点、直线、平面之间的位置关系
一、线、面之间的平行、垂直关系的证明
书中所涉及的定理和性质可分为以下三类：
1、平行关系与平行关系互推；
2、垂直关系与垂直关系互推；
线面垂直判定定理 线面垂直的定义 面面垂直性质定理（需加线线垂直）
两平面的法线垂
直则两平面垂直 面面垂直判定定理
垂直的两平面的法线互相垂直
线面平行判定定理 线面平行性质定理 面面平行定义（交点）
线面平行转化
面面平行判定定理
面面平行性质定理
两平面内分别垂直于交线的直线互相垂直
两平面内分别垂直于交线的直线互相垂直，则两平面垂直
面面垂直定义
3、平行关系与垂直关系互推。
以线或面为元素，互推的本质是以某一元素为中介，通过另外两元素与中介元素的垂直或平行关系，推导出该两元素的关系，总共有21种情况，能得出结论的有以下9种情况。
线线平行传递性：b c c a b a //////??
??； 面面平行传递性：γαβγβα//////??
??； 线面垂直、线面垂直?线面平行：
ααββα//a a a ???
????⊥⊥； 线面垂直?线线平行（线面垂直性质定理）：b a b a //??
??⊥⊥αα； 线面垂直?面面平行：βαβα//??
??⊥⊥a a ； 线面垂直、面面平行?线面垂直：βαβα⊥??
??⊥a a //； 线线平行、线面垂直?线面垂直：αα⊥??
??⊥b a b a //； 线面垂直、线面平行?面面垂直：βααβ⊥??
??⊥a a //。 备注：另外证明平行关系时可以从最基本的定义交点入手，证明垂直关系时可以从最基本的定义角度入手。
符号化语言一览表
①线面平行ααα////a a b b a ????????；αββα////a a ?????；ααββα//a a a ???
????⊥⊥； ②线线平行:////a a a b b α
βαβ??????=?；b a b a //????⊥⊥αα；////a a b b αβαγβγ??=???=?
；b c c a b a //////????； ③面面平行:,////,//a b a b O a b αααβββ????=????；βαβα//????⊥⊥a a ；γαβγβα//////????；
④线线垂直:b a b a ⊥??
???⊥αα； ⑤线面垂直:,,a b a b O l l a l b ααα????=?⊥??⊥⊥?
；,l a a a l αβαββα⊥??=?⊥???⊥?；
βαβα⊥????⊥a a //；αα⊥??
??⊥b a b a //； ⑥面面垂直：二面角
900; βααβ⊥??
??⊥?a a ；βααβ⊥????⊥a a //； 二、立体几何中的重要方法
1、求角：（步骤-------Ⅰ找或作角；Ⅱ求角）
⑴异面直线所成角的求法：
①平移法：平移直线，构造三角形；
②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系． 注：还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角．
⑵直线与平面所成的角：①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平面距离h ，与斜线段长度作比，得sin θ；③三线三角公式12cos cos cos θθθ=． 注：还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角．
⑶二面角的求法：①定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解； ②垂面法：作面与二面角的棱垂直；③投影法（三垂线定理）；④面积摄影法． 注：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法；
还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角．
2、求距离：（步骤-------Ⅰ找或作垂线段；Ⅱ求距离）
⑴两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算；或转化为线面距离、点面距离；
⑵点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解；
⑶点到平面的距离：①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解；②等体积法；还可用向量法：d =．
3、证明平行、垂直的理论途径：
①证明直线与直线的平行的思考途径：
（1）转化为判定共面二直线无交点（定义）；
（2）转化为两直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行．
②证明直线与平面的平行的思考途径：
（1）转化为直线与平面无公共点（定义）；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行．
③证明平面与平面平行的思考途径：
（1）转化为判定两平面无公共点（定义）；
（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直．
④证明直线与直线的垂直的思考途径：
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直．
⑤证明直线与平面垂直的思考途径：
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直（定义）；（2）转化为该直线与平面内相交的两条直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面交线垂直．
⑥证明平面与平面的垂直的思考途径：
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直．