1.1集合的概念(A)

1.1 集合的概念1．非空集合G 关于运算⊕满足：①对任意a 、b G ∈，都有a b G ⊕∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合及运算中正确的说法有（ ）个（1）G 是非负整数集，⊕：实数的加法； （2）G 是偶数集，⊕：实数的乘法；（3）G 是所有二次三项式组成的集合，⊕多项式的乘法； （4）{}|2G x x a b a b Q==+∈，，，⊕：实数的乘法．A ．1B ．2C ．3D ．42．若集合M=, 则下面结论中正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．3．下列集合中，不同于另外三个集合的是 ( ) A ．x|x ＝1} B ．x|x 2＝1} C ．1} D ．y|(y －1)2＝0} 4．一次函数1y x =+与26y x =+的图像的交点所组成的集合是（ ）A ．{}5,4--B ．5,6C ．(){}5,4--D ．(){}5,6 5．已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，则集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈中元素的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．对于集合{}22,,M a a x y x y ==-∈∈Z Z ，给出如下三个结论：①如果{}21,P b b n n ==+∈Z ，那么P M ⊆；②如果42,c n n =+∈Z ，那么c M ∉；③如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈.其中正确结论的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7．已知集合2{|1},A x x a A =>∈, 则 a 的值可以为A ．-2B ．1C ．0D ．-18．已知集合{}20,,32A m m m =-+，且2A ∈，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．已知集合A ＝x|x<a}，B ＝x|x 2－3x ＋2<0}，若A∩B＝B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a<1B ．a≤1C ．a>2D ．a≥210．已知集合{}|21M x Z x =∈-<≤，则M 的元素个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111．设集合(){},1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．612．对集合1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的一个是 A ．x|x 是小于18的正奇数} B ．x|x=4k+1，k∈Z，且k<5} C ．x|x=4t –3，t∈N，且t≤5} D ．x|x=4s –3，s∈N *，且s≤5}13．下列所给关系正确的个数是①π∈R ；②3Q ∉；③0∈*N ；④|−4|∉*N ． A ．1B ．2C ．3D ．414．若x A ∈，则1A x∈，就称A 是伙伴关系集合，集合111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 A ．15B ．16C ．82D ．5215．用()C A 表示非空集合A 中的元素的个数，定义()()A B C A C B *=-，已知集合A 有三个真子集，()(){}22320,B x ax x x ax x R =+++=∈，若1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．516．设集合{}|2A x x =<，则（ ） A ．2A ∈B ．3A ⊆C ．3A ∉D ．3A ∈17．已知集合{}*2A x N x =∈<，若a A ∈，则a 可能是（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．218．集合{}2*70,A xx x x =-<∈N ∣，则*8,B y y A y⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭N ∣中元素的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个19．集合{}2|--6=0M x x x =，则以下错误的是（ ）A ．－2∈MB ．3∈MC ．M =－2，3}D ．M ＝－2，320．集合A=x } B=} C=}又则（ ） A ．（a+b ） A B ．(a+b) BC ．(a+b) CD ．(a+b)A 、B 、C 任一个参考答案1．B解析：根据新定义运算⊕判断． 详解：（1）任意两个非负整数的和仍然是非负整数，对任意a G ∈，0G ∈，00a a a +=+=，（1）正确；（2）任意两个偶数的积仍然是偶数，但不存在e G ∈，对任意a G ∈，使ae ea a ==，（2）错误；（3）21x x -+和21x x +-是两个二次三项式，它们的积2242(1)(1)21x x x x x x x -++-=-+-不是二次三项式，（3）错误；（4）设x a y c =+=+,,,a b c d Q ∈，则2(xy ac bd ad bc G =+++，而且1G ∈，11x x x ⋅=⋅=，（4）正确．∴正确的有2个． 故选：B. 点睛：本题考查新定义，解题关键是对新定义的理解与应用． 2．A 详解：6<,所以{}a M ⊆ ,故选:A3．B 详解：x|x 2＝1}＝－1,1}，另外三个集合都是1}，选B.4．C解析：联立1y x =+与26y x =+即可求出交点，然后用集合表示出来. 详解： 联立方程126y x y x =+⎧⎨=+⎩，解得5,4xy，即交点为()5,4--，则用集合表示为(){}5,4--.点睛：本题考查用集合表示点的集合，属于基础题. 5．C解析：根据集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈列举求解. 详解：因为集合{}1,2A =，{}2,4B =， 所以集合{}2,4,8M =， 故选：C 6．D解析：①根据2221(1)n n n +=+-，得出21n M +∈，即P M ⊆； ②根据42c n =+，证明42n M ，即c M ∉； ③根据1a M ∈，2a M ∈，证明12a a M ∈． 详解：解：集合22{|M a a x y ==-，x ∈Z ，}y Z ∈， 对于①，21b n =+，n Z ∈， 则恒有2221(1)n n n +=+-，21n M ∴+∈，即{|21P b b n ==+，}n Z ∈，则P M⊆，①正确；对于②，42c n =+，n Z ∈，若42n M ，则存在x ，y Z ∈使得2242x y n，42()()n x y x y ∴+=+-，又x y +和x y -同奇或同偶，若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除，42n M ∴+∉，即c M ∉，②正确；对于③，1a M ∈，2a M ∈，可设22111a x y =-，22222a x y =-，i x 、i y Z ∈； 则2222121122()()a a x y x y =--222212121221()()()()x x y y x y x y =+-- 2212121221()()x x y y x y x y M=+-+∈那么12a a M ∈，③正确． 综上，正确的命题是①②③．点睛：本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题． 7．A解析：先解不等式得{}|11A x x x =><-或，再由元素与集合的关系逐一判断即可得解. 详解：解：解不等式21x >，解得1x >或1x <-， 即{}|11A x x x =><-或， 又2,1,0,1A A A A -∈∉∉∉, 则a 的值可以为-2, 故选A. 点睛：本题考查了二次不等式的解法，重点考查了元素与集合的关系，属基础题. 8．D解析：对2m =或2322m m -+=分类讨论，结合互异性即可得到正确答案. 详解：若2m =，则2320m m -+=，根据集合中元素的互异性，舍去； 若2322,0m m m -+==或3，又0m ≠，故3m =． 故选：D 9．D解析：解一元二次不等式得到集合B ，由A∩B＝B 可得B ⊆A ，结合数轴可得答案. 详解：集合B ＝x|x 2－3x ＋2<0}＝x|1<x<2}，由A∩B＝B 可得B ⊆A ，作出数轴如图,可知a≥2.故选：D 点睛：本题考查由集合的包含关系求参数问题，属于基础题. 10．B解析：根据题意求出集合中的元素，即可得出结果.因为{}{}|211,0,1M x Z x =∈-<≤=-， 所以M 的元素个数为3. 故选：B 点睛：本题主要考查集合中元素个数的判定，熟记集合的表示方法即可，属于基础题型. 11．C解析：根据不等式的特征用列举法表示集合A 进行求解即可. 详解：因为x ∈Z ，所以当0x =时，由1,x y y Z +≤∈可得：0,1y =±； 当1x =时，由1,x y y Z +≤∈可得：0y =； 当1x =-时，由1,x y y Z +≤∈可得：0y =，当x ∈Z ，1x >时，由1,x y y Z +≤∈可知：不存在整数y 使该不等式成立， 所以{}(0,0),(0,1),(0,1),(1,0),(1,0)A =--, 因此A 中元素的个数为5. 故选：C 12．D 详解：A 中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3，7，11，15；B 中集合当k 取负数时，多出了若干元素；C 中集合当t=0时多了–3这个元素，只有D 正确．故选D ．13．B 详解：由R(实数集)、Q(有理数集)、*N (正整数集)的含义知，①②正确，③④不正确．14．A解析：首先确定具有伙伴集合的元素有1,1-，“3和13”，“2和12”等四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求. 详解：根据伙伴关系集合的概念可知：－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3和13，2和12这“四大”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15.故选A. 点睛：本小题主要考查新定义概念的理解，考查集合子集的个数以及非空子集的个数，属于基础题. 15．D解析：由已知条件求得()2C A =，可得出()1C B =或3，然后对实数a 的取值进行分类讨论，确定方程()()22320ax x x ax +++=的解的个数，由此可求得实数a 的所有可能取值，即可得出()C S 的值. 详解：由题意可知，集合A 的真子集个数为()213C A -=，解得()2C A =， 由题中定义可得()()()21A B C A C B C B *=-=-=，()1C B ∴=或3.由题意可知，0为关于x 的方程()()22320ax x x ax +++=的一根.当()1C B =时，则{}0B =，则方程230ax x +=只有一个实根0，可得0a =， 此时，方程220x +=无实根，则{}0B =满足条件；当()3C B =时，则关于x 的方程()()22320ax x x ax +++=有三个根，必有0a ≠，此时，关于x 的方程230ax x +=的两根分别为10x =，23x a=-，分以下两种情况讨论：①若3a -是方程220x ax ++=的一根时，则22339210a a a a ⎛⎫⎛⎫-+⋅-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3a =±.当3a =-时，则()(){}{}22333200,1,2B x x x x x =--+==，合乎题意； 当3a =时，则()(){}{}22333202,1,0B x x x x x =+++==--，合乎题意；②当方程220x ax ++=有两个相等的实根，则280a ∆=-=，解得a =±当a =()(){}22320B x x x ⎧⎫⎪⎪=+++==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，合乎题意；当a =-()(){}22320B x x x ⎧⎪=--+==⎨⎪⎩，合乎题意.因此，{}3,S =--，即()5C S =. 故选：D. 点睛：以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．在解本题中，在求出实数a 的取值后，要代回原集合进行检验，以免产生错解.解析：根据集合和元素之间的关系，直接判断即可得解. 详解：本题考查元素与集合的关系， 由{}|2A x x =<所以2A ∈错误，3 1.7322,A ≈<""⊆属于集合之间的关系，故B 错误，故选：D. 17．C解析：先化简集合A ，再根据a A ∈求解. 详解：集合{}{}*21A x N x =∈<=，因为a A ∈， 所以a 可能是1 故选：C 18．C解析：先求得集合A ，再由已知求得集合B ，由此可得选项． 详解：由已知得2*{|70,}A x x x x N =-<∈{}1,2,3,4,5,6=，又*8,B yy A y⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭N ∣{}1,2,4=，所以*8,B y y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭N ∣中元素的个数为3个． 故选：C. 19．D解析：解一元二次方程，得到方程的解集，再逐个判断. 详解：{}{}2|60=2,3M x x x =--=-，2M ∴-∈，且3M ∈.∴A 、B 、C正确，D 项集合的表示方法错误.故选：D. 20．B1212122,2 1.2214 1.(224a A a k b B b k a b k k k k k ∈⇒=∈⇒=++=++=++因为为的倍数）所以(a+b) C。

1.1 集合的概念1．定义集合运算：(){},,A B z z x x y x A y B ==-∈∈※︳，设集合 {}1,2A =，{}2,3B =，则集合 A B ※ 的所有元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B 解析：求出集合 A B ※ 的所有元素，即得解.详解：当1,2x y ==时，1(12)1z =⨯-=-；当1,3x y ==时，1(13)2z =⨯-=-；当2,2x y ==时，2(22)0z =⨯-=；当2,3x y ==时，2(23)2z =⨯-=-.所以集合 A B ※ 的共有3个元素.故选：B点睛：本题主要考查集合的新定义，考查集合的元素的互异性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．设集合M=x|x 2-3x≤0}，则下列关系式正确的是（ ）A ．2⊆MB ．2∉MC ．2∈MD ．2}∈M答案：C解析：本题已知集合M ，先将相应的不等式化简，得到集合中元素满足的条件，再看元素2是否满足条件，可得到正确选项．详解：230x x -，03x ∴， 2{|30}{|03}M x x x x x ∴=-=．又023<<，2M ∴∈．故选：C ．点睛：本题考查的是集合知识，重点是判断元素与集合的关系，难点是对一元二次不等式的化简．计算量较小，属于容易题．3．已知集合{}012M =,,，则M 的子集有（ ） A ．3个B ．4个C ．7个D ．8个答案：D 解析：根据集合子集的个数计算公式求解.详解：因为集合{}012M =,,共有3个元素，所以子集个数为328=个. 故选：D.4．已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，则集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈中元素的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C解析：根据集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈列举求解.详解：因为集合{}1,2A =，{}2,4B =，所以集合{}2,4,8M =，故选：C5．设全集为U ，定义集合M 与N 的运算：{()*|M N x x M N =∈⋃且()}x M N ∉⋂，则()**N N M = A ．MB ．NC ．U MN D ．U N M答案：A 解析：先由题意得出*N M 表示区域，再由题中的定义，即可得出()**N N M 表示的区域，从而可得出结果.详解：如图所示，由定义可知*N M 为图中的阴影区域，()**N N M ∴为图中阴影Ⅰ和空白的区域，即()**N N M M =.故选A.点睛：本题主要考查集合的交集与并集的应用，熟记概念即可，属于常考题型.6．对于集合{}22,,M a a x y x y ==-∈∈Z Z ，给出如下三个结论：①如果{}21,P b b n n ==+∈Z ，那么P M ⊆；②如果42,c n n =+∈Z ，那么c M ∉；③如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈.其中正确结论的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3答案：D解析：①根据2221(1)n n n +=+-，得出21n M +∈，即P M ⊆；②根据42c n =+，证明42n M ，即c M ∉；③根据1a M ∈，2a M ∈，证明12a a M ∈．详解：解：集合22{|M a a x y ==-，x ∈Z ，}y Z ∈，对于①，21b n =+，n Z ∈，则恒有2221(1)n n n +=+-，21n M ∴+∈，即{|21P b b n ==+，}n Z ∈，则P M ⊆，①正确；对于②，42c n =+，n Z ∈， 若42n M ，则存在x ，y Z ∈使得2242x y n， 42()()n x y x y ∴+=+-， 又x y +和x y -同奇或同偶，若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除，42n M ∴+∉，即c M ∉，②正确；对于③，1a M ∈，2a M ∈，可设22111a x y =-，22222a x y =-，i x 、i y Z ∈；则2222121122()()a a x y x y =--222212121221()()()()x x y y x y x y =+--2212121221()()x x y y x y x y M =+-+∈那么12a a M ∈，③正确．综上，正确的命题是①②③．故选D ．点睛：本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题．7．已知集合 A =1,2,3, 4,5, 6},{|,,,}b T x x a b A a b a ==∈>，则集合T 中元素的个数为A ．9B ．10C ．11D ．12答案：C解析：先阅读题意，再写出集合T 即可.详解：解：由集合 A =1,2,3, 4,5, 6},{|,,,}b T x x a b A a b a ==∈>， 则11213123415,,,,,,,,,,23344555566T ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， 则集合T 中元素的个数为11，故选C.点睛：本题考查了元素与集合的关系，重点考查了阅读能力，属基础题.8．关于集合下列正确的是（ ）A ．0∈∅B ．0N ∉C ．{}0∅∈D ．0Q ∈答案：D解析：根据元素和集合的关系进行判断即可．详解：解：0∈∅，故A 错；0N ∈，故B 错，{}0∅⊆，故C 错，0Q ∈，故D 正确.故选：D点睛：本题主要考查元素和集合关系的判断，比较基础，正确理解N ，Z ，R ，集合的意义是解决本题的关键．9．下列关系中正确的个数是（ ）①12Q ∈ R ③*0N ∈ ④π∈ZA ．1B ．2C ．3D ．4答案：A解析：根据集合的概念、数集的表示判断．详解：120不是正整数，π是无理数，当然不是整数．只有①正确． 故选：A ．点睛：本题考查元素与集合的关系，掌握常用数集的表示是解题关键．10．已知集合{}1,2,3M =，(){},,,N x y x M y M x y M =∈∈+∈，则集合N 中的元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．8D ．9答案：B解析：由,,x M y M x y M ∈∈+∈即可求解满足题意的点(),x y 的坐标.详解：解：由题意，满足条件的平面内以(),x y 为坐标的点集合()()(){}1,1,1,2,2,1N =，所以集合N 的元素个数为3.故选：B.11．设集合{}12|M x x =<<，{}|3N x x =<，则集合M 和集合N 的关系是（ ）A ．N M ∈B ．M N ∈C ．M N ⊆D ．N M ⊆答案：C解析：由子集的概念进行判断结合选项得出答案．详解：集合{}12|M x x =<<中的每一个元素都是集合{}|3N x x =<中的元素，∴集合M 是集合N 的子集 故选：C12．对于任意两个正整数m 、n ，定义某种运算，当m 、n 都为正偶数或正奇数时，m n m n ∆=+；当m 、n 中一个为正奇数，另一个为正偶数时，m n mn ∆=.则在上述定义下，(){}**,36,,M x y x y x y =∆=∈∈N N ，集合M 中元素的个数为（ ） A ．40B ．48C ．39D ．41答案：D 解析：分x 、y 都为正偶数或正奇数和x 、y 中一个为正奇数，另一个为正偶数，两种情况，根据运算列举求解.详解：当x 、y 都为正偶数或正奇数时，36x y x y ∆=+=，集合M 中的元素有()()()()()()1,35,2,34,3,33,4,32,...,34,2,35,1，共35个；当x 、y 中一个为正奇数，另一个为正偶数时，36x y x y ∆=⋅=，，集合M 中的元素有()()()()()()1,36,3,12,4,9,9,4,36,1,12,3共6个，所以集合M 中元素的个数为35641+=，故选：D点睛：本题主要考查集合的概念和表示方法，属于基础题.13．已知元素a∈0，1，2，3}，且a ∉1，2，3}，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：A解析：由题意，根据集合中元素与集合的关系，即可求解，得到答案.详解：由题意，元素a∈0，1，2，3}，且a ∉1，2，3}， ∴a 的值为0．故选A ．点睛：本题主要考查了集合中元素与集合的关系的应用，其中解答中牢记集合的元素与集合的关系，合理应用是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.14．已知集合1{|,Z}24k M x x k ==+∈,*1{|,N }42k N x x k ==+∈,若0x M ∈,则0x 与N 的关系是（ ）A ．0x N ∈或0x N ∉B ．0x N ∈C ．0x N ∉D ．不能确定答案：A解析：用列举法表示集合,M N ,最后可以选出正确答案.详解：131357{|,Z},,,,,2444444k M x x k ⎧⎫==+∈=--⎨⎬⎩⎭, *1353{|,N },1,,,42442k N x x k ⎧⎫==+∈=⎨⎬⎩⎭,当01,4x M =-∈但0x N ∉, 当03,4x M =∈有0x N ∈.故选：A点睛：本题考查了列举法表示集合,考查了元素与集合的关系,属于基础题.15．已知,,a b c 均为非零实数，集合{|}a b ab A x x a b ab ==++，则集合A 的元素的个数为． A ．2B ．3C ．4D ．5答案：A解析：当0a >，0b >时，1113a b ab x a b ab =++=++=；当0a >，0b <时，1111ab ab x a b ab =++=--=-，当0a <，0b >时，1111a b ab x a b ab=++=-+-=-，；当0,0a b <<时，1111ab ab x a b ab =++=--+=-，故x 的所有值组成的集合为{}1,3-，故选A. 16．若集合A ＝x|kx 2＋4x ＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k 的值为( )A ．1B ．0C ．0或1D ．以上答案都不对答案：C解析：当k ＝0时，A ＝－1}；当k≠0时，Δ＝16－16k ＝0，k ＝1.故k ＝0或k ＝1.选C.17．集合M ＝(x ，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是( )A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．第四象限内的点集D ．第二、四象限内的点集答案：D详解：根据描述法表示集合的特点，可知集合表示的是横、纵坐标异号的点的集合，这些点在第二、四象限内.选D.点睛：集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．其中描述法要注意代表元素，是点集还是数集18．定义集合A 、B 的一种运算：{}1212|,,A B x x x x x A x B *==⨯∈∈其中，若{1,2,3,5}A =， {1,2}B =，则A B *中的所有元素之和为为 A ．30B ．31C ．32D ．34答案：B详解： 试题分析：由{}1212|,,A B x x x x x A x B *==⨯∈∈其中可知{}1,2,3,5,4,6,10A B *=，所以所有元素之和为31考点：集合运算19．设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A ，则A 中的元素个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7答案：B解析：列举出集合A 中的元素，由此可得出结论.详解：由题意可知，集合A 中的元素分别为：我、和、的、祖、国，共5个元素. 故选：B.20．已知集合{}21,A a =，实数a 不能取的值的集合是（ ） A ．{}1,1-B ．{}1-C ．{}1,0,1-D ．{}1答案：A 解析：根据元素的互异性可得出关于实数a 的不等式，由此可求得结果. 详解：由已知条件可得21≠a ，解得1a ≠±.故选：A.。

1.1 集合的概念1．集合中含有的元素个数为 A ．4B ．6C ．8D ．122．已知{}22,25,12A a a a =-+其3A -∈，则由a 的值构成的集合是（ ）A ．∅B ．31,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭C ．{}-1D ．32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭3．已知,a b ∈R ，若{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192019a b +的值为( )A ．1B ．0C ．1-D ．±14．设集合{}1,0,1,2A =-，{}1,2B =，{},,C x x ab a A b B ==∈∈，则集合C 中元素的个数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．85．下列集合中表示同一集合的是（ ） A ．{(3,2)}M =，{(2,3)}N =B ．{4,5}M =，{5,4}N =C ．{}(,)1M x y x y =+=，{}1N y x y =+=D ．{1,2}M =，{(1,2)}N =6．已知集合A=1，2，3}，B=（x ，y ）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B 中所含元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．下面关于集合的表示，正确的个数是（ ） ①{}{}2,33,2≠；②(){}{},11x y x y y x y +==+=； ③{}{}11x x y y >=>；④{}0φ=； A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UAB =（ ）A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}--- 9．已知集合{|8}M x N x m =∈=-，m N ∈，则集合M 中的元素的个数为（ ） A ．7 B ．8 C ．9D ．10 10．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{}1,2,3A =，B ={4,5,6}，则()()U U A B ⋂等于（ ）A ．{}1,2,3B ．{}4,5,6C ．{1,2,3,4,5,6}D ．{}7,811．集合*63A x NZ x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，用列举法可以表示为（ ）A ．{}1,2,4,9B ．{}1,2,4,5,6,9C ．{}6,3,2,1,3,6----D ．{}6,3,2,1,2,3,6---- 12．设集合A ＝﹣1,0,1}，B ＝（x,y ）|x∈A，y∈A}，则B 中所含元素的个数为（ ） A ．3B ．6C ．9D ．1213．由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是 A ．x|﹣3＜x ＜11，x∈Q} B ．x|﹣3＜x ＜11}C ．x|﹣3＜x ＜11，x=2k ，k∈N}D ．x|﹣3＜x ＜11，x=2k ，k∈Z} 14．设集合{1}A x Z x =∈-，则 A ．A ∅∉B ．C ．2A ∈D ．{}2⊆A15．已知集合A=y|y=|x|﹣1，x∈R}，B=x|x≥2}，则下列结论正确的是 A ．﹣3∈AB ．3∉BC ．A∩B=BD ．A∪B=B16．下列集合中，表示3{1x y x y +=-=集合的是A ．B ．C ．D ．17．设集合A ＝1,2,4}，集合{|}B x x a b a A b A +∈∈＝＝，，，则集合B 中的元素个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．718．设A ，B 为两个实数集，定义集合A ＋B ＝x|x 1＋x 2，x 1∈A，x 2∈B}，若A ＝1,2,3}，B ＝2,3}，则集合A ＋B 中元素的个数为 ( ) A ．3B ．4C ．5D ．619．方程组221x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集是（ ）A ．{}1,1x y ==B ．{}1C ．()1,1D ．(){},1,1x y x y ==20．集合{}3M x x k k Z ==∈，， {}31P x x k k Z ==+∈，，{}31Q x x k k Z ==-∈，，若 a M ∈，b P ∈，c Q ∈，则a b c +-∈A ．M P ⋃B ．PC ．QD ．M参考答案1．B 详解：共6 个．故选B2．D解析：分23a -=-，2253a a +=-讨论，求出a ，再带入集合{}22,25,12A a a a =-+看是否满足互异性即可. 详解： 解：3A -∈，当23a -=-，即1a =-时，{}3,3,12A =--，集合中有相同元素，舍去；当2253a a +=-，即1a =-（舍）或32a =-时，7,3,122A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，符合，故由a 的值构成的集合是32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故选：D 点睛：本题考查元素与集合的关系，以及集合元素的互异性，注意带入验证，是基础题. 3．C解析：根据{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭可得出0b a =,即0b =,整理后分别讨论21a a a⎧=⎨=⎩或21a a a =⎧⎨=⎩,根据元素的互异性可得1a =-, 0b =,代入20192019a b +计算即可 详解：ba,0a ∴≠ {}2,,1,,0b a a a ba ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭ 0ba∴=,即0b =, {}{}2,0,1,,0a a a ∴=∴当21a a a ⎧=⎨=⎩时,1a =-或1a =,当1a =时,即得集合{}1,0,1,不符合元素的互异性,故舍去, 当21a a a =⎧⎨=⎩时,1a =，即得集合{}1,0,1,不符合元素的互异性,故舍去, 综上,1a =-, 0b =()2019201920192019101a b ∴+=-+=-，故选C 点睛：本题考查列举法表示集合,集合相等的定义,集合元素的互异性 4．B解析：分别在集合,A B 中取,a b ，由此可求得x 所有可能的取值，进而得到结果. 详解：当1a =-，1b =时，1ab =-；当1a =-，2b =时，2ab =-； 当0a =，1b =或2时，0ab =；当1a =，1b =时，1ab =；当1a =，2b =或2a =，1b =时，2ab =；当2a =，2b =时，4ab =；{}2,1,0,1,2,4C ∴=--，故C 中元素的个数为6个.故选：B. 5．B解析：根据集合的元素是否相同判断即可． 详解：解：A 两个集合的元素不相同，点的坐标不同， B 两个集合的元素相同，C 中M 的元素为点，N 的元素为数，D 中M 的元素为点，N 的元素为数， 故A ，C ，D 都不对． 故选：B ． 6．B 详解：分析可得，可以取1，2；可以取1，2； 又因为B=（x ，y ）|x∈A，y∈A，x+y∈A}， 所以B 中所含的元素有：，，；故选B.7．B解析：根据集合的无序性可判断①的真假；由集合的元素可判断②的真假；由集合的表示形式，可判断③的真假；由空集的定义可判断④的真假. 详解：根据集合元素的无序性，可得{}{}2,33,2=，所以①错误；(){},1x y x y +=表示点集，而{}1y x y +=表示数集，(){}{},11x y x y y x y ∴+=≠+=，所以②错误；{}{}11x x y y >=>都是表示大于1的数集，所以③正确；{}0含有元素0，并非空集，所以④错误.故选:B. 点睛：本题考查集合的表示、空集的辨析，属于基础题. 8．C解析：首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果. 详解：由题意结合补集的定义可知：{}U 2,1,1B =--，则(){}U1,1A B =-.故选：C. 点睛：本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题. 9．C解析：由题知以80m -≥，即8,m m N ≤∈，故0,1,2,3,4,5,6,7,8m =，进而得答案. 详解：解：因为{|8}M x N x m =∈=-，m N ∈， 所以80m -≥，即8,m m N ≤∈ 所以0,1,2,3,4,5,6,7,8m =，故{}{|8}0,1,2,3,4,5,6,7,8M x N x m =∈=-=，即集合M 中的元素的个数为9个. 故选：C 10．D解析：利用补集和并集的定义即可得解.详解：{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{}1,2,3A =，{4,5,6}B =，∴{}4,5,6,7,8UA =，{}1,2,3,7,8UB =，∴()(){}=7,8U U A B ∩.故选：D. 点睛：本题主要考查集合的基本运算，熟练掌握补集和并集的定义是解决本题的关键，属于基础题. 11．B 解析：根据63Z x∈-且*x ∈N 确定出所有x 的可取值，然后用列举法表示集合即可. 详解： 因为63Z x∈-且*x ∈N ，所以x 的可取值有：1,2,4,5,6,9， 所以列举法表示集合为：{}1,2,4,5,6,9， 故选：B. 12．C解析：根据集合B 的定义，写出其中的元素，即可求得. 详解：根据集合B 的定义，容易知，集合B 中的元素为()()()1,1,1,0,1,1----()()()()()()0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1--合计9个元素， 故选：C. 点睛：本题考查对集合的理解，以及集合元素的求解，属基础题. 13．D 详解：试题分析：先确定集合元素的范围是﹣3＜x ＜11，同时再确定偶数的形式，利用描述法表示集合．解：因为所求的数为偶数，所以可设为x=2k ，k∈z，又因为大于﹣3且小于11，所以﹣3＜x ＜11．即大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是x|﹣3＜x ＜11，x=2k ，k∈Z}． 故选D ．点评：本题的考点是利用描述法表示集合．比较基础．14．B 详解：试题分析：集合A 表示大于1-的正数，因此B 项正确考点：元素与集合的元素15．C 详解：试题分析：集合{}|1A y y =≥-A B B B A ∴⊆∴⋂= 考点：集合间的关系16．C 详解：试题分析：方程组3{1x y x y +=-=的解为21x y =⎧⎨=⎩(){}2,1∴ 考点：方程组的解集17．C解析：集合A ＝1,2,4}，集合{|}B x x a b a A b A +∈∈＝＝，，，所以{}234568B ＝，，，，，，共6个元素. 故选C. 18．B解析： 当x 1＝1时，x 1＋x 2＝1＋2＝3或x 1＋x 2＝1＋3＝4；当x 1＝2时，x 1＋x 2＝2＋2＝4或x 1＋x 2＝2＋3＝5；当x 1＝3时，x 1＋x 2＝3＋2＝5或x 1＋x 2＝3＋3＝6.∴A＋B ＝3,4,5,6}，共4个元素．故选B. 19．D解析：根据消元法直接解方程组，即可得出结果. 详解：由221x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得11x y =⎧⎨=⎩，即方程组221x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集是(){},1,1x y x y ==.故选：D. 20．C解析：设13a k =，231b k =+，331c k =-（123,,k k k Z ∈），计算a b c +-可得． 详解：由题意设13a k =，231b k =+，331c k =-（123,,k k k Z ∈），则123123331(31)3(1)1a b c k k k k k k +-=++--=+-+-，而1231k k k Z +-+∈， ∴a b c Q +-∈． 故选：C ． 点睛：本题考查集合的概念，考查元素与集合的关系，题中在设,,a b c 时，不能设成3a k =，31b k =+，31c k =-（k Z ∈），这样设，,,c a b 是相邻的三个整数，但,,a b c 不一定相邻．。

1.1集合的概念及表示【知识储备】1．集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．[知识点拨]集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．2．元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈A a属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉A a不属于集合A[知识点拨]符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．3．集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．【题型精讲】【题型一集合概念的理解】必备技巧判断一组对象是否能构成集合的三个依据判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．例1下列对象中不能构成一个集合的是（）A．某校比较出名的教师B．方程−2=0的根C．不小于3的自然数D．所有锐角三角形例2（多选）下列各组对象能构成集合的是（）A．拥有手机的人B．2024年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数【题型精练】1.给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．32．下列各组对象中能构成集合的是（）A．充分接近的实数的全体B．数学成绩比较好的同学C．小于20的所有自然数D．未来世界的高科技产品【题型二用列举法表示集合】例3用列举法表示下列集合(1)11以内非负偶数的集合；(2)方程(+1)(2−4)=0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数=2与=+1的图象的交点组成的集合．【题型精练】1.用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)方程2−9=0的实数根组成的集合B；(3)一次函数=+2与=−2+5的图象的交点组成的集合C.2.用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程22−−3=0的实数根组成的集合C；(4)一次函数=+3与=−2+6的图象的交点组成的集合D．【题型三用描述法表示集合】必备技巧利用描述法表示集合的关注点(1)写清楚该集合代表元素的符号．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．(3)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例4用适当的方法表示下列集合：（1）方程组2314,328x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集；（2）方程2210x x -+=的实数根组成的集合；（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；（4）二次函数2210y x x =+-的图象上所有的点组成的集合；（5）二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合.【题型精练】1．用描述法表示下列集合：(1)不等式3+2>5的解集；(2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合；(3)二次函数=2−2+3图象上的点组成的集合．(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；(5)集合1,12,13,14(6)所有被3整除的整数组成的集合；(7)方程2++1=0的所有实数解组成的集合.2.试说明下列集合各表示什么？1|A y yx ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；{|B x y ==；()1,|C x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭(),|13y D x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭；{}0,1E x y ===；{}1,1F x y x y =+=-=-.【题型四元素与集合的关系】必备技巧判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．例5用符号“∈”或“∉”填空：（1）0______∅；（2）2-_______2{|5}x x <；（3）(2,3)_______{(,)|23}x y x y +=；（4）2017_______{|41,}x x n n =-∈Z .例6（吉林长春市期中）已知集合M=6*,5a N a ⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，则M 等于（）A ．{2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{1，2，3，6}D ．{1-，2，3，4}【题型精练】1．（多选）（浙江高一期末）若集合{}22|,,A x x m n m n ==+∈Z ，则（）A ．1A∈B ．2A∈C ．3A∈D ．4A∈2.已知集合{},M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（）①1+;;A ．4B ．3C ．2D ．1【题型五确定集合中的元素】必备技巧确定集合中的元素（1）充分理解集合的描述法，（2）注意检验元素互异性.例7（1）（山东济南高一期末）已知集合(){},2,,A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（）A ．1B ．5C ．6D ．无数个（2）集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．12例8（1）（江苏苏州市期中）设集合{123}{45}}A C x B y x A y B ===+∈∈，，，，，，，则C 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6（2）（江苏南通市月考）已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．10C ．12D ．13（3）（黑龙江大庆市期中）由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有（）个元素A ．2B ．3C ．4D ．51．若集合()(){}326A x N x x =∈--<，则A 中的元素个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．62.若集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，，则B 中所含元素的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．103.（青海高一月考）已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（）A ．3B ．6C ．8D ．10【题型六元素特性中的求参问题】必备技巧利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验．(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．例9（上海市进才中学高一期末）已知集合22{2,(1),33}Aa a a =+++，且1A∈，则实数a 的值为________．例10（山东济南月考）已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈．（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.1．（吴起高级中学高一月考）若{}22111a a ∈++，，，则a =（）A ．2B ．1或－1C ．1D ．－12.已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A∈，则实数a 构成的集合B 的元素个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．33.（云南丽江市期末）若集合2{|210}A x kx x =++=中有且仅有一个元素，则k 的值为___________.。

1.1 集合的概念1．设集合{}22|,,M a a x y x y z ==-∈．求证： （1）一切奇数属于集合M ； （2）偶数42()k k z -∈不属于M ；（3）属于M 的两个整数，其乘积仍属于M ．2．设集合{2A x x =≤或}6x ≥，{}13B x x =-<<，{}13C x m x m =-<<+. （1）求A B ；（2）若C A ⊆，求实数m 的取值范围.3．已知集合(){}223,1,22A a a a a =++++，若1A ∈，求实数a 的值.4．设全集U =R ，集合{}13A x x =-≤<，{}242B x x x =-≥-. （1）求()UA B ；（2）若集合{}0C x x a =->，满足C C =B ∪，求实数a 的取值范围.5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，对任意的点(),P x y ，定义OP x y =+，任取点()()1122,,,A x y B x y ，记()()''1221,,,A x y B x y ，若此时2222''OA OB OA OB +≥+成立，则称点,A B 相关.（1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由.①()()2,1,3,2A B -；②()()4,3,2,4C D -. （2）给定*N ,3n n ∈≥，点集(){},,,,n x y n x n n y n x y Z Ω=-≤≤-≤≤∈，求集合n Ω中与点()1,1A 相关的点的个数.6．若集合A 中有三个元素x 、1x +、1，集合B 中也有三个元素x 、2x x +、2x ，且A B =，求实数x 的值．7．已知集合{A x x m ==+，且}2231,,m n m n Z -=∈．（1）证明：若x A ∈，则1x x+是偶数； （2）设a A ∈，且14a <<，求实数a 的值；（3）设c AA ；并求满足(222c ≤的c 的值．8．集合2{|40}A x x x =+=，22{|2(1)10}B x x a x a =+++-=，{|4,}M x x k k N ==-∈. （1）若7a =，求()M A C B ；（2）如果A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.9．已知集合2{|210}A x R ax x =∈++=，其中a R ∈. （1）1是A 中的一个元素，用列举法表示A ；（2）若A 中有且仅有一个元素，求实数a 的组成的集合B ； （3）若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围.10．（1）设A 表示集合2，3，a 2＋2a －3），B 表示集合|a ＋3|，2}，若5∈A ，且5∉B ，求实数a 的值；（2）已知集合A ＝（x ，y ）|2x －y ＋m>0}，B ＝（x ，y ）|x ＋y －n≤0}，若（2，3）∈A ，且（2，3）∉B ，试求m ，n 的取值范围.11．设集合A ＝1，a ，b}，B ＝a ，a 2，ab}，且A ＝B ，求a 2014＋b 2014.12．用列举法把下列集合表示出来： ①A=9{|};9x x∈∈-N N ②B=9{|};9x x∈∈-N N ③C＝y ｜y ＝－x 2＋6，x∈N，y∈N}； ④D＝(x ，y)｜y ＝－x 2＋6，x∈N，y∈N}； ⑤E＝{|,5,,*}px x p q p q q=+=∈∈⋅N N13．用适当的方法表示下列集合： （1）一年中有31天的月份的全体； （2）大于 3.5-小于12.8的整数的全体； （3）梯形的全体构成的集合； （4）所有能被3整除的数的集合； （5）方程(1)(2)0x x --=的解组成的集合； （6）不等式215x ->的解集.14．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？ (1){|}P PA PB =(A,B 是两个不同定点)； (2){|3}P PO cm =(O 是定点)15．求下列方程或方程组的解集.（1）42617120x x -+=（2）221321x y x y ⎧+=⎨-=⎩16．若集合2{|320,}A x ax x a R =-+=∈有且仅有两个子集，求实数a 的取值范围.17．已知集合{}1,2,,n A n =，*n N ∈，2n ≥，将n A 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组()12,,,m M M M ，其中2n m =.记集合k M 中元素的个数为k a ，*k N ∈，k m ≤，规定空集中元素的个数为0.()1当2n =时，求12m a a a +++的值；()2利用数学归纳法证明：不论()2n n ≥为何值，总存在有序集合组()12,,,m M M M ，满足任意*i N ∈，1i m ≤-，都有11i i a a +-=.18．已知集合{}222,(1),33A a a a a =++++，且1A ∈，求实数a 值．19．用描述法表示如图所示阴影部分(含边界)点的坐标的集合．20．当实数a 、b 满足什么条件时，集合{}0A x ax b =+=是有限集、无限集、空集？参考答案1．（1）证明见解析 ；（2） 证明见解析；（3） 证明见解析． 解析：（1）根据奇数的表达式，结合集合元素描述等式进行证明即可； （2）根据x y +与x y -的奇偶性，结合反证法进行证明即可； （3）根据集合元素描述等式进行证明即可. 详解：证明：（1）设a 为任意奇数，则21()a k k z =-∈，因为2221(1),k k k -=--且,1k k -均为整数，∴a M∈．由a 的任意性知，一切奇数属于M ．（2）首先我们证明如下命题：设：,x y z ∈，则x y +与x y -具有相同的奇偶性． 以下用反证法证明．假设(42)k M -∈，则存在,x y z ∈，使得2242()()2(21)x y k x y x y k -=-⇒+-=-．若x y +与x y -同为奇数，则（x y +）（ x y -）必定为奇数，而2(21)k -表示偶数，矛盾；若x y +与x y -同为偶数，则（x y +）（ x y -）必定被4整除，但2(21)k -表示不能被4整除的偶数，也导致矛盾．综上所述，形如42k -的偶数不属于M ．（3）设,a b M ∈，则存在1122,,,x y x y z ∈，使得22221122,a x y b x y =-=-．22221122()()ab x y x y =--=22222222121212121212122122x x y y x x y y x x y y x y x y +-+-- =2212121221()()x x y y x y x y ---，又因为1212x x y y -，1221x y x y -均为整数，∴ab M∈．点睛：方法点睛：证明偶数42()k k z -∈不属于M ，可以运用反证法来证明.2．（1）{}12A B x x ⋂=-<≤（2）{1m m ≤-或}7m ≥解析：（1）已知集合A ，B ，可直接得交集；（2）因为13m m -<+，所以集合C 不是空集，又C A ⊆，那么有32m +≤或16m -≥，解不等式即得。

1.1集合的概念
看下面的例子
• （1）1到10之间的所有偶数；
• （2）立德中学今年入学的全体高一学生；
• （3）所有的正方形
• （4）到直线l的距离等于定长d的所有点；
• （5）方程 2 − 3 + 2 = 0的所有实数根；
• （6）地球上的四大洋
1. 定 义
• 一般地, 我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫
• 用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元素。
4.元素与集合的关系
• 如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）集合A,记作 ∈
• 如果a不是集合A的元素，就说a不属于（belong to）集合A,记作

5.常用的数集
(1) N: 自然数集(含0)
即非负整数集
(2) N﹡或N＋: 正整数集(不含0)
7.描述法
• 一般地，设是一个集合，我们把集合中所有具有共同特征()
的元素所组成的集合表示为
• ∈
• 这种表示X∈ R∣ x＞5}
例2 试分别用描述法和列举法表示下列集
合
• （1）方程 2 − 2 = 0的所有实数根组成的集合;
(3) Z：整数集
(4) Q：有理数集
(5) R：实数集
练 习
”填空
(2) Q
1. 用符号“∈”或“
(1) 3.14
Q
(3) 0 N+
(5) 2 3 Q
(4) (-2)0
(6) 2
3
N
+
R
2．写出集合的元素，并用符号表示下列
集合：
• ①方程 2 − 9 = 0的解的集合；
•
(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B

1.1 集合的概念1．下列对象能构成集合的是A ．高一年级全体较胖的学生B ．30,45,cos 60,1sin sinC ．全体很大的自然数D ．平面内到ABC ∆ 三个顶点距离相等的所有点 2．已知集合2{2,4,10}A a a a =-+，若3A -∈，则实数a 的值为（ ） A ．-1 B ．-3 C ．-3或-1D ．无解 3．设集合{}|2A x N x =∈<，则下列关系中正确的是 A ．1A -∈B ．1A ∈C ．{}1,0A -⊆D ．{}1A = 4．若集合3,2,1,0,1,2A ，集合{}1,B y y x x A ==+∈，则B =（ ） A ．{}1,2,3 B ．{}0,1,2C ．{}0,1,2,3D ．{}1,0,1,2,3- 5．用列举法表示集合{}23,x x x *-<∈N 为．A ．{}0,1,2,3,4B ．{}1,2,3,4C ．{}0,1,2,3,4,5D ．{}1,2,3,4,56．若21{0,,}x x ∈，则x =.A ．1B ．1-C ．0或1D ．0或1-7．已知a 、b 、c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++，记集合{|()0,}S x f x x ==∈R ，{|()0,}T x g x x ==∈R ，则下列命题为真命题的是（ ） A ．若集合S 的元素个数为2，则集合T 的元素个数也一定为2B ．若集合T 的元素个数为2，则集合S 的元素个数也一定为2C ．若集合S 的元素个数为3，则集合T 的元素个数也一定为3D ．若集合T 的元素个数为3，则集合S 的元素个数也一定为38．设集合{}1A x Q x =∈>-，则（ ）A ．0A ∉B AC ．{2}A ∈D ．A9．若集合A ＝(1,2)，(3,4)}，则集合A 中元素的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．已知集合()1,1A =-，下列选项正确的是（ ）A ．A ∅∈B ．1A -∈C ．0A ∈D ．1A ∈ 11．若集合{}210b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，，，，，则20212020a b +的值为（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．1±12．设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈< ，则()A C B =A ．2}B ．2，3}C ．-1，2，3}D ．1，2，3，4} 13．已知,,a b c 均为非零实数，集合{|}a b ab A x x a b ab ==++，则集合A 的元素的个数为． A ．2 B ．3 C ．4 D ．514．下面几组对象可以构成集合的是A ．视力较差的同学B ．2018年的中国富豪C ．充分接近2的实数的全体D ．大于–2小于2的所有非负奇数 15．下列关系中正确的是（ ）A ．0∈∅B ．2Q ∈C ．0N ∈D ．{}1(0,1)∈ 16．已知集合{}()20A x x a a R =+∈，且1,2A A ∉∈，则A ．4a >-B ．2a ≤-C ．42a -<<-D ．42a -<≤- 17．下列说法正确的是A ．0与的意义相同 B ．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合 C ．集合是有限集 D ．方程的解集只有一个元素 18．下列常数集表示正确的是( ) A ．实数集RB ．整数集QC ．有理数集ND ．自然数集Z 19．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 20．已知{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈.定义集合{}12121122(,)(,),(,),A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕的元素个数n 满足（ ）A ．77n =B ．49n ≤C ．64n =D ．81n ≥参考答案1．D解析：根据集合的互异性、确定性原则判断即可.详解：对于A ，高一年级较胖的学生，因为较胖学生不确定，所以不满足集合元素的确定性，故A 错误；对于B ,由于如130cos602sin ==,不满足集合元素的互异性，故B 错误；对于C ，全体很大的自然数，因为很大的自然数不确定，所以不满足集合元素的确定性，故C 猎误； 对于D ，平面内到ABC ∆三个顶点距离相等的所有点，可知这个点就是ABC ∆外接圆的圆心，满足集合的定义， D 正确，故选D.点睛：本题主要考查集合的性质，属于基础题.集合的主要性质有：（1）无序性；（2）互异性；（3）确定性.2．B解析：根据题意可得23a -=-或243a a +=-解方程，再利用集合元素的互异性即可求解. 详解：若3A -∈，可得当23a -=-时，解得1a =-，此时{}3,3,10A =--，不满足集合的互异性，故1a =-（舍去），当243a a +=-，解得1a =-（舍去）或3a =-，此时{}5,3,10A =--，满足题意，故实数a 的值为-3.故选：B点睛：本题考查了由集合中的元素求参数值、集合的特征，属于基础题.3．B解析：根据集合的表示方法，可得集合{}|2{0,1}A x N x =∈<=，即可作出判定，得到答案. 详解：由题意，根据集合的表示方法，可得集合{}|2{0,1}A x N x =∈<=，所以1A ∈，故选B.点睛：本题主要考查了集合的表示方法，其中解答中熟练把描述法的集合表示为列举法的集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．C解析：将A 集合中元素逐个代入1y x =+中计算y 的值，然后根据元素的互异性得到B 集合的组成.详解： 由1y x =+，x A ∈得，当3x =-，1时，2y =；当2x =-，0时，1y =；当1x =-时，0y =；当2x =时，3y =.故集合{}0,1,2,3B =，故选C.点睛：本题考查对集合的两种表示方法的理解，难度较易.通过运算得到函数值的集合时，注意利用互异性对函数值进行取舍.5．B解析：由23,x x *-<∈N ，解得1,2,3,4x =，再根据集合的表示方法，即可求解，得到答案．详解：由题意，因为23x -<，解得5x <，又由x *∈N ，所以1,2,3,4x =， 所以{}{}23,1,2,3,4x x x *-<∈=N ． 故选B ．点睛：本题主要考查了集合的表示方法，其中解答中熟记集合的表示方法，准确运算与改写是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．B解析：根据集合中元素的确定性得出1肯定是x 或者2x 的一个，又由互异性可知1只能为2x ，较易解出答案.详解：根据集合中元素的确定性和互异性可知，只能21x =，且1x ≠；所以1x =-．故选B点睛：此题考查集合元素三特性中的确定性和互异性，重点是互异性的理解，即同一个集合里不能出现两个相同的元素，属于简单题目.7．D解析：利用一元二次方程根的判别式,结合函数的表达式,先考虑当集合S 的元素个数分别为2、3时, 集合T 的元素个数情况；再考虑当集合T 的元素个数分别为2、3时, 集合S 的元素个数情况,最后选出正确答案.详解：选项A ：当0,2,1a b c ===时2()(21)00,1f x x x x x =++=⇒=-，集合S 的元素个数为2，此时2()2101g x x x x =++=⇒=-,集合T 的元素个数为1,故本选项说法错误；选项B ：当0,3,2a b c ===时21()2310,12g x x x x =++=⇒=--,集合T 的元素个数为2,此时2()(32)00,2,1f x x x x x =++=⇒=--，集合S 的元素个数为3，故本选项说法错误；选项C ：当0,3,2a b c ===时2()(32)00,2,1f x x x x x =++=⇒=--，集合S 的元素个数为3，此时21()2310,12g x x x x =++=⇒=--,集合T 的元素个数为2,故本选项说法错误； 选项D ：若集合T 的元素个数为3，方程2()(1)(1)0g x ax cx bx =+++=有三个不等实根,则有22220000404010a a c c b c b c c b a ab c aa ≠⎧≠⎧⎪≠⎪⎪≠⎪⎪⇒->⎨⎨>⎪⎪⎪⎪-+≠-+≠⎩⎪⎩,在该条件下方程2()()()0f x x a x bx c =+++=一定有x a =-这一个根，且x a =-不是20x bx c ++=的根，又24bc >，所以20x bx c ++=有两个不等于a -的根，即集合S 的元素个数也一定为3.故选：D点睛：本题考查了通过方程根的情况求参数问题,考查了分类讨论思想.8．B解析：根据有理数的分类，结合元素与集合的关系、集合与集合的关系逐一判断即可. 详解：集合A 用语言叙述是所有大于－1的有理数，所以0是集合A 中的元素，故A 错，A 中的元素，故B 正确，2}应该是集合A 的子集，故C 错误，不是集合A 的子集，故D 错误．故选：B9．B详解：集合A ＝(1,2)，(3,4)}中有两个元素，(1,2)和(3,4)故选B.10．C解析：根据元素与集合的关系，即可得到答案.详解：因为()1,1A =-，且0(1,1)∈-，所以0A ∈.故选：C点睛：本题考查元素与集合的关系，属于基础题.11．C解析：由集合相等和集合中元素的互异性，可得出结果.详解：由题意可知0a ≠，0,0∴=∴=bb a ，21a ∴=且1a ≠，1a ∴=-2021202020212020(1)01+=-+=-a b故选：C12．D解析：先求A C ，再求()A C B ．详解：因为{1,2}A C =，所以(){1,2,3,4}A C B =.故选D ．点睛：集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．13．A解析：当0a >，0b >时，1113a babx a b ab =++=++=；当0a >，0b <时，1111a b ab x a b ab =++=--=-，当0a <，0b >时，1111a b ab x a b ab=++=-+-=-，；当0,0a b <<时，1111ab ab x a b ab =++=--+=-，故x 的所有值组成的集合为{}1,3-，故选A.14．D解析：利用集合元素的确定性对选项逐一分析，由此判断出正确选项.详解：集合的元素需要满足确定性.对于A,B,C 三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合.对于D 选项，大于2-小于2的所有非负奇数为1，可以构成集合.故本小题选D. 点睛：本小题主要考查集合元素的确定性，属于基础题.15．C解析：根据空集是不含有任何元素的集合，得到A 不正确；由2是无理数，得到B 不正确； 由元素与集合的关系，得到D 不正确，即可求解.详解：由题意，A 中，空集是不含有任何元素的集合，所以不正确；由2是无理数，所以2Q ∈不正确；根据元素与集合的关系，{}1(0,1)∈不正确，又由0是自然数，所以0N ∈，故选C.点睛：本题主要考查了元素与集合的关系，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.16．D详解：因为1,2A A ∉∈，所以2040a a +≤⎧⎨+>⎩， 解得42a -<≤-.故选：D.17．D详解：试题分析：0表示元素，0}表示集合，所以意义不同，故A 错误；B 中元素不满足集合的特征——确定性，故错误；C 选项中表示无限集，故也错误；D 中方程所以方程的解集只有一个元素.考点：1、集合的表示；2、集合的基本特征．18．A解析：因为Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，N 表示自然数数集，所以A 正确，故选A.19．C解析：由集合中元素的特征直接求解即可详解：解：“book”中的字母构成的集合为{},,b o k ，有3 个元素，故选：C20．A解析：先理解题意，然后分①当11x =±,10y =时,②当10x =,11y =±时, ③当10x =,10y =时,三种情况讨论即可.详解：解:由{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈,①当11x =±,10y =时, 124,3,2,1,0,1,2,3,4x x +=----,123,2,1,0,1,2,3y y +=---,此时A B ⊕的元素个数为9763⨯=个,②当10x =,11y =±时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,124,3,2,1,0,1,2,3,4y y +=----,这种情况和第①种情况除124,4y y +=-外均相同,故新增7214⨯=个, ③当10x =,10y =时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,123,2,1,0,1,2,3y y +=---,这种情况与前面重复,新增0个,综合①②③可得:A B ⊕的元素个数为6314077++=个,故选:A.点睛：本题考查了元素与集合关系的判断，重点考查了计数原理的应用，属中档题.。

1.集合与元素 一般地，把研究对象称为元素，通常用小写拉丁字母a,b,c,...表示；把一些元素组成的总体叫做集合，简称集，通常用大写拉丁字母A,B,C,...表示。

2．集合的特征(1)集合元素的特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于(∈)，a∈A ；不属于()，a∈A ．(3)自然数集：N ；正整数集：N *或N ＋；整数集：Z ；有理数集：Q ；实数集：R.(4)集合的表示方法：自然语言表示法、字母表示法、列举法、描述法、Venn 图图示法．3．集合的基本关系集合与集合：包含关系（子集），或B A ⊆(A 包含于A B ⊇B ，B 含于A ，A>B ）(2)子集个数结论：∈含有n 个元素的集合有2n 个子集；∈含有n 个元素的集合有2n －1个真子集；∈含有n 个元素的集合有2n －2个非空真子集．例1：用适当的方法表示下列集合．(1)“BRICS”中所有字母组成的集合；(2)绝对值等于6的数组成的集合；(3)所有三角形组成的集合；(4)直线y ＝x 上去掉原点的点组成的集合；(5)大于2且小于5的有理数组成的集合；(6)24的所有正因数组成的集合；1.1集合的概念知识讲解典型例题(7)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合．解：(1)用列举法表示为{B ，R ，I ，C ，S}．(2)因为绝对值等于6的数是±6，所以用列举法表示为{－6,6}．(3)用描述法表示为{x |x 是三角形}或{三角形}．(4)用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x ，x ≠0}．(5)用描述法表示为{x |2＜x ＜5，且x ∈Q }．(6)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．(7)在平面直角坐标系内，点(x ，y )到x 轴的距离为|y |到y 轴的距离为|x |所以该集合用描述法表示为{(x ，y )||y |＝|x |}．例2：下列各组集合中表示同一集合的是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，【答案】B【解析】对于A ，，表示点集，，表示数集，故不是同一集合；对于B ，，，根据集合的无序性，集合表示同一集合；对于C ，集合的元素是数，集合的元素是等式；对于D ，，集合的元素是点，，集合的元素是点，集合不表示同一集合．一、选择题1．下列各组对象中能构成集合的是（ C ）AB ．数学成绩比较好的同学C ．小于20的所有自然数D ．未来世界的高科技产品2. 下列命题中正确的是( C ){(3,2)}M ={3,2}N ={2,3}M ={3,2}N ={2,3}M ={2,3}N x y ==={(2,3)}M ={(5,4)}N ={(3,2)}M =M {3,2}N =N {2,3}M ={3,2}N =,M N M N {(2,3)}M =M (2,3){(5,4)}N =N (5,4),M N 同步练习∈0与{0}表示同一个集合；∈由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1}；∈方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；∈集合{x |4<x <5}可以用列举法表示．A ．∈和∈B ．∈和∈C ．∈D ．∈和∈解析：选C ∈中的0不是集合，故∈错；由集合中元素的无序性知∈正确；由集合中元素的互异性知∈错；因为集合{x |4<x <5}表示无限集，它不可以用列举法表示，故∈错．3．下列各组中的M 、P 表示同一集合的是( C )∈M ＝{3，－1}，P ＝{(3，－1)} ∈M ＝{(3,1)}，P ＝{(1,3)} ∈M ＝{y |y ＝x 2－1}，P ＝{t |t ＝x 2－1}∈M ＝{y |y ＝x 2－1}，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1}A ．∈B ．∈C ．∈D ．∈解析：选C 在∈中，M ＝{3，－1}是数集，P ＝{(3，－1)}是点集，二者不是同一集合，故∈错误；在∈中，M ＝{(3,1)}，P ＝{(1,3)}表示的不是同一个点，故∈错误；在∈中，M ＝{y |y ＝x 2－1}＝[－1，＋∞)，P ＝{t |t ＝x 2－1}＝[－1，＋∞)，二者表示同一集合，故∈正确；在∈中，M ＝{y |y ＝x 2－1}表示数集，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1}表示一条抛物线上的点的集合，故∈错误，故选C.4．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，52，73，94，…用描述法可表示为( ) A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝2n ＋12n ，n ∈N * B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝2n ＋3n ，n ∈N *C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝2n －1n ，n ∈N *D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝2n ＋1n ，n ∈N * 解析：选D 由3，52，73，94，即31，52，73，94，从中发现规律，x ＝2n ＋1n ，n ∈N *，故可用描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝2n ＋1n ，n ∈N *. 5．集合{x |x 2－6x ＋9＝0}中的所有元素之和为( )A ．0B ．3C ．6D ．9解析：选B ∈{x |x 2－6x ＋9＝0}＝{3}，故元素之和为3.6．已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为（ B ）A ．1或－1B ．1或3C ．－1或3D ．1，－1或37．已知M ＝{(x ，y )|2x ＋3y ＝10，x ，y ∈N }，N ＝{(x ，y )|4x －3y ＝1，x ，y ∈R }，则( B )A ．M 是有限集，N 是有限集B ．M 是有限集，N 是无限集C ．M 是无限集，N 是无限集D ．M 是无限集，N 是有限集解析：选B 因为M ＝{(x ，y )|2x ＋3y ＝10，x ，y ∈N }＝{(2,2)，(5,0)}，所以M 为有限集．N ＝{(x ，y )|4x －3y ＝1，x ，y ∈R }中有无限多个点满足4x －3y ＝1，故N 为无限集．8．下列集合中，是空集的是（ B ）A ．B ．C ．D ． {}0|2x x +={}210,x x x +=∈R {}1|x x <(){}22,,,x y y x x y =-∈R【答案】B 【解析】对于A 选项，，不是空集，对于B 选项，没有实数根，故为空集，对于C 选项，显然不是空集，对于D 选项，集合为，故不是空集．9．集合中的不能取的值的个数是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B 【解析】由题意可知，且且，故集合中的不能取的值的个数是个．二、填空题1．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示集合B 为________．【答案】{4,9,16} [由A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，得B ＝{4,9,16}．]2. 以下五个写法中：∈{0}∈{0，1，2}；∈∈∈{1，2}；∈{0，1，2}={2，0，1}；∈0∈∈；∈A∩∈=A ，正确的个数有 2 个。

• 用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合 的办法，叫文氏图。
多用于解题些指定的对象集在一起就形成一个集合。 • 集合的表示以及元素与集合间关系表示方 法。 • 集合表示方法： 列举法、描述法、文氏图法。 D:\高一PPT\集合的表示方法.doc D:\高一PPT\集合概念与表示方法练习题.doc
如何表示一个集合呢？
1.1.2集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法
• 列举法 如果一个集合是有限集，元素又不太多，常 常把集合的所有元素都列举出来，写在话 括号“{ }”内表示这个集合。例如，由两 个元素0，1构成的集合可表示为 {0,1}. 又如，24的所有正因数1,2,3,4,6,8,12,24构成 的集合可以表示为 {1,2,3,4,6,8,12,24}.
• 大括号内竖线左边的x表示这个集合的任意 一个元素，元素x从实数集合中取值，在竖 线集合右边写出只有集合内的元素x才具有 的性质
• 一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一 个元素x都具有性质p（x），而不属于集合A的 元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的 一个特征性质。于是，集合A可以用它的特征性 质p(x)描述为
例题：
• 下列各组对象能确定一个集合吗？ （1）所以很大的实数； （2）市四中高一（二）班的高个子同学； （3）1，1，2，3，4，5.
上面我们用自然的语言来描述集合的几个例 子，下面我们来看下集合的表示方法。
• 集合通常用英语大写字母A,B,C,...来表示，它们的元 素通常用英语小写字母a，b，c，...来表示。 • 如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作 读作“a属于A”. 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作
例题：
• 由方程 x 2 − 1 = 0 的所有解组成的集合，可 以表示为｛-1，1｝

1.1 集合的概念1．设集合{}2A x x =>，则（ ）A ．3A ∉B AC ．2A ∈D ．0A ∈2．现有以下说法，其中正确的是①接近于0的数的全体构成一个集合；②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合．A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④3．给出下列4个关系式0.3∉Q ，0∈N*，0∈0}.其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．下列说法正确的是（ ）．A ．2021年上半年发生的大事能构成一个集合B ．小于100的整数构成的集合是无限集C ．空集中含有元素0D ．自然数集中不含有元素05．设{4,5,6}A =，{1,2,3}B =，则集合{|,,}C x x m n m A n B ==-∈∈中的所有元素之和为（ ）A ．15B ．14C ．27D ．14- 6．下列写法正确的是（ ）.A ．(){}00,1∈B ．(){}10,1∈C ．()(){}0,10,1∈D ．(){}0,10,1∈ 7．已知集合A ＝1，2，3，4}，B ＝（x ，y ）|x∈A，y∈A，y ﹣x∈A}，则集合B 中的元素的个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 8．下列各组对象不能构成集合的是（ ） A ．拥有手机的人B ．2021年高考数学难题C ．所有有理数D ．小于π的正整数9．已知集合{}1,3,A a =，{}21,1B a a =-+，若B A ⊆，则实数a =（ ）A ．1-B ．2C ．1-或2D ．1或1-或2 10．i 是虚数单位，集合22,,1A i i i ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭中的元素之和为（ ） A ．1 B ．0 C ．2 D ．311．若集合{}1,2,3A =，{}(,)|40,,B x y x y x y A =+->∈，则集合B 中的元素个数为A ．9B ．6C ．4D ．312．下列说法正确的是（ ）A ．{1，2}，{2，1}是两个集合B ．{(0,2)}中有两个元素C ．6|x Q N x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集D ．{|x Q ∈且220}x x +-=是空集13．方程组221{9x y x y +=-=的解集是（ ）A ．(－5，4)B ．(5，－4)C ．(－5，4)}D ．(5，－4)}14．已知集合1{|,Z}24kM x x k ==+∈,*1{|,N }42k N x x k ==+∈,若0x M ∈,则0x 与N 的关系是（ ）A ．0x N ∈或0x N ∉B ．0x N ∈C ．0x N ∉D ．不能确定 15．已知集合{}6,8,9A =，则（ ）A ．6A ∈B ．7A ∈C ．8A ∉D ．9A ∉16．已知集合A=1，2，3，4，5}，B=（x ，y ）|x∈A，y∈A，x ＜y ，x+y∈A}，则集合B 中的元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 17．给出下列关系： ①12R ∈；②2R ∉；③3∈N －；④|-3|Q ∈.其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．418．用列举法将集合（x ，y ）|x∈0，1}，y∈–1，1}}可以表示为A ．0，–1}，0，1}，1，–1}，1，1}}B ．0，1}，–1，1}}C ．（0，–1），（0，1），（1，–1），（1，1）}D ．（0，1），（–1，1）}19．已知集合{}1,2M =，{}2,3=N ，{}|,,P x x a b a M b N ==+∈∈，P 中元素个数为A ．2B ．3C ．4D ．5 20．设集合A=－1,0,1},B=0,1,2},若x∈A,且x B,则x 等于A ．－1B ．0C ．1D ．2参考答案1．B解析：根据元素与集合的关系判断即可.详解：{}2=>A x x，3A∉.∉，0A∴∈A，2A故选：B.点睛：本题考查元素与集合关系的判断，考查推理能力，属于基础题.2．D解析：由集合元素特征三要素中的“确定性”可以判断正误．详解：在①中，接近于0的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，高科技的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．故选D．点睛：集合元素的三要素是：确定性、互异性和无序性.确定性是指集合中的元素是明确的，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，两者只能取其一．互异性是指集合中不能有相同元素．无序性指集合中的元素没有顺序．3．B解析：对四个选项一一验证即可.详解：正确，0.3∉Q错误，0∈N*错误，0∈0}正确，正确的有2个，故选B.4．B解析：根据集合的相关概念，对选项进行判断，即可得到答案；详解：对A，“大事”是不确定的对象，故A错，对B，小于100的整数包括无穷个负数，故B对，对C ，空集中不含有任何一个元素，故C 错，对D ，自然数集中含有元素0，故D 错，故选：B ．5．A解析：由C ＝x|x ＝m ﹣n ，m∈A，n∈B}，A ＝4，5，6}，B ＝1，2，3}，先求出C ，然后再求集合C 中的所有元素之和．详解：∵C＝x|x ＝m ﹣n ，m∈A，n∈B}，A ＝4，5，6}，B ＝1，2，3}，∴C＝1，2，3，4，5}，∴集合 C 中的所有元素之和＝1+2+3+4+5＝15．故选：A ．点睛：本题考查元素与集合的关系的判断，解题时要认真审题，注意新定义的合理运用．6．C解析：可判断0∉（0，1）}，1∉（0，1）}，（0，1）∉0，1}，（0，1）∈（0，1）}． 详解：由元素与集合的关系知，（0，1）}中的元素为集合故0∉（0，1）}，1∉（0，1）}，（0，1）∉0，1}，（0，1）∈（0，1）}；故选：C ．【点评】本题考查了元素与集合的关系的判断及有序数对与数的区别，属于基础题．7．C解析：通过集合B ，利用x A ∈，y A ，y x A -∈，求出集合B 中元素的个数．详解：解：因为集合{1A =，2，3，4}，{(,)|B x y x A =∈，y A ，}y x A -∈，所以当1x =时，2y =或3y =或4y =，当2x =时，3y =或4y =，当3x =时，4y =，即()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4B =所以集合B 中的元素个数为6．故选：C ．8．B解析：根据集合的确定性直接判断即可得解.详解：B 选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，其他选项均满足确定性.故选：B.9．C解析：由B A ⊆得213a a -+=或21a a a -+=求出a 值并根据集合元素互异性检验得解. 详解：B A ⊆,213a a ∴-+=或21a a a -+=解得1a =或1a =-或2a =，代入检验，根据集合元素互异性得1a =-或2a =故选：C点睛：本题考查子集及集合元素互异性，属于基础题.10．B解析：试题分析：∵221,11i i i =-=-+，∴集合22,,1A i i i ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭中的元素之和为(1)(1)0i i +-+-=，故选B考点：本题考查了复数的运算及集合的概念点评：熟练掌握复数的四则运算是解决此类问题的关键，属基础题11．D详解：,x y A ∈的数对共9对，其中(2,3),(3,2),(3,3)满足40x y +->，所以集合B 中的元素个数共3个．12．C解析：根据集合的定义判断．详解：在A 中，由集合中元素的无序性，得到{1，2}，{2，1}是同一个集合，故A 错误；在B 中，{(0,2)}中有一个元素，故B 错误；在C 中，6|{1x Q N x⎧⎫∈∈=⎨⎬⎩⎭，2，3，6}，是有限集，故C 正确； 在D 中，{|x Q ∈且220}{2x x +-==-，1}，不是空集，故D 错误.故选：C .点睛：本题考查集合的概念，掌握集合的概念，集合元素的性质：确定性、互异性、无序性是解题关键．13．D解析：消元法解方程组即可求解详解：解方程组221{9x y x y +=-=，得()2219x x --=， 解得54x y =⎧⎨=-⎩， 故方程组的解集为(5，－4)}，故选：D.点睛：本题考查解二元二次方程组及列举法表示集合，注意解集是点集的形式，是基础题14．A解析：用列举法表示集合,M N ,最后可以选出正确答案.详解：131357{|,Z},,,,,2444444k M x x k ⎧⎫==+∈=--⎨⎬⎩⎭, *1353{|,N },1,,,42442k N x x k ⎧⎫==+∈=⎨⎬⎩⎭,当01,4x M =-∈但0x N ∉, 当03,4x M =∈有0x N ∈.故选：A点睛：本题考查了列举法表示集合,考查了元素与集合的关系,属于基础题.15．A解析：根据元素与集合的关系，求解即可.详解：集合{}6,8,9A =∴6A ∈，7A ∉，8A ∈，9A ∈故选：A点睛：本题考查元素与集合的关系，属于容易题.16．C解析：理解集合B 中元素的特点，可以列举出它的所有元素.详解：因为x∈A，y∈A，x ＜y ，x+y∈A，所以集合{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)}B =，共4个元素，故选C. 点睛：本题主要考查集合的表示方法，明确代表元素的含义是确定集合元素的首要条件.17．B解析：①12R ∈，正确；②2R ∉，错误；③3∈N －，正确；④|-3|Q ∈，错误，所以正确的个数是两个，故选B.18．C解析：根据描述法表示集合，分析集合中元素的特性，再用列举法表示集合．详解：由题意可知，共有组合0,1x y =⎧⎨=-⎩ 0,1x y =⎧⎨=⎩1,1x y =⎧⎨=-⎩1.1x y =⎧⎨=⎩对应四个元素分别为 （0，–1），（0，1），（1，–1），（1，1）．选C.点睛：本题的关键在于首先要注意是点的集合，其次注意集合中元素的特性．19．B详解：试题分析：由已知，+a b 的值为：3,4,5，即{}3,4,5P =，故选．考点：1．集合的概念；2．集合的基本关系．20．A解析：x表示在A中除B之外的元素.所以x=-1.。

1.1 集合的概念1．已知M 是满足下列条件的集合：① 0M ∈，1M ∈；② 若,x y M ∈，则x y M -∈；③ 若x M ∈且0x ≠，则1M x∈. （1）判断12M ∈是否正确，说明理由；（2）证明：“x ∈Z ”是“x M ∈”的充分条件；（3）证明：若,x y M ∈，则xy M ∈.2．用适当的方法表示下列集合.（1）小于5的自然数构成的集合；（2）直角坐标系内第三象限的点集；（3）偶数集.（4）如图，用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M.3．已知{2A a =-，225a a +，6}，且3A -∈，求实数a .4．已知集合{}2|210A x R ax x =∈++=，其中a R ∈.（1）1是A 中的一个元素，用列举法表示A ；（2）若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围.5．用适当方法表示下列集合：（1）从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合；（2﹣2|＝0的解集；（3）由二次函数y ＝3x 2+1图象上所有点组成的集合.6．已知集合A 有三个元素：3a -，21a -，21a +，集合B 也有三个元素：0，1，x .（1）若3A -∈，求a 的值；（2）若2x B ∈，求实数x 的值；7．已知集合A=x|x=m 2-n 2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k-2（k∈Z）不属于A ．8．方程2210ax x ++=，R a ∈的根组成集合A .（1）当A 中有且只有一个元素时，求a 的值，并求此元素；（2）当A 中至少有一个元素时，求a 满足的条件.9．已知集合{}2|320A x ax x =-+=，问（1）若集合A 中至多有一个元素，求a 的取值范围；（2）若集合A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．10．若集合()(){}420A x x x =+-<，{}23B x x =+>，{}11,C x m x m m =-<<+∈R ．（1）若A C ⋂=∅，求实数m 的取值范围；（2）若()A B C ⊆，求实数m 的取值范围．11．设集合B ＝6{|}2x N N x ∈∈+.试判断元素1，2与集合B 的关系；用列举法表示集合B ．12．用适当的方法表示下列集合：（1）英语单词mathematics （数学）中的所有英文字母组成的集合；（2）方程27x y +=的所有解组成的集合；（3）绝对值小于0的所有实数组成的集合.13．试用描述法表示下列集合：（1）比3的倍数多1的整数；（2）不等式100x ->的解集；（3）一次函数21y x =+图象上的所有的点．14．已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则11a A a+∈-． （1）若3a =-，求出A 中其他所有元素；（2）0是不是集合A 中的元素？请你设计一个实数a A ∈，再求出A 中的元素；（3）根据（1）（2），你能得出什么结论？15．设数集A 满足条件：①A ⊆R ；②0A ∉且1A ∉；③若a A ∈，则11A a ∈-． （1）若2A ∈，则A 中至少有多少个元素；（2）证明： A 中不可能只有一个元素．16．已知集合{}22,4A a a a =-，求实数a 的取值范围．17．已知集合{2,5,12}A x x =-+，且3A -∈，求x 的值.18．已知集合2{|320,}A x ax x a R =-+=∈，若集合A 中的元素至多有一个，求a 的取值范围.19．设n 为正整数，集合A=12{|(,,,)n t t t αα=，{0,1}k t ∈，1k =，2，，}n ．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=和12(,,,)n y y y β=，记111122221(,)[(||)(||)(||)]2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ=+-++-+++-+++．（Ⅰ）当n=3时，若(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值；（Ⅱ）当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素α，β，证明：(,)(,)(,)M M M αβααββ+≤． （Ⅲ）给定不小于2的正整数n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同元素α，β，(,)(,)(,)M M M αβααββ=+．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明由．20．已知集合2|340A x ax x R .（1）若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围；（2）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.参考答案1．（1）正确，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析解析：（1）由①②容易得到2M ∈，所以由③得到；12M ∈；（2）x M ∈，能得到x M -∈，由已知条件知0M ∈，所以只要证明任意的正整数x M ∈即可得到任意的整数x M ∈，可考虑用数学归纳法来证：1，2M ∈，假设k M ∈，则(1)1k k M --=+∈，所以根据数学归纳法对任意正整数x M ∈，所以便得到x ∈Z 是x M ∈的充分条件；（3）先构造出222()22x y x y xy ++=-，所以可先证明：若x ，y M ∈，则2x M ∈，x y M +∈．先证明2x M ∈，设x M ∈，0x ≠，则得到1M x∈，1x M -∈，11M x ∈-，所以1111(1)M x x x x -=∈--，所以2x x M -∈，所以得到22()x x x x M --=∈，由前面知，x y M +∈，112M x x x +=∈，所以，2x M ∈，所以便可得到2()2x y +，222x y M +∈，从而222()22x y x y M ++-∈． 详解：解：（1）12M ∈正确；证明如下：由①0M ∈，1M ∈，由②知011M -=-∈，1(1)2M ∴--=∈， 由③知12M ∈；（2）证明：由②知，若x M ∈，则0x x M -=-∈，故只需证明任意正整数x M ∈即可， 由（1）知，2M ∈，假设正整数k M ∈，则(1)1k k M --=+∈，∴由数学归纳法知：任意正整数x M ∈， 即x ∈Z ，是x M ∈的充分条件；（3）先证：若x M ∈，则2x M ∈，由②知，若x M ∈，且0x ≠，1M ∈，则1x M -∈； 由③知1M x ∈，11M x ∈-， 所以1111(1)M x x x x -=∈--，所以2x x M -∈，所以得到22()x x x x M --=∈，再证：若x ，y M ∈，则x y M +∈，0y y M -=-∈，()x y x y M ∴--=+∈； ∴112M x x x+=∈，由③知2xM ∈，∴由前面知：2()x y +、2x 、2y 、2()2x y +、222x y M +∈， ∴222()22x y x y xy M ++-=∈． 点睛： 本题主要考查对给出的新信息的运用，以及数学归纳法在证明正整数问题的运用，而想到222()22x y x y xy +-=-是求解本题的关键．本题属于难题．2．（1）{}01234，，，，；（2）(){|00}x y x y <<，，；（3）{|2}x x k k Z =∈，；（4）()5302122M x y xy x y ⎧⎫=≥-≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭，，，. 解析：（1）利用列举法表示集合；（2）利用描述法表示集合；（3）利用描述法表示集合；（4）根据图形利用描述法表示集合；详解：解：（1）小于5的自然数构成的集合，利用列举法表示为{}01234，，，，； （2）直角坐标系内第三象限的点集；利用描述法表示为(){},|00x y x y <<，；（3）偶数集.利用描述法表示为{}|2x x k k Z =∈，（4）由图形阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合表示为()53,02122M x y xy x y ⎧⎫=≥-≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭，， 点睛：本题考查集合的表示方法，属于基础题.3．32a =- 解析：集合中有三个元素，3-是集合A 中的元素，所以3-只能是除6外的其它两个，分别让2a -和225a a +等于3-求解a 的值．详解：解：3A -∈，23a ∴-=-或2253a a +=-由23a -=-，解得1a =-，此时23a -=-，2253a a +=-与集合中元素的互异性矛盾，舍去；由2253a a +=-，得1a =-（舍)，或32a =- 当32a =-时，722a -=-，2253a a +=- 此时7{2A =-，3-，6}适合题意． ∴32a =-． 点睛：本题考查集合与元素关系的判断，考查分类讨论的数学思想，解答的关键是掌握集合中元素的互异性，属基础题．4．（1）1{,1}3-（2）0a =或1a ≥ 解析：（1）由1A ∈得3a =-，代入2210ax x ++=，解得A 的元素后，可得解；（2）按照集合A 中元素的个数分类讨论，可求得结果.详解：（1）因为1A ∈，所以210a ++=，得3a =-，所以2{|3210}A x R x x =∈-++=1{,1}3=-. （2）当A 中只有一个元素时，2210ax x ++=只有一个解，所以0a =或0440a a ≠⎧⎨∆=-=⎩， 所以0a =或1a =，当A 中没有元素时，2210ax x ++=无解，所以0440a a ≠⎧⎨∆=-<⎩，解得1a >， 综上所述：0a =或1a ≥.点睛：易错点点睛：容易忽视0a =的情况，错把方程默认为一元二次方程，造成漏解.5．（1）1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}；（2）1,22⎧⎫⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭；（3）（x ，y ）|y ＝3x 2+1，x∈R}. 解析：（1）利用列举法求解即可；（2）先解出方程的解，然后利用列举法；（3）利用描述法即可详解：解：（1）当从1，2，3这三个数字中抽出1个数字时，自然数为1，2，3；当抽出2个数字时，可组成自然数12，21，13，31，23，32；当抽出3个数字时，可组成自然数123，132，213，231，321，312.由于元素个数有限，故用列举法表示为1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}.（2）由算术平方根及绝对值的意义，可知：21020x y +=⎧⎨-=⎩，解得122x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 因此该方程的解集为（﹣12，2）}. （3）首先此集合应是点集，是二次函数y ＝3x 2+1图象上的所有点，故用描述法可表示为（x ，y ）|y ＝3x 2+1，x∈R}.6．（1）0a =或1-；（2）1x =-.解析：（1）根据元素的确定性和互异性可得33a -=-或213a -=-，即可求解；（2）根据元素的确定性列方程，再检验互异性即可求解.详解：（1）由3A -∈且211a +≥， 所以213a +≠-当33a -=-时，可得0a =，此时{}3,1,1A =--符合题意，当213a -=-时，可得1a =-，此时{}4,3,2A =--符合题意，所以0a =或1-，（2）若2x B ∈，则20x =或21x =或2x x =，解得：0x =或1x =或1x =-，由元素互异性可得：0x ≠且1x ≠，所以1x =-7．（1）见解析；（2）见解析.详解：试题分析：（1）由3=22-12即可证得；（2）设4k-2∈A，则存在m ，n∈Z，使4k-2=m 2-n 2=（m+n ）（m-n ）成立，分当m ，n 同奇或同偶时和当m ，n 一奇，一偶时两种情况进行否定即可.试题解析：（1）∵3=22-12，3∈A；（2）设4k-2∈A，则存在m ，n∈Z，使4k-2=m 2-n 2=（m+n ）（m-n ）成立，1、当m ，n 同奇或同偶时，m-n ，m+n 均为偶数，∴（m-n ）（m+n ）为4的倍数，与4k-2不是4的倍数矛盾．2、当m ，n 一奇，一偶时，m-n ，m+n 均为奇数，∴（m-n ）（m+n ）为奇数，与4k-2是偶数矛盾．综上4k-2不属于A ．8．（1）当0a =时，集合A 中的元素为12-；当1a =时，集合A 中的元素为1-；（2）1a ≤. 解析：（1）根据题意可知方程2210ax x ++=为一元一次方程或者一元二次方程有两相等根，由此可求出；（2）根据题意可知方程2210ax x ++=有两个不等实根或有两个相等实根或有且只有一个实根，由此分类求出满足条件的a 值。

[答 案]
D
[解 析]
∵3－1＝2>
，∴3∉A. 又－3－1＝－4<
3
)
，∴－3∈
A.
3
（四）集合的表示
【思考4】
（1） 地球上的四大洋组成的集合如何表示？
（2） 方程（x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合，又如何表示呢？
（3） 通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的特点吗？
列举法：
把集合的所有元素一 一列举出来，
思考：a，b与集合A分别有什么关系?
元素与集合的关系：
如果a是集合A中的元素，就说a 属于 集合A，记作 a A ；
如果a不是集合A中的元素，就说a 不属于 集合A，记作 a A .
（三）元素与集合的关系
元素与集合关系：
唯一性
a是不是集合A中的元素，只有属于与不属于两种关系
符号 与 具有方向性，左边是元素，右边是集合
使用前提
推理法
对于某些不便直接表示的集合
首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后
判断方法
判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征
即可
（三）元素与集合的关系
巩固练习1
已知集合A中的元素x满足x－1<
3，则下列各式正确的是(
A．3∈A且－3∉A
B．3∈A且－3∈A
C．3∉A且－3∉A
D．3∉A且－3∈A
R
正确
选项C，0不是正整数，所以0∈N*错误
选项D，|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N*错误
D. 5 N *
（三）元素与集合的关系
【类题通法】 判断元素与集合关系的两种方法
直接法
使用前提

集合的表示方法——描述法
把一般地，设A为一个集合，我们把A中所具有的
共同特征P(x)的元素中的x所组成的集合表示为
x A|P ( x )
这种表示集合的方法称为描述法.
有时也用冒号或分号代替竖
线，写成：{ ∈ : ()}
或{ ∈ ；()}
例如：实数集中，有限小数和无限循环小数都具有
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
达标检测
1．下列对象不能构成集合的是( D )
①我国近代著名的数学家；②所有的欧盟成员国；③空气中密度大的气体．
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①③
1
2．下列三个关系式：① 5∈R；② ∉Q；③0∈Z.其中正确的个数是( B )
4
A．1 B．2 C．3 D．0
元素组成的总体叫做集合(简称为集).
字母表示：
通常用大写字母A.B.C…表示集合;用小写字母
a.b.c…表示集合中的元素。
探究2 集合中元素的性质
1、所有“帅哥”能否构成一个集合？
不能，因为这个集合不确定
确定性
2、由1、3、0、5、|-3|组成的集合有5个元素，对吗？
互异性
不对，只有4个元素
3、5班同学组成一个集合，调整座位后集合变了吗？
没变，因为元素没变
无序性
补充：两个集合中，元素完全一样，则两集合相等
小试牛刀
判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:
(1) 大于3小于11的偶数; √
×
(2) 我国的小河流.
探究3 元素和集合的关系
思考：用A表示高一(3)班全体学生组成的集合，用a表示高一(3)班的
一位同学，b表示高一(4)班的一位同学.

【新教材】1.1 集合的概念学案（人教A版）1. 了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系；熟记常用数集专用符号．2. 深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题．3. 会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。

感受集合语言的意义和作用。

1.数学抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法；2.逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用；3.数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算；4. 数据分析：元素在集合中对应的参数满足的条件；5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。

重点：集合的基本概念，集合中元素的三个特性，元素与集合的关系，集合的表示方法．难点：元素与集合的关系，选择适当的方法表示具体问题中的集合．一、预习导入阅读课本2-5页，填写。

1．元素与集合的概念(1)元素：一般地，把__________统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的________叫做集合(简称为_______)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的_______是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素的特性：_________、__________ 、___________．2．元素与集合的关系3．常用的数集及其记法把集合的元素_____________，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．5．描述法(1)定义：用集合所含元素的___________表示集合的方法．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的__________及____________，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)你班所有的姓氏能组成集合． ( ) (2)新课标数学人教A 版必修1课本上的所有难题．( )(3)一个集合中可以找到两个相同的元素． ( )(4)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( )(5)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )(6)集合A ＝{x |x －1＝0}与集合B ＝{1}表示同一个集合．( )2．下列元素与集合的关系判断正确的是( )A ．0∈NB ．π∈Q C.2∈Q D ．－1∉Z3．已知集合A 中含有两个元素1，x 2，且x ∈A ，则x 的值是( )A ．0B ．1C ．－1D ．0或14．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－3的解集是( ) A ．(－1,2)B ．(1，－2)C ．{(－1,2)}D ．{(1，－2)}5．不等式x －3<2且x ∈N *的解集用列举法可表示为( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}6．不等式4x －5<7的解集为________．例1 考查下列每组对象，能构成一个集合的是( )①某校高一年级成绩优秀的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③D．②④例2(1)下列关系中，正确的有()①12∈R；②2∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.A．1个B．2个C．3个D．4个(2)集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．例3已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．变式1．[变条件]本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．变式2．[变条件]本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？变式3．[变条件]已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．例4用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．例5用描述法表示下列集合：(1)被3除余1的正整数的集合；(2)坐标平面内第一象限的点的集合；(3)大于4的所有偶数．例6(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝()A．1B．2 C．0D．0或1(2)设12∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x2－ax－52＝0，则集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x2－192x－a＝0中所有元素之积为________．例7用描述法表示抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合．变式1．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{x|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？变式2．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{y|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？1．下列说法正确的是()A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B．由1,2,3和9，1，4组成的集合不相等C ．不超过20的非负数组成一个集合D ．方程(x －1)(x ＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素2．已知集合A 由x <1的数构成，则有( )A ．3∈AB ．1∈AC ．0∈AD ．－1∉A3．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为( )A ．2B ．2或4C ．4D ．04．已知a ，b 是非零实数，代数式|a |a ＋|b |b ＋|ab |ab的值组成的集合是M ，则下列判断正确的是( ) A ．0∈MB ．－1∈MC ．3∉MD ．1∈M5．集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}(A ，B 中x ∈R ，y ∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈BB ．(1,2)∈A ，且(1,2)∈BC ．2∈A ，且(3,10)∈BD ．(3,10)∈A ，且2∈B6．定义P *Q ＝{ab |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,1,2}，Q ＝{1,2,3}，则P *Q 中元素的个数是( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个7．下列说法中：①集合N 与集合N ＋是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素．其中正确的有________(填序号)．8．已知A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N}，用列举法表示A 为________．9．已知集合A ＝{x |ax 2－3x －4＝0，x ∈R}，若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围． 答案小试牛刀1．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√2-5．AACB 6．{x |4x －5<7}自主探究例1 B例2 (1) C (2) 0,1,2例3 a ＝－1.变式1． a ＝2，或a ＝2，或a ＝－ 2.变式2． a ≠0且a ≠1.变式3． a ＝0.例4 (1) {0,2,4,6,8,10}．(2) {0,1，－1}． (3) {(0,1)}．例5 (1) {x |x ＝3n ＋1，n ∈N}．(2) {(x ，y )|x ＞0，y ＞0}．(3) {x |x ＝2n ，n ∈Z 且n ≥3}．例6 (1) D (2) 92例7 {(x ，y )|y ＝x 2＋1}．变式1解：集合{x |y ＝x 2＋1}的代表元素是x ，且x ∈R ，所以{x |y ＝x 2＋1}中的元素是全体实数． 变式2解：集合{ y | y ＝x 2＋1}的代表元素是y ，满足条件y ＝x 2＋1的y 的取值范围是y ≥1，所以{ y | y ＝x 2＋1}＝{ y | y ≥1}，所以集合中的元素是大于等于1的全体实数．当堂检测1-6． CCBBCA 7．②④8．{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}9．解：当a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43； 当a ≠0时，关于x 的方程ax 2－3x －4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，所以Δ＝9＋16a ≤0，即a ≤－916. 故所求的a 的取值范围是a ≤－916或a ＝0.。

问题6:集合的3种表示方法之描 述 法
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素 x组成的集合表示为：
{x∈A|P(x)},
这种表示集合的方法称为描述法.
温馨提示 ：有时也用冒号或者分号代替竖线，写成
{x∈A:P(x)} 或 {x ∈A;P(x)}
问题6:集合的3种表示方法之描 述 法 例如，实数集R中，有限小数和无限循环小数都具有 的情势，这些数组成有理数集，我们将它表示为
(3)无序性一即集合中的元素没有次序之分.
1 . 判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)与定点A, B 等距离的点； (2) 高中学生中的游泳能手 .
(1)是，即线段AB 的垂直平分线。 (2)不是，因为游泳能手与不是能手没有具体的划分标准。
问题3:集合和元素怎么錶示?它们之间有什么关系?
一般来说：用大写拉丁字母A、B、C..等表示集合 用小写拉丁字母a,b,c...等表示元素
元素与集合的关系： 如果是α是集合A的元素，那么就说α属于集合A, 记作a ∈A; 如果是a 不是集合A的元素，那么就说a 不属于集合A, 记 作a≠ A; 比如，3∈自然数集；44奇数集
问题4;常用的数集比如自然数集怎么表示?
表示为x=2k+1(k∈Z) 的情势，那么x除以2的余数为1,它是一个奇数；
反之，如果x 是一个奇数，那么x除以2的余数为1,它能表示为x=2k+1 (k∈Z)的情势.
所以，x= 2k + 1(k∈Z )是所有奇数的一个共同特征，于是奇数集可以 表示为：{x∈Z|x=2k+1,k∈Z}
你能用这样的方法表示偶数集吗?{x∈Z|x=2k,k∈Z}
【自然数集】

1.1 集合的概念1．若集合{}1,2,3A =，(){},40,,B x y x y x y A =+->∈则集合B 中的元素个数为（ ）A ．5B ．6C ．4D ．32．以下说法中正确的个数是①0与{}0表示同一个集合；②集合{}3,4M =与(){}3,4N =表示同一个集合； ③集合{}45x x <<不能用列举法表示．A ．0B ．1C ．2D ．3 3．若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 中元素个数是（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7 4．已知集合P 的元素个数为()*3n n N ∈个且元素为正整数，将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合,,A B C ，即P A B C =⋃⋃，A B =∅，A C ⋂=∅，B C =∅，其中{}12,,,n A a a a =，{}12,,,n B b b b =，{}12,,,n C c c c =，若集合,,A B C 中的元素满足12n c c c <<<，k k k a b c +=，1,2,,k n =,则称集合P 为“完美集合”例如:“完美集合”{}11,2,3P =,此时{}{}{}1,2,3A B C ===．若集合{}21,,3,4,5,6P x =，为“完美集合”,则x 的所有可能取值之和为（ ）A ．9B ．16C ．18D ．275．已知集合{}2M x x =≤，则（ ）A ．0M ∈B ．0M ∉C ．0M ⊆D ．0M6．下列能构成集合的是（ ）A ．中央电视台著名的节目主持人B ．我市跑得快的汽车C ．上海市所有的中学生D ．香港的高楼7．若1{0,}a ∈，则实数a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．0或18．下列条件所指对象能构成集合的是（ ）A ．与0非常接近的数B ．我班喜欢跳舞的同学C ．我校学生中的团员D ．我班的高个子学生9．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合{|}A a b a P b Q =+∈∈，，若{}025P =，，，{}126Q =，，，则A 中元素的个数是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．910．设A ，B 是两个非空集合，定义{}()|A B a b a A b B *=∈∈，，，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P Q *中元素的个数是（ ）A ．4B ．7C ．12D ．1611．下列各组对象能构成集合的是A ．新冠肺炎死亡率低的国家B ．19世纪中国平均气温较高的年份C ．一组对边平行的四边形D ．π的近似值12．定义集合运算：(){},,A B z z x x y x A y B ==-∈∈※︳，设集合 {}1,2A =，{}2,3B =，则集合 A B ※ 的所有元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．513．已知集合(){},1,,A x y x y x y R =+=∈，(){}22,5,,B m n m n m n Z =+=∈，则A B ⋂=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 14．若2∈1，a ，a 2-a }，则 a =（ ） A ．-1B ．0C ．2D ．2或-1 15．若集合A ＝｛x ｜mx 2＋2x ＋m ＝0，m∈R｝中有且只有一个元素，则m 的取值集合是A ．｛1｝B ．｛1-｝C ．｛0，1｝D ．｛1-，0，1｝ 16．已知方程()()()2221236660x x b x x b x x b -+-+-+=的所有解都为自然数，其组成的解集为{}12345,,,,A x x x x x =，则123b b b ++的值不可能为（ ）A ．13B ．14C ．17D ．2217．设集合M ＝x|x∈R 且，a ＝，则( ) A ．a ∉MB ．a∈MC ．a ＝MD ．a|a ＝＝M18．已知a ={|A x x =≥，则 A ．a A ∉ B ．a A ∈ C ．{}a A = D ．{}a a ∉19．下列判断正确的是（ ）A ．0N ∉B ．()()1{|120}x x x ∈-+=C ．N Z *∈D ．{}00=20．已知关于x 的方程26(0)x x a a -=>的解集为P ，则P 中所有元素的和可能是（ ）A ．3，6，9B ．6，9，12C ．9，12，15D ．6，12，15参考答案1．D解析：由已知可得()()(){}2,3,3,2,3,3B =，问题得解.详解：由已知，得：2,3x y ==；3,2x y ==；3,3x y ==满足题意，所以()()(){}2,3,3,2,3,3B =，集合B 中有三个元素.故选：D点睛：本题考查了列举法表示集合，注意该集合是点集，属于基础题.2．B解析：①中，0表示一个实数，{}0表示同一个集合，可判定不正确；②中，根据集合表示的意义，可判定是不正确的；③中，集合{}45x x <<是一个无限数集，可判定是正确的，即可求解.详解：由题意，可得①中，0表示一个实数，{}0表示同一个集合，所以不正确；对于②中，根据集合的表示方法，可得{}3,4M =表示数集，(){}3,4N =表示点集,所以不正确； 对于③中，集合{}45x x <<是一个无限数集且无规律，不能用列举法表示，所以是正确的. 故选B.点睛：本题主要考查了集合的概念，以及集合的表示方法，其中熟记集合的概念，以及集合的表示方法是解答的关键.3．B解析：两个”我”字只算一个.详解：根据集合中元素的互异性,可得S 中元素个数是5.故选B.点睛：本题考查了集合中元素的互异性,属于基础题.4．D解析：讨论集合A 与集合B ，根据完美集合的概念知集合C ，根据k k k a b c +=建立等式求x 的值．详解：首先当2x =时，{}21,2,3,4,5,6P =不可能是完美集合，证明：假设{}21,2,3,4,5,6P =是完美集合，若C 中元素最小为3，则11123a b +=+=，222456a b c +=+==不可能成立；若C 中元素最小为4，则11134a b +=+=，222256a b c +=+==不可能成立；若C 中元素最小为5，则11145a b +=+=，222236a b c +=+==不可能成立；故假设{}21,2,3,4,5,6P =是完美集合不成立，则{}21,2,3,4,5,6P =不可能是完美集合． 所以2x ≠；若集合{1,5},{3,6}A B ==，根据完美集合的概念知集合{}4,,5611C x x =∴=+=；若集合{1,3},{4,6}A B ==，根据完美集合的概念知集合{}5,,369C x x =∴=+=；若集合{1,4},{3,5}A B ==，根据完美集合的概念知集合{}6,,347C x x =∴=+=；则x 的所有可能取值之和为791127++=，故选D ．点睛：本题是新概念题，考查学生分析问题，理解问题的能力，是中档题．5．A解析：元素属于集合用“∈”连接,由此即可得到选项详解：显然,02≤,则0是集合M 中的元素,则有0M ∈,故选：A点睛：本题考查元素与集合的关系,属于基础题6．C解析：根据集合的定义可直接确定结果.详解：构成集合的元素具有确定性 ,,A B D ∴中没有明确标准，不符合集合定义，C 正确点睛：本题考查集合的定义，属于基础题.7．C解析：根据集合的确定性，互异性，即可求得答案.详解：因为1{0,}a ∈，根据集合性质可得：1a =.故选：C8．C解析：利用集合元素的确定性判断每一个选项，选项A,B,D 不满足集合元素的确定性，选项C 满足集合元素的确定性.详解：A. 与0非常接近的数不能构成集合，因为与0非常接近的数不具备确定性；B. 我班喜欢跳舞的同学不能构成集合，因为我班喜欢跳舞的同学不具备确定性；C. 我校学生中的团员能构成集合，因为我校学生中的团员具备确定性；D. 我班的高个子学生不能构成集合，因为我班的高个子学生不具备确定性.故选：C9．C解析：先根据题意表示出{}1,2,3,4,6,7,8,11A =，再判断集合中元素的个数即可.详解：解：由题意：当0a =，1b =时，1a b +=；当0a =，2b =时，2a b +=；当0a =，6b =时，7a b +=；当2a =，1b =时，3a b +=；当2a =，2b =时，4a b +=；当2a =，6b =时，8a b +=；当5a =，1b =时，6a b +=；当5a =，2b =时，7a b +=；当5a =，6b =时，11a b +=，所以{}1,2,3,4,6,7,8,11A =，有8个元素，故选：C.本题考查由新定义确定集合中的元素、集合中元素的互异性，是基础题.10．C详解：试题分析：P Q *中元素的确定，分两步，P 中元素有3种选法，即a 有3种选法，Q 中元素即b 有4种选法，所以P Q *中元素的个数是3×4=12，故选C ．考点：本题主要考查分步计数原理的应用．点评：背景新颖的简单题，审清题意．11．C解析：根据集合的互异性、确定性判定.详解：解：只要一组对边平行的四边形都在选项C 这个全体中，那么C 中所有对象能构成一个集合，而选项A ，B ，D 都没有明确的判定标准判定个体是否在全体中.故选：C.点睛：判断一组对象能否构成集合的依据：是否具有确定性：具有，能构成集合；不具有，不能构成集合.12．B解析：求出集合 A B ※ 的所有元素，即得解.详解：当1,2x y ==时，1(12)1z =⨯-=-；当1,3x y ==时，1(13)2z =⨯-=-；当2,2x y ==时，2(22)0z =⨯-=；当2,3x y ==时，2(23)2z =⨯-=-.所以集合 A B ※ 的共有3个元素.故选：B点睛：本题主要考查集合的新定义，考查集合的元素的互异性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.解析：得到(){}()()()()()()()(){}22,5,,1,2,1,2,1,2,1,2,2,1,2,1,2,1,2,1B m n m n m n Z =+=∈=--------，即可求出答案.详解：因为(){},1,,A x y x y x y R =+=∈(){}()()()()()()()(){}22,5,,1,2,1,2,1,2,1,2,2,1,2,1,2,1,2,1B m n m n m n Z =+=∈=-------- 所以()(){}1,2,2,1A B ⋂=-- 所以2A B ⋂=故选：C点睛：本题考查的是集合的表示方法，较简单.14．A解析：由题：分两种可能情况2a =或22a a -=，分别解出参数，得到集合，通过集合中元素的互异性进行排除.详解：由题22{1,,}a a a ∈-，若2a =，则22a a -=，与集合中元素的互异性矛盾，不合题意，舍去； 若22a a -=解得：2a =或1a =-，显然2a =不合题意（已分析），检验当1a =-时，集合为{1,1,2}-满足题意.故选：A点睛：此题考查通过元素与集合的关系求参数的值，对所有情况进行分类讨论，关键在于满足集合中元素的互异性，注意舍去不合题意的情况.15．D解析：分类讨论0m =及0m ≠时0∆=．详解：当0m =时，{}{|20}0A x x ===，满足题意；当0m ≠时，2440m ∆=-=，解得1m =±．综上m 的取值集合是{1,0,1}-．点睛：集合的元素具有互异性，当二次方程的两根相等时，方程的解集只有一个元素，另外一元一次方程有解也最多只能有一个解．解析：当123,,b b b 分别取0,5,9时，{}0,6,1,5,3A =，12314b b b ++=，排除B ，当123,,b b b 分别取0,8,9时，{}0,6,2,4,3A =，12317b b b ++=，排除C ，当123,,b b b 分别取5,8,9时，{}1,5,2,4,3A =，12322b b b ++=，排除D ，故选A.17．A解析：判断元素与集合的关系，就是看元素是否具备集合的特征性质，不具备集合的特征性质，所以选A.18．B解析：答案.详解：>a A ∈，故A 错，B 对，显然{}a A ≠，所以C 不对，而{}a a ∈，所以D 也不对，故本题选B.点睛：关系是解题的关键.19．B详解：试题分析：0是自然数，故A 错误，集合与集合是包含关系，故C 错误，元素与集合是属于或不属于的关系，故D 错误，所以选B.考点：元素与集合、集合与集合的相互关系.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.20．B解析：先去掉绝对值，转化为两个方程，针对方程根的情况进行讨论．详解：解：关于x 的方程26(0)x x a a -=>等价于260x x a --=①，或者260x x a -+=②．由题意知，P 中元素的和应是方程①和方程②中所有根的和．0a >，对于方程①，()2(6)413640a a ∆=--⨯⨯-=+>．∴方程①必有两不等实根，由根与系数关系，得两根之和为6． 而对于方程②，364a ∆=-，当9a =时，0∆=可知方程②有两相等的实根为3， 在集合中应按一个元素来记，故P 中元素的和为9； 当9a >时，∆<0方程②无实根，故P 中元素和为6； 当09a <<时，方程②中0∆>，有两不等实根，由根与系数关系，两根之和为6， 故P 中元素的和为12.故选：B ．。

第⼀章1.1集合的概念第⼀章集合与常⽤逻辑⽤语[数学⽂化]——了解数学⽂化的发展与应⽤康托尔与集合论翻开⾼中数学课本，⾸先映⼊眼帘的数学概念是集合.研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论.它不仅是数学的⼀个基本分⽀，在数学中占据着⼀个极其独特的地位，⽽且其基本概念已渗透到数学的所有领域.如果把现代数学⽐作⼀座⽆⽐辉煌的⼤厦，那么集合论正是构成这座⼤厦的基⽯.其创始⼈康托尔也以其集合论的成就被誉为对20世纪数学发展影响最深的学者之⼀.康托尔(Georg Cantor，1845～1918)，德国数学家，⽣于俄罗斯圣彼得堡，⾃幼对数学有浓厚兴趣.1867年，22岁的康托尔获得博⼠学位，以后⼀直在哈雷⼤学任教，从事数学教学与研究.[读图探新]——发现现象背后的知识⼀位渔民⾮常喜欢数学，但他怎么也想不明⽩集合的意义.于是，他请教数学家：“尊敬的先⽣，请你告诉我，集合是什么？”⽽集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民.有⼀天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔⽹，轻轻⼀拉，许多鱼在⽹中跳动.数学家激动的喊：“找到了，找到了，这就是⼀个集合”.问题1：数学家说的集合是指什么？集合中的对象是什么？这些对象有完全⼀样的吗？⽹中的“⼤鱼”能构成集合吗？问题2：渔民⽹中的鱼组成的集合和湖中的鱼组成的集合有怎样的关系？问题3：如果有两个渔民都在打渔，他们各⾃渔⽹中的鱼的种类组成两个集合，那么求这两个集合中的相同鱼的种类组成的新集合是集合的什么运算？将两个渔⽹中的鱼组成的集合中的鱼的种类合在⼀起的过程⼜是集合的哪种运算？链接：数学家所说的集合是指渔⽹中的鱼，很显然渔⽹中的对象都是确定的、⽆序的和互异的；渔⽹中的鱼组成的集合是湖中的鱼组成集合的⼀部分，是湖中鱼构成集合的⼀个⼦集；两个渔⽹中相同鱼的种类组成的集合是两个集合的交集，两个渔⽹中的鱼的种类合在⼀起就构成了两个集合的并集.1.1集合的概念课标要求素养要求1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题，能在⾃然语⾔和图形语⾔的基础上，⽤符号语⾔刻画集合.在集合概念的形成中，经历由具体到抽象、由⾃然语⾔和图形语⾔到符号语⾔的表达过程，发展学⽣的数学抽象素养和数学运算素养.教材知识探究中国共产党第⼗九次全国代表⼤会(简称党的⼗九⼤)于2017年10⽉18⽇⾄10⽉24⽇在北京召开.问题党的⼗九⼤会议的代表能否构成⼀个集合？提⽰党的⼗九⼤会议的代表能构成⼀个集合.1.元素与集合的概念集合中元素的三个特性是解决集合问题的关键(1)⼀般地，我们把研究对象统称为元素，把⼀些元素组成的总体叫做集合(简称为集).(2)集合中元素的特性：确定性、互异性、⽆序性.(3)只要构成两个集合的元素是⼀样的，我们就称这两个集合是相等的.2.元素与集合的关系在a∈A与a A这两种情况中有且只有⼀种成⽴知识点关系概念记法读法元素与集合属于如果a是集合A中的元素，a∈A “a属于A”的关系就说a属于A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于Aa A “a不属于A”名称⾃然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N N*或N＋Z Q R (1)列举法列举法对有限集情有独钟，但⾃然数集、整数集也可⽤列举法来表⽰，但不能⽤来表⽰实数集把集合的所有元素⼀⼀列举出来，并⽤花括号“{}”括起来表⽰集合的⽅法叫做列举法，⼀般可将集合表⽰为{a，b，c，…}.(2)描述法⼀般地，设A是⼀个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表⽰为{x∈A|P(x)}，这种表⽰集合的⽅法称为描述法，有时也⽤冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}.教材拓展补遗[微判断]1.漂亮的花可以组成集合.(×)提⽰“漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合.2.由⽅程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素.(×)提⽰由于集合中的元素具有互异性，故由两⽅程的根组成的集合中有2个元素.3.元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是不相等的.(×)提⽰集合中的元素具有⽆序性，所以元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是同⼀集合.[微训练]1.⽤符号“∈”或“”填空.(1)若A＝{x|x2＝x}，则－1________A；(2)若C＝{x∈N|1≤x≤10}，则8________C，9.1________C.解析(1)∵A＝{x|x2＝x}＝{0，1}，∴－1A.(2)∵C＝{x∈N|1≤x≤10}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，∴8∈C，9.1C.答案(1)(2)∈2.试分别⽤描述法和列举法表⽰下列集合：(1)由⽅程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；(2)⼤于2且⼩于7的整数.解(1)⽤描述法表⽰为{x∈R|x(x2－2x－3)＝0}，⽤列举法表⽰为{0，－1，3}.(2)⽤描述法表⽰为{x∈Z|2[微思考]1.设集合A表⽰“1～10以内的所有素数”，3，4这两个元素与集合A有什么关系？如何⽤数学语⾔表⽰？提⽰3是集合A中的元素，即3属于集合A，记作3∈A；4不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4A.2.某班所有的“帅哥”能否构成⼀个集合？某班⾝⾼⾼于175厘⽶的男⽣能否构成⼀个集合？集合元素确定性的含义是什么？提⽰某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”⽆明确的标准.⾼于175厘⽶的男⽣能构成⼀个集合，因为标准确定.元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定⼀个集合，那么任何⼀个元素在不在这个集合中就确定了.题型⼀集合概念的理解【例1】考察下列每组对象能否构成⼀个集合：集合中的元素具有确定性(1)不超过20的⾮负数；(2)⽅程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某校2019年在校的所有矮个⼦同学；(4)3的近似值的全体.解(1)对任意⼀个实数能判断出是不是“不超过20的⾮负数”，所以能构成集合；(2)能构成集合；(3)“矮个⼦”⽆明确的标准，对于某个⼈算不算矮个⼦⽆法客观地判断，因此不能构成⼀个集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断⼀个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.规律⽅法判断⼀组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定⽆疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定⽆疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.【训练1】(1)下列给出的对象中能构成集合的是()A.著名物理家B.很⼤的数C.聪明的⼈D.⼩于3的实数(2)下列各组对象可以构成集合的是()A.数学必修第⼀册课本中所有的难题B.⼩于8的所有素数C.直⾓坐标平⾯内第⼀象限的⼀些点D.所有⼩的正数解析(1)只有选项D有明确的标准，能构成⼀个集合.(2)A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“⼀些点”⽆明确的标准，对于某个点是否在“⼀些点”中⽆法确定，因此“直⾓坐标平⾯内第⼀象限的⼀些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合. 答案(1)D(2)B题型⼆集合中元素的性质及应⽤元素与集合的关系⽤“∈”或“”表⽰【例2】(1)给出下列关系：①12∈R；②|－3|N；③|－3|∈Q；④0N.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4解析①正确；②③④不正确.答案 A(2)已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a. 解由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝－3 2.当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去.当a＝－32时，a－2＝－72，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性，∴a＝－32.规律⽅法利⽤集合中元素的互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对求得参数值进⾏检验.(2)注意点：利⽤集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应⽤. 【训练2】(1)设集合M是由不⼩于23的数组成的集合，a＝11，则下列关系中正确的是()A.a∈MB.a MC.a＝MD.a≠M解析判断⼀个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是.∵11<23，∴a M .答案 B(2)已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3是集合A 中的元素，试求实数a 的值.解因为－3是集合A 中的元素，所以－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0，此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合要求；若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合要求. 综上所述，满⾜题意的实数a 的值为0或－1.题型三集合的表⽰⽅法【例3】⽤适当的⽅法表⽰下列集合： (1)⽅程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；(2)在⾃然数集内，⼩于1 000的奇数构成的集合； (3)不等式x －2>6的解的集合；(4)⼤于0.5且不⼤于6的⾃然数的全体构成的集合； (5)⽅程组x ＋y ＝3，x －y ＝5的解集.解 (1){0，－1}；(2){x |x ＝2n ＋1，且x <1 000，n ∈N }； (3){x |x >8}；(4){1，2，3，4，5，6}；(5)解集⽤描述法表⽰为（x ，y ）|x ＋y ＝3，x －y ＝5，解集⽤列举法表⽰为{(4，－1)}.规律⽅法 (1)⼀个集合可以⽤不同的⽅法表⽰，需根据题意选择适当的⽅法，同时注意列举法和描述法的适⽤范围.(2)⽅程(或⽅程组)的解的个数较少，因此⽅程(或⽅程组)的解集⼀般⽤列举法表⽰；不等式(或不等式组)的解集⼀般⽤描述法表⽰.注意，当题⽬中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时，⼀定要将最终结果写成集合的形式. 【训练3】 (1)下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A.{x |x ＝1} B.{y |(y －1)2＝0} C.{x ＝1}D.{1}(2)有下⾯六种表⽰⽅法①{x ＝－1，y ＝2}；②(x ，y )|??x ＝－1，y ＝2；③{－1，2}；④(－1，2)；⑤{(－1，2)}；⑥{x ，y |x ＝－1或y ＝2}.其中，能正确表⽰⽅程组2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是________(填序号).解析 (1)由集合的含义知{x |x ＝1}＝{y |(y －1)2＝0}＝{1}，⽽集合{x ＝1}表⽰由⽅程x ＝1组成的集合，故选C. (2)件中“或”也要改为“且”⼀、素养落地1.通过集合概念及元素与集合关系的学习，重点培养数学抽象素养及提升数学运算素养.2.研究对象能否构成集合，就是要看是否有⼀个确定的标准，能确定⼀个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合.这是判断能否构成集合的依据.3.表⽰集合的要求：(1)根据要表⽰的集合元素的特点，选择适当⽅法表⽰集合，⼀般要符合最简原则.(2)⼀般情况下，元素个数⽆限的集合不宜⽤列举法表⽰，描述法既可以表⽰元素个数⽆限的集合，也可以表⽰元素个数有限的集合.⼆、素养训练1.现有下列各组对象：①著名的数学家；②某校2019年在校的所有⾼个⼦同学；③不超过30的所有⾮负整数；④⽅程x2－4＝0在实数范围内的解；⑤平⾯直⾓坐标系中第⼀象限内的点.其中能构成集合的是()A.①③B.②③C.③④D.③④⑤解析①著名的数学家⽆明确的标准，对某个数学家是否著名⽆法客观地判断，因此①不能构成⼀个集合；类似地，②也不能构成集合；③任给⼀个整数，可以明确地判断它是不是“不超过30的⾮负整数”，因此③能构成⼀个集合；类似地，④也能构成⼀个集合；对于⑤，“在第⼀象限内”不仅可以⽤坐标系进⾏图⽰，也可以通过点的横纵坐标是否都⼤于0来判断，标准是明确的，因此能构成⼀个集合. 答案 D2.已知1，x ，x 2三个实数构成⼀个集合，x 满⾜的条件是( ) A.x ≠0 B.x ≠1C.x ≠±1D.x ≠0且x ≠±1解析根据集合中元素的互异性，得1≠x ，x ≠x 2，x 2≠1，解得x ≠0且x ≠±1. 答案 D3.下列所给关系正确的个数是( ) ①2Q ；②|－1|∈N ；③π∈R ；④－3∈Z .A.1B.2C.3D.4解析∵2是⽆理数，∴2Q ，因此①正确.⼜|－1|＝1∈N ，π是实数，－3是整数，故②③④也正确. 答案 D4.已知集合A 中的元素x 满⾜x ≥2，若aA ，则实数a 的取值范围是________.解析由题意a 不满⾜不等式x ≥2，即a <2. 答案 a <25.若集合A 是由所有形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数组成，判断－6＋22是不是集合A 中的元素？解因为－2∈Z 且2∈Z ，所以－6＋22＝3×(－2)＋2×2是形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数，即－6＋22是集合A 中的元素.基础达标⼀、选择题1.以下各组对象不能组成集合的是( ) A.中国古代四⼤发明 B.地球上的⼩河流 C.⽅程x 2－1＝0的实数解 D.周长为10 cm 的三⾓形解析选项B 中的对象没有明确的标准，不具备确定性，故不能组成集合. 答案 B2.⽅程组x －y ＝3，2x ＋y ＝6的解集是( )A.{x ＝3，y ＝0}B.{3}C.{(3，0)}D.{(x ，y )|(3，0)}解析⽅程组解的形式是有序实数对，故可排除A ，B ，⽽D 不是集合表⽰的描述法的正确形式，排除D. 答案 C3.下列集合中恰有2个元素的集合是( ) A.{x 2－x ＝0} B.{y |y 2－y ＝0} C.{x |y ＝x 2－x }D.{y |y ＝x 2－x }解析选项A 中的集合只有⼀个元素为：x 2－x ＝0；集合{y |y 2－y ＝0}的代表元素是y ，则集合{y |y 2－y ＝0}是⽅程y 2－y ＝0根的集合，即{y |y 2－y ＝0}＝{0，1}；选项C ，D 中的集合中都有⽆数多个元素，故选B. 答案 B4.若a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，则以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是( ) A.矩形B.平⾏四边形C.菱形D.梯形解析由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，⽽梯形的四条边可以互不相等，故选D.答案 D5.⽤描述法表⽰图中所⽰阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是()A.{－2≤x≤0且－2≤y≤0}B.{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}C.{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y<0}D.{(x，y)|－2≤x<0或－2≤y≤0}解析由阴影知，－2≤x≤0且－2≤y≤0，∴集合{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}表⽰阴影部分点的集合.答案 B⼆、填空题6.已知①5∈R；②13∈Q；③0N*；④πQ；⑤－4Z.正确的个数为________.解析①②③④是正确的；⑤是错误的.答案 47.若集合P含有两个元素1，2，集合Q含有两个元素1，a2，且P和Q相等，则a的值为________.解析由于P和Q相等，故a2＝2，∴a＝±2.答案±28.若－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________.解析由题意可知(－5)2－a×(－5)－5＝0，得a＝－4，故⽅程x2－4x＋4＝0的解为x ＝2，即{x |x 2－4x －a }＝{2}，则其所有元素之和为2. 答案 2 三、解答题9.判断下列说法是否正确，并说明理由.(1)2，32，64，－13，13这些数组成的集合有5个元素；(2)⽅程(x －3)(x ＋1)2＝0的解组成的集合有3个元素. 解 (1)不正确.∵32＝64，－13＝13，∴这个集合有3个元素.(2)不正确.⽅程(x －3)(x ＋1)2＝0的解是x 1＝3，x 2＝x 3＝－1，因此这个集合只有3，－1两个元素.10.⽤适当的⽅法表⽰下列集合：(1)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)所组成的⾃然数的集合； (2)⽅程2x ＋1＋|y －2|＝0的解集.解 (1)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的⾃然数有：12，21，13，31，23，32，⽤列举法可表⽰为{12，21，13，31，23，32}. (2)由2x ＋1＋|y －2|＝0，得2x ＋1＝0，y －2＝0，所以x ＝－12，y ＝2，所以⽅程2x ＋1＋|y －2|＝0的解集⽤描述法可表⽰为(x ，y )x ＝－12y ＝2；⽤列举法可表⽰为－12，2.能⼒提升11.由三个数a ，ba ，1组成的集合与由a 2，a ＋b ，0组成的集合是同⼀个集合，求a 2 019＋b 2 019的值.解由a ，ba ，1组成⼀个集合，可知a ≠0，a ≠1，由题意可得a 2＝1，a ＝a ＋b ，b a ＝0或a 2＝a ，a ＋b ＝1，ba ＝0，解得a ＝－1，b ＝0或a ＝1，b ＝0(不满⾜集合元素的互异性，舍去).所以a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋0＝－1. 12.下⾯三个集合： A ＝{x |y ＝x 2＋1}； B ＝{y |y ＝x 2＋1}； C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}.问：(1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各⾃的含义是什么？解 (1)在A ，B ，C 三个集合中，虽然特征性质的表达式⼀致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合. (2)集合A 的代表元素是x ，满⾜y ＝x 2＋1，故A ＝{x |y ＝x 2＋1}＝R .集合B 的代表元素是y ，满⾜y ＝x 2＋1的y ≥1，故B ＝{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}.集合C 的代表元素是(x ，y )，满⾜条件y ＝x 2＋1，即表⽰满⾜y ＝x 2＋1的实数对(x ，y )；也可认为满⾜条件y ＝x 2＋1的坐标平⾯上的点.因此，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|(x ，y )是抛物线y ＝x 2＋1上的点}.。