师大附属中学自主招生试题(数学))

师大附中数学试卷（安徽）

一、填空题（本大题共8小题，每小题7分，共56分. 把答案填在题中横线上） 1、已知函数|1||24||31|y x x x =-+++-，则y 的最小值为. 2、化简：

(

)(

)

53322

53

32

++=++.

3、如图，ABC ∆内接于⊙O ，3，1AC =，90A B ∠-∠=°，则⊙O 的面积为.

4、母亲节快到了，小红，小莉，小莹到花店提前订花并准备在母亲节送给自己的母亲.小红订了3支玫瑰、7支康乃馨、1支百合花，支付了14元，小莉订了4支玫瑰、10支康乃馨、1支百合花，支付了16元，小莹订了上面三种花各3支，则她应支付元.

5、已知关于x 的方程2222(1)34420x a x a ab b ++++++=有实根，则实数a b +=.

6、一个直角三角形的三条边长均为整数，已知它的一条直角边的长为2011，那么它的周长为.

7、如图，矩形的边2AB =，1BC =，且顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，若A 、B 两点分别在x 轴、y 轴上滑动，顶点C 到坐标原点O 的距离的最大值为.

8、 如图，已知菱形的顶点G 在矩形的边上，矩形的顶点A 在菱形的边上，若a ，

BC b =，30F ∠=°，则菱形的边长为.

二、解答题（本大题共3小题，共44分，答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

9、 （本小题满分14分）如图，将一个很大的三角板的直角顶点放在平面直角坐标系的原点O 上，直角边与函数k y x

=（0x >）的图象交于点A ，直角边与k y x

=-（0x <）的图象交于点B. （1）证明：；

（2） 若将三角板绕点O 旋转，并在某一时刻使得过A 、B 两点的直线与直线

1

2

y x =

平行，且5AB =，求k 的值.

10、（本小题满分14分）如图，在⊙O中，弦垂直于直径，4，N是的中点，的延长线交⊙O于点E，与交于点M.

（1）求证：M、C、E、N四点共圆；

（2）求 的值.

11、 （本小题满分16分）已知抛物线221188

y x mx m m =-+++与x 轴交于1(,0)A x 、

（1）求m的取值范围；

（2）若OA OB OC

=+，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的情形下，点P、Q分别从A、O两点同时出发，如图点P沿运动到B，点Q沿运动到C，且P点运动的速度是Q点运动速度的3倍，作直线与直线交于M，设k，问是否存在k值，使以P、B、M为顶点的三角形与ABC

∆相似，若存在，求所有k值，若不存在，请说明理由.

安师大附中2012年初三素质测试数学试题参考答案

一、填空题（本大题共8小题，每小题7分，共56分. 把答案填在题中横线上）

1、16

32、52

-3、5

2

π4、30

5、1

2

6、（或答20112012

⨯，2

2011+2011也正确） 7、21+8、2ab

二、解答题（本大题共3小题，共44分，答题应

写出文字说明、证明过程或演算步骤）

9、证明：（1）证法一：过A作x轴垂线，垂足为

∴∠∠，又∵∠∠90°，

∴△∽△.………………………………………………（3分） 又点A 、B 分别在函数k y x

=与k y x

=-的图象上，

∴||2

AOC BOD k S S ∆∆==，即△与△的相似比为1:1，

所以△≌△，即. ……………………………（7分）

证法二：过A 作x 轴垂线，垂足为C ，过B 作y 轴垂线，垂足为D ， ∵∠90°，∠90°，∴∠∠，

令∠∠θ，∴(||cos ,||sin )A OA OA θθ⋅⋅，(||sin ,||cos )B OB OB θθ-⋅⋅，………………（3分）

又点A 、B 分别在函数k y x

=与k y x

=-的图象上，

∴||sin ||cos ||cos ||sin k OA OA k OB OB θθθθ⎧

⋅=⎪⋅⎪⎨

⎪⋅=-

⎪-⋅⎩

，即22||cos sin ||cos sin k OA OB θθθθ=⋅=⋅，∴. …………（7

分） （

2）设A (,)

a b ，则(,)B b a -………………………………………………………………………………

（8分）

∵直线与直线12y x =平行，∴设直线的解析式为1

2

y x m =+，且过A 、B 两点，

即

1212

b a m a b m ⎧=+⎪⎪⎨

⎪=-+⎪⎩，消去

m

得：3b a =……………………

① ………………………………（10分） 又

5

AB =，且△为等腰直角三角形，∴5

2

OA =

，即2252

a b +=……………

② ……………（12分） 联立①②解之得：13

,22

a b ==. 故

3

4

k a b =⋅=

.………………………………………………………………………………………………（14分）

10、证：⑴∵垂直平分，∴弧等于弧，

,AED ABC ∴∠=∠,OB OC =Q ，ABC OCB ∴∠=∠，AED OCB ∴∠=∠，