自变量中含有定性变量的回归分析

例：考虑个人保健支出对个人收入和教育水平的回归。教育水 平考虑三个层次：高中以下，高中，大学及其以上
• 这时需要引入两个虚拟变量：
1 高中 D1= 0 其它
1 大学及其以上
D2=
0 其它
模型可设定如下：Yi 0 1Xi 2D1i 3D2i i
在 E(i ) =0的初始假定下，容易得到高中以下、高中、大学及其以上
variable)也称哑变量或定性变量），然后再将它们引入 方程，所得的回归结果才有明确的解释意义。 • 只取0和1两个值的变量称为虚拟变量。 • 对于具有k类的定性变量来说，设虚拟变量时，我们只 设k-1个虚拟变量。
1. 回归模型中使பைடு நூலகம்虚拟自变量时，称为虚拟自变量的回归
2. 当虚拟自变量只有两个水平时，可在回归中引入一个虚 拟变量
教育水平个人平均保健支出的函数：
高中以下： 高中：
大学及其以上：
E(Yi|Xi，D1i=0，D2i=0)=β0+β1Xi E(Yi|Xi，D1i=1，D2i=0)=(β0+β2 )+β1Xi
E(Yi|Xi，D1i=0，D2i=1)=(β0+β3 )+β1Xi
假定3 2 0 ，且 0 0 ，则其几何意义如图1所示。
– 比如，性别(男，女)
3. 一般而言，如果定性自变量有k个水平/类别，需要在回 归中模型中引进k-1个虚拟变量，如果引入k个虚拟变量 将会产生完全多重共线性问题（称为虚拟变量陷阱）
1 水平1
1 水平2
1 水平k 1
x1
0
其他水平
,
x2
0
其他水平 ,
,
xk 1
0
其他水平
▪ 虚拟变量作为解释变量引入模型有两种基本方式： 加法方式和乘法方式。
• 本章总结
第4章 自变量中含有定性变量的回归分析
• 4.1 只有一个虚拟变量的回归 • 4.2 含有多个虚拟变量的回归 • 4.3 分段回归
第4章 自变量中含有定性变量的回归分析
• 在社会经济研究中，由许多定性变量，比如地区、民族、 性别、文化程度、职业和居住地等。
• 可以应用它们的信息进行线性回归。 • 但是，必须现将定性变量转换为虚拟变量（ (dummy
按年龄划分为三个年龄组：6—18岁年龄组（中小学教育）；19—22岁
年龄组（大学教育）；其它年龄组。于是设定虚拟变量
1 6-18岁年龄组 D1= 0 其它
1 19-22年龄组 D2= 0 其它
则家庭教育经费支出模型可设定为 Yi 0 1Xi 2D1i 3D2i i
其中，Yi是第i个家庭的教育经费支出；Xi是第i个家庭的收人； 虚拟变量D1i、D2i分别表示第i家庭中是否有6—18岁和19—22岁的成员。
有相同的斜率，但有不 同的截距
图1 不同教育程度人员保健支出示意图
• （2）乘法方式——斜率的变化
• 例：根据消费理论，消费水平C主要取决于收入水平X。但 在一个较长的时期，人们的消费倾向会发生变化，尤其是在 自然灾害、战争等反常年份，消费倾向往往出现变化。这种 消费倾向的变化可通过在收入的系数中引入虚拟变量来考察。
设
1 正常年份
Dt=
0 反常年份
则消费模型可建立如下：Ct 0 1Xt 2Dt Xt t
这里，虚拟变量 Dt 以与 Xt 相乘的方式引入了模型中， 从而可用来考察消费倾向的变化。
在E(μt)=0的假定下，上述模型所表示的函数可化为: 正常年份： E(Ct Xt , Dt 1) 0 (1 2)Xt 反常年份： E(Ct Xt , Dt 0) 0 1Xt 假定2 0，
革开放以后
Dt= 0 改革开放以前
改革开放以前 X
图3 改革开放前后储蓄函数示意图
显然在上式中，同时使用加法和乘法两种方式引入了虚拟变
量。 在E(μt)=0的假定下，上述模型所表示的函数可化为: 改革开放以前：E(Yt|Xt，Dt=0)=α0+β1Xt
改革开放以后：E(Yt|Xt，Dt=1)=(α0+α1) +(β1 – β2 ) Xt 假定1 0且2 0， 则其几何图形如图3所示。
• 线性回归模型的基本假定 • 误差为独立正态分布的随机变量，其均值为零且方差相
等
（1）误差项的数学期望为0，表明估计的回归方程中不存在系统性 误差（Systematic Error）；
（2）各误差项的方差相等； （3）各误差项之间的协方差为0； 以上三项基本假定一般又称为Gauss-Markov高斯-马尔柯夫条件。 （4）自变量与误差项之间的协方差为0，不存在多重共线性； （5）自变量的样本容量必须大于自变量的项数加1。
则其几何图形如图2所示。
图2 不同年份消费倾向示意图
如果在模型中同时使用加法和乘法两种方式引入虚拟变量， 则回归线的截距和斜率都会改变。
例如：对于改革开放前后储蓄-收入模型，可设定为
Y
Yt 0 1Dt 1Xt 2 (Dt Xt ) t
改革开放以后
其中，Y为储蓄，X为收入，Dt为虚拟变1 量改
数值变量作为虚拟变量引入：有些变量虽然是数量变量，即可以获得 实际观测值，但在某些特定情况下把它选取为虚拟变量则是方便的， 以虚变量引入计量经济学模型更加合理。
譬如年龄因素虽然可以用数字计量，但如果将年龄作为资料分组的特 征，则可将年龄选作虚拟变量。
例如：家庭教育经费支出不仅取决于其收入，而且与年龄因素有关。
多元回归中的几种重要模型
• 第一部分：多重共线情况的处理
– 第3章 岭回归分析（ Ridge Regression ）
• 第二部分：自变量中含定性变量的处理 – 第4章 自变量中含有定性变量的回归分析
• 第三部分：因变量中含有定性变量情况的处理 – 第5章 二项Logistic回归 – 第6章 多项Logistic回归 – 第7章 有序回归（等级回归分析） – 第8章 Probit回归（概率单位回归） – 第9章 最佳尺度回归
▪ （1）加法方式
▪ 引进虚拟变量
1 零售业
1 旅游业
1 航空公司
x1
0
其他行业
,
x2
0
其他行业
,
x3
0
其他行业
▪ 建立回归方程：E(Y)=0+ 1x1+ 2x2+3x3（加法公式） ▪ 0—家电制造业投诉次数的平均值 ▪ (0+ 1)—零售业投诉次数的平均值 ▪ (0+ 2)—旅游业投诉次数的平均值 ▪ (0+ 3)—航空公司投诉次数的平均值