midas FEA Technique Data Series
技术资料–极限承载力计算说明
[图1][图2] [图3] [图4]
1. 结构设计理论发展简介
钢筋混凝土结构设计理论的发展先后经历了容许应力理论、破损阶段理论和极限状态理论。极限状态设计理论所依据的是极限强度理论，其基本原则是求出截面破坏时的极限承载力，然后控制截面在使用荷载作用下的内力不大于破坏时的极限承载力除以某种安全系数。随着可靠度理论的发展，安全系数的取值已经从传统的定值设计法发展到今天的半概率设计法，又在向近似概率设计法发展，使结构设计的极限状态理论向更完善、更科学的方向发展。但是，只有结构的极限承载力得以准确评估后，结构安全系数更为精确、科学的取值才会有意义，结构安全度才能得到充分保证。因此，钢筋混凝土结构极限承载力的计算是十分重要的一项工作，它的准确取值对结构设计的经济性、安全性和可靠性都有十分重大的意义。
2. 求解极限承载力的方法
使用有限元软件，我们可以采用载荷增量加载或是位移增量加载的模式来求解结构的极限承载力，并以有限元计算不收敛作为达到极限破坏状态的判断标准。于是影响程序收敛的所有因素都会关系到极限承载力的判断，比如网格划分，本构模型，迭代方法，收敛准则等。如果这些因素把握的不好，有限元模拟出来的极限承载力可能就不准。
进行极限承载力计算时，我们往往设置一个比较大的荷载，控制较小的增量加载，在计算发散之前所能达到的最大增量步的荷载就代表结构的极限承载能力。如果画出载荷－位移曲线，这一步就是载荷位移曲线即将下弯的最高点。无论使用什么有限元软件，求解极限承载力的方式都是这样的，不同的只是每个有限元程序中的本构模型，钢筋模拟方式，迭代和收敛方法的控制等。在此对论文[1]中的一个试验模型进行有限元模拟计算其极限承载力，并和试验数据对比。试验所用模型梁为矩形截面梁，采用两点对称加载方式。梁的具体尺寸和配筋如图1所示。混凝土材料常数：混凝土抗压强度为20 M Pa，弹性模量为2．5×10 MP a；钢筋强度为310 MP a，弹性模量为2．0×10 MP a。梁所配钢筋为Φ16，试验与FEA计算得到的该梁的极限承载力对比如下表，两者十分接近。FEA中的有限元模型如图2所示，钢筋采用植入式钢筋的形式模拟，得到的跨中荷载挠度曲线如图3所示，最后荷载步的裂缝应变分布如图4所示。
试验值 FEA模拟值极限承载力（kN） 110 104
由于极限承载力计算不再仅仅限于材料的弹性状态，材料的非线性特性需要在本构中定义，尤其是对于抗拉强度很小的混凝土材料，在裂纹产生之后裂纹对材料本构的影响需要在本构模型中体现出来，比如说材料的拉伸软化曲线，剪力传递系数等。FEA中提供了总应变裂缝模型可以定义裂纹对材料本
极限承载力计算说明midas FEA Technique data Series
构的影响，在进行极限承载力计算的时候可以采用这种本构模型。
3. FEA中的迭代方法说明
FEA中提供了四种迭代方法：初始刚度(Initial Stiffness)，修正的牛顿拉普森(Modified Newton Raphson)，牛顿拉普森(Newton Raphson)，弧长法(Arc -Length)。牛顿拉普森法只需要很少的迭代次数就能收敛，但是每次迭代投入到重新计算切线刚度上的时间要比较多；对于牛顿拉普森法不容易收敛的问题可以采用修正牛顿拉普森法或初始刚度法，初始刚度法对于所有的荷载步数都采用相同的刚度，但是修正牛顿拉普森法对于每个荷载步采用该荷载步第一次迭代时更新的刚度，每个荷载步内的刚度不变。对于迭代过程中出现收敛困难的情况，FEA中提供了自动切换到弧长法的选项，弧长法适用于载荷位移曲线在最高点附近发生跳跃，也就是不单调的情况，此时使用切线刚度进行迭代分析很难找到正确的迭代方向。FEA中还提供了自动调整荷载步的功能，程序将根据收敛情况自动放大或缩小荷载步。
牛顿拉普森法的切线刚度矩阵往往由于过度病态而无法收敛或计算结果错误。例如有限元程序会提示整体刚度矩阵条件数过大或者某个节点出现不合理的过大位移。遇到这类问题，可以考虑使用修正牛顿拉普森法或者使用初始刚度来进行迭代。这样可以较好地避免切线刚度病态的问题。但是此时收敛的速度相应地也会减慢，使用者应该适当增加最大迭代次数上限。
4. FEA中的收敛标准说明
FEA中提供了三种收敛判断标准：能量标准，位移标准和内力标准。一般来说，当结构出现屈服时，或者接触发生分离时，往往荷载变化很小而位移变化很快，这时候用位移标准更好一些。而当结构接触刚刚发生时，往往位移变化很小而荷载变化很大，这时候用内力标准更好一些。也可以同时采用多种收敛标准控制，此时只有多个标准同时满足时才判定为收敛。一般默认的收敛标准为0.001，如果收敛不好，可以适当放松收敛标准为0.005到0.01。混凝土作为一种软化材料，进行非线性迭代分析时，往往采用位移加载相比力加载更容易收敛，采用位移标准判断收敛也比内力标准更容易收敛。
5．FEA中避免局部受压导致不收敛的方法
在对混凝土作非线性分析时，另一个重要的问题是如何避免局部的压坏导致求解不收敛。以最常见的三点弯曲梁为例，很多软件使用者往往就按照弹性力学中的方法，将整个梁用混凝土材料划分网格，并把边界条件直接施加在一个或几个节点上。这种方法在弹性材料或硬化材料中都没有问题，或者说问题不大。但在混凝土中往往就会导致严重后果。这是因为，把边界条件直接施加在混凝土节点上，则相当于这个节点处应力趋向于无穷大。而且单元网格划分得越密，这个应力集中也就越发严重。如果混凝土的网格比较密，则此处的混凝土势必将必先开裂或者压碎，而混凝土开裂或压碎后就进入软化段，就会造成计算结果错误或者计算过程无法进行下去。由此，对于这类问题，一般建议在分析实际工况前，先给混凝土施加一个很小的试算荷载。比较—下施加边界条件的位置和预计破坏位置的应力大小，尤其是主拉应力的大小。如果发现施加边界条件的位置存在应力集巾，应力大于预计破坏位置的应力，则说明边界条件布置不合理，破坏将发生在这里而不是预计破坏区。这时，常用的处理方法是在边界条件和混凝土单元之间设置一个弹性过渡层，过渡层的刚度较大，和混凝土相近。这样利用圣维南原理，减轻边界条件引起的应力集中效应。另外由于混凝土抗拉能力很弱，因此实际施加在混凝土构件上的边界条件大部分是受压边界条件。在建立有限元模型时，需要事先考察一下，这个边界条件是否会因为局部受压而导致不应出现的局部破坏。
