稳定性定义与稳定性条件 四讲)

计算
f1 f1 x x n 1 0 A 1 a0 conx e f n f n x1 xn x x e
A I 2 a1 a0 conx e 0 1
1 a1
（1）平衡点平移：令 y x xe 则 y f ( y xe )
将 f ( y xe ) 在原点展开得 y Ay G( y) y
f1 f1 f1 f1 x x y n yn 1 1 G( y) o( y 2 ) A f n f n f n f n y1 yn xn x x y 0 x1 e
由特征方程

，得
a1 a12 4a0 conx e 1 2
设 a0 0, a1 0, 则
5.2.2 直接法 定理5.2.2 假设系统的状态方程为
x f ( x, t ), f (0, t ) 0 t
如果存在一个具有连续偏导数的标量函数 V ( x, t ) 并且满足条件： 1）V ( x, t ) 是正定的；
态的稳定性。 6）如果系统的原点是稳定的或渐近稳定的，那 么具有所要求性质的李雅普诺夫函数一定是存 在的。
5.3 李亚普诺夫方法在线性系统 5.3.1 稳定性分析 中应用
x 定理4.3.1: Ax 系统在原点全局渐近稳定的
充要条件为方程 AT P PA Q,有唯一正定对称解. 证明：充分性：考虑系统 x Ax
mn
(4.2)
A

j 1 i 1
nBaidu Nhomakorabea
m
2 a ij
(4.3)
4.1.2 平衡状态
系统没有输入作用时，处于自由运动状态。当系 统到达某状态，并且维持在此状态而不再发生变化的， 这样的状态称为系统的平衡状态。 根据平衡状态的定义可知,连续系统 x f (x) 的平衡状 态 x e 是满足平衡方程 x 0 即 f ( xe ) 0 的系统状态。离散 系统 x(k 1) f ( x(k )) 的平衡状态，是对所有的k，都满足 平衡方程 xe f ( xe , k ) 的系统状态。
4.1.1 范数的概念
1. 向量的范数
定义：n维向量空间
x
x x1 x2 xn T
的范数定义为:
2 2 2 x1 x 2 x n
(4.1)
2. 矩阵的范数 定义：m×n矩阵A的范数定义为:
a11 A a m1 a12 am2 a1n a mn
定理 5.3.2 设 x(k 1) Gx(k )
x Rn , G Rnn , G1
则系统在原点为渐近稳定的充分必要条件是方程
GT PG P Q,
Q 0
存在唯一正定对称解 P 0 如果 V x(k ) V x(k 1) V x(k ) xT Qx 沿任一解 的序列不恒等于零，则 Q 可取半正定的。
图（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、 渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。
4 正定函数： 1） 存在 2）
3）当
时， 则称 是正定的（正半定的）。
如果条件3）中不等式的符号反向，则称
是负定的（负半定的）。 例

1） 2）
正定的 半正定的


3）
4）
负定的
半负定的

5）
试用李雅普诺夫第二方法判别其稳定性。
解:
系统具有唯一的平衡点 xe 0
取 V ( x) x12 x22 0 因为除原点处外， 不会恒等于零。 V 当 x 时， ( x) 所以系统在其原点
V ( x) 2x1x1 2x2 x2 2( x12 x22 )2 0 则 V ( x)
xe1 0 0
e2
e3
0 1T
.
4.1.3 李雅普诺夫稳定性定义
1.稳定 定义:如果对于任意给定的每个实数 0 ,都 对应存在着另一实数 ( , t0 ) 0 ,使得从满足不等 式 x0 xe ( , t0 ) 的任意初态 x 出发的系统响 应,在所有的时间内都满足 x xe 则称系统 的平衡状态 x e 是稳定的.若 与 t 0 的选取无 关,则称平衡状态 x e 是一致稳定的.
于是知系统在原点处不稳定。
5.2.3 几点说明
1）对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是 唯一的。 2）对于非线性系统能给出关于在大范围内稳定 性的信息。 3）关于稳定性的条件是充分的，而不是必要的。 4）若不能找到合适的李雅普诺夫函数就不能得
出该系统稳 定性方面的任何结论。
5）李雅普诺夫函数只能判断其定义域内平衡状
V ( x) x12 x22 0 ，则 取 V ( x) 2x1x1 2x2 x2 2( x12 x22 )2 0
又因为当 x 时，有 V ( x) 所以系统在 原点处是大范围渐近稳定的 例5.2.3 已知系统
x1 ( x1 x2 ) x22 x2 ( x1 x2 ) x1 x2
定理5.2.4 如果 V ( x, t ) 0 V ( x, t ) 0则原点不稳定
例5.2.2
已知系统
x1 x2 x1 ( x12 x2 2 ) x2 x1 x2 ( x12 x2 2 )
试用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。
解: 显然，原点 xe 0 是唯一平衡点，
处大范围渐近稳定。 例5.2.4 系统的状态方程为
x1 x1 x2 x2 x1 x2
试确定系统在其平衡状态的稳定性。
解:
系统具有唯一的平衡点 xe 0, 取
W ( x) x12 x22 0
W ( x) 2x1x1 2x2 x2 2( x12 x22 ) 0 则
1 2 1
p11 P p12
因为
3 P 0 11 2 p11 det p12 3 2 p12 det 1 p22 2 1 2 5 0 4 1
可知P是正定的。因此系统在原点处是大范 围渐近稳定的。
第4章 控制系统稳定性分析
4.1 稳定性定义与稳定性条件
当系统受到扰动后，其状态偏离平衡状态，在随后所有时间内， 系统的响应可能出现下列情况： 1)系统的自由响应是有界的； 2)系统的自由响应是无界的； 3)系统的自由响应不但是有界的，而且最终回到原先的平衡状态。 李雅普诺夫把上述三种情况分别定义为稳定的、不稳定的和渐进 稳定的。 显然，如果系统不稳定，则系统的响应是无界的，系统的输出将 逐渐增加直到损坏系统，或者进入振荡状态。因此，系统稳定是保 证系统能正常工作的首要条件。稳定性是控制系统最基本的性质。 李雅普诺夫用范数作为状态空间“尺度”的度量。
例5.3.2
试确定系统
0.5 x1 (k ) x1 (k 1) 0 x (k 1) 0.5 1 x (k ) 2 2
在原点的稳定性 解:在李雅普诺夫方程中,取 Q I , 得
0 0.5 p11 0.5 1 p 12 p12 0 0.5 p11 0.5 1 p p22 12 p12 1 0 0 1 p22
定理5.2.1
(2)近似线性化：y Ay
如果 Re(i ( A)) 0 , 则 xe 渐近稳定， 如果存在 Re( ( A)) 0 ，则 xe 不稳定；
如 Re( ( A)) 0 ，则 xe 的稳定性由高阶导数项
G ( y ) 来决定。
例5.2.1
已知非线性系统
x1 x2 x2 a0 sin x1 a1 x2 b0 u,
不定的
5
二次型：
的所有顺序主子行列式 为半正定的。
塞尔维斯特（Sylvester）定理： 为正定的充要条件是
都是正的。如果
的所有主子行列式为非负的 将是负定
（其中有的为零），那么
如果 是正定的（半正定的），则 的 (半负定的)。
例5.1.2
证明下列二次型函数是正定的。
李雅普诺夫第一方法
设 x f (x) ，xe 为孤立平衡点。
例5.3.1: 分析下列系统稳定性
0 1 x x 1 1
解：令 则由
p11 P p12
AT P PA I
p12 p22
得
p12 0 1 1 0 1 1 0 1 p22
0 1 p11 1 1 p 12
0

2.渐近稳定 定义：若平衡状态 xe 是李雅普诺夫意义下稳定 x 的，并且当 t 时，(t ) xe ,即 tlim x(t ) xe 0 ， 则称平衡状态是渐进稳定的。
3. 大范围（渐近）稳定 定义：如果对任意大的 ，系统总是稳定的， 则称系统是大范围（渐进）稳定的。如果系统 总是渐进稳定的，则称系统是大范围渐进稳定 的。
p12 p11 p p22 12
解上述矩阵方程，有 即得
2 p11 1 p11 p12 p22 0 2 p 2 p 1 22 12
3 p12 2 1 p22 2
3 p11 2 p22 1 1 p12 2
a0 0 a1 0
其中
u U
常数，试分析其平衡状态的稳定性。
解: 求平衡状态：由
x2 0 a0 sin x1 a1 x2 b0U 0
知系统有平衡点
k 0,1,2,
x2e 0,
x1e arcsin
b0 U 2k a0
下面仅对 k 0 情况进行研究，其它情况类似
x Rn , 其中 A Rnn , A1
P PT o
令 V ( x) xT Px
V ( x) xT Px xT Px xT AT Px xT PAx xT ( AT P PA)x xT Qx 如果 Q 0, 则V ( x) 0, xe 0 大范围渐近稳定。 必要性：略。
例4.1 求下列非线性系统的平衡状态
x1 x1 3 x 2 x1 x 2 x 2
解 由平衡状态定义，平衡状态 xe [ x1e x2e ]T 应 满足: x 0
1e
3 x1e x 2e x 2e 0
得非线性系统有三个平衡状态： , x T , x 0 1T
首先讨论线性系统 x Ax 的平衡状态。由 于平衡状态为 Axe 0 ，因此，当A为非奇异矩 阵时，系统只有一个平衡状态 x e 0 ；当A 为奇异矩阵时，系统有无穷多个平衡状态。
对于非线性系统，可能有一个平衡状态， 也可能有多个平衡状态。这些平衡状态都可以 由平衡方程解得。下面举例说明。
2）V ( x, t ) 是负定的。
那么系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。
如果随着 x , 有 V ( x, t ) 则在原点处的平衡
状态是大范围渐近稳定的。
定理5.2.3 如果 V ( x, t ) 0 V ( x, t ) 0 并且对于任意 t0
和 x0 0 V ( x, t ) 不恒等于零则系统在原点渐近稳定.