第一章 数的整除
1．1整数和整除的意义
一．学法指导：
1. 知道自然数、整数、整除的定义：
⎪⎩
⎪⎨⎧⎭⎬⎫负整数自然数正整数整数0 整除——整数a 除以整数b ，除得的商是整数而余数为零。
2．掌握整除的两种表述方法：
被除数能被除数整除；除数能整除被除数。
二．友情提示：
1．零既不是正整数，也不是负整数；
2．零是最小的自然数；
3．没有最大的整数；
4．整除约定在正整数范围内考虑；
5．整除的条件：除数、被除数都是整数；被除数除以除数，商是整数而且余数为零。 三．例题讲解：
例1：下列哪一个算式的除数能整除被除数？
4÷8； 42÷7； 11÷3； 0.25÷0.05=5
解：因为4÷8=0.5（商不是整数）
42÷7=6
11÷3=3……2（余数不为0）
0.25÷0.05=5（被除数、除数是小数，不是整数）
所以，除数能整除被除数的算式是42÷7。
例2：从下列数中选择适当的数填入相应的圈内：
1，-2，0，25%，27，0.3，-100，
32 ，56， 自然数 负整数 整数
四．本课练习：
1.在15，-27，3.8，0，11，-42，67%中，为自然数的是___________正整数的是____________负整数的是_______整数的是_________________。
2．最小的自然数是_______，最小的正整数是________，最大的负整数是________。
3．写出三个比2小的整数________________；比2小的自然数有_______________。
4．能整除12的数有____________________。
5．选择：能整除18的数有（ ）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
6．在下列各组数中，哪个数能整除另一个数？
24和8 72和9 16和96 17和51 23和69 100和25
7．在下列各组数中，28和7 9和6 1.44和1.2 5和125 17和3
第一个数能被第二个数整除的是____________________
第一个数能被第二个数除尽的是____________________
8．在下列数中，哪个数能被另一个数整除？请一一举出：
24，8，9，72，16，96，51，17，80，25
1．2因数和倍数
一． 学法指导：
1． 知道倍数和因数的定义：
整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数， b 就叫做a 的因数。
2． 会求一个数的倍数和因数。
二．友情提示：
1.一个整数的因数个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
2.一个整数的倍数个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
3.找一个数的因数的方法：
（1）能整除这个数的整数就是这个数的因数
（2）利用积与因数的关系一对一对找
三．例题讲解：
例1：分别写出48和17的因数
解：48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48
17的因数有1、17
解答方法：利用积与因数的关系一对一对找
48 =1×48 =2×24 =3×16 =4×12 =6×8
例2：分别写出3和5的倍数
解：3的倍数有3，6，9，12，15，…,5的倍数有5，10，15，20，25，…
解答方法：因为能被3、5整除的整数都是3、5的倍数
所以3、5与正整数1，2，3，4，5，…的积都能被3、5整除
四．本课练习：
1．24的因数有__________，91的因数有___________。
2．在4、8、16、32、36、64、80七个数中，80的因数有_________________。3．一个数的最大的因数是12，这个数是______，它所有的因数有__________。4．90的因数有____个，这些因数的和是______。
5．能被9整除的数，至少有_______个因数。
6．13的倍数有_________________________。
7．100以内17的倍数有________________，25的倍数有_________________。8．在下列几道除法算式中，写出哪一个数是哪一个数的因数，哪一个数是哪一个数的倍数？
20÷16=1.25 85÷17=5 12÷0.3=40
9． 如果a=2×3×5，那么a 的所有因数有____________。
10．一个数既是18的倍数，又是18的因数，这个数是_________。
11．一个数的最小倍数是15，这个数的因数有________________。
12．在60的因数中，是4的倍数的数的和是__________
13．判断：一个数的最大因数就是它的最小的倍数。（ ）
14．判断：1是所有自然数的因数。（ ）
15．甲数的最大因数等于乙数的最小倍数，甲数____乙数（填“〉”或“〈”或“=” ）
1．3能被2、5整除的数
一．学法指导：
1．掌握能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数都能被2整除；
2．掌握能被5整除的数的特征：个位上是0或者5的整数都能被5整除
3．⎩
⎨⎧整除的数偶数：能被整除的数奇数：不能被整数22 二．友情提示：
1．一个整数不是奇数就是偶数；
2．奇数的个位上的数是奇数；
3．能同时被2、5整除的数一定能被10整除。
三．例题讲解：
例1：由0，1，2，3，4组成一个能被2整除的三位数中，最小的一个数是什么数？
由小到大，第十个数是什么数？
解：最小的一个数是102，由小到大，第十个数是204。
解答方法：1.根据能被2整除的数的特征，其个位上是0，2，4，6，8；由上述5个
数所组成的三位数，最小的百位数是1，最小的十位数是0，而个位数
满足能被2整除，所以取2。
2．要找第十个小的三位数，百位数1的有9个，再从百位数是2中去找，
且能被2整除的最小三位数是204。
例2：能被2整除的四位数中，最大的数是几？
解：能被2整除的四位数中，最大的数是1000。
解答方法：能被2整除的四位数是1000，1002……，其中最大的数是9998。
例3：在下列数中找出既能被2整除又能被5整除的数，填写在适当的圈内，这样的数有什么特点？
16，35，60，85，96，125，320，888
能被2整除的数能被5整除的数
能同时被2、5整除的数
解答方法：因为：能同时被2、5整除的数一定能被10整除。
能被2整除的数的个位数字是0，2，4，6，8；
能被5整除的数的个位数字是0或5；
所以：能同时被2、5整除的数的个位数字是0
四．本课练习：
1．判断：两个相邻的偶数相差2（）
2．在110后面连续5个偶数是_____________________________。
3．从17起，连续5个奇数是______________________________。
4．与奇数相邻的两个数是_____数；与偶数相邻的两个数是______数；
5．4个连续自然数的和是134，其中最小的一个数是__________；
6．5个连续偶数的和是180，这三个数分别是________________；
7．下列那些数有因数2、那些数有因数5？
13，26，37，48，66，71，94，152，625，900，1002，4050
有因数2的数是_______________________。
有因数5的数是_______________________。
8．（1）2143至少加上____才能被2整除；
（2）4321至少减少____才能被2整除；
（3）1243至少加上___才能被5整除；
（4）3142至少减少____才能被5整除；
9．写出4个既能被2整除又能被5整除的数_________________；
10．在下列数中找出既能被2整除又能被5整除的数，填写在适当的圈内，这样的数有什么特点？
18，55，160，825，962，1025，3020，8567
能被2整除的数能被5整除的数
能同时被2、5整除的数
11．不能被2整除的自然数叫____________；
12．任何一个奇数加上1以后，一定能被______整除；
13．能被2整除的最大两位数是_______；
14．能被2整除的三位数中，最大的偶数是________；
15．能同时被2和5整除的最小三位数是__________；
16．一个两位数，既是5的倍数，又有因数2，这个数最小是____，最大是___；17．一个两位数，它能被3整除，有时5的倍数，而且是偶数，这个数最小是_______；18．（1）在下列每个数的□内填上一个数字，使得这个数有因数2，你还能写出几个？7□□3□
（2）在下列每个数的□内填上一个数字，使得这个数有因数5，你还能写出几个？
12□□06□
19．在12，28，36，75，96，100中
能被2整除，又有3这个约数的数是_________；
能被5整除，又有2这个约数的数是_________；
20．判断：25的倍数中最小的一个是50。（）
21．判断：5是5的倍数，5也是5的约数。( )
22．能被5整除的最大三位数是_________；
23．能被5整除的两位数中，最小的奇数是______；
24．5个连续奇数的和是195，其中最大的一个数是__________；
25．写出在120以内能被5整除的奇数（至少写3个）___________________；26．有两个奇数，它们的积是65，差是8，他们的和是_________；
27．邻近124前面三个连续奇数的和是________；
28．用0，4，5，6四个数字，按要求写出一个没有重复数字的四位数：
（1）既能被2整除又能被5整除：
（2）不能被2整除，只能被5整除：
1．4素数、合数与分解素因数（一）
一. 学法指导：
1．理解素数、合数的意义：
素数——一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数。
合数——一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因素，这样的数叫合数。
2．⎪⎩
⎪⎨⎧1合数素数正整数
3．会用求因数的方法或用整除的特征来判断一个正整数是否为素数。
4．熟记20以内的全部素数。
二．友情提示：
1．“1”既不是素数也不是合数。
2．学会区分奇数和素数、偶数和合数的意义。
三．例题讲解：
例1：判断18，29，51和91是素数还是合数。
解法一：18的因数有：1，2，3，6，9，18
29的因数有：1，19
45的因数有：1，3，5，9，15，45
91的因数有：1，7，13，91
通过检查每个数的因数的个数，可以知道：18，45，91是合数，29是素数。
解法二：18能被3整除，因此除了1和18以外，18还有因数3，所以18是合数。 同样，45能被5整除，91能被7整除，所以45、91也是合数。
例2：小于30的既是素数，又是偶数的数是哪几个？
解：小于30的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29
而其中又是偶数的数只有2。
通过这道题的解答，我们知道：所有的素数（除2外）都是奇数。
四．本课练习：
1．判断：所有的素数都是奇数。（）
2．判断：所有的偶数（除2外）都是合数。（）
3．判断：一个自然数不是奇数就是偶数，不是素数就是合数。（）
4．在1，2，9，15，39，70，95，801中，
奇数有__________________偶数有_______________
素数有__________________合数有________________
既是奇数又是合数______________________________
即是偶数又是素数______________________________
即是合数又是偶数______________________________
能同时被2、5整除的数_________________________
5．选择：在自然数中，2是（）
A.最小的素数
B.最小的偶数
C.最小的合数
D.最小的自然数
6．一个三位数，它的百位上是最小的素数，十位上是最小的合数，个位上是最小的自然数，这个三位数是____________。
7．如果两个素数的和是33，那么两个素数的积为____________。
1．4素数、合数与分解素因数（二）
一. 学法指导：
1．分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来。
2．理解素因数的意义：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。
3．会利用“短除法”把一个合数分解素因数。
二．友情提示：
1．注意分解素因数的书写格式。
2．对于一个数有哪些素因数，必须说出它的每一个素因数。
三．例题讲解：
例1：36的因数有哪几个？素因数有哪几个？
解：36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。
36的素因数有：2，2，3，3。
求36的素因数可以用短除法来求，一共有4个，而不能只说2和3。
例2：素数、素因数有什么区别？
解：素数：因数只有1和本身的正整数叫做素数，它是独立存在的数。如2是素数59是素数。
素因数：它既是素数，又是某个数的因数，它不是独立存在的。如18=2×3×3，不能说2是素因数，而必须说2是18的素因数。
例3：判断：分解素因数
（1）15=3×5×1 （2）2×3×13=78 （3）160=2×2×5×8
答:上述写法都是错误的。
第（1）（3）两题的错误是：在因数相乘的形式中，出现了不是素数的数1和8。分解素因数是把合数写成几个素数相乘的形式，正确的写法是：
（1）15=3×5 （3）160=2×2×2×2×2×5=25×5
第（2）题是书写的格式错误，2×3×13=78是一般的乘法算式，正确的书写格式是：（2）78=2×3×13
四．本课练习：
1．把下列各数分解素因数：96，224，738，540
2．42和91，它们相同的素因数有___________，它们各自独有的素因数分别有_______和_______
3．素数有______个因数；在1~200的所有自然数中，_____只有1个因数，________________只有3个因数。
4．有三个不同的素数，它们的积是165，这三个素数分别是多少？请写出解题的主要步骤。
５．选择： 7和11都是（）
A.素数
B.互素数
C.素因数
D.因数
6．在自然数4，5，6，7，9中，两个数是互素的有（）对
A.5
B.6
C.7
D.8
1．4素数、合数与分解素因数（三）
一．填空：
1．把下列各数填入适当的圈内
1，2，4，6，7，9，13，18，21，26，45，54，72，87，111
奇数偶数
素数合数
2．从1到10中，最小的素数和最小的合数的积是__________。
3．最小的合数加最小的奇数等于___________。
4．20以内素数中偶数有_______；奇数有________；不是偶数的合数有_______；
不是奇数的合数有________。
5．既是素数又是偶数的最小数是_______。
6．既不是素数又不是合数的数是_______。
7．既是素数又是奇数的最小数是________。
8．既是偶数又是合数的最小数是________。
9．既是奇数又是合数的最小数是________。
10．既是相邻的自然数，又是素数的两个数的和是______。
11．最大的一位数减去最小的素数，差是_________。
12．2730这个合数能被____ 、____ 、____、___、____这几个素数整除，这几个数叫做2730的________数。
二．解答题：
1．用短除法分解素因数：
102 136 84 256
2．在下列各数中，哪些是素数？哪些是合数？请把合数分解素因数。
31，47，58，83，121，143，279
3．先分解素因数，再分别写出这三个数的倍数。（只需从大到小写三个）
16 36 96
1．5公因数与最大公因数
一. 学法指导：
１．理解公因数与最大公因数的意义：
公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。
最大公因数：公因数中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
２．理解互素的意义：
如果两个整数只有公因数１，那么称这两个数互素。
３．掌握求两个数的因数和最大公因数的方法。
４．会判断两个数是不是互素关系。
三．例题讲解：
例１：求３和７、8和9、１５和９０、16和80、12和42、５１和６８的最大公因数，从中你能够发现什么规律？
解： 为了简便，也可以用短除法计算：
15和90的最大公因数是3×5=15
51和68的最大公因数是17
从上面的解答中我们发现：3和7、8和9这两组数是互素，因而它们的最大公因数是1；15和90、16和80这两组数中的两个数存在倍数关系，因而它们的最大公因数是其中较小的那个数，15和90的最大公因数是15，16和80的最大公因数是16；12和42、51和68既不存在倍数关系，也不是互素关系，所以一般采用短除法来求。 结果是：（12，42）=2×3=6， （51，68）=17
例2：秋游这天，老师带领24名女生和18名男生。老师把这些学生分成人数相等
的若干个小组，每个小组中的女生人数相等，请问：这42名同学最多能分成几组？
分析：分成的组数能整除24和18，也就是24和18的因数。
15 90 3 5 30 1 6
5 （用公有的素因数3除）
（用公有的素因数5除）
（除到两个商互素为止） 51 68
17 3 4
24的因数18的因数
24和18公有的因数
因此老师最多可以把这些学生分成6组，每组中分别有4名女生和3名男生。四．本课练习：
一．填空：
1．12和18的全部公因数有____________________，最大公因数是___________。2．A=3×7, B=2×5, A和B的最大公因数是_____________。
3．最大的两位数与最小的两位数的和是_____，差是_____，和与差的最大公因数是_____。
4．两个合数的最大公因数是1，且和为13，这两个数是_______和_______。5．先分别把下面两个数分解素因数，再求它们的最大公因数。
21=______________；39=________________。
21和39的最大公因数是_________。
6．甲数=3×A×7，乙数=2×3×B，甲数和乙数的最大公因数是21，那么A最小可取_________B=__________。
7．差是1的两个素数是____和____，它们的最大公因数是_____。
8．两个自然数的和是216，如果它们的最大公因数是24，那么这两个数是_______________________________。
二．选择：
1．6是36和48的（）
A. 因数
B. 公因数
C. 最大公因数
2．甲数是乙数的15倍，这两个数的最大公因数是（）
A. 15
B. 甲数
C. 乙数
D.甲数×乙数
3．几个数的最大公因数是12，这些数的全部公因数是（ ）
A. 1、2、3、12
B. 2、3、4、6
C. 2、3、4、6、12
D.1、2、3、4、6、12
三．解答题：
1．用短除法求下列各组数的最大公因数：
60和90 45和75 48和60 72和63
2．求下列分数中两个分子的最大公因数：
1715125和 3011137和 19
24926和
3．已知两个正整数的积是1284，他们的最大公因数是6，求这两个数。
4．动脑筋：一个数减去5和9的最大公因数，所得的差能被2和5同时整除，满足
此条件的最小两位数是几？
5． 有a 、b 、c 、d 四个数，已知a 和d 的最大公因数是60，c 和b 的最大公因数是
96。这四个数的最大公因数是多少？
6．一张长方形的纸，长42厘米，宽30厘米，要把这张纸裁成大小相等的正方形而没有剩余，正方形的边长最大是几？
1．6公倍数与最小公倍数
一. 学法指导：
１．理解公倍数与最小公倍数的意义：
公倍数：几个整数的公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。
最小公倍数：公倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
２．理解用短除法求最小公倍数的算理。
３．掌握求两个数的公倍数和最小公倍数的方法。
４．会根据两数为倍数关系或互素关系的情况直接求他们的最小公倍数。 二．友情提示：
由于求最大公因数与求最小公倍数的方法相近，所以一定要牢固掌握各自的意义。
三．例题讲解：
例1：求下列分数中两个分母的最小公倍数：
9271和 534514和 35
12215和 解：7和9是互素关系，因而它们的最小公倍数是就是它们的乘积7×9=63； 45和5是倍数关系，因而它们的最小公倍数是其中较大的那个数45；
21和35既不存在倍数关系，也不是互素关系，所以一般采用短除法来求， 结果是：[21,35]=3×5×7=105.
例2：今有妇人河上荡桮，津吏问曰：“桮何以多？”妇人曰：“家有客。” 津吏曰：
“客几何？”妇人曰：“二人共饭，三人共羹， 四人共肉，凡用桮六十五，不知客几何？”
解：这是《孙子算经》中的一个问题，主要意思是：有一位妇女在河里洗盘子，有人问：为什么洗这么多盘子？妇人回答：家里有客人。那人又问：客人有多少？二人合用一个盛饭的盘子，三人合用一个盛汤的盘子，四人合用一个盛肉的盘子，一共用了65个盘子。
满足以上3个条件至少12人，即[2，3，4]=12，12人用6个盛饭的盘子，4个盛汤的盘子，3个盛肉的盘子，一共13个盘子；
65÷13×12=60（人）
答：有客人60人。
四．本课练习：
(一)填空：
1．4和6的公倍数有______________，其中最小公倍数是__________。
2．A=3×3×5 ，B=2×3×5，A和B的最小公倍数是___________。
3．如果两个数是互素数，那么它们的最大公因数是_____，最小公倍数是__________。4．a÷b=7，a和b是正整数，a和b的最大公因数是_____，最小公倍数是_____。5．正整数x能整除正整数y，那么x与y的最小公倍数是______ 。最大公约数是_______。
6．A、B是两个连续的自然数，那么A、B最大公因数是_______，最小公倍数是________。
7．两个数的最小公倍数是525，这两个数是_______________________。
8．一个数的最小_____数是它本身，最大_____数也是它本身。
9．两个数的最大公因数是8，最小公倍数是48，这样的两个数是___和___或者是___和___。
10．已知两个互素数的最小公倍数是123，这两个互素数是____和____。
（二）选择题：
1．在自然数中，M=N+1，则M、N的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
A. M
B. N
C. M×N
D. 1
2．两个数的最小公倍数比它们的最大公因数（）
A. 大
B. 小
C. 相等
D.都有可能
3．甲数是乙数的17倍，则两个数的最小公倍数是（）
A. 17
B. 甲数
C. 乙数
D.甲数×乙数
（三）解答题：
1．直接写出下列各组数的最大公因数和最小公倍数：
3和8 11和5 22和88 1和37
12和13 16和25 6和8 56和14
2．用短除法求下列各组数的最小公倍数：
18和81 45和54 36和63 104和156
3．用短除法求下列各组数的最小公倍数：
30，60 和80 12，40 和180
4．a、b、c、d是互不相同的素数，如果甲数=a×a×b×c，乙数=a×b×d，那么甲、乙两数的最小公倍数是几？
5．一个班的学生人数在20~40之间，分别按6，8，12人分组，学生正好分完，这个班共有几人?
6．师生俩人今年的年龄乘积是525岁，4年前他们的年龄都是素数，师生俩人今年的年龄各是几岁？
第一章 单元综合练习
一．填空：
1．在11÷5，2.1÷7，42÷14中，___能被___整除；___叫 ___的因数； ___叫 ___ 的倍数。
2．按要求填入相应圈内：
20÷4 3 ÷0.5 7÷21 15÷60 90÷16 0.24÷0.08 56÷7
3．任何一个正整数都能被_____和______整除。
4．能同时被2、5整除的最大三位数是___________。
5．写出一个能被5除余3的三位数_______。
6．用5，7，8，0写出一个四位数，使它是2的倍数，最大是___________。
7．把下面各数填入适当的圈内：
2，5，10，15，25，30，50．
50的因数 5的倍数
8．有一个数，它既是31的倍数，又是31的因数，这个数是__________。
9．102最多能被___个数整除，它们分别是___________________________。
10．用10以内三个不同的素数组成一个同时能被2、5整除的最大三位数是______。 11．两个素数的和是_________________________数。
12．___和___这两个数都是合数，又是互素数。
13．___和___这两个数都是素数，又是互素数。
14．___和___这两个数一个是合数，一个是素数，又是互素数。
15．所有是3的倍数，而不是2和5的倍数且小于50的两位数有_____________。
16．一个正方体的体积是1728立方厘米，则它的表面积是__________平方厘米。二．判断题：
1．36是倍数，4是因数。（）
2．10以内的偶数的平均数是4。（）
3．在57，5，97，1.5中，既是奇数又不是合数的数是57。（）
4．一个素数只有两个因数。（）
5．自然数中凡是3的倍数有偶数也有奇数。（）
6．偶数不一定是合数，奇数一定是素数。（）
7．最小的素数是2，3是素因数。（）
8．没有最大的素数，也没有最小的合数。（）
9．a÷b=c，（a、b、c均为正整数）那么b整除a，c整除b。（）
10．因为8=2×4，所以2和4都是8的素因数。（）
11．把65用素因数相乘的形式表示是：65=1×3×3×5。（）
12．两个数是互素数，这两个数不一定都是素数。（）
三．选择题：
1．在2，3，4，5四个自然数中，两个数是互素数的有（）
A. 2对
B. 4对
C. 5对
D.6对
2．在下列各数中找一个与6是互素数的合数是（）
A. 9
B. 11
C. 35
D.奇数
3．125的素因数有（）个
A. 4
B. 3
C. 2
D.1
4．下列各式中，表示分解素因数的式子是（）
A. 30=2×3×5
B. 54=2×3×3×3×1
C. 3×5×7=105
D.44=4×11
5．1、3、7是21的（），3、7是21的（）
A. 公因数
B. 因数
C. 素因数
D.素数
6．b为0，a为1至9任意一个数字，下列各数中一定能被3整除的数是（）A. ababab B. ababaa C. abbabb D.ababbb
四．解答题：
1．求下列各组数的最大公因数和最小公倍数：
28和70 56和48 81和63
2．分别把234和126分解素因数，并指出它们有哪些相同的素因数？
3．如果用[a]表示a的全部因数的和，如[6]=1+2+3+6=12，那么[24]-[21]的结果是多少？
4．一些四位数，千位数字都是3，百位数字都是6，并且它们既能被2整除，又能被3整除。甲数是这些数中最大的，乙数是这些数中最小的，那么，甲数是几？乙数是几？
5．想一想：一个数，用它去除36余1，去除54余4，去除55恰好整除，请问这个数是几？
6．动脑筋：把95，133，14，65，221，34这六个数分成两组，使每组三个数的乘积都相等，如何分？
第一章数的整除 1.1 整数和整除的意义 1、在数物体的时候，用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，……，叫做整数 2、在正整数1,2,3,4,5，……，的前面添上“—”号，得到的数—1，—2，—3，—4，—5，……， 叫做负整数 3、零和正整数统称为自然数 4、正整数、负整数和零统称为整数 5、整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或 者说b能整除a 1.2 因数和倍数 1、如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数 2、倍数和因数是相互依存的 3、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身 4、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身 1.3 能被2, 5整除的数
1、个位数字是0,2,4,6,8的数都能被2整除 2、整数可以分成奇数和偶数，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数 3、在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数 4、在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数 5、个位数字是0,5的数都能被5整除 6、0是偶数 1.4 素数、合数与分解素因数 1、只含有因数1及本身的整数叫做素数或质数 2、除了1及本身还有别的因数，这样的数叫做合数 3、1既不是素数也不是合数 4、奇数和偶数统称为正整数，素数、合数和1统称为正整数 5、每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，这几个素数都叫做这个合数的素因数 6、把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数 7、分解素因数方法：树枝分解法、短除法 1.5 公因数与最大公因数 1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其最大的一个叫做这几个数的最大公因数 2、如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素数 3、把两个数公有的素因数连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数 4、如果两个数中，较小数是较大数的因数，那么这两个数的最大公因数较小的数 5、如果两个数是互素数，那么这两个数的最大公因数是1 1.6 公倍数与最小公倍数 1、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数 2、几个数中最小的公因数，叫做这几个数的最小公倍数
数的整除
第一章数的整除 知识要点 1.整除：整数a除以整数b所得的商是整数，而余数为零，那么我们就说a能被b整除 或b能整除a.即只有整数参与的除法。如：52134,91713,34172 ÷=÷=÷=都是整除。 判断关键：①被除数与出数都是整数；②商也为除数，且余数为0. 2.整数的分类： ⑴整数一般分为正整数（1,2,3…）、0、负整数（-1，-2，…，-98，…） ⑵按能否被2整除，整数又可以分为奇数与偶数。能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数。奇数、偶数有正负之分。 ⑶按因数的个数，整数又可以分为素数与合数。 2,3,5,7,11,13,17,19… 4,6,8,9,10,15,21,… ①特征：素数只有两个因数（1和它本身）；合数至少有三个因数。 奇数素数 正整数分类：合数 偶数 1 ②判断方法：分解素因数：就是把一个合数分解成几个素数相乘的形式。所以只有合数可以分解素因数，即能分解的事合数，不能分解的是素数。熟练掌握短除法分解素因数的。最好能认识100以内的素数与合数，熟记20以内的素数，理解1-9这九个数字的一切特征。 3.数与数之间的关系：
⑴因数与倍数：整数a 能被整数b 整除，那么我们就说a 是b 的倍数，b 是a 的因数。 ①如果b 是素数，这时我们又说b 是a 的素因数； ②公因数：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数； ③公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数； ④因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身；倍数的个数是无限的，只有最小的它本身。 ⑵互 素：是指两个正整数只有公因数1（或最大公因数是1），那么这两个数称为互素数。 肯定互素的三种情况：①连续的两个正整数；②1与其它正整数；③不相等的素数。 4. 最大公因数和最小公倍数的求法：①列举法；②分解素因数法；③短除法。 求90与72的最大公因数和最小公倍数 法一：90=2×3×3×5 法二： 72=2×2×2×3×3 90和72的公有因数分别是2、3、3。 所以它们的最大公因数事2×3×3=18；最小公倍数是2×2×2×3×3×5=360 〖例题点睛〗 例题1 ⑴两个数它们的最大公因数是8，最小公倍数是96,其中一个数是24，那么另一个数 是多少？ ⑵有两个数它们的最大公因数是8，最小公倍数是96.求这两个数。 4512 1533645327290
第一章:数的整除 1. 零和正整数统称为自然数。正整数、零、负整数统称为整数。 重点题型： 1. 在8，－10，0，0.25，－50， 7 3 ，100，－8.5中，正整数有 ， 自然数有 ，整数有 2.最小的自然数是 提高：非负整数，如小于3的非负整数有 2. 整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。 用式子表示:如果 a ÷b=c(其中a 、b ，c 都为整数)称a 能被b 整除或b 能整除a 。（区分两种表述） 重点题型： 1. 下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是 ，第二个数能整除第一个数的是 12和24；39和13；54和27；46和4；17和51；84和7 2. 12÷3=4，那么 能被 整除； 能整除 3. 整除的条件: 1）除数，被除数都为整数 2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零。 重点题型： 小明认为2.5能被5整除。这种说法对吗？ 4. 整数a 被整数b 整除,a 叫b 的倍数(mutiple),b 叫a 的因数(factor)(也称为约数) 因数和倍数是相互依存的。 重要结论： 一个整数的因数的个数是 的(填:无限或有限)，其中最小的因数是 ，最大的因数是 。 一个整数的倍数的个数是 的(填:有限或无限)，其中最小的倍数是 ， 一个整数 最大的倍数。 重点题型： 1. 因为4÷2=2,所以4是倍数,2是因数，这种说法对吗？ 2. 一个整数的最大因数减去这个正整数的最小倍数，所得的差一定（ ） A <0 B =0 C >0 D 不等于0 3. 会求一个数的因数：如求105的因数 4. 会求一个数的倍数：如求7的倍数（写出5个） 5. 任何一个正整数至少有两个因数。 ( ) 6. 如果一个数既是12的因数,又是12的倍数,那么这个数一定是 。
第一章数的整除 1,数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。 例如：判断123456789这九位数能否被11整除？ 解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的 数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为115，所以11123456789。 再例如：判断13574是否是11的倍数？ ⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。 例如：判断1059282是否是7的倍数？ 解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍数。 再例如：判断3546725能否被13整除？ 解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.
第一章数的整除 一、知识整理 1.1整数和整除 整除的条件： 1．除数、被除数都是整数。 2．被除数除以除数，商是整数，而且余数为零。 除尽的条件： 1．除数、被除数不一定是整数。 2．被除数除以除数，商是整数或有限小数，而且余数为零。 ☆整除是除尽的一种特殊情况。 1.2整数和整除的意义 整数a能整除整数b，b叫做a的倍数。a叫做b的因数。 ☆倍数和因数是相互依存的。 1.3能被2、5整除的数 1.4素数、合数与分解素因数 正整数素数（2是唯一的偶素数） 合数 既不是素数也不是合数。 素数：除1与本身外没有其他因数的数。 合数：除1与本身外有其他因数的数。 分解素因数用短除法。（用等式些写结论，分解的书写在最前。）
1.5公因数与最大公因数 求两数的最大公因数： 1.定义法 2.分解素因数 3.短除法 a 和 b 的最大公因数是 c 的表示方法：（a ，b ）=c ☆若两数互素，那么它们的最大公因数就是1。 ☆若两数是倍数关系，那么它们的最大公因数就是较小数。 1.6公倍数与最小公倍数 求两数的最小公倍数： 1.定义法 2.分解素因数 3.短除法 a 和 b 的最小公倍数是 c 的表示方法：[a ，b]=c ☆若两数互素，那么它们的最小公倍数就是两数的乘积。 ☆若两数是倍数关系，那么它们的最大公因数就是较大数。 总结： 一个整数正整数 零 负整数 ☆任何一个合数都可以分解质因数。 1.整除 “三整一零” 整除是除尽的一种特殊情况。 2.倍数，因数 整数间的关系 3.互素（两两互素） 4.公因数（最大） 最小公倍数 5.公倍数（最小） =最大公因数×各自独有的因数 奇数（2n 加1，n 为正整数） 偶数（2n ，n 为正整数） 素数：只有1和它本身这两个因数 合数：除了1和它本身还有其它因数
第一章 数的整除 1．1整数和整除的意义 一．学法指导： 1. 知道自然数、整数、整除的定义： ⎪⎩ ⎪⎨⎧⎭⎬⎫负整数自然数正整数整数0 整除——整数a 除以整数b ，除得的商是整数而余数为零。 2．掌握整除的两种表述方法： 被除数能被除数整除；除数能整除被除数。 二．友情提示： 1．零既不是正整数，也不是负整数； 2．零是最小的自然数； 3．没有最大的整数； 4．整除约定在正整数范围内考虑； 5．整除的条件：除数、被除数都是整数；被除数除以除数，商是整数而且余数为零。 三．例题讲解： 例1：下列哪一个算式的除数能整除被除数？ 4÷8； 42÷7； 11÷3； 0.25÷0.05=5 解：因为4÷8=0.5（商不是整数） 42÷7=6 11÷3=3……2（余数不为0） 0.25÷0.05=5（被除数、除数是小数，不是整数） 所以，除数能整除被除数的算式是42÷7。
例2：从下列数中选择适当的数填入相应的圈内： 1，-2，0，25%，27，0.3，-100， 32 ，56， 自然数 负整数 整数 四．本课练习： 1.在15，-27，3.8，0，11，-42，67%中，为自然数的是___________正整数的是____________负整数的是_______整数的是_________________。 2．最小的自然数是_______，最小的正整数是________，最大的负整数是________。 3．写出三个比2小的整数________________；比2小的自然数有_______________。 4．能整除12的数有____________________。 5．选择：能整除18的数有（ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 6．在下列各组数中，哪个数能整除另一个数？ 24和8 72和9 16和96 17和51 23和69 100和25 7．在下列各组数中，28和7 9和6 1.44和1.2 5和125 17和3 第一个数能被第二个数整除的是____________________ 第一个数能被第二个数除尽的是____________________ 8．在下列数中，哪个数能被另一个数整除？请一一举出： 24，8，9，72，16，96，51，17，80，25 1．2因数和倍数 一． 学法指导： 1． 知道倍数和因数的定义： 整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数， b 就叫做a 的因数。 2． 会求一个数的倍数和因数。
第一讲 数的整除 知识清单： 1.1整数与整除的意义 1、整数 整数：正整数、零、负正整统称为整数。零和正整数统称为自然数。最大的负整数是–1，没有最小的负整数，最小的正整数是1，没有最大的正整数，没有最大的整数。 2、整除的意义 整除：整数a 除以整数b （b ≠0），如果除得的商是整数而余数为零，我们就说数a 能被数b 整除或b 能整除a 。 确定整除的条件：（三整余零） 1、除数、被除数都是整数； 2、被除数除以除数，商是整数而且余数为零。 除尽：在整数或小数除法中，如果商是整数或有限小数，则叫做能够除尽。 除不尽：数a 除以数b （b ≠0），当所得的商是一个无限循环小数时，我们就说数b 除不尽数a ，或者说数a 不能被数b 除尽。 1.2 因数与倍数 1、如果整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（或a 的约数）。倍数和因数是相互依存的。 2、因数和倍数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数是无限的，其中最小的倍数时它本身，没有最大的倍数；一个数既是它本身的因数，也是它本身的倍数。 1.3 能被2、5整除的数 1、偶数：能被2 整除的整数是偶数；奇数：不能被2 整除的整数是奇数． 2、通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式，其中k 为整数，偶数可以表示为2k 的形式，其中k 是整数． 3、正整数按照能否被2整除分为奇数和偶数 2、能被2、5 、 3、9整除的数的特征 （1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8 中的一个，那么这个数就能被2 整除。 （2）一个数的个位数字如果是0 或5，那么这个数就能被5 整除。 （3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3 整除，那么这个数就能被3 整除。 （4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。 （5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。 （6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9 整除，那么这个数就能被9 整 例题精讲 例1．从下列数中选择适当的数填入相应的圈内. -20、17、-6、0、1.23、76、2006、-19.6、9、8 3、6、45 、-7、56
第一章 《数的整除》复习 知识点： 1、数的整除 2、写出因数与分解素因数的区别； 3、互素的两个数的最大公因数与最小公倍数 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧最小公倍数公倍数最大公因数公因数互素倍数因数 整除整数间的关系整除的数的特征能被整除的数的特征能被整除的数的特征能被分解素因数合数素数 奇数 偶数 一个整数------------532------1
练习选讲： 一、填空题： （i）统称为自然数。 （ii）在正整数中，（有或没有）最大的数；（有或没有）最小的数。 （iii）2.8÷2＝1.4，（能或不能）说2整除2.8。 （iv）16的因数从小到大有。 （v）20以内的正整数中，3的倍数从小到大有。 （vi）正整数按照数的奇偶性可分为奇数和偶数两类，若a ＞3，且a是奇数，与a相邻奇数是。 （vii）的数称为素数， 的数称为合数。 写出20以内的所有素数， 写出20以内的所有的合数。
（viii）分解素因数：72＝。 （ix）16和24的最大公因数是。在20以内2和3的公倍数有。 （x）一堆苹果，比50个多，比70个少，把它们可以平均分成两堆，也可以平均分成三堆，还可以平均分成五堆。这堆苹果有个，还可以分成堆。 二、判断题： （i）20能整除4（）。 （ii）1既是奇数也是偶数（）。 （iii）1既不是素数也不是合数（）。 （iv）合数不都是偶数，素数不都是奇数（）。 （v）52=13×4，13和4都是52的因数。（）。 （vi）因为52＝13×4；所以我们说13和4的公倍数只有52一个。（）
第一章数的整除 第一节整数和整除 教学目标： 1、理解整除的定义和自然数的意义。知道整除的要素，掌握整除的两种表述方法。 2、理解因数与倍数的意义，会求一个整数的因数和倍数。 3、概括出能被2，5整除的数的特征。 知识要点： 1.1：整数和整除的意义 1、零和正整数统称为自然数。 2、正整数、零、负整数，统称为整数。 3、整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a. 注意整除的条件： 1、除数、被除数都是整数； 2、被除数除以除数，商是整数而且余数为零。 1.2：因数和倍数 1、整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称约数）。 2、一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 1.3：能被2、5整除的数 1、个位上是0，2，4，6，8的整数都能被2整除。 2、能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数。 3、各位上是0或者5的整数都能被5整除。 第二节分解素因数 教学目标： 1、理解素数、合数的意义。 2、能用求因素的方法或查素数表的方法判断一个正整数是否为素数。 3、熟记20以内的全部素数。 4、理解素因数和分解素因数的意义，掌握分解素因数的方法。 5、掌握最大公因数和最小公倍数的算理和方法。 知识要点： 1.4：素数、合数与分解素因数
1、一个正整数，如果只有1和它本身两个因素，这样的数叫做素数，也叫做质数；如果除了1和它的本身以外还有别的因素，这样的数叫做合数。 2、1既不是素数，也不是合数。这样，正整数又可以分为1、素数和合数三类。3 4、每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。把一个合数用素因素相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。 5、一般我们用短除法分解素因数，步骤如下： ①先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除。 ②得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数 为止。 ③然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。 1.5：公因数与最大公因数 1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2、如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素。 3、求几个整数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数。 4、两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数最大公因数。如果这两个数互素，那么它们的最大公因数就是1. 1.6：公倍数与最小公倍数 1、几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2、求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数。 3、求三个数的最小公倍数，取三个数公有的素因数和每两个数公有的素因数，以及再取各自剩余的素因数，所有这些素因数的积就是这三个数的最小公倍数。 拓展： 一个合数的所有因数的个数的算法： 第一步：先把这个合数分解素因数 第二步： ①如果得到的素因数是同一个数，那么这个素因数的个数加1就是这个合数的所有因数的个数。 ②如果得到的素因数不是同一个数，那么把每个素因数的个数加1，连乘起来，积就是这个合数的所有因数的个数。
预备年级第一学期数学知识点汇总 第一章:数的整除 1.零和正整数统称为自然数。正整数、零、负整数统称为整数。 2．整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a. ÷=(其中a、b、c都为整数)称a能被b整除或b能整除a.（区分两种表述）用式子表示：如果a b c 3．整除的条件: 1）除数，被除数都为整数 2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零。 4．整数a被整数b整除，a叫b的倍数(mutiple)，b叫a的因数(factor)(也称为约数) 因数和倍数是相互依存的。 重要结论： 一个整数的因数的个数是的(填:无限或有限)，其中最小的因数是，最大的因数是。 一个整数的倍数的个数是的(填：有限或无限)，其中最小的倍数是。 一个整数最大的倍数。 5．能被2整除的数的特征：个位上的数是0，2，4，6，8 能被5整除的数的特征：个位上的数是0，5 能被10整除（既能被2整除又能被5整除）的数的特征：个位上的数是0 能被3整除的数的特征：各位上的数字的和能被3整除 能被9整除的数的特征：各位上的数字的和能被9整除 6. 能被2整除的整数叫做偶数(even number)，不能被2整除的整数叫奇数(odd number) 奇数：1,3,5,7,9,11,13,……… 偶数：2,4,6,8,10,12,14,……… 7．奇数＋奇数＝偶数偶数＋偶数＝偶数奇数＋偶数＝奇数 奇数－奇数＝偶数偶数－偶数＝偶数奇数－偶数＝奇数 奇数×奇数＝奇数偶数×偶数＝偶数奇数×偶数＝偶数 8. 一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数(prime number),也叫质数； 如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫合数(composite number)，合数总可以写成几个素数相乘的形式
第一章：数的整除 基本知识: (1)零和正整数统称为自然数。最小的自然数为0,最小的正整数为1。 (2)正整数、零和负整数，统称为整数。 (3)整除的条件：1、被除数、除数都是整数。2、商是整数而且没有余数。 a* b若整除，则有两种表述方法：a能被b整除，b能整除a (4)一个数的因数的个数是有限的。最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数的个数是无限的。最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 a* b若整除，则a是b的倍数，b是a的因数。相互依存，不能说成a是倍数、b是因数。 (5)能被2整除的整数，个位上数字为0、2、4、6、8。 能被5整除的整数，个位上数字为0、5。 能被3整除的整数，各个数位上数字之和能被3整除。 (6)—个整数能被2整除为偶数，不能被2整除为奇数。 (7)奇+奇=偶偶+偶=偶奇+偶=奇 奇奇=奇偶偶=偶奇偶=偶 (8)相邻的两个整数相差1。相邻的两个奇数相差2。相邻的两个偶数相差2。 (9)只含有因数1和本身的整数叫做素数或质数。除了1和它本身之外还有别的因数，这样的数 叫做合数。1既不是素数也不是合数。 (10)整数按奇偶可以分为奇数和偶数这两类。整数按因数个数可以分为素数、1、合数这三类。 (11)100 以内的素数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、 53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 (12)51 = 3X 17, 91=7X 13 57=19 X 3 68=17 X 4 (13)2是唯一的偶素数。最小的素数是2，最小的合数是4。 (14)几个整数公有的因数，叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数。几个整数的公 有的倍数叫做他们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 (15)如果两个整数只有公因数1,那么称这两个数互素。 (16)求两个整数的最大公因数：把所有公有的素因数连乘。 求两个整数的最小公倍数：把所有公有的素因数和各自剩余的素因数连乘。 求两个整数的公因数，可以先求出它们的最大公因数，再求出最大公因数的所有因数。 (17)当两个数是互素时，最大公因数是1，最小公倍数是这两个 数的乘积。 当两个数有倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
初中数学知识点梳理（沪教市北综合版） 导言 《初中数学知识点梳理沪教市北综合版》为编者依据沪教版《初中数学》和市北初级中学资优生培训教材《初中数学》的内容综合编撰而成，既吸取了沪教版《初中数学》侧重基础、知识全面的特点，也吸取了市北版《初中数学》拓展广度、延伸深度的特点，实现了两者内容的有机融合，保证了初中数学知识点梳理的基础性、系统性、全面性、拓展性和概括性，能为初中数学的学习提供较好的知识帮助。文中带“（★）”部分为市北版的加深内容，练习带“（★）”部分也为市北版内容。 第一章数的整除 一、知识结构 二、重点和难点 重点：会正确地分解素因数，并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。 难点：求两个正整数的最小公倍数。 第一节整数和整除 1.1整数和整除的意义 ⑴正整数：用来表示物体个数的数1，2，3，4，5…叫做正整数。
⑵负整数：在正整数1，2，3，4，5…之前添上“-”，得到的数-1，-2，-3，-4，-5…叫做负整数。 ⑶ 自然数：零和正整数统称为自然数。 ⑷ 整数：正整数、零、负整数统称为整数。 ⑸ 整除：设a、b是两个整数，且b≠a，若存在整数q，使a＝bq，则称b整除a，或a被b整除，记作b∣a。 （★） 或者说，如果整数a除以整数b(b ≠ 0）所得的商是整数，那么叫做a被b整除，或b能整除a 。 例1：下列哪一个算式的被除数能被除数整除？ 28÷7 10÷3 5÷4 解：因为28÷7＝4 ， 10÷3＝3……1 ， 5÷4＝1.25 ， 所以被除数能被除数整除的是28÷7。
例如：a为整数时， 2∣a(a+1) 6∣a(a+1)(a+2) 24∣a(a+1)(a+2)(a+3) ……（★） 解：由于4个连续的整数中必有1个数为4的倍数，还有另一个数为2的倍数，有1个是3的倍数，因为a、a+1、a+2、a+3为4个连续的整数， 所以，a、a+1、a+2、a+3中必有一个数为4的倍数，另有一个数为2的倍数，有一个数为3的倍数，即为2×3×4=24的倍数。 练习 ⑴是否有最小的自然数？ ⑵是否有最大的整数？ ⑶把下列各数分别填入相应的括号中。 22 －60，12，3.14，0，1，－1，－0.618，— 7 正整数（），负整数（），自然数（），整数（）。 ⑷下列各式中，哪些式子表示整除？ 12÷4＝3 （） 20÷0.5＝40 （） 35÷7＝5 （） 45÷45＝1 （） 4.2÷1.4＝3（） 78÷7.8＝10 （） ⑸ 2.6÷1.3＝2，能不能说2.6能被1.3整除？
数的整除性 定义 设,a b Z ∈，0b ≠，如果存在c Z ∈，使得a bc =成立，则称b 整除a ，记作b a ；不然，则称b 不整除a ，记作|b a /． 每个非零整数a 都有约数1，1-，a ，a -，这4个数称为a 的平凡约数，a 的其他的约数称为非平凡约数． 性质 （1）a b a b ⇒±±； （2）a b ，b c a c ⇒； （3）1122(1,2, ,)i k k b a i k b a x a x a x =⇒+++（其中i x 是任意整数） ； （4）b a bc ac ⇒（其中c 是任意的非零整数）； （5）b a ，0a b a ≠⇒≤； （6）b a ，0a b a <⇒=． 1.已知,,,,a b c d t Z ∈，且10t a b -，10t c d -．求证：t ad bc -． 2.设,a b 是两个给定的非零整数，且有整数,x y ，使得1ax by +=．求证：若 a n ， b n ，则ab n ． 3.已知,,,a b c d Z ∈，且a c ab cd -+．求证：a c ad bc -+． 4.证明：设a 是奇数，若2a n ，则a n ． 5.证明：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，若d b c -， 则()()d f b f c -． 6.已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干个数之和 能被11整除的数组共有多少个？ 7.已知6a b c ++，求证：3336a b c ++． 8.已知n 为大于2的整数，求证：5312054n n n -+．
整除 1、整数： 正整数，零和负整数，统称为整数。 零和正整数统称为自然数。 正整数：在数（shǔ）的时候，用来表示物体个数的数1,2,3,4……叫做正整数。 用0可以表示没有物体，不可以表示量过程中某种量的基准数。Eg：0摄氏度 2、整除的意义 （1）整数数a除以整数数b，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。 [ （2）整除、除尽、除不尽三个概念的区分。 整除：若整数a除以大于0的整数b，商为整数，且余数为0. 除尽：数a除以数b(b≠0)时，所得的商是整数或有限小数，我们就说a能被b除尽。 除不尽：两个数相除，不用余数表示，商是无限小数，这样的两个数叫做除不尽。整除的条件： 1、除数，被除数都是整数。 2、被除数除以除数，商是整数而且余数为0。 3、^ 4、因数、倍数 若a÷b=c（a、b、c为整数），即整数a能被整数b整除，a就叫b的倍数，b就叫a的因数（也成为约数）。 因数和倍数是相互依存的。 一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 5、求一个数的因数的方法：
（1）列乘法算式：根据因数的意义，有序地写出某数的所有两个数乘积的乘法算式，乘法算式中的因数就是该数的因数。 （2）列除法算式：用此数除以任意整数，所得商是整数而无余数，这些除数和商都是该数的因数。 , 数的整除特性 奇数和偶数 偶数：能被2整除的整数叫做偶数。 奇数：不能被2整除的整数叫做奇数。 能被2整除数的特征： 个位上是0,2,4,6,8的整数都能被2整除。 ( 能被5整除数的特征： 个位上是0或5的整数都能被5整除。 既能被2整除又能被5整除的数的特征： 个位上是0的整数。 能被3（或9）整除的数的特征：一个数的各位数字之和能被3（或9）整除。 ？ 能被4（或25）整除的数的特征：一个数的末两位数能被4（或25）整除。 能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
六年级第一学期数学知识汇总（上教版 含练习） 第一章:数的整除 1. 零和正整数统称为自然数。正整数、零、负整数统称为整数。 重点题型： 1. 在8，－10，0，0.25，－50， 7 3 ，100，－8.5中，正整数有 ， 自然数有 ，整数有 2.最小的自然数是 提高：非负整数，如小于3的非负整数有 2. 整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。 用式子表示:如果 a ÷b=c(其中a 、b ，c 都为整数)称a 能被b 整除或b 能整除a 。（区分两种表述） 重点题型： 1. 下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是 ，第二个数能整除第一个数的是 12和24；39和13；54和27；46和4；17和51；84和7 2. 12÷3=4，那么 能被 整除； 能整除 3. 整除的条件: 1）除数，被除数都为整数 2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零。 重点题型： 小明认为2.5能被5整除。这种说法对吗？ 4. 整数a 被整数b 整除,a 叫b 的倍数(mutiple),b 叫a 的因数(factor)(也称为约数) 因数和倍数是相互依存的。 重要结论： 一个整数的因数的个数是 的(填:无限或有限)，其中最小的因数是 ，最大的因数是 。 一个整数的倍数的个数是 的(填:有限或无限)，其中最小的倍数是 ， 一个整数 最大的倍数。 重点题型： 1. 因为4÷2=2,所以4是倍数,2是因数，这种说法对吗？ 2. 一个整数的最大因数减去这个正整数的最小倍数，所得的差一定（ ） A <0 B =0 C >0 D 不等于0 3. 会求一个数的因数：如求105的因数 4. 会求一个数的倍数：如求7的倍数（写出5个） 5. 任何一个正整数至少有两个因数。 ( ) 6. 如果一个数既是12的因数,又是12的倍数,那么这个数一定是 。
上海教育版六上第一章《数的整除》word教案 第一章：数的整除整理与复习（2） 一、知识树 质数与合数----- 分解质因数 因数（约数）公因数----最大公因数 ----互质数 整除能被2整除的数的特征---奇数与偶数 能被3、5整除的数的特征 倍数--------公倍数-----最小公倍数 知识的应用： 1、求一个数的约数和倍数 2、自然数的分类，质数和合数、奇数和偶数的判断。 3、用短除法分解质因数 4、求最大公因数和最小公倍数 应用题：最大公因数和最小公倍数的应用题 二、有关的定义 1、整除的概念（上学期的知识）整数a除以整数b（b=0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者b能整除a。 能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数 能被5整除的数的特征：个位上是0或5的数 能被3整除的数的特征：各个位上数的和能被3整除，这个数就能被3整除。 能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。 a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 2、数 一个数的约数的个数是有限的，最小的约数是1，最大的约数是它本身。 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大
的倍数。 3、一个数除了1和它本身以外，不再有别的因数，这个数叫质数。 一个数除了1和它本身以外，还有别的因数，这个数叫合数。 “1”即不是素数，也不是合数。 4、把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。 5、几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大一个叫这几个数的最大公约数。 几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫这几个数的最小公倍数。 公约数只有1的两个数叫互质数 互质数由两个合数组成：8和9，一个合数，一个质数： 3和4，两个质数：2和3 三、练习：按内容复习 一、复习约数和倍数的意义 1、什么叫做约数?什么叫做倍数? 2、以24÷8＝3说说谁是谁的约数?谁是谁的倍数? 3、判断题。(1)因为15能被3整除，所以说15是倍数，3是约数。( ) (2)一个数的约数一定小于这个数的倍数( ) (3)除0以外的数都是自然数( ) (4)因为A能整除B，所以B是A的约数( ) (5)6的倍数有：6、12、18、24 ( ) (6)18的约数有：1、2、3、6、9 ( ) 4、填空。(1)一个数的约数的个数是的，它的最小的约数是，最大的约数是。 (2)一个数的倍数的个数是的，它的最小的倍数是，它没有最大的倍数。 (3)18能被6 ，18是6的，是的约数。 (4)100以内17的倍数有。 二、复习能被2、5整除的数的特征 1、怎样的数能被2整除、被5整除? 2、什么叫做偶数?什么叫做奇数?最小的偶数和奇数各是几?有无
第一章数的整除教材分析 第一章数的整除 教学中要注意的问题 “数的整除”作为小学算术、小学数学的教学内容由来己久。这部分内容的特点是概念多，而且抽象，概念之间的联系紧密。因此被认为是小学数学中发展学生的逻辑思维能力，特别是判断、推理能力不可多得的重要内容。二期课改中把这部分内容编排在初中阶段。 本章中概念较多，而且比较抽象，概念的前后联系非常紧密，教学时要找准知识的“固着点”和“生长点”，联系学生己有知识，通过具体事例来讲清概念，使用教材中的图表和集合图给学生提供表象支撑，加强概念的理解。再通过例题巩固相关内容；最后回到解决实际问题中去深化理解。减少运算的训练量，注重运算的合理性和多样性. 1. 理解自然数和整数的定义 2. 在本章学习的整数，在没有特别说明时，都是指正整数. 3. 理解整除的意义 整除的意义：整数a除以整数b（记作a÷b），如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除(a÷b);或者说b能整除a(a÷b)．训练学生规范表述整除的两种表达方式 4. 整除的条件：三整一零 5. 整除和除尽的关系 6. 理解因数和倍数的意义及它们之间的相互依 存关系，整数a能被整数b整除(a÷b)，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数(注意完整表述)．掌握求一个正整数的因数和倍数的方法，知道一个数的因数有有限个，倍数有无限个，注意不遗漏. 本章只限制在正整数范围内研究问题，所以不必扩展, 不必对学生作解释，只要教学时不涉及0就可以了. 找一个数的倍数或因数，既能巩固倍数和因数的 概念，也为研究2，5的倍数的特征以及建构素数和合数的意义作
准备. 探索找一个数的倍数或因数的方法，教学重点是建立相应的数学模型，经历“实际问题一数学模型一解释应用”的过程. 7.有关数轴 8、《数学课程标准》明确要求:在1--100的自然数中，找出10以内某个自然数的所有倍数;在1--100的自然数中，找出某个自然数的所有因数.教材在编排练习题时，严格遵守这些规定。第7页第4题写36等的倍数，只要从小到大写出3个，并用省略号表示个数无限。 另外，第2题让学生体会倍数与因数是一种关系，客观存在于两个具体的自然数之间。因此，要通过完整的语言表达关系，让学生体会这种关系，如2是4的因数、4是2的倍数，不能说成“4是倍数”或“2是因数”. 9、偶数的概念、特征，最小的偶数 整除问题一般限定在正整数范围考虑，所以实 际仅仅研究了正奇数、正偶数. 10、教学被2，5整除的数的特征，能进一步理解倍数的意义，2和5的倍数的特征都表现在数的个位上，比较明显，易发现，引导学生通过操作、观察、比较、 分析，主动发现和归纳特征. 11、教学中补充能被3整除的数的特征，对后面的学习是有益的，例如判断一个正整数是素数还是合数时，对于87，知道它能被3整除，那一定是合数；在用短除法解决问题时等等. 12、理解素数和合数的概念，课本列出100以内的素数表，不要求学生背出这些素数，但是熟悉20以内常见的8个素数还是必要的，还有一些数，如39、51、91等是合数. 13、“1”既不是素数也不是合数是一种规定，应使学生知道这种规定的合理性，进一步明确素数和合数概念的内涵。 在讲完概念后，可以结合练习1、2增加练习，引导学生区分因数和倍数，素数和合数，奇数和偶数等不同概念，防止将所学知识相互混淆. 14、理解素因数的意义，对于一个数的素因数，要理解两种不同
一周一练 第一章数的整除 1.1 整数与整除的意义--1.3 能被2，5整除的数 一、填空题（每题3分，共30分） 1．最小的自然数是，小于3的自然数是 . 2．最小的正整数是，小于4的正整数是 . 3．20以内能被3整除的数有 . 4．15的因数有，100以内15的倍数有 . 5．24的因数有 . 6．个位上是的整数都能被5整除. 7．523至少加上才能被2整除，至少加上才能被5整除. 8．不超过54的正整数中，奇数有个，偶数有个. 9．两个奇数的积一定是，两个偶数的积一定是，一个奇数与一个偶数的积一定是 .（填“奇数”或“偶数”）. 10．1到36的正整数中，能被5整除的数共有个. 二、选择题（每题4分，共16分） 11．下列算式中表示整除的算式是………………………（） （A）0.8÷0.4＝2；（B）16÷3＝5……1； （C）2÷1＝2；（D）8÷16＝0.5. 12. 下列说法中正确的是…………………………………（） （A）任何正整数的因数至少有两个；（B）1是所有正整数的因数； （C）一个数的倍数总比它的因数大；（D）3的因数只有它本身. 13. 下列说法中错误的是…………………………………（） （A）任何一个偶数加上1之后，得到的都是一个奇数； （B）一个正整数，不是奇数就是偶数； （C）能被5整除的数一定能被10整除； （D）能被10整除的数一定能被5整除；
14．下列各数中既能被2整除又能被5整除的数是………（ ） （A ）12； （B ）15； （C ）2； （D ）130. 三、简答题 15．从下列数中选择适当的数填入相应的圈内.（9分） -200、17、-6、0、1.23、76、2006、-19.6、9、8 3 负整数 自然数 整数 16.下面各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在（ ）内打“√”，否则打“×”. （4分） ① 27和3（ ） ② 3.6和1.2（ ） 17．按要求把下列各数填入圈中：1、2、3、4、6、8、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36. （10分） 72的因数 3的倍数 18．说出下列哪些数能被２整除．（5分） ２，12，48，11，16，438，750，30，55. 19．说出下面哪些数能被5整除，哪些数能被10整数：（12分） 105、34、75、1、215、1000、80、126、2495、1500、106、2000、478 能被5整除的数： 能被10整除的数：
第一章整除理论 整除性理论是初等数论的基础。本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的一些应用。 第一节数的整除性 定义1设a，b是整数，b≠ 0，如果存在整数c，使得 a = bc 成立，则称a被b整除，a是b的倍数，b是a的约数（因数或除数），并且使用记号b∣a；如果不存在整数c使得a = bc成立，则称a不被b整除，记为b|/a。 显然每个非零整数a都有约数±1，±a，称这四个数为a的平凡约数，a的另外的约数称为非平凡约数。 被2整除的整数称为偶数，不被2整除的整数称为奇数。 定理1下面的结论成立： (ⅰ) a∣b⇔±a∣±b； (ⅱ) a∣b，b∣c⇒a∣c； (ⅲ) b∣a i，i = 1, 2, , k⇒b∣a1x1+a2x2+ +a k x k，此处x i（i = 1, 2, , k）是任意的 整数； (ⅳ) b∣a ⇒bc∣ac，此处c是任意的非零整数； (ⅴ) b∣a，a≠ 0 ⇒ |b| ≤ |a|；b∣a且|a| < |b| ⇒a = 0。 证明留作习题。 定义2若整数a≠ 0，±1，并且只有约数±1和±a，则称a是素数（或质数）；否则称a为合数。 以后在本书中若无特别说明，素数总是指正素数。 定理2任何大于1的整数a都至少有一个素约数。 证明若a是素数，则定理是显然的。 若a不是素数，那么它有两个以上的正的非平凡约数，设它们是d1, d2, , d k 。不妨设 d1是其中最小的。若d1不是素数，则存在e1 > 1，e2 > 1，使得d1 = e1e2，因此，e1和e2也是a的正的非平凡约数。这与d1的最小性矛盾。所以d1是素数。证毕。 推论 证明使用定理2中的记号，有a = d1d2，其中d1 > 1是最小的素约数，所以d12≤a。证毕。 例1设r是正奇数，证明：对任意的正整数n，有 n+ 2|/1r+ 2r+ +n r。 解对于任意的正整数a，b以及正奇数k，有