函数，则m ＝_________．0
【例15】若3)3()2()(2+-+-=x k x k x f 是偶函数，讨论函数)(x f 的单调区间。
2.已知函数是偶函数，那么
是( )答案：A A.奇函数 B.偶函数
C.既奇且偶函数
D.非奇非偶函数
已知函数1
21)(+-
=x a x f )(R x ∈,若)(x f 为奇函数，则=a ___；
9.若f （x ）=1
222+-+⋅x x a a 为奇函数，求实数a 的值.
2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ） A
A ．31=
a ，
b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0
1.设函数的定义域为，且是奇函数，则实数a 的值是( )答案：C
A. B.1 C.
D.3
6.已知函数是偶函数，且，则的值为( )答案：D
A.-1
B.1
C.-5
D.5
4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ）A
A ．－26
B ．－18
C ．－10
D ．10
2.已知函数)(x f y =为R 上的奇函数，若1)2()3(=-f f ，则=---)3()2(f f ____；
5．函数1111)(22
+++-++=x x x x x f 是（ ）B
A ．偶函数
B ．奇函数
C ．非奇非偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数
8．函数2122)(x x x f ---=
奇偶性为_____奇函数___（填奇函数或偶函数）
)(x f 是定义在R 上的奇函数,则)0(f =___；若有3)2(=-f ，则=)2(f ___；若7)5(=f ；则=-)5(f ___；
已知8)(3
5-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f 。
6.若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A ．)2()1()23(f f f <-<- B ．)2()23()1(f f f <-<-
C ．)23()1()2(-<-<f f f
D ．)1()23()2(-<-<f f f
【例6】若)(x f 是R 上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，则下列各式成立的是：（ ）
)1()0()2(.f f f A >>- )0()1()2(.f f f B >>-
)2()0()1(.->>f f f C )0()2()1(.f f f D >->
【例5】已知偶函数)(x f 在()0,∞-上为减函数，比较)5(-f ，)1(f ，)3(f 的大小。
7.定义在R 上的偶函数
在区间[0，+∞)单调递增，则( )答案：C
A.
B. B.
C. D.
8.若奇函数在[2，5]上是增函数，且最小值是1，则
在[-5，-2]上是( )答案：B A.增函数且最小值是-1 B.增函数且最大值是-1
C.减函数且最小值是-1
D.减函数且最大值是-1
【例7】 如果奇函数)(x f 在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是（ ）
A ．增函数且最小值是5-
B ．增函数且最大值是5-
C ．减函数且最大值是5-
D ．减函数且最小值是5-
3. 已知偶函数)(x f 在区间]4,2[上为减函数且有最大值为5，则)(x f 在区间]2,4[--上为____函数且有最___值为____；若是奇函数)(x f 在区间]4,2[上为增函数且有最小值为5，则)(x f 在区间]2,4[--上为____函数且有最___值为____。
9.函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式为( C )
A.
B. B.
C. D.
C.
13.已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R 上的表达式．
f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．
当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1，
∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．
因此，.
)0()0()0(120
12)(,,2323
<=>+--+=⎪⎩
⎪⎨⎧x x x x x x x x f
【例12】设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当132)(02
++-=>x x x f x 时，，试求函数)(x f 的解析式。
10.当x ≥0时，为偶函数，则的解析式是( )答案：A
A. B.
C. D.
5.已知在上是奇函数，且，当时，，则的值为( )答案：A A.-2 B.2 C.-98 D.98
为偶函数，，若，求取值范围。
已知)(x f 为偶函数，当01x ≤≤时，()1f x x =-，当10x -≤<时，求)(x f 的解析式。
定义在R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞是单调递减，若)123()12(2
2+-<++a a f a a f ，则a 的取值范围是如何？
设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m 的取值范围．
已知定义域为R 的偶函数)(x f 在),0(+∞上为减函数，且有0)2(=f ，则满足0)(<x f 的x 的集合为_________；
函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，若()(2)f a f ≤,则实数a 的取值范围是 （ ）
A.2a ≤
B.2a ≥-
C.22a -≤≤
D.2a ≤-或2a ≥。
