浙教版数学八年级上三角形初步培优复习提高讲义

《三角形的初步知识》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 理解三角形有关的概念,掌握三角形内角和定理的证明，能应用内角和定理进行相关的计算及证明问题.2. 理解并会应用三角形三边关系定理解答问题.3.了解三角形中三条重要的线段及其性质，并能正确的用尺规作出三角形三条重要线段.4.理解命题与定理的意义，并能判断命题的真假；掌握几何证明的正确表述格式.5.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式，而且要用利用图形全等的解决实际生活中存在的问题.6. 掌握常见的尺规作图方法，并根据三角形全等判定定理利用尺规作一个三角形与已知三角形全等.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的分类1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.要点三、三角形的三边关系1.定理：三角形任意两边之和大于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．2.三角形的重要线段：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.要点四、命题、定理与证明1.命题：判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.要点诠释：（1）对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发生，如果这句话不能对于结果给予肯定或者否定的回答，那它就不是命题；（2）每一个命题都可以写成“如果…,那么…”的形式，“如果”后面为题设部分，“那么”后面为结论部分；2.定理：如果一个命题是真命题（正确的命题），那就可以称它为定理.3.证明 从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明．要点五、全等三角形的性质与判定1.全等三角形的性质全等三角形对应边相等，对应角相等.2.全等三角形的判定定理全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）. “全等三角形判定2——“边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.全等三角形判定3——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.全等三角形判定4——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.要点六、用尺规作三角形1.基本作图利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知识作一个三角形与已知三角形全等；要点诠释：要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达.【典型例题】类型一、三角形的内角和1.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少? 【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，∵ BD是AC边上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定义)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．综上，∠C的度数为60°或30°．【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．举一反三【变式】已知：如图，在ΔABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD、CE相交于H，则∠BHC的度数为 .【答案】135°.类型二、三角形的三边关系及分类2.（2016•长沙模拟）一个三角形的三边长分别是3，2a-1，6,则整数a的值可能是( )．A．2,3 B．3,4 C．2,3，4 D．3,4，5【思路点拨】直接利用三角形三边关系，得出a的取值范围.【答案】B【解析】解：∵一个三角形的三条边长分别为3，2a-1，6,∴21 219 aa-⎧⎨-⎩＞3＜解得：2＜a＜5，则整数a的值可能是3,4，故选B.【总结升华】主要考察了三角形三边关系，正确得出a的取值范围是解题关键.举一反三【变式】三角形的三边长为2，x-3，4，且都为整数，则共能组成个不同的三角形.当x为时，所组成的三角形周长最大.【答案】三；8 (由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有4-2<x-3<4+2，解得5<x<9，因为x为整数，故x可取6，7，8；当x=8时，组成的三角形周长最大为11).3.（2015春•盱眙县期中）四边形ABCD是任意四边形，AC与BD交点O．求证：AC+BD ＞（AB+BC+CD+DA）．证明：在△OAB中有OA+OB＞AB在△OAD中有，在△ODC中有，在△中有，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA即：，即：AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）【答案与解析】证明：∵在△OAB中OA+OB＞AB在△OAD中有OA+OD＞AD，在△ODC中有OD+OC＞CD，在△OBC中有OB+OC＞BC，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA即2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA，即AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）．故答案为：OA+OD＞AD；OD﹣OC＞CD；OBC；OB+OC＞BC；2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA．【总结升华】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4.在△ABC中，∠A+∠B=∠C，∠B=2∠A，（1）求∠A、∠B、∠C的度数；（2）△ABC按角分类，属于什么三角形？【思路点拨】根据三角形的内角和定理列方程组，直接求∠A、∠B、∠C的度数即可；有角的度数再根据三角形按角分类正确给与分类即可.【答案与解析】解：（1）根据题意得（2）△ABC按角分类，属于直角三角形.【总结升华】几何计算题中，如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程（或方程组）求解的方法叫做方程的思想；求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．举一反三类型三、三角形的重要线段5. 如图13，△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠FCD的度数.【思路点拨】由图可知∠CDF是Rt△CDF的一个内角，求∠CDF可先求出∠FCD，△CDB为直角三角形，所以可以求出∠BCD，而∠FCD=∠BCE－∠BCD.【答案与解析】在△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，由三角形的内角和定理得：∠BCA=180°-72°-40°=68°又CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠BCA=34°，在中，CD⊥AB于D，∠B = 72°∴∠BCD= 90°- 72°= 18°∴∠FCD=∠BCE－∠BCD=34°-18°=16°.即∠FCD =16°.【总结升华】这是三角形内角和定理在直角三角形中的应用，直角三角形两个锐角互余，所以在直角三角形中，已知一个锐角的大小，就可以求出另一个锐角的度数.举一反三【变式】如图14，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC 的平分线，求∠DAE的度数．【答案】∠DAE=35°类型四、全等三角形的性质和判定6.已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论.【思路点拨】因为D 是BC 的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF ，使DG ＝DF,证明△EDG ≌△EDF ，△FDC≌△GDB，这样就把BE 、CF 与EF 线段转化到了△BEG 中，利用两边之和大于第三边可证.【答案与解析】BE ＋CF ＞EF ；证明：延长FD 到G ，使DG ＝DF,连结BG 、EG∵D 是BC 中点∴BD＝CD又∵DE⊥DF在△EDG 和△EDF 中ED ED EDG EDF DG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EDG ≌△EDF （SAS ）∴EG＝EF在△FDC 与△GDB 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DG DF BD CD 21∴△FDC≌△GDB(SAS)∴CF＝BG∵BG＋BE ＞EG∴BE＋CF ＞EF【总结升华】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）. 举一反三：【变式】（2015•南充）如图，△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，AE=CE ．求证：（1）△AEF ≌△CEB；（2）AF=2CD ．【答案】证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠CFD=∠B，∵∠CFD=∠AFE，∴∠AFE=∠B在△AEF与△CEB中，，∴△AEF≌△CEB（AAS）；（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∵△AEF≌△CEB，∴AF=BC，∴AF=2CD．类型五、用尺规作三角形7.已知：线段a，b求作：△ABC，使AB=a，BC=b，AC=2a．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【思路点拨】首先画线段AC=2a，再以A为圆心，a长为半径画弧，再以C为圆心，b长为半径画弧，两弧交于点B，连接AB、BC即可．【答案与解析】解：如图所示：，△ABC即为所求．【总结升华】此题主要考查了作图，关键是掌握作一条线段等于已知线段的方法；利用三角形全等判定定理”边边边”解决本题．举一反三【变式】作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）如图，已知，∠α、∠β．求作∠AOB，使∠AOB=2∠α+∠β．【答案】解：只要方法得当，有作图痕迹就给分，无作图痕迹不给分．。

三角形边之间的关系1、_____________cm 8cm 5cm 4cm 2为可以组成三角形的个数，那么取三根组成一个三角形长的四根木棒，任意选，，，现有 2、的取值范围边则第三满足其中的三边长分别为设△c ,0)4(6,,,,2=+-+-+b a b a b a c b a ABC 3、个形的个数有的三角，但不是最短边，这样为整数，其中一边长是已知三角形的三边长均_________44、PC BP AC AB ABC P +>+内任意一点，证明：是△如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．求证：AD<12 (AB+AC)AC AB CE DE BD E D ABC +<++两点，求证：中有如图，在△,三角形角与角的关系1、求法呢？写出你的思考）想一想，还有其他的的度数）求，平分，于点，中，如图，在△216080AEC B DAC AE D BC AD BAC ABC ∠︒=∠∠⊥︒=∠）（，求证：和分别平分已知：如图，D B M BCD BAD CM AM ∠+∠=∠∠∠21,的度数A求∠110=BGC∠140=BDC若∠，G交于CE与BE的平分线平ACD是∠CF的角平分线角ABD是∠BE如图，，，︒︒_________66=∠︒=∠PFGEAMEBANCFABCPAFEG，那么上，如果在，上，点在，点的两外角平分线的交点是△，的两外角平分线的交点是△如图，2、ABPCACBABCPABC∠+︒=∠∠∠21903,2,1求证：角平分线的交点和是，若点，已知△如图3、别为多少度？分，，；依次类推，则；的角平分线，交于点，，再作的角平分线，交于点）的条件下，若再作）在的度数求）若的度数，求）若的角平分线交于点与上，在直线如图，点n32322211111,23Am,2601AAAACEABEAACEABEAAAAAACEABCBEC∠⋯∠∠⋯∠∠∠∠∠=∠∠︒=∠∠∠全等三角形1、（填序号）______．其中正确其中正确DN=CD④；ABM≌△ACN；③△CF=BE；②2∠=1．给给出下列结论：①AF=AE，C∠=B∠90=F∠=E，∠N于FC交AB，D于FC，交M于AC交EB如图，︒2、几对？那么图中全等三角形有，如图，CD＝AB90＝ABC∠DC,∥EF∥AB︒3、DEAFEBCFDFAEDCAB====求证：已知,,,4、下面四个命题:①两个三角形有两边及一角对应相等,则这两个三角形全等;②两个三角形有两角及一边对应相等,则这两个三角形全等; ③两个三角形的三条边分别对应相等,则这两个三角形全等;④两个三角形的三个角分别对应相等,则这两个三角形全等.其中真命题是【】A. ②③B. ①③C. ③④D. ②④5、如图,在等边△ABC中,AD＝BE＝CF,D、E、F不是中点,连结AE、BF、CD,构成一些三角形.如果三个全等的三角形组成一组,那么图中全等的三角形的组数是【】A.3个B.4个C.5个D.6个C'B'A'FEDCBAD OE C B A N E B M A D N C D E B M A 构造全等三角形解决问题1、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，则AD= .2、已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明3、如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?4、如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角 的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？AD B C5、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE6、如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等吗？请说明理由中垂线 角平分线1. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，连接EF ，交AD于G ，AD 与EF 垂直吗？证明你的结论。

浙教版数学八年级上册专题培优讲义专题4直角三角形【知识梳理】1．逆命题和逆定理(1)在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的______，而第一个命题的结论是第二个命题的______，那么这两个命题叫做____________．把其中一个叫做原命题，则另一个叫做它的____________．(2)如果一个定理的逆命题能被证明是______，那么就叫它是原定理的______，这两个定理叫做____________．注意：原命题的真假与逆命题的真假没有任何联系．2．直角三角形的概念有一个角是直角的三角形是直角三角形．3．直角三角形的性质(1)直角三角形的两个______互余．(2)直角三角形斜边上的______等于斜边的______．(3)直角三角形中，______角所对的直角边等于斜边的______．(4)如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么____________.4．直角三角形的判定(1)__________________是直角三角形．(2)如果三角形中________________________，那么这个三角形是直角三角形．5．直角三角形全等的判定(1)SSS，SAS，AAS，ASA.(2)__________________对应相等的两个直角三角形全等(HL)．6．线段垂直平分线、角平分线的逆定理(1)________________________的点在线段的垂直平分线上．(2)角的内部，到角两边距离______的点，在这个角的平分线上．【例题探究】【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△DEF的周长是7，AF⊥BC于点F，BE ⊥AC于点E，且点D是AB的中点，则AF等于()A．5B．7C．3D．7【思路点拨】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝DF＝12AB，EF＝12BC，由△DEF的周长是7，可求得AB的长，然后在Rt△ABF中，用勾股定理可求得AF的长．【例2】说出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，判断这个逆命题的真假，并说明理由．【思路点拨】首先写出原命题的逆命题，然后根据题意画出图形，再结合图形写出已知及求证的内容，最后利用已学知识证明结论为真，即逆命题是真命题．【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上(不与点A，C重合)，DE ⊥AB于点E，连结BD，F为BD的中点，连结EF，CF，CE.(1)求证：FE＝FC.(2)试猜想∠A与∠CEF的关系，并证明．【思路点拨】(1)在Rt△DEB和Rt△DCB中，因为F为BD的中点，所以FE＝12BD，FC＝12BD，即FE＝FC；(2)根据直角三角形的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质计算即可．【例4】如图，BD＝DC，ED⊥BC，交∠BAC的平分线于点E，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，垂足分别为点M，N.求证：BM＝CN.【思路点拨】连结EC，EB.由题意知，DE是BC的垂直平分线，AE是∠BAC的平分线，所以BE＝EC，EM＝EN，即可得出Rt△BME≌Rt△CNE(HL)，即可得出结论．【例5】如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC 的中点，连结EF，交CD于点M，连结AM.(1)求证：EF＝1AC.2(2)若∠BAC＝45°，求线段AM，DM，BC之间的数量关系．【思路点拨】(1)由CD＝CB，点E为BD的中点，根据等腰三角形的“三线合一”性质，可得△AEC是直角三角形，由点F为AC的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得结论；(2)当∠BAC＝45°时，可得△AEC为等腰直角三角形，由线段垂直平分线的性质，可得AM＝CM，再由CD＝CB，得AM＋DM＝BC.【例6】若把一组邻边的平方和与一条对角线的平方相等的四边形叫做勾股四边形，如长方形是勾股四边形．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，且∠BCD＝30°.(1)求证：四边形ABCD是勾股四边形．(2)若BC＝6，CD＝8，求DE的长．【思路点拨】(1)由题意知，△ABC≌△DBE，可得DE＝AC，BC＝BE，证明△CBE为等边三角形，可得EC＝BC，再证∠DCE＝90°，可得DC2＋CE2＝DE2，即DC2＋BC2＝AC2，所以四边形ABCD是勾股四边形；(2)由DC2＋BC2＝AC2，求出AC的长，即可得出DE的长．【例7】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且PA＝3，PB ＝1，PC＝2，求∠BPC的度数．【思路点拨】直接求∠BPC的度数不太容易求出，于是把∠BPC进行适当的转化．因为△ABC是一个特殊的三角形“等腰直角三角形”，如果把△BPC绕着点C顺时针旋转90°到△AP′C，那么BC和AC会重合，△PCP′也是等腰直角三角形，这时再求∠BPC的度数会比较容易．【例8】著名的赵爽弦图(如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c)，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab＋(a－b)2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2＝c2.图1(1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．图2(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A，H，B在同一条直线上)，并新修一条路CH，且CH⊥AB.测得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米．图3(3)在第(2)问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，设AH＝x，求x的值．【思路点拨】(1)四边形ABCD的面积可用梯形面积公式来表示，也可以用三个直角三角形面积的和来表示，根据两次表示的面积相等列出关系式，化简即可得证；(2)(3)问都可以设未知数，根据勾股定理列方程求解．【答案解析】【知识梳理】1．逆命题和逆定理(1)在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．把其中一个叫做原命题，则另一个叫做它的逆命题．(2)如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理．注意：原命题的真假与逆命题的真假没有任何联系．2．直角三角形的概念有一个角是直角的三角形是直角三角形．3．直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角互余．(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．(3)直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．(4)如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.4．直角三角形的判定(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形．(2)如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．5．直角三角形全等的判定(1)SSS，SAS，AAS，ASA.(2)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)．6．线段垂直平分线、角平分线的逆定理(1)到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．(2)角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．【例题探究】【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△DEF的周长是7，AF⊥BC于点F，BE ⊥AC于点E，且点D是AB的中点，则AF等于()A．5B．7C．3D．7【解题过程】∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝12 AB.∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝FC＝3.∵BE⊥AC，∴EF＝12BC＝3，∴△DEF的周长＝DE＋DF＋EF＝AB＋3＝7，∴AB＝4，∴AF＝AB2－BF2＝7.故选B.【方法归纳】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．【例2】说出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，判断这个逆命题的真假，并说明理由．【解题过程】解：逆命题：一边上的中点到另两边的距离相等的三角形是等腰三角形．这个逆命题是真命题．理由如下：已知：如图，在△ABC中，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别为点D，E，MD ＝ME.求证：AB＝AC.证明：∵M是BC的中点，∴BM＝CM.∵MD⊥AB，ME⊥AC，∴∠MDB＝∠MEC＝90°.又∵MD＝ME，∴Rt△MDB≌Rt△MEC(HL)，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.【方法归纳】本题主要考查逆命题的概念、证明的步骤、直角三角形全等的判定、等腰三角形的判定，熟练掌握这些概念和判定是解题的关键．【例3】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在边AC 上(不与点A ，C 重合)，DE ⊥AB 于点E ，连结BD ，F 为BD 的中点，连结EF ，CF ，CE .(1)求证：FE ＝FC .(2)试猜想∠A 与∠CEF 的关系，并证明．【解题过程】(1)证明：∵DE ⊥AB ，∠ACB ＝90°，F 为BD 的中点，∴FE ＝12BD ，FC ＝12BD ，∴FE ＝FC .(2)解：∠A ＝∠CEF ．证明如下：∵FE ＝12BD ＝FB ，FC ＝12BD ＝FB ，∴∠FEB ＝∠FBE ，∠FCB ＝∠FBC ，∴∠EFD ＝2∠EBF ，∠CFD ＝2∠FBC .∵FE ＝FC ，∴∠CEF ＝∠ECF ，∴∠CEF ＝12×(180°－2∠EBF －2∠FBC )＝90°－(∠EBF ＋∠FBC )．∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＝90°－(∠EBF ＋∠FBC )，∴∠A ＝∠CEF .【方法归纳】本题考查了直角三角形的性质：①直角三角形中的两个锐角互余；②直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．熟练掌握上述性质是解题的关键．【例4】如图，BD＝DC，ED⊥BC，交∠BAC的平分线于点E，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，垂足分别为点M，N.求证：BM＝CN.【解题过程】解：如图，连结CE，BE.∵BD＝DC，ED⊥BC，∴DE是BC的垂直平分线，∴BE＝EC(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．∵AE是∠BAC的平分线，EM⊥AB，EN⊥AC，∴EM＝EN(角平分线上的点到角两边的距离相等)．在Rt△MEB和Rt△NEC中，BE＝EC，EM＝EN，∴Rt△MEB≌Rt△NEC(HL)，∴BM＝CN．【方法归纳】本题主要考查线段垂直平分线、角平分线的性质以及直角三角形全等的判定方法，通过画辅助线构造Rt△MEB和Rt△NEC全等是解决问题的关键．【例5】如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC 的中点，连结EF，交CD于点M，连结AM.(1)求证：EF＝12AC.(2)若∠BAC＝45°，求线段AM，DM，BC之间的数量关系．【解题过程】(1)证明：∵CD＝CB，E为BD的中点，∴CE⊥BD，∴∠AEC＝90°.又∵F为AC的中点，∴EF＝12 AC.(2)解：∵∠BAC＝45°，∠AEC＝90°，∴∠ACE＝∠BAC＝45°，∴AE＝CE.又∵F为AC的中点，∴EF⊥AC.∴EF为AC的垂直平分线，∴AM＝CM，∴AM＋DM＝CM＋DM＝CD.又∵CD＝CB，∴AM＋DM＝BC.【方法归纳】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形斜边上中线的性质和线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形和直角三角形的性质．【例6】若把一组邻边的平方和与一条对角线的平方相等的四边形叫做勾股四边形，如长方形是勾股四边形．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，且∠BCD＝30°.(1)求证：四边形ABCD是勾股四边形．(2)若BC＝6，CD＝8，求DE的长．【解题过程】(1)证明：如图，连结CE.根据题意，得△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE.∵∠CBE ＝60°，∴△BCE 是等边三角形，∴∠BCE ＝60°，BC ＝CE .∵∠DCB ＝30°，∴∠DCE ＝90°，∴DC 2＋CE 2＝DE 2，∴DC 2＋BC 2＝AC 2.∴四边形ABCD 是勾股四边形．(2)解：由(1)，得DC 2＋BC 2＝AC 2，∴AC ＝82＋62＝10.∵DE ＝AC ，∴DE ＝10.【方法归纳】本题考查勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质．把线段DC ，BC ，AC 集中到一个直角三角形中是解决问题的关键．【例7】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点P 在△ABC 内，且PA ＝3，PB ＝1，PC ＝2，求∠BPC 的度数．【解题过程】解：如图，把△BPC 绕点C 顺时针旋转90°到△AP ′C ，连结PP ′，则△AP ′C ≌△BPC .∴AP ′＝BP ＝1，P ′C ＝PC ＝2，∠AP ′C ＝∠BPC ，∠ACP ′＝∠BCP .∵∠BCP ＋∠ACP ＝∠ACB ＝90°，∴∠PCP ′＝∠ACP ＋∠ACP ′＝∠ACP ＋∠BCP ＝∠ACB ＝90°，∴△PCP ′是等腰直角三角形，∴PP ′＝22，∠PP ′C ＝45°.在△APP ′中，AP ′2＋PP ′2＝12＋(22)2＝9＝32＝PA 2，∴△APP ′是直角三角形，且∠AP ′P ＝90°，∴∠BPC ＝∠AP ′C ＝∠AP ′P ＋∠PP ′C ＝90°＋45°＝135°.【方法归纳】当某个点在三角形内部的问题难以处理时，不妨先通过旋转变换把点移到三角形外部，再进行求解．【例8】著名的赵爽弦图(如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c )，大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为4×12ab ＋(a －b )2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则a 2＋b 2＝c 2.图1(1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．图2(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A ，B ，其中AB ＝AC ，由于某种原因，由C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H (A ，H ，B 在同一条直线上)，并新修一条路CH ，且CH ⊥AB .测得CH ＝1.2千米，HB ＝0.9千米，求新路CH 比原路CA 少多少千米．图3(3)在第(2)问中若AB ≠AC 时，CH ⊥AB ，AC ＝4，BC ＝5，AB ＝6，设AH ＝x ，求x 的值．【解题过程】解：(1)梯形ABCD 的面积为12(a ＋b )(a ＋b )＝12a 2＋ab ＋12b 2，也可以表示为12ab ＋12ab ＋12c 2，∴12a 2＋ab ＋12b 2＝12ab ＋12ab ＋12c 2，∴a 2＋b 2＝c 2.(2)设CA ＝m .∵AB ＝AC ，∴AH ＝m －0.9.∵CH ⊥AB ，CH ＝1.2千米，∴CA 2＝CH 2＋AH 2，即m 2＝1.22＋(m －0.9)2，解得m ＝1.25，即CA ＝1.25，∴CA－CH＝1.25－1.2＝0.05(千米)．答：新路CH比原路CA少0.05千米．(3)设AH＝x，则BH＝6－x.在Rt△ACH中，CH2＝CA2－AH2.在Rt△BCH中，CH2＝CB2－BH2.∴CA2－AH2＝CB2－BH2，即42－x2＝52－(6－x)2，解得x＝9 4 .【方法归纳】几何图形中线段长度的计算，通常可以设出未知数，然后利用勾股定理列方程求解．。

第二讲 三角形的初步知识【要点梳理】要点一：三角形的概念与分类1．三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。

三角形ABC 记作：△ABC 。

2．三角形的分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形一般等腰三角形等腰三角形不等腰三角形按边分：三角形)1( ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧钝角三角形等腰直角三角形一般直角三角形直角三角形锐角三角形按角分：三角形)2( 要点二：三角形的性质1．边的性质：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

2．角的性质：三角形三个内角和等于1800；三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和。

要点三：三角形的三线问题1、如何作三角形的高线、角平分线、中线？问题2、三角形的高线、角平分线、中线各有多少条？ 问题3、三角形的不同边上的高线分别在什么位置？ 问题4、三角形的中线有什么应用？CBA要点四：全等三角形的概念与性质1.关于全等：能够完全重合的两个图形称为全等图形；能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。

2.关于对应：两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

找全等三角形对应关系方法：①根据全等符号a、全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．b、全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．②根据几何变换得来（例如旋转，平移，对称等）a、有公共边的，公共边常是对应边．b、有公共角的，公共角常是对应角．c、有对顶角的，对顶角常是对应角．③从一些特征入手两个全等的不等边三角形中：一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)。

练习：如右图，已知△ABC≌△ADE，试找出对应边、对应角。

3.关于符号：“全等”可用符号“≌”来表示。

因为有对应关系，所以字母表示顺序有要求。

如右图两个全等三角形：只能表示为△ABC≌△DEF；若△ABC≌△EDF（×），其他一样。

直角三角形（提高）【学习目标】1．认识直角三角形 , 学会用符号和字母表示直角三角形．2．掌握直角三角形两个锐角互余的性质, 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形 .3. 掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用 .4. 领会直角三角形中常规辅助线的添加方法．【要点梳理】要点一、直角三角形的概念有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 . 直角三角形表示方法： Rt△. 如下图，可以记作“ Rt △ABC”.要点诠释：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是 90° . 直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质 .要点二、直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余 . 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 .要点诠释：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形 .含有 30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且 30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半 .要点三、直角三角形判定两个角互余的三角形是直角三角形在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形如图：已知： CD为 AB 的中线，且 CD=AD=B，D 求证：△ ABC是直角三角形．证明：∵ AD=CD，∴∠ A=∠ 1．同理∠ 2=∠ B．∵∠ 2+∠ B+∠ A+∠1=180°，即 2（∠ 1+∠ 2）=180°，∴∠ 1+∠ 2=90°，即：∠ ACB=90°，∴△ ABC是直角三角形．【典型例题】类型一、直角三角形性质的应用11 半得到 CM=1 AB=BM，再根据在直角三角形中， 30°所对的边等于斜边的一半得到CB=122 AB=BM，则 CM=CB，而 D 为 MB的中点，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【答案与解析】证明：∵∠ ACB=90°， M为 AB中点，1∴ CM= AB=BM，2∵∠ ACB=90°，∠ A=30°，1∴ CB=1 AB=BM，2∴ CM=C，B∵ D 为 MB的中点，∴ CD⊥BM，即 CD⊥ AB．【总结升华】本题考查了含 30°的直角三角形的性质： 30°所对的边等于斜边的一半；也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质．举一反三：【变式】在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的 4 倍，求这个直角三角形各个角的度数．【答案】解：设设一个锐角为 x度，则另一个锐角为 4x 度，那么根据三角形内角和定理：三角形内角之和为180°，所以 x+4x+90°=180°，x=18°，4x=72°，答：三角分别为 18°， 72°， 90°．类型二、含有 30°的直角三角形2、在 Rt △ ABC中，∠ C=90°， CD⊥ AB，垂足为点 D．（ 1）如果∠ A=60°，求证： BD=3AD；（ 2）如果 BD=3AD，求证：∠ A=60°．答案】 解：如图，连接 DB．【思路点拨】 （ 1）根据三角形的内角和定理求出∠ ACD=∠B=30°，根据含 30 度角的直角三 角形性质求出 AB=2AC ， AC=2AD 即可；（2）取 AB 的中点 O ，连接 CO ，设 AD=x ，则 BD=3x ， AB=4x ，根据直角三角形斜边上中线求 出 AO=CO ， AD=DO ，证△ COA 是等边三角形即可求出答案．【答案与解析】证明：（1）∵∠ C=90°， CD ⊥AB ，∠A=60°， ∴∠ ACD=∠ B=30°，∵∠ C=90°， CD ⊥ AB ， ∴AB=2AC ， AC=2AD ， ∴ AB=4AD ， ∴BD=3AD ．（ 2）取 AB 的中点 O ，连接 CO ，∵ BD=3AD ，∴设 AD=x ，则 BD=3x ， AB=4x ，∵∠ C=90°， O 是 AB 的中点， ∴OC=OA=2，x1∴ OD ＝ x ＝ CO ，2∵ CD ⊥ AB ，∴∠ OCD=3°0 ，∴∠ COD=6°0 ，∵ OA=O ，C∴△ ACO 是等边三角形，∴∠ A=60°．【总结升华】 本题主要考查对直角三角形斜边上的中线，含 30 度角的直角三角形，等边三 角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 举一反三：变式】如图，在△ ABC 中， BA=BC ，∠ B=120°， AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于D ，求证： AD= 1 DC ．∵ MN 是 AB 的垂直平分线， ∴AD=DB ， ∴∠ A=∠ ABD ， ∵BA=BC ，∠B=120°，1∴∠ A=∠C= ( 180°-120 °) =30°，2∴∠ ABD=30°， 又∵∠ ABC=120°，∴∠ DBC=120° -30 ° =90°，1 ∴ BD= DC ，2 1 ∴ AD= DC ．23、如 图，在 △ABC 中，已 知 AB=AC=2a ，∠ ABC=15°， CD 是腰 AB 上的高 ,求 CD 的长．变式】已 知 ：如图，在 Rt △ABC 中 ，∠C=90°， ∠BAD 1⊥ AB， DE 恰 好 是 ∠ ADB 的 平 分 线 ， 求 证 ： CD= DB ． 2【答案】解 ： ∵ DE ⊥ AB ，【思路点拨】过点C CD ⊥ AB 于 D ，根据等 腰三角 形的性质，三 角形的内 角与角的关系 得到∠ DAC=30°．在 直角 △ACD 中 ，根 据 30°角 所对的直 角边等 的一半解 得 CD 的【答案与解析】解 ： ∵AB=AC ，∠ BAC ， 过 点 D 作 DE外角的关系以及直角三角形中 30 度所对的直角边等于斜边的一半．举一反∴∠ AED=∠ BED=90°，∵ DE 是 ∠ ADB 的 平 分 线 ，∴∠ 3=∠4，又∵ DE=DE ，∴△ BED ≌ △ AED （ ASA ） ，∴ AD=BD ， ∠ 2= ∠ B ，1∵∠ BAD=∠ 2= ∠BAC ，2 ∴∠ 1=∠2= ∠ B ，∴ AD=BD ，又∵ ∠1+∠ 2+∠ B=90 °，∴∠ B=∠ 1= ∠ 2=30 °，在直 角三角 形 ACD 中 ，∠1=30 °， 11∴ CD= AD= BD ．22 类型三、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半CF 是边 AB 上的中线， 且 DC=BF ，DE ⊥CF 于 E ．【思路点拨】 （ 1）连接 DF ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF=BF= AB ， 然后求出 CD=DF ，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；（2）根据等边对等角可得∠ DCF=∠DFC ，∠ B=∠BDF ，再根据三角形的一个外角等于与它不 相邻的两个内角的和解答即可．【答案与解析】（1）解：如图，连接 DF ，∵ AD 是边 BC 上的高， CF 是边 AB 上的中线，∴DF=BF= AB ，∵DC=B ，F∴CD=D ，F∵DE ⊥CF ，∴E 是 CF 的中点；（2）证明：由（ 1）的结论 DF=BF 得∠ FDB=∠FBD ，∵DC=B ，F∴∠DCF=∠DFC ，由外角的性质得∠ FDB=∠DCF+∠DFC=2∠DCF ，∴∠FBD=2∠DCF ，4、如图， △ABC 中，AD 是边 BC 上的高， （1）E 是 CF 的中点吗？试说明即∠B=2∠BCF．【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，熟记各性质是解题的关键．5、（ 2016 春?广饶县期末）如图，△ ABC中， CD、BE 分别是 AB、AC边上的高， M、N 分别是线段 BC、 DE的中点．（1）求证： MN⊥ DE；（2）连结 DM，ME，猜想∠ A与∠ DME之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角△ ABC 变为钝角△ ABC，如图，上述（ 1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．思路点拨】（ 1）连接 DM、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM= BC，ME= BC，从而得到 DM=M，E 再根据等腰三角形三线合一的性质证明；（2）根据三角形的内角和定理可得∠ ABC+∠ACB=18°0 ﹣∠ A，再根据等腰三角形两底角相等表示出∠ BMD+∠ CME，然后根据平角等于 180°表示出∠ DME，整理即可得解；（3）根据三角形的内角和定理可得∠ ABC+∠ACB=18°0 ﹣∠ A，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BME+∠ CME，然后根据平角等于 180°表示出∠ DME，整理即可得解．【答案与解析】解：（1）如图，连接 DM， ME，∵CD、 BE分别是 AB、 AC边上的高， M是 BC的中点，∴DM= BC， ME= BC，∴DM=ME又∵ N为 DE中点，∴MN⊥ DE；（2）在△ ABC中，∠ ABC+∠ACB=18°0 ﹣∠ A，∵DM=ME=BM=，MC∴∠ BMD+∠CME=（180°﹣ 2∠ABC）+（180°﹣ 2∠ ACB），=360°﹣ 2(∠ ABC+∠ ACB)，=360°﹣ 2(180°﹣∠ A)，=2∠ A ，∴∠DME=18°0 ﹣ 2∠A ；（3）结论（ 1）成立，结论（ 2）不成立， 理由如下：在△ ABC 中，∠ABC+∠ACB=18°0 ﹣∠ A ， ∵DM=ME=BM=，MC∴∠ BME+∠CMD=2∠ ACB+2∠ ABC=2（180°﹣∠ A ）=360°﹣ 2∠ A ，∴∠DME=18°0 ﹣（ 360°﹣ 2∠A ）=2∠A ﹣180总结升华】 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质， 角相等的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．举一反三：【变式】已 知 ：如图，△ ABC 中 ，M 为 BC 中 点，DM ⊥ME ，MD 交 AB 于 D ，ME 交 AC∴ BD+EC> DE ．等腰三角形两底答案】证明： 如图， 延长 DM 到 F ，使 MF=DM ，连接 EF 、于 E ． 求 证 ： BD+CE>CF ，在 △ ECF 中 ， EC+FC>EF ，。

三角形的初步认识责编：审核：辅导科目数学学生姓名授课老师上课课次授课日期班型1.理解三角形相关概念及其分类.2.理解三角形的边，角，三线的相关概念及定理.3.掌握尺规作图并能按要求作出图形及辅助线.4.掌握全等三角形的概念，性质与判定.5.理解定义，命题，证明相关概念，能判断命题真假，掌握几何证明正确的书写格式.一、三角形及其相关概念1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.相关概念（1）边：组成三角形的三条线段，叫做三角形的边.（2）顶点：在三角形中，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.（3）角：在三角形中，相邻两边所组成的在三角形内部的角叫做三角形的内角.（4）外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，就叫做三角形的外角.教学目标知识梳理3.表示方法：顶点是A 、B 、C 的三角形，记作△ABC ，读作“三角形ABC ”.4.分类：三角形可以按内角的大小进行分类5.三角形的角（1）三角形的内角和等于180°.（2）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.6.三角形的三边关系三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．（3）证明线段之间的不等关系．7.三角形中的重要线段（1）高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段.（2）中线：连接三角形一个顶点和它的对边中点的线段.⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形（3）角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段.【注】（1）三角形的三条中线交于三角形的内部.（2）三角形的三条角平分线交于三角形的内部.（3）锐角三角形的高都在三角形内部；直角三角形其中两条高恰好是直角边；钝角三角形其中两条高在三角形外部.1.将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为（ D ）.A.75°B.105°C.135°D.165°2.已知，如图，D、B、C、E四点共线，∠ABD+∠ACE=230°，则∠A的度数为__30°___.3.已知三角形的两边长分别为3和4，则第三边长x的范围是__1＜x＜7______.4.下列长度的三条线段能组成三角形的是（ C ）.A.2cm，3cm，6cmB.3cm，4cm，7cmC.5cm，6cm，8cmD.7cm，8cm，16cm5.若线段AM、AN分别是△ABC中BC边上的高线和中线，则（ D ）.A.AM＞ANB.AM＞AN或AM=ANC.AM＜AND.AM＜AN或AM=AN6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法：①点A与点B的距离是线段AB的长；②点A到直线CD的距离是线段AD的长；③线段CD是△ABC边AB上的高；④线段CD是△BCD边BD上的高．上述说法中，正确的个数为（ D ）A．1个 B．2个 C．3个D．4个二、定义、命题与证明1.定义：一般地，能清楚的规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义.2.命题：一般地，判断某一件事情的句子叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题．【注】（1）命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“后面的部分是结论.（2）命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以．3.基本事实：人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，也可称为公理.4.定理：用推理的方法判断为正确的命题.定理也可以作为判断其他命题真假的依据.【注】满足以下两个条件的真命题称为定理：（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.5.证明：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明．证明几何命题时，表述格式一般如下：（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程.【注】在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线.7.下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?(1)若，则；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在△ABC 中，若AB ＞AC ，则∠C ＞∠B 吗?(4)两点之间线段最短；(5)解方程；(6)1＋2≠3．【答案】（1）（2）（4）（6）是命题. 8.下列命题中，真命题的个数有（ A ）①对顶角相等 ②同位角相等 ③4的平方根是2 ④若a ＞b ，则-2a ＞-2bA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、全等三角形的概念和性质1.全等图形：能够重合的两个图形叫做全等图形.【注】（1）全等形⇔形状相同、大小都相等；（2）平移、旋转、轴对称前后的图形是全等形.2.全等三角形：能够重合的两个三角形叫做全等三角形.3.对应点、对应边、对应角两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC ≌△DEF ，“≌”读作“全等于”.其中点A 和点D ，点B 和a b ＜＜-b a -2230x x --=点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C 和∠F是对应角.4.全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等.（2）全等三角形对应边上的高、中线以对应角的角平分线相等.（3）全等三角形的周长相等，面积相等.9.请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是__（1）（4）（5）（6）________.10.如图，△ABC≌△AEF，那么与∠EAC相等的角是（ B ）A．∠ACB B. ∠BAF C. ∠CAF D. ∠AFE11.下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（ C ）A.3个B.2个C.1个D.0个12.如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是___80°___.四、全等三角形的判定1.三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.如图，如果＝AB ，＝AC ，＝BC ，则ABC △≌△.2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.如图，如果AB ＝，A ∠＝∠，AC ＝，则ABC △≌△.【注】（1）这里的角，指的是两组对应边的夹角. （2）有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.3.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.如图，如果A ∠＝∠'A ，AB ＝''A B ，B ∠＝∠'B ，则ABC △≌△'''A B C .''A B ''A C ''B C '''A BC ''A B 'A ''A C '''A BC4.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）. 由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.5.三角形全等的证明思路（1）⎩⎨⎧→→SSSSAS 找第三边找夹角已知两边（2）⎩⎨⎧→→AAS ASA找除夹边外的任一边找夹边已知两角（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→→⎪⎩⎪⎨⎧→→→AAS ASA SAS AAS 找任一角边为角的对边找边上另一角找角的另一边找边的对角边为角的一边已知一边一角13.如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C ，AE=AF ，给出下列结论∶①BE=CF;②∠1=∠2;③△ACN ≌△ABM; ④CD=AE.其中正确的结论有（ C ）.A.1个B.2个C.3个D.4个14.在△ABC 中，已知∠A=60°，∠ABC 的平分线BD 与∠ACB 的平分线CE 相交于点0，∠BOC的平分线交BC 于F ，则下列说法中正确的是___①③④_______.①∠BOE=60° ②∠ABD=∠ACE③OE=OD ④BC=BE+CD.15.如图所示，AC=DB ，∠B=∠C ，求证：AB=CD.【解析】延长AB 、DC 相交于点M ，∵∠B= ∠C,∴∠DBM= ∠ACM .在△DBM 和△ACM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AC DB ACMDBM M M ∴△DBM≌△ACM(AAS).∵DM= AM,MB=MC.∴AM-BM=DM-CM,∴AB=CD.五、角平分线和中垂线的性质定理1.角平分线（1）性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD 平分∠ADB ，点P 是CD 上一点，且PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＝PF.（2）性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.如图，点P 是∠ADB 内CD 上的一点，且PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE=PF ，则CD 平分∠ADB.2.中垂线（1）定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．（2）性质定理：垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（3）性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.16.在直角△AB C中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为___4____.17.已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，下列说法正确的有__4______个.①DA平分∠EDF; ②△EBD≌△FCD; ③△AED≌△AFD; ④AD垂直于BC.18.如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ D ）.A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°19.如图所示，在△ABC 中，∠BAC=130°，AB 的垂直平分线ME 交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线NF 交 BC 于点N ，交AC 于点F ，则∠MAN 为（ A ）.A.80°B. 70°C.60°D.50°六、尺规作图1.角平分线的尺规作图（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于E.（2）分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C. （3）画射线OC ，射线OC 即为所求.2.线段的垂直平分线的尺规作图（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； （2）作直线CD ，CD 即为所求直线．21。

直角三角形（提高）【学习目标】1．认识直角三角形, 学会用符号和字母表示直角三角形．2．掌握直角三角形两个锐角互余的性质, 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形.3. 掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用.4. 领会直角三角形中常规辅助线的添加方法．【要点梳理】要点一、直角三角形的概念有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.要点诠释：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.要点二、直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半.要点三、直角三角形判定两个角互余的三角形是直角三角形.在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.如图：已知：CD为AB的中线，且CD=AD=BD，求证：△ABC是直角三角形．证明：∵AD=CD，∴∠A=∠1．同理∠2=∠B．∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°，即2（∠1+∠2）=180°，∴∠1+∠2=90°，即：∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．【典型例题】类型一、直角三角形性质的应用1、已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点．求证：CD⊥AB．【思路点拨】由∠ACB=90°，M为AB的中点．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CM=12AB=BM，再根据在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半得到CB=12AB=BM，则CM=CB，而D为MB的中点，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【答案与解析】证明：∵∠ACB=90°，M为AB中点，∴CM=12AB=BM，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴CB=12AB=BM，∴CM=CB，∵D为MB的中点，∴CD⊥BM，即CD⊥AB．【总结升华】本题考查了含30°的直角三角形的性质：30°所对的边等于斜边的一半；也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质．举一反三：【变式】在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的4倍，求这个直角三角形各个角的度数．【答案】解：设设一个锐角为x度，则另一个锐角为4x度，那么根据三角形内角和定理：三角形内角之和为180°，所以x+4x+90°=180°，x=18°，4x=72°，答：三角分别为18°，72°，90°．类型二、含有30°的直角三角形2、在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D．（1）如果∠A=60°，求证：BD=3AD；（2）如果BD=3AD，求证：∠A=60°．【思路点拨】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACD=∠B=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出AB=2AC，AC=2AD即可；（2）取AB的中点O，连接CO，设AD=x，则BD=3x，AB=4x，根据直角三角形斜边上中线求出AO=CO，AD=DO，证△COA是等边三角形即可求出答案．【答案与解析】证明：（1）∵∠C=90°，CD⊥AB，∠A=60°，∴∠ACD=∠B=30°，∵∠C=90°，CD⊥AB，∴AB=2AC，AC=2AD，∴AB=4AD，∴BD=3AD．（2）取AB的中点O，连接CO，∵BD=3AD，∴设AD=x，则BD=3x，AB=4x，∵∠C=90°，O是AB的中点，∴OC=OA=2x，∴OD＝x＝12 CO，∵CD⊥AB，∴∠OCD=30°，∴∠COD=60°，∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形，∴∠A=60°．【总结升华】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD= 12DC．【答案】解：如图，连接DB．∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=DB，∴∠A=∠ABD，∵BA=BC，∠B=120°，∴∠A=∠C=12（180°-120°）=30°，∴∠ABD=30°，又∵∠ABC=120°，∴∠DBC=120°-30°=90°，∴BD=12 DC，∴AD=12 DC．3、如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a，∠ABC=15°，CD是腰AB上的高,求CD的长．【思路点拨】过点C作CD⊥AB于D，根据等腰三角形的性质，三角形的内角与外角的关系得到∠DAC=30°．在直角△ACD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半解得CD的长．【答案与解析】解：∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=15°，∴∠DAC=30°，∵AB=AC=2a，∴在直角△ACD中CD= 12AC=a．【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角．三角形的内角与外角的关系以及直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半．举一反三：【变式】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=12∠BAC，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线，求证：CD=12 DB．【答案】解：∵DE⊥AB，∴∠AED=∠BED=90°，∵DE是∠ADB的平分线，∴∠3=∠4，又∵DE=DE，∴△BED≌△AED（ASA），∴AD=BD，∠2=∠B，∵∠BAD=∠2=12∠BAC，∴∠1=∠2=∠B，∴AD=BD，又∵∠1+∠2+∠B=90°，∴∠B=∠1=∠2=30°，在直角三角形ACD中，∠1=30°，∴CD=12AD=12BD．类型三、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，且DC=BF，DE⊥CF于E．（1）E是CF的中点吗？试说明理由；（2）试说明：∠B=2∠BCF．【思路点拨】（1）连接DF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF=BF=AB，然后求出CD=DF，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；（2）根据等边对等角可得∠DCF=∠DFC，∠B=∠BDF，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可．【答案与解析】（1）解：如图，连接DF，∵AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，∴DF=BF=AB，∵DC=BF，∴CD=DF，∵DE⊥CF，∴E是CF的中点；（2）证明：由（1）的结论DF=BF得∠FDB=∠FBD，∵DC=BF，∴∠DCF=∠DFC，由外角的性质得∠FDB=∠DCF+∠DFC=2∠DCF，∴∠FBD=2∠DCF，即∠B=2∠BCF．【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，熟记各性质是解题的关键．5、（2016春•广饶县期末）如图，△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N 分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．【思路点拨】（1）连接DM、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=BC，ME=BC，从而得到DM=ME，再根据等腰三角形三线合一的性质证明；（2）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，再根据等腰三角形两底角相等表示出∠BMD+∠CME，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解；（3）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BME+∠CME，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解．【答案与解析】解：（1）如图，连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM=BC，ME=BC，∴DM=ME又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∵DM=ME=BM=MC，∴∠BMD+∠CME=（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），=360°﹣2（∠ABC+∠ACB），=360°﹣2（180°﹣∠A），=2∠A，∴∠DME=180°﹣2∠A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∵DM=ME=BM=MC，∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC=2（180°﹣∠A）=360°﹣2∠A，∴∠DME=180°﹣（360°﹣2∠A）=2∠A﹣180°．【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，△ABC中，M为BC中点，DM⊥ME，MD交AB于D，ME交AC 于E．求证：BD+CE＞DE．【答案】证明：如图，延长DM到F，使MF=DM，连接EF、CF，∵BM=CM，∠BMD=∠CMF，∴△BDM≌△CFM（SAS），∴BD=CF，∵DM⊥ME，DM=FM，ME是公共边，∴△DEM≌△FEM（SAS），∴DE=FE，在△ECF中，EC+FC＞EF，∴BD+EC＞DE．。

DCBA《三角形的初步认识》复习讲义 知识点1：认识三角形。

1、三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2、三角形的顶点：三个顶点。

3、三角形的边：组成三角形的三条线段。

4、三角形的内角：每两条边所组成的角（简称三角形的角）。

三角形的顶点、边和角为三角形的三要素。

【例1】（1）如图1，点D 在△ABC 中，写出图中所有三角形： ； （2）如图1，线段BC 是△ 和△ 的边；（3）如图1，△ABD 的3个内角是 ，三条边是 。

【例2】如图2，D 是△ABC 的边BC 上的一点，则在△ABC 中∠C 所对的边是 ， 在△ACD 中∠C 所对的边是 ，在△ABD 中边AD 所对的角是 ， 在△ACD 中边AD 所对的角是 。

知识点2：三角形三边的关系： 三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边 【例3】判断：哪组线段首尾相接可以组成三角形？① 3cm ,4cm ，5cm ② 8cm ，7cm ,15cm ③ 12cm ,12cm ，20cm ④ 5cm ， 5cm ,11cm知识点3、三角形内角和 :定理：三角形内角和等于180°。

【例4】一个三角形的三个内角分别为x ，x-10，x+10（x>10°），•则这个三角形三个内角的度数分别为多少？【例5】在△ABC 中，∠A ：∠B=5：7，∠C-∠A=10°，则∠C=________知识点4、三角形外角定理：DCBA1、一般地，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

2、三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。

【例6】如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列正确的有（）①∠5=∠1+∠4 ②∠3=∠1+∠6 ③∠1+∠4+∠6=180°④∠2+∠3+∠5=360°⑤∠3=∠1+∠7 ⑥∠2+∠3+∠7=360°⑦∠2=∠4+∠6 ⑧∠2=∠4+∠7第6题图第7题图第8题图【例7】如图，∠1、∠2、∠3的大小关系为（）【例8】如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∠A的度数是（）【学生练习题1】1、如图，在△ABC中，∠C=30°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于 .2、有四条线段，它们的长分别是2cm、3cm、4cm、5cm，以其中的三条线段为边长，共可组成几种不同的三角形.3、在长方形ABCD中，如图，E为AB上一点，连结DE、EC，∠ADE=40°，∠BCE=60°，求∠1、∠2、∠3的度数.知识点6：三角形角平分线、中线和高的概念1、三角形中的三条线段的概念：三角形中的量重要线段概念图形表示法三角形的角平分线在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。