平行四边形基础知识

平行四边形平行四边形是特殊的四边形,它具有许多特点,我们要认真研究。

因为矩形,菱形,正方形等特殊的平行四边形的知识都是建立在这个基础之上的,所以掌握平行四边形的知识不仅是学好本部分的关键,也是学好全章的关键。

一.重点:平行四边形的概念,性质和判定是这部分的重点。

二.知识要点:(一)平行四边形定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

(二)平行四边形的性质: 从它的边,角,对角线三个方面进行研究。

1.由定义知平行四边形的对边平行。

2.两组对边分别相等；3.两组对角分别相等；4.对角线互相平分；5.平行四边形是中心对称图形。

(三)平行四边形的判定。

1.利用定义判定。

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

5.对角线互相平分的四边形是平行四边形。

三.例题:(一)要熟练掌握平行四边形的性质及判定,就要学会多角度地思考问题,要学会认真审题,注意题设中的关键词语,如:"两组","互相","平行且相等"等等,并会举反例否定一个命题。

例1.判断正误(我们要判断一个命题是假命题,举一个反例即可)1.一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形。

()分析:如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠A=∠C, ∵∠A+∠D=180°,∠B+∠C=180°, ∴∠B=∠D,∴四边形ABCD是平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)。

∴此命题正确。

2.一组对边平行,一组对边相等的四边形是平行四边形。

()分析: 此命题不正确。

反例：AB∥CD,AD=BC,但四边形ABCD不是平行四边形。

3.一组对边平行,一组对角互补的四边形是平行四边形。

()分析: 是错误的。

反例：如图, AB∥CD,∠A+∠C=180°,但四边形ABCD不是平行四边形。

四年级数学平行四边形的判断在四年级的数学学习中，平行四边形是一个重要的图形。

掌握判断平行四边形的方法对于解题和几何思维的培养都非常关键。

本文将详细介绍四年级数学中判断平行四边形的方法和技巧。

1. 平行四边形的定义平行四边形是指四边形的对边是平行的，即任意一对对边都是平行的。

而对边是指四边形中的两条边之间没有其他边干扰。

根据平行四边形的定义，我们可以判断平行四边形的方法如下。

2. 判断边是否平行在判断平行四边形时，我们首先要确定四边形的边是否是平行的。

如果我们能够证明任意一对边是平行的，那么这个四边形就是平行四边形。

判断边是否平行有以下几种方法：a. 边角关系法通过观察边与边之间的夹角关系，我们可以推断边是否平行。

如果四边形中的两组对角线相等，并且相邻的内角互补（即相加等于180度），则这两条边是平行的。

例如，如果四边形的内对角线之和等于180度且对角线相等，那么这四条边就是平行的。

b. 平面几何法利用平面几何知识，我们可以借助两条或多条直线相交于同一点的关系，判断边是否平行。

如果四边形中的两组对边之间的对应角相等，那么这四条边就是平行的。

例如，如果四边形中的内对应角相等，则这四条边是平行的。

3. 判断边是否等长在了解边是否平行的基础上，我们还需要判断这些边是否等长。

如果四边形的对边不仅是平行的，而且长度相等，那么这个四边形就是平行四边形。

判断边是否等长有以下几种方法：a. 直观法通过观察四边形的边长，我们可以直观地判断它们是否相等。

可以使用尺子或直尺工具进行测量，并比较各个边的长度。

如果发现对边的长度完全相等，则这个四边形是平行四边形。

b. 公式法利用平面几何知识，我们可以通过知道四边形两组对边的长短关系，判断边是否等长。

如果四边形中的两组对边分别等长，则这四条边是等长的。

例如，如果四边形中的内对边的和等于外对边的和，则这四条边是等长的。

4. 综合判断在判断平行四边形时，我们可以综合应用前面所述的方法，将边的平行关系和边长关系结合起来进行判断。

平行四边形的判定定理（基础）【学习目标】1.平行四边形的四个判定定理及应用，会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形．2.会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题．【要点梳理】要点一、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 【典型例题】类型一、平行四边形的判定1、如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF 都是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形．【思路点拨】欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形．【答案与解析】证明：∵四边形AECF为平行四边形，∴ AF∥CE．∵四边形DEBF为平行四边形，∴ BE∥DF．∴四边形EGFH为平行四边形．【总结升华】平行四边形的定义既包含平行四边形的性质，又可以用来判定一个四边形是平行四边形，即平行四边形的两组对边分别平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．举一反三：【变式】（厦门校级一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】证明：∵∠BAD的平分线交直线BC于点E，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∴∠1=∠F，∵CE=CF，∴∠F=∠3，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．2、（青海）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：（1）DE=BF；（2）四边形DEBF是平行四边形．【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△ADE≌△CBF，即可推得DE=BF．（2）首先判断出DE∥BF；然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，推得四边形DEBF是平行四边形即可．【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD=CB，∴∠DAE=∠BCF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF．（2）由（1），可得△ADE≌△CBF，∴∠ADE=∠CBF，∵∠DEF=∠DAE+∠ADE，∠BFE=∠BCF+∠CBF，∴∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，又∵DE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，以及全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．3、（张掖校级模拟）已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．求证：四边形PBQD是平行四边形．【思路点拨】证明四边形是平行四边形有很多种方法，此题可由对角线互相平分来证明．【答案与解析】证明：连接BD交AC与O点，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，又∵AP=CQ，∴AP+AO=CQ+CO，即PO=QO，∴四边形PBQD是平行四边形．【总结升华】本题主要考查平行四边形的判定，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DC，连接CF．试说明：D是BC的中点.【答案】证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEB中，∵,,,＝＝＝AFE DBEAEF DEB AE DE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF=BD，∵AF=DC，∴BD=DC，∴D是BC的中点.类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用4、如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．（1）猜想探究：BE与DF之间的关系： ________________.（2）请证明你的猜想．【思路点拨】（1）BE平行且等于DF；（2）连接BD交AC于O，根据平行四边形的性质得出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF即可．【答案与解析】（1）解：BE和DF的关系是：BE=DF，BE∥DF，故答案为：平行且相等．（2）证明：连接BD交AC于O，∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，∴BFDE是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理是你解决本题的关键，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能力．举一反三：变式：如图，在ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．请你猜想BE与DF的关系，并说明理由．【答案】解：猜想BE与DF的关系是BE=DF，BE∥DF，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴AD-AE=BC-CF，即DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．5、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC 于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．（1）求证：PA=PC．（2）若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四边形ABCD的面积．【思路点拨】（1）首先在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF，可得PN=PM，则易证四边形EMFN是平行四边形，则可得ME=FN，∠EMA=∠CNF，即可证得△EAM≌△FCN，则可得PA=PC；（2）由PA=PC，EP=PF，可证得四边形AFCE为平行四边形，易得△PED≌△PFB，则可得四边形ABCD为平行四边形，由AB=15，AD=12，∠DAB=60°，即可求得四边形ABCD的面积．【答案与解析】（1）证明：在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF．∵AP+AE=CP+CF，∴PN=PM．∵PE=PF，∴四边形EMFN是平行四边形．∴ME=FN，∠EMA=∠CNF．又∵∠AME=∠AEM，∠CNF=∠CFN，∴△EAM≌△FCN．∴AM=CN．∵PM=PN，∴PA=PC．（2）解：∵PA=PC，EP=PF，∴四边形AFCE为平行四边形．∴AE∥CF．∵∠PED=∠PFB，∠EPD=∠FPB，EP=PF，∴△PED≌△PFB．∴DP=PB．由（1）知PA=PC，∴四边形ABCD为平行四边形．∵AB=15，AD=12，∠DAB=60°，∴四边形ABCD的面积为903．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质等知识．此题图形比较复杂，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．【巩固练习】一.选择题1.（雁江区模拟）点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点，点M是平面内任意一点，若P、Q、R、M四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点M有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( ).A．1组 B．2组 C．3组 D．4组3. 下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比, 其中能识别四边形ABCD为平行四边形的是( ).A. 1:2:3:4B. 2:3:2:3C. 2:2:3:3D. 1:2:2:14. 如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形5. 已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a、b、c、d，且a2+ab-ac-bc=0，b2+bc-bd-cd=0，那么四边形ABCD是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形6. 如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为（）A．甲＜乙＜丙 B．乙＜丙＜甲 C．丙＜乙＜甲 D．甲=乙=丙二.填空题7. （商水县期末）如图，E、F是ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：，使四边形AECF是平行四边形．8. 如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，直线EF过点O且EF∥AD，直线GH过点O且GH∥AB，则能用图中字母表示的平行四边形共有______________个．9．（龙安区月考）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E在AB边上从A向B以1cm/s 的速度移动，同时点F在CD边上从C向D以2cm/s的速度移动，若AB=7cm，CD=9cm，则秒时四边形ADFE是平行四边形．10. 如图，已知等边△ABC的边长为8，P是△ABC内一点，PD∥AC，PE∥AD，PF∥BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，则PD+PE+PF=______________.11．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．12．（黎川县期末）如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点．有下列结论：①AD=BC，②△DHG≌△BFE，③BF=HO，④AO=BO，⑤四边形HFEG是平行四边形，其中正确结论的序号是．三.解答题13．（河南模拟）如图，在口ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：（1）△BEG≌△DFH；（2）四边形GEHF是平行四边形．14.（长春模拟）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为边AB、BC的中点，点F在边AC的延长线上，∠FEC=∠B，求证：四边形CDEF是平行四边形．15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长.【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】解：如图，连接PQ、QR、PR，分别过P、Q、R三点作直线l∥QR、m∥PR、n∥PQ，分别交于点D、E、F，∵DP∥QR，DQ∥PR，∴四边形PDQR为平行四边形，同理可知四边形PQRF、四边形PQER也为平行四边形，故D、E、F三点为满足条件的M点，故选C．2.【答案】C；【解析】①②③能判定平行四边形.3.【答案】B；【解析】平行四边形对角相等.∠A与∠C为对角，∠B与∠D为对角.4.【答案】A；【解析】∵分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，∴AD=BC AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．故选A．5.【答案】A；【解析】由a2+ab-ac-bc=0，可知（a+b）（a-c）=0，则a-c=0，即a=c；由b2+bc-bd-cd=0，可知（b+c）（b-d）=0；则b-d=0，即b=d．（其中a，b，c，d都是正数，a+b、b+c一定不等于0）由a=c；b=d知四边形ABCD的两组对边分别相等，则四边形ABCD是平行四边形．故选A．6.【答案】D；【解析】图1中，甲走的路线长是AC+BC的长度；延长AD和BF交于C，如图2，∵∠DEA=∠B=60°，∴DE∥CF，同理EF∥CD，∴四边形CDEF是平行四边形，∴EF=CD，DE=CF，即乙走的路线长是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的长；延长AG和BK交于C，如图3，与以上证明过程类似GH=CK，CG=HK，即丙走的路线长是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的长；即甲=乙=丙，故选D．二.填空题7.【答案】BE=DF；【解析】添加的条件是BE=DF，理由是：连接AC交BD于O，∵平行四边形ABCD，∴OA=OC，OB=OD，∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形．故答案为：BE=DF．8.【答案】18；【解析】图中平行四边形有：AEOG，AEFD，ABHG，GOFD，GHCD，EBHO，EBCF，OHCF，ABCD，EHFG，AEHO，AOFG，EODG，BHFO，HCOE，OHFD，OCFG，BOGE．共18个．故答案为：18．9.【答案】3；【解析】解：设t秒时四边形ADFE是平行四边形；理由：当四边形ADFE是平行四边形，则AE=DF，即t=9﹣2t，解得：t=3，故3秒时四边形ADFE是平行四边形．故答案为：3．10．【答案】8；【解析】过E点作EG∥PD，过D点作DH∥PF，∵PD∥AC，PE∥AD，∴PD∥GE，PE∥DG，∴四边形DGEP为平行四边形，∴EG=DP，PE=GD，又∵△ABC是等边三角形，EG∥AC，△BEG为等边三角形，∴EG=PD=GB，同理可证：DH=PF=AD，∴PD+PE+PF=BG+GD+AD=AB=8．．11．【答案】平行四边形；12.【答案】①，②，③，⑤；【解析】解：平行四边形ABCD中，∴AD=BC，故①正确；∵平行四边形ABCD，∴DC∥AB，DC=AB，OD=OB，∴∠CDB=∠DBA，∵E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点，∴DG=BE=AB，DH=BF=OD，∴②△DHG≌△BFE，故②正确；∵HO=DH，DH=BF，∴BF=HO，故③正确；平行四边形ABCD，OA=OC，OB=OD，故④错误；E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点，∴HG∥OC，HG=OC，EF∥OA，EF=OA，∴HG∥EF，HG=EF，HEFG是平行四边形，故⑤正确；故答案为：①，②，③，⑤．三.解答题13.【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥DC，∴∠ABE=∠CDF，∵AG=CH，∴BG=DH，在△BEG和△DFH中，，∴△BEG≌△DFH（SAS）；（2）∵△BEG≌△DFH（SAS），∴∠BEG=∠DFH，EG=FH，∴∠GEF=∠HFB，∴GE∥FH，∴四边形GEHF是平行四边形．14.【解析】证明：∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，∴DE ∥AC ，CD=AB=AD=BD ，∴∠B=∠DCE ，∵∠FEC=∠B ，∴∠FEC=∠DCE ，∴DC ∥EF ，∴四边形CDEF 是平行四边形．15.【解析】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴AC∥DE．又∵CE∥AD，∴四边形ACED 是平行四边形．∴DE＝AC ＝2在Rt△CDE 中，由勾股定理2223CD CE DE -=∵D 是BC 的中点，∴BC＝2CD ＝3在Rt△ABC 中，由勾股定理22213AB AC BC +=． ∵D 是BC 的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC ＝4∴四边形ACEB 的周长＝AC ＋CE ＋BE ＋BA ＝10＋213。

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结杭信一中何逸冬一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2ABCD记作 ABCD，读作“平行四边形ABCD”．2．熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S=底高ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等=⨯的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形二、．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行；②一组对边不平行，同时要注意和平行四边形义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形．2．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分相等，对角线与边的夹角为450；④对称性：轴对称图形（4条）．（4）等腰梯形：①边：上下底平行但不相等，两腰相等；②角：同一底边上的两个角相等；对角互补对角：对角线相等；④对称性：轴对称图形（上下底中点所在直线）．3．几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形②有一组邻边相等的矩形；③对角线互相垂直的矩形．④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形；（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形①同一底两个底角相等的梯形；②对角线相等的梯形．4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．③说明四边形ABCD的三个角是直角．（2）识别菱形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直．③说明四边形ABCD的四条相等．（3）识别正方形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等．③先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．④先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个角为直角．（4）识别等腰梯形的常用方法①先说明四边形ABCD为梯形，再说明两腰相等．②先说明四边形ABCD为梯形，再说明同一底上的两个内角相等．③先说明四边形ABCD为梯形，再说明对角线相等．5．几种特殊四边形的面积问题①设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab．②设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形=12 ab．③ 设正方形ABCD 的一边长为a ，则S 正方形=2a ；若正方形的对角线的长为a ，则S 正方形=212a ．④ 设梯形ABCD 的上底为a ，下底为b ，高为h ，则S 梯形=1()2a b h ．平行四边形 矩形 菱形 正方形 图形性质1．对边且 ；2．对角 ； 邻角 ；3．对角线； 1．对边且 ；2．对角且四个角都是 ；3．对角线；1．对边 且四条边都 ；2．对角 ； 3．对角线 且每 条对角线 ；1．对边 且四条边都 ；2．对角 且四个角都是 ； 3．对角线 且每条对角线 ；面积【素材积累】1、只要心中有希望存摘，旧有幸福存摘。

平行四边形章节知识梳理一.知识点：1、定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形．定义中的“两组对边平行”是它的特征，抓住了这一特征，记忆理解也就不困难了．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．同学们要在理解的基础上熟记定义．2、性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角对称性四个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心；（5）面积：①=底×高=ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形4、．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：1.平行四边形；2.一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：1.平行四边形；2.一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：1.一组对边平行；2.一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．5．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：1.边：对边平行且相等；2.角：对角相等、邻角互补；3.对角线：对角线互相平分且相等；4.对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．（2）菱形：1.边：四条边都相等；2.角：对角相等、邻角互补；3.对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；4.对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．（3）正方形：1.边：四条边都相等；2.角：四角相等；3.对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；4.对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．6、几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一个角是直角的菱形；②有一组邻边相等的矩形；③对角线相等的菱形；④对角线互相垂直的矩形．7、几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．③说明四边形ABCD的三个角是直角．（2）识别菱形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．②先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直． ③说明四边形ABCD 的四条边相等．（3）识别正方形的常用方法①先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等．②先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③先说明四边形ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．④先说明四边形ABCD 为菱形，再说明菱形ABCD 的一个角为直角．二、几种特殊四边形的面积问题（1）设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则 S 矩形=ab ．（2）设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则 S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则 S 菱形=2ab。

平行四边形专题详解18.1 平行四边形知识框架{基础知识点{ 平行四边形的定义平行四边形的性质平行四边形的判定定理三角形中位线定理典型题型{利用平行线的性质求角度平行线间距离的运用平行四边形的证明难点题型{平行四边形间距离的应用平行四边形有关的计算平行四边形的有关证明一、基础知识点知识点1 平行四边形的定义1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。

平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD 表示为“▱ABCD ”，读作“平行四边形ABCD ”注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形 2）平行四边形的高：一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。

3）两条平行线之间的距离：一条直线上任一点到另一直线的距离。

平行线间距离处处相等。

例1.如图，AB ∥EG ，EF ∥BC ，AC ∥FG ，A ，B ，C 分别在EF ，EG 上，则图中有 个平行四边形，可分别记作 。

例2.如图，▱ABCD 中，DE ⊥AB ，BF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=DF 。

例3.如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法错误的是（）A.AB=CDB.CE=FGC.直线a，b之间的距离是线段AB的长D.直线a，b之间的距离是线段CE的长知识点2 平行四边形的性质平行四边形的性质，主要讨论：边、角、对角线，有时还会涉及对称性。

如下图，四边形ABCD是平行四边形：1）性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC2）性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC3）性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD（矩形的对角线才相等）；②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO（菱形对角线才平分角）4）性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。

第十八章平行四边形【思维导图】【平行四边形】(1)平行四边形的定义与表示定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

表示：平行四边形用“□”表示。

2)符号“□”必须与表示顶点的字母同时使用，不能单独使用。

的顺序依次排列。

点拨：1)在用“□”表示平行四边形时， 应把表示顶点的字母按顺时针或逆时针边形。

平行四边形ABCD 记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。

如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ∥BC ，那么四边形ABCD 是平行四(2)平行四边形的基本元素如图，在□ABCD 中，邻边：AD 和AB ，AD 和DC ，DC 和BC ，BC 和AB对边：AB 和DC ，AD 和BC邻角：∠BAD 和∠ADC ，∠ADC 和∠DCB ，∠DCB 和∠ABC ，∠ABC 和∠BAD 对角：∠BAD 和∠BCD ，∠ABC 和∠ADC对角线：AC 和BD【平行四边形的性质】性质1：平行四边形的对边相等几何语言：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AD=BC性质2：平行四边形的对角相等几何语言：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠C ，∠B=∠D下面证明性质1和2证明：如图2，连接AC。

∵AD∥BC，AB∥CD∴∠1=∠2，∠3=∠4.又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠BAD=∠BCD性质3：平行四边形的对角线互相平分几何语言：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=0C=1/2AC，OB=OD=1/2BD【典例】(中考)在□ABCD中，下列结论一定正确的是(）A.AC⊥BDB.∠A+∠B=1800C.AB=ADD.∠A≠∠C解析：平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直，所以选项A错误；@简单初中生平行四边形的邻角互补，所以选项B正确；平行四边形的对边相等但邻边不一定相等，所以选项C错误；平行四边形的对角相等，所以∠A=∠C，所以选项D错误。

五年级数学平行四边形知识点在五年级的数学学习中，平行四边形是一个重要的几何图形。

让我们一起来深入了解一下平行四边形的相关知识吧！一、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

这是平行四边形最基本的特征，也是判断一个四边形是否为平行四边形的重要依据。

二、平行四边形的性质1、对边平行且相等平行四边形的两组对边分别平行，而且长度相等。

这意味着如果我们知道了其中一组对边的长度，就可以推知另一组对边的长度。

2、对角相等平行四边形的两组对角分别相等。

比如一个角是 60 度，那么它的对角也是 60 度。

3、邻角互补相邻的两个角之和为 180 度。

比如一个角是 80 度，那么与它相邻的角就是 100 度。

4、对角线互相平分平行四边形的两条对角线相交于一点，并且这一点将两条对角线平分。

三、平行四边形的面积平行四边形的面积等于底乘以高。

这里的底是指平行四边形的任意一条边，高是指从这条底边对应的顶点向底边所作的垂线段的长度。

例如，一个平行四边形的底是 8 厘米，高是 5 厘米，那么它的面积就是 8×5 ＝ 40 平方厘米。

需要注意的是，计算面积时，底和高必须是对应的。

四、平行四边形的周长平行四边形的周长等于两组对边的长度之和。

假设平行四边形的相邻两条边分别为 a 和 b，那么周长 C ＝ 2×（a ＋ b)。

五、平行四边形的判定1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

六、平行四边形的应用在日常生活中，平行四边形的应用非常广泛。

比如窗户的框架、小区的伸缩门、停车位的标线等等，都能看到平行四边形的身影。

在数学解题中，我们常常需要利用平行四边形的性质和判定来解决问题。

例如，已知一个平行四边形的一组对边和一个角的度数，求其他边的长度和角的度数；或者已知一个四边形的边和角的关系，判断它是否为平行四边形。

四年级数学平行四边形知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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小学平行四边形的性质平行四边形是小学数学中较为简单的几何形状之一，其定义和性质都很容易理解。

本文将详细讲述小学平行四边形的性质。

一、平行四边形的定义与特点平行四边形是由四条边相互平行的四边形，有如下特点：1. 对边平行：平行四边形的两组对边分别平行；2. 对边相等：平行四边形的对边相等；3. 同旁内角相等：平行四边形同旁内角互补。

二、平行四边形的证明以下为平行四边形的证明：（1）证明对边平行作平行于其中一边的直线，它与另一条边的延长线相交，交点分别为P、Q。

则由同旁内角相等可得∠ABC=∠ADC，∠DQC=∠DAB.那么：∠ADC+∠DAB=180°∠ABC+∠BCD=180°即有∠ABC+∠DAB=∠ADC+∠BCD=180°∴AB∥CD（2）证明对边相等作平行于BC的直线，它与AD相交于点E，连接BE，CE.如图，AB∥CD，∠ABE=∠DCB，∠AEB=∠CDB，所以三角形AEB与三角形DCE相似，即：AE/DC=AB/CD（同旁内角互补）∴AE=DC同理可得：BE=EC, AB=CD（3）证明同旁内角相等如图，作平行于BC的直线，与AD，DC，AB分别交于点E,F,G.易证∠CBE=∠FGC，∠FGB=∠DCB，又∠GBF=∠CED，三角形GBF 与三角形CED相似，即：ED/GF=CE/BF（同旁外角互补）∴ED=GF同理易证∠FGE=∠FDE，而∠FGE=∠ABD，相加得∠ABD=∠DCB.三、平行四边形的面积平行四边形的面积公式为S＝底×高（其中底为任意一边的长度，高为与它相对应的高的长度）。

四、常见问题：菱形和矩形与平行四边形的关系菱形是一种特殊的平行四边形，其对角线相等；矩形也是一种特殊的平行四边形，其相邻两边相互垂直；平行四边形可以理解为菱形和矩形的“合体”。

五、小学平行四边形的应用平行四边形在小学数学中有很多应用。

例如，我们可以利用它的特性来求解各种题目，如：1. 给出平行四边形的两条边长以及高，求面积；2. 给定平行四边形的某一边长及对角线，求另一边长；3. 给定平行四边形的某一角度，求另一角度。

八下平行四边形基础讲解《八下平行四边形基础讲解篇一》嘿，同学们！今天咱们就来唠唠八下平行四边形的那些基础知识。

平行四边形啊，就像是数学世界里的一个大家族，成员还不少呢。

咱先从平行四边形的定义说起。

啥叫平行四边形呢？简单来说，就是两组对边分别平行的四边形呗。

你可以想象啊，就像两条铁轨，它们平行着向前延伸，然后又有另外两条平行的铁轨和它们交叉，这样围起来的四边形就是平行四边形啦。

比如说咱们教室的窗户框，很多都是平行四边形的形状，也许你之前都没太注意呢。

那平行四边形有啥性质呢？这可就多了去了。

它的对边那是相等的，就好像双胞胎似的，两边的长度一模一样。

还有啊，它的对角也是相等的。

这时候可能有人会问了：“为啥呀？”哎，这就是平行四边形的奇妙之处啦。

你可以这么想，把平行四边形看作是一个被压变形的长方形，长方形的对边和对角相等，平行四边形也继承了这个“优良传统”呢。

平行四边形的对角线也有特点。

它们是互相平分的，就像两个好朋友，平分着彼此的东西。

我给你们讲个我自己的事儿啊。

我刚开始学平行四边形的时候，老是把对角线的性质给搞混，总觉得是相等的。

结果做题的时候就错得一塌糊涂，那叫一个惨啊。

我当时就想，这平行四边形怎么就这么难搞呢？不过后来我就想了个笨办法，我自己画了好多不同形状的平行四边形，然后把它们的对角线都量一量，比划比划，慢慢地就记住这个性质了。

咱再说说平行四边形的判定。

怎么才能知道一个四边形是平行四边形呢？这就像是一个小谜题。

首先，如果两组对边分别相等，那这个四边形就是平行四边形。

这就好比两个人，两边的手臂一样长，那他们站在那的形状就像平行四边形啦。

还有啊，如果一组对边平行且相等，这也行。

就像一个人向前走的步伐，一步一步，平行而且距离相等，这样也能构成平行四边形。

另外，如果对角线互相平分，那这个四边形也是平行四边形。

平行四边形在生活中的应用也不少呢。

像那种可伸缩的晾衣架，它在伸缩的过程中，很多部分就构成了平行四边形。

初二数学平行四边形的判定知识精讲人教义务几何【学习目标】1．掌握并会证明平行四边形的四个判定定理．2．能灵活运用平行四边形的五种判定方法进行有关的计算和证明．【主体知识归纳】平行四边形的判定：1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2．判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．3．判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．4．判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．5．判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【基础知识精讲】1．平行四边形的判定定理，是相应性质定理的逆定理，学习时将它们进行对照，有利于记忆．2．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．平行四边形的知识运用包括：（1）直接运用平行四边形的性质去解决某些问题，例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍、分等；（2）判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；（3）先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质去解决某些问题．【例题精讲】［例1］在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下六个说法：（1）如果再加上条件“AD∥BC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（2）如果再加上条件“AB＝CD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（3）如果再加上条件“∠DAB＝∠DCB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（4）如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（5）如果再加上条件“AO＝CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（6）如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．其中正确的说法有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个剖析：本题是一道给出结论和部分条件，让学生探索附加条件的各种可能性的开放性题目，解答这类选择题，一定要严格按照平行四边形的定义及判定定理，认真考查六种说法．说法（1）符合平行四边形的定义；说法（2）符合平行四边形的判定定理4；说法（3）由AB ∥CD和∠DAB＝∠DCB，可推断出AB＝CD或AD∥BC，也正确；说法（4）可举出反例；说法（5）能证出BO＝DO，符合平行四边形的判定定理3；说法（6）不符合平行四边形的判定定理．答案：B［例2］如图4－23，在ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．图4—23（1）连结_____．（2）猜想：_____＝_____．（3）证明：剖析：容易猜想连结BF，证明BF＝DE．如图4－24，可连结DF、DB，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形BFDE是平行四边形，从而证明猜想的结论．又可猜想连结DF，证明DF＝BE，证明方法可同上面猜想结论的证明方法．图4—24解法一：（1）BF（2）BFDE（3）证明：连结DB、DF，设DB、AC交于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，DO＝OB，∵AE＝FC，∴AO－AE＝OC－F C．∴EO＝FO．∴四边形EBFD为平行四边形．∴BF＝DE．解法二：（1）DF（2）DFBE（3）证明：（略）说明：（1）本例解法一中又可通过△BCF≌△DAE等证明BF＝DE．（2）本例是结论猜想型的题目，此类题型是中考中常见题型．［例3］如图4－25，已知AD为△ABC的中线，E为AC上一点，连结BE交AD于F，且AE＝FE．求证：BF＝A C．图4—25剖析：延长AD到N，使DN＝AD，构造出平行四边形ABN C．证明：延长AD到N，使DN＝AD，连结BN、，则四边形ABNC为平行四边形．∴BN＝AC，BN∥AC，∴∠1＝∠4．∵AE＝FE，∴∠1＝∠2．∵∠2＝∠3，∠1＝∠4，∴∠3＝∠4．∴BN＝BF，∴BF＝A C．说明：当题目中有三角形中线时，常利用加倍中线构造平行四边形，然后再应用平行四边形的知识证题，用这种方法比利用加倍中线构造全等三角形要方便、简捷．【同步达纲练习】1．填空题（1）一个四边形的边长依次是a、b、c、d，且a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形是_____．（2）用两个全等三角形按不同方法拼成四边形，在这些四边形中，平行四边形的个数是_____．（3）四边形ABCD中，已知AB∥CD，若再增加条件______，可知四边形ABCD为平行四边形．（4）如图4－26，在ABCD中，E、F分别是对角线BD上两点，且BE＝DF，要证明四边形AECF是平行四边形，最简捷的方法是根据_____来证明．图4—26（5）如图4－27，在ABCD中，E、F分别是AB、CD边上的点，且BE＝DF，要证明四边形AECF是平行四边形，可证明_____ _____．图4—27（6）在四边形ABCD中，给出下列论断：①AB∥DC；②AD＝BC；③∠A＝∠C．以其中两个作为题设，另外一个作为结论，用“如果……，那么……”的形式，写出一个你认为正确的命题______．2．选择题（1）下列命题是真命题的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形C．两条平行线间的垂线段就是这两条平行线的距离D．平行四边形的一条对角线平分一组对角（2）如图4－28，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BEDF，不一定是平行四边形的是（）图4—28A．DE⊥AC于E，BF⊥AC于F（图①）B．BE平分∠ABC，DF平分∠ADC（图②）C．E是AB的中点，F是CD的中点（图③）D．E是AB上一点，EF⊥AB（图④）（3）把两个全等的不等腰三角形拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4（4）如图4－29，在ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，GH、EF的交点P在BD上，图中面积相等的平行四边形有（）图4—29A．0对 B．1对 C．2对 D．3对3．如图4－30，在ABCD中，AC、BD交于点O，EF过点O分别交AB、CD于E、F，AO、CO的中点分别为G、H．求证：四边形G E H F是平行四边形．图4—304．如图4－31，已知O是ABCD对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交AB、CD 于E、F两点．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）填空：不增加辅助线的原图中，全等三角形共有_____对．图4—315．如图4－32，在△ABC中，E、G在BC边上，且BE＝GC，AB∥EF∥GH．求证：AB＝EF＋GH．图4—326．已知：平行四边形ABCD，试用两种方法，将平行四边形ABCD分成面积相等的四个部分．（要求用文字简述你所设计的两种方法，并正确画出图形）．【思路拓展题】想一想图4—33如图4－33，田村有一呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树，田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想?若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由（画图要保留痕迹，不写作法）参考答案【同步达纲练习】1．（1）平行四边形（2）3 （3）AB＝CD（或AD∥BC，或∠A＝∠C等）（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）AECF（6）如果AB∥CD，∠A＝∠C，那么AD＝B C．2．（1）B （2）D （3）C （4）D3．提示：先证△AOE≌△COF，得OE＝OF，再证OG＝OH．4．（1）提示：证△AOE≌△COF，得OE＝OF（2）25．提示：过E作ED∥AC交AB于D，先证△BED≌△GCH，得BD＝GH，再证AD＝EF．6．略．【思路拓展题】想一想如图所示。

平行四边形的性质与计算一、平行四边形的定义与性质1.平行四边形是一种四边形，其对边平行且相等。

2.平行四边形的对角相等。

3.平行四边形的对边相等。

4.平行四边形的对角线互相平分。

5.平行四边形的任意一条对角线将平行四边形分成两个三角形，这两个三角形的面积相等。

6.平行四边形的对边平行且相等，所以其对边上的高也相等。

7.平行四边形的对角线互相平分，所以其对角线的中点到相邻边的距离相等。

二、平行四边形的计算1.面积计算：平行四边形的面积等于底乘以高。

2.周长计算：平行四边形的周长等于两条平行边的和乘以2。

3.对角线长度计算：平行四边形的对角线长度可以通过勾股定理计算。

4.面积计算的变种：如果平行四边形的对角线互相平分，那么平行四边形的面积可以通过对角线的长度计算。

三、平行四边形的判定1.如果一个四边形的对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。

2.如果一个四边形的对角相等，那么这个四边形是平行四边形。

3.如果一个四边形的对边相等，那么这个四边形是平行四边形。

4.如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。

四、平行四边形的应用1.平行四边形在几何图形中的应用：平行四边形是许多复杂图形的基础。

2.平行四边形在建筑设计中的应用：平行四边形的性质使得建筑设计更加灵活。

3.平行四边形在日常生活中的应用：例如，在摆放物品时，平行四边形的性质可以帮助我们更有效地利用空间。

五、注意事项1.理解平行四边形的性质与计算方法，不要死记硬背。

2.在解决实际问题时，要注意灵活运用平行四边形的性质。

3.平行四边形的性质与计算在学习过程中只是基础，要继续深入学习其他图形的性质与计算。

以上是关于平行四边形的性质与计算的知识点总结，希望对你有所帮助。

习题及方法：1.习题：判断下列图形中哪些是平行四边形。

A. 两个对边平行且相等的四边形B. 两个对角相等的四边形C. 两个对边相等的四边形D. 对角线互相平分的四边形答案：A、B、C、D都是平行四边形。

平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定在我们的数学世界中，四边形家族有着众多成员，而平行四边形则是其中相当重要的一位。

平行四边形，简单来说，就是两组对边分别平行的四边形。

这看似简单的定义，却蕴含着丰富的性质和判定方法，同时还衍生出了一些特殊的四边形，它们各自具有独特的性质和判定条件。

先来说说平行四边形的性质。

平行四边形的对边是相等的，比如一个平行四边形的两条相邻边分别是 5 厘米和 8 厘米，那么它的另外两条边也分别是5 厘米和8 厘米。

不仅对边相等，它的对角也是相等的。

想象一下一个平行四边形的两个对角，一个是 60 度，那么与之相对的角也是 60 度。

另外，平行四边形的两条对角线还互相平分。

这意味着如果有一条对角线被分成了两段，比如一段是 3 厘米，另一段是 5 厘米，那么另一条对角线被分成的两段长度也分别是 3 厘米和 5 厘米。

再谈谈平行四边形的判定方法。

如果一个四边形的两组对边分别相等，那么它就是平行四边形。

比如说，一个四边形的两组对边分别是 6 厘米和 8 厘米，那就可以判定它是平行四边形。

还有，如果一组对边平行且相等，那也能判定这个四边形是平行四边形。

就好像一条边是 5 厘米且与另一条边平行，而另一条边也是 5 厘米，这样就能得出它是平行四边形的结论。

此外，两组对边分别平行或者对角线互相平分的四边形，同样也是平行四边形。

从平行四边形这个大家庭中，又衍生出了一些特殊的四边形，比如矩形、菱形和正方形。

矩形，首先它是一个平行四边形，在此基础上，它的四个角都是直角。

这使得矩形具有一些独特的性质。

矩形的对角线是相等的，比如说一个矩形的两条对角线长度分别是 10 厘米，那就说明这两条对角线是一样长的。

矩形的判定方法也比较明确，如果一个平行四边形有一个角是直角，那么它就是矩形。

或者说，如果一个四边形的对角线相等且互相平分，那它也是矩形。

菱形，同样是平行四边形的一员，但它的特点是四条边都相等。

菱形的对角线互相垂直且平分每组对角。

平行四边形个数规律平行四边形问题是初中数学中的一个重要问题，涉及到平行四边形的数量规律，是了解平行四边形的性质和特点的基础，也是考查学生运用图形化方法解决数学问题的能力的一种方法。

本文将介绍关于平行四边形数量规律的相关知识，以及如何解决这类问题。

1. 基本概念平行四边形是由4条平行的线段所组成的四边形，具有以下基本性质：（1）对角线互相平分。

（2）对角线相交于一点，该点即平行四边形的中心点。

（3）对边相等，相邻角互补，即两个相邻角的和等于180度。

解题时，我们需要先确定图形的各个要素，然后再根据提供的条件求其数量。

常见的条件包括图形中某些线段的长度、角的度数、图形的排列方式等等。

（1）单一平行四边形数量如果是只有一组平行四边形问题，则其数量可以通过给定的条件求得。

比如，已知一个平行四边形的两边长分别为x和y，求在满足条件的前提下，另外可以构造出多少个平行四边形。

如果我们将该平行四边形分别作为底边和顶边，则会构成4个平行四边形。

如果一幅图形涉及到多个平行四边形，则需要利用一些特定的条件和性质，求解其数量。

下面介绍几种常见的情况。

① 平行排列的平行四边形由若干个平行排列的平行四边形构成的图形，要求对相邻的平行四边形，相邻边长互相平分，求该图形中平行四边形的数量。

解题思路：根据题目所给的条件，我们可以将所有的平行四边形都画出。

设相邻两个平行四边形的底边长度分别为a和b，因为相邻边互相平分，所以相邻顶边长度分别为a/2和b/2。

再将这些顶边连成一条线，我们会发现这条线与底边之间恰好构成一个平行四边形。

因此，每个相邻的平行四边形都能够构造出一个平行四边形，即一共有n-1个平行四边形（其中n 为平行四边形的数量）。

由m个平行四边形排成一个环形，且相邻的平行四边形的底边重合（即这些平行四边形形成一条环形带）。

对于一个单独的平行四边形，可以将其作为其他平行四边形的底边或顶边。

如果我们确定一个平行四边形作为底边时，它可以向上或向下延伸，以构成一个新的平行四边形。

平行四边形四年级知识点总结平行四边形四年级知识1平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等;平行四边形的对角相等;平行四边形的两条对角线互相平分;平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点; 平行四边形的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形;两组对边分别平行的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;两条对角线互相平分的四边形是平行四边形;矩形矩形特有的性质：矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等;(外垂直内相等)矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形;有三个角是直角的四边形是矩形;菱形菱形特有的性质：四条边都相等;对角线互相垂直;(外相等内垂直)每条对角线平分一组对角;菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四边相等的四边形是菱形;正方形正方形特有的性质：四条边都相等;四个角都是90°;对角线相等且互相垂直平分;每条对角线平分一组对角。

正方形的判定：四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形; 一组邻边相等的矩形是正方形;对角线互相垂直的矩形是正方形;有一个角是直角的菱形是正方形;对角线相等的菱形是正方形;平行四边形四年级知识21.定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形2.平行四边形的性质(1)平行四边形的对边平行且相等;(2)平行四边形的邻角互补，对角相等;(3)平行四边形的对角线互相平分;3.平行四边形的判定平行四边形是几何中一个重要内容，如何根据平行四边形的性质，判定一个四边形是平行四边形是个重点，下面就对平行四边形的五种判定方法，进行划分：第一类：与四边形的对边有关(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;第二类：与四边形的对角有关(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;第三类：与四边形的对角线有关(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形常见考法(1)利用平行四边形的性质，求角度、线段长、周长;(2)求平行四边形某边的取值范围;(3)考查一些综合计算问题;(4)利用平行四边形性质证明角相等、线段相等和直线平行;(5)利用判定定理证明四边形是平行四边形。

人教版四年级数学上册平行四边形的周
长知识点归纳
本文档旨在归纳和总结人教版四年级数学上册中关于平行四边
形的周长的知识点。

平行四边形的定义和性质
- 平行四边形是指两对相邻边分别平行的四边形。

- 平行四边形的性质包括：两对相邻边相等，两对相邻角相等，对角线互相平分。

平行四边形的周长计算方法
- 平行四边形的周长可以通过将所有边长相加得到。

- 如果平行四边形的边长为a、b、c、d，则周长L=a+b+c+d。

平行四边形周长实例计算
示例一：
已知平行四边形的边长为3cm、5cm、3cm、5cm，求其周长。

解：根据周长计算公式，周长L=3+5+3+5=16cm。

示例二：
已知平行四边形周长为20cm，其中两条相邻边长分别为4cm、6cm，求另外两条边长。

解：设另外两条边长为a和b，根据周长计算公式，我们有
4+6+a+b=20。

整理得到a+b=10。

由于平行四边形的性质，可以得
出a=4，b=6。

所以，另外两条边长分别为4cm和6cm。

总结
通过本文档，我们了解了人教版四年级数学上册中关于平行四
边形的周长的知识点。

平行四边形的定义和性质提供了计算的基础，而周长计算公式则告诉我们如何计算平行四边形的周长。

在实例计
算中，我们可以根据已知条件计算未知边长。

希望本文档对你的学
习有所帮助！。