高三复习－－-----数列解题方法集锦
ﻩ数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法,而且有效地考查了学生的各种能力。
一、数列的基础知识
ﻩ1．数列｛a n }的通项a ｎ与前ｎ项的和S n 的关系
ﻩ它包括两个方面的问题:一是已知S ｎ求a n ,二是已知ａｎ求Ｓn ；
1．1 已知S ｎ求a n
ﻩ对于这类问题,可以用公式a n =⎩⎨
⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n .ﻩ 1.2 已知a n 求S n
这类问题实际上就是数列求和的问题。数列求和一般有三种方法:颠倒相加法、错位相减法和通项分解法。
ﻩ2.递推数列:⎩⎨⎧==+)
(11n n a f a a a ,解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系,设法转化为等差数列与等比数列的有关问题,然后解决。
例1 已知数列{a n }的前ｎ项和S ｎ=n 2－2n+３，求数列{ａｎ}的通项ａn ，并判断数列｛a n }是否为等差数列。
ﻩ解：由已知：S n =n 2-2ｎ+3,所以,Ｓn －1=（n-1)２－2（n －1)+３=ｎ2-４ｎ+６,
两式相减，得:a n =2ｎ-3(n ≥2），而当n ＝１时，a 1=S 1=2,所以ａn ＝⎩⎨
⎧≥-=)2(32)1(2n n n ． 又ａ２－ａ１≠a 3－a 2,故数列{a n }不是等差数列。
注意：一般地,数列{a n }是等差数列⇔S n =an ２+ｂn ⇔Ｓn 2
)(1n a a n +. 数列{ａn ｝是等比数列⇔Ｓn =aq n
-a. ﻩ例2 已知数列{ａｎ}的前ｎ项的和Ｓｎ=2
)(1n a a n +,求证：数列{a ｎ}是等差数列。
ﻩ证明:因为S n ＝2)(1n a a n +，所以,2
))(1(111++++=n n a a n S 两式相减，得:2)())(1(1111n n n a a n a a n a +-++=
++，所以 n n n na a n a a -++=++111)1(2，即:11)1(a na a n n n -=-+，同理：
11)1()2(a a n a n n n --=--，即：11)2()1(a a n a n n n +-=--，
两式相加，得:n n n a n a n a n )22()1()1(11-=-+--+，即：
n n n a a a 211=+-+,所以数列{a ｎ}是等差数列。
例３ 已知数列｛a ｎ}的前ｎ项的和Ｓn + ａn =2n+1,求数列{a n ｝的通项a ｎ.
解：因为S ｎ＋ a n =２n+1，所以, S n+1+a n+1=２（n+１）＋１,两式相减，得：
2a n+1－ａn =2,即：２a n ＋1-a ｎ+2＝4，2a n+1-４＝ a n -2，所以21221=--+n n a a ,而S 1+a 1＝３，ａ1＝2
3,故a １-2＝21-
,即：数列｛ａn }是以21-为首项，2
1为公比的等比数列，所以 a ｎ-2=21-(21）n-1= - （21)n ,从而a n ＝2 － (21）ｎ。 例4 （200０年全国)设{a ｎ}是首项为1的正项数列，且(ｎ＋１)a ｎ+12-na n ２+a ｎ+１ａｎ＝０,(ｎ=1,2,3,…)，则它的通项公式是a n = .
分析:(1）作为填空题,不需要解题步骤,所以可以采用不完全归纳法。
令n=1，得：２a 22＋a 2-1=0，解得，a 2=
21.令n=2, 得：3ａ32+21a ３-21=0， 解得，a 3=31.同理，a 4=41由此猜想：a n =n
1． (2)由(ｎ+1)a n ＋12－n ａn 2＋a ｎ＋1a n =０,得:[(n+1）a n+１-na n ](a ｎ＋1+a n )=0， 所以(ｎ+1)ａn+1=ｎa n,这说明数列是常数数列,故na ｎ=１，a n =
n 1. 也可以由(n+１）a n+1=n ａn ，得：1
1+=+n n a a n n ，所以 n
n n n n a a a a a a a a n n n n n 1121121112211=⋅⋅⋅--⋅-=⋅⋅⋅⋅=--- 。 例5 求下列各项的和
(1)n n n n n n n C n nC C C C )1(321210++++++- ． （2)1＋2⨯２1+3⨯2２+4⨯２3＋…＋ｎ⨯2n －１.
ﻩ(3)１⨯2+2⨯3+３⨯4＋…+ｎ(n ＋1).
(4）)
2(1421311+++⨯+⨯n n ． 解：(1）设 S n =n n n n n n n C n nC C C C )1(321210++++++- ,则
ﻩ S n =0112)1(n n n n n n C C nC C n +++++- ， 两式相加,得:２Ｓn = (n+2)n n n n C n C n C )2()2(10+++++
=(ｎ+2）(n n n n C C C +++ 10)＝（n+2）2n , 所以S ｎ＝(n+2)２n-1.
思考:n n n n n n n n n C C C C C 112102242+-+++++ 又如何求呢？
(2）设S ｎ=１+2⨯２１＋3⨯2２
＋４⨯23＋…+n ⨯2n-1,则
２ Ｓn = 1⨯2＋2⨯2２+3⨯23+…+(n －1）2n-1＋ｎ２n . 两式相减。得：- S n =1+21+22＋…+2 n-1－ｎ2 n =n n n 22
121⋅---=2n (１-n)－1. S n =2n (n-1)+1.
(3)１⨯２＋2⨯3＋3⨯4+…+n(ｎ+１）＝(12＋１)+(22＋２)＋（３2+3)+ … +(n 2+n ） =(１2+22+32+ … ＋n 2)＋(1+２+3＋ … +ｎ) =)1(21)12)(1(61++++n n n n n =)2)(1(3
1++n n n . (４) ∵
)211(21)2(1+-=+n n n n ∴)
2(1421311+++⨯+⨯n n =)2
11111151314121311(21+-++--++-+-+-n n n n ＝
)2111211(21+-+-+n n =)
2)(1(3243+++-n n n . 二、等差数列与等比数列
１.定义：数列{a n ｝为等差数列⇔a n ＋1-a n =d ⇔a n+１－ａn =a n －a n －1;
