二项式定理及展开式

Tr 1
C8r
x8r
(
x
1 2
)r
(1)r
C8r
x8r
x
r 2
(1)r
C8r
x8
3 2
r
由8 3r 5可得r 2
2
x5 的系数为 (1)2C82 28
二项式系数的性质
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
C10 C11 C20 C21 C22 C30 C31 C32 C33 C40 C41 C42 C43 C44 C50 C51 C52 C53 C54 C55 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66
11 121 1 33 1 1 4641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
二项式系数的性质
(a b)n展开式中的二项式系数，如下表所示：
(a b)1 (a b)2 (a b)3 (a b)4 (a b)5
(a b)6
11 121 13 31 14 6 41 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
性质1：对称性
Cnm
C nm n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
性质2：增减性与最大值 先增后减
11
➢n
当n是偶数时,中间的一项
C
2
n
取得最大值 ；
121
➢当n是奇数时，中间的两
1 33 1 1 4641
n1
n1
项
C2 n
和
C2 n
相等，
1 5 10 10 5 1
且同时取得最大值。
1 6 15 20 15 6 1
赋值法
11 121
也就是说, (a+b)n的 展开式中的各个二项式系 数的和为2n
1 33 1 1 46 41 1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
例2 证明:在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和.
Cn0 Cn2 Cn1 Cn3 2n1
X
复习回顾: 二项式定理及展开式:
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn (n N*)
二项式系数 通项
Cnr (r 0,1, , n)
Tr1 Cnr anrbr
例
已知
(x
1 )8 x
的展开式中 x5的
系数为__________
解: 设第 r 1项为所求
这样的二项式系数表，早在我国南宋数
学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一
书里就已经出现了，在这本书里，记载着类
似下面的表：
一
一一
C
r
n1
C
r 1
n
C
r n
一 二一 一 三 三一
一 四 六 四一
一 五 十 十 五一
一 六 十五 二十 十五 六 一
杨辉三角 表中除“1”以外的每一个数都等于
它肩上的两个数之和。
项系数最大，求第五项。
解：依题意, n 为偶数，且
n 1 10,n 18,
2
T5 T41 C148
4
x
184 4
1 x3
3060x4.
性质3：各二项式系数的和
(1 x)n Cn0 Cn1x Cnr xr Cnnxn (n N*)
Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnr ... Cnn ？2n
练习
1.Cn1 Cn2 Cnn _2_n__1_;
C111
C131
C151
C171
C191
C11 11
_2_1_0 __ .
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2.在2x 3y10 展开式中
(1)求二项式系数的和; 1024
(2)各项系数的和;
1
(3)奇数项的二项式系数和 512 与偶数项的二项式系数和;
练习
3.已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10,
(1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值 310
(2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值
1 (310 1) 2
变式练习：
已知(2x+1)10= a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10,
3 (1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值 10
课堂练习: 1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式
系数相同的项是( C ).
A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项
2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大
的项是( A ).
A.第6项 B.第7项 C.第6和第7项 D.第5和第7项
例1
已知
x 4
1 x3
n
展开式中只有第10
(2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值 1 (310 1) 2
小结:
对称性
(1)二项式系数的三个性质 增减性与最大值
各二项式系数的和
（2） 数学思想：函数思想
（3） 数学方法 ： 赋值法
作业: 书P114习题10.4 4(3)(4),9,10