《圆的基本性质》的知识点及典型例题

初三数学圆的知识点总结及例题详解Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】圆的基本性质1．半圆或直径所对的圆周角是直角.2．任意一个三角形一定有一个外接圆.3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆.4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.6．同圆或等圆的半径相等.7．过三个点一定可以作一个圆.8．长度相等的两条弧是等弧.9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。

直线与圆的位置关系1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切.2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角.4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.5．垂直于半径的直线必为圆的切线.6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线.7．垂直于半径的直线是圆的切线.8．圆的切线垂直于过切点的半径.圆与圆的位置关系1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切.2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦.3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交.4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条.5．相切两圆的连心线必过切点.正多边形基本性质1．正六边形的中心角为60°.2．矩形是正多边形.3．正多边形都是轴对称图形.4．正多边形都是中心对称图形.圆的基本性质1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数是 .A. 50°B. 80°C. 90°D. 100°2．已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 3．已知：如图，⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 4．已知：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则下列结论中正确的是 .A.∠A+∠C=180°B.∠A+∠C=90°C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠B=905．半径为5cm 的圆中,有一条长为6cm 的弦,则圆心到此弦的距离为 .A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm 6．已知：如图，圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD 的度数是 .° ° ° 7．已知：如图，⊙O 中,弧AB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 . ° ° ° 8. 已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD 的度数是 .° ° ° °9. 在⊙O 中,弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm,则⊙O的半径为 cm..4 C D. 10点、直线和圆的位置关系1．已知⊙O 的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O 的距离为10㎝,那么这条直线和这个圆的位置关系为 .A.相离B.相切C.相交D.相交或相离2．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .A.相切B.相离C.相交D. 相离或相交3．已知圆O 的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P 和这个圆的位置关系是 A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定4．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 .个 个 个 D.不能确定•B • •CBAO• BO CA D•BOCAD•BOCADDC A O•DB C A O• DBCA O5．一个圆的周长为a cm,面积为a cm2，如果一条直线到圆心的距离为πcm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .A.相切B.相离C.相交D. 不能确定6．已知圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为6cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .A.相切B.相离C.相交D.不能确定7. 已知圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为4cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .A.相切B.相离C.相交D. 相离或相交8. 已知⊙O的半径为7cm,PO=14cm,则PO的中点和这个圆的位置关系是 .A.点在圆上B. 点在圆内C. 点在圆外D.不能确定圆与圆的位置关系1．⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，若O1O2=10cm，则这两圆的位置关系是 .A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切2．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2=9cm,则这两个圆的位置关系是 .A.内切B. 外切C. 相交D. 外离3．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和5cm,若O1O2=1cm,则这两个圆的位置关系是 .A.外切B.相交C. 内切D. 内含4．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2==7cm,则这两个圆的位置关系是 .A.外离B. 外切C.相交D.内切5．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm，两圆的一条外公切线长43，则两圆的位置关系是 .A.外切B. 内切C.内含D. 相交6．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和6cm,若O1O2=6cm,则这两个圆的位置关系是 .A.外切B.相交C. 内切D. 内含公切线问题1．如果两圆外离，则公切线的条数为 .A. 1条条条条2．如果两圆外切，它们的公切线的条数为 .A. 1条B. 2条条条3．如果两圆相交，那么它们的公切线的条数为 .A. 1条B. 2条条条4．如果两圆内切，它们的公切线的条数为 .A. 1条B. 2条条条5. 已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2=9cm,则这两个圆的公切线有条.条 B. 2条 C. 3条 D. 4条6．已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别为3cm 和4cm,若O 1O 2=7cm,则这两个圆的公切线有 条.条 B. 2条 C. 3条 D. 4条正多边形和圆1．如果⊙O 的周长为10πcm ，那么它的半径为 . A. 5cm 10 C.10cm πcm2．正三角形外接圆的半径为2,那么它内切圆的半径为 . A. 2 B. 3 D.23．已知,正方形的边长为2,那么这个正方形内切圆的半径为 . A. 2 B. 1 C.2 D.34．扇形的面积为32π,半径为2,那么这个扇形的圆心角为= . ° ° ° D. 120°5．已知,正六边形的外接圆半径为R,那么这个正六边形的边长为 . 212 D.R3 6．圆的周长为C,那么这个圆的面积S= . A.2C π B.π2C C.π22C D.π42C7．正三角形内切圆与外接圆的半径之比为 . :2 :3 C.3:2 :28. 圆的周长为C,那么这个圆的半径R= .C π B. C π C. π2C D. πC9.已知,正方形的边长为2,那么这个正方形外接圆的直径为 . .4 C 2 310．已知,正三角形的外接圆半径为3,那么这个正三角形的边长为 . A. 3 B. 3 2 3。

圆的基本性质第一节 圆 第二节 圆的轴对称性 第三节 圆心角 第四节 圆周角 第五节 弧长及扇形的面积 第六节 侧面积及全面积六大知识点：1、圆的概念及点与圆的位置关系2、三角形的外接圆3、垂径定理4、垂径定理的逆定理及其应用5、圆心角的概念及其性质6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【课本相关知识点】1、圆的定义：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的 叫做圆，定点O 叫做 ，线段OP 叫做圆的 ，以点O 为圆心的圆记作 ，读作圆O 。

2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。

3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。

小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。

4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆5、点与圆的三种位置关系：若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则： 点P 在⊙O 外 ； 点P 在⊙O 上 ； 点P 在⊙O 内 。

6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上7、过一点可作 个圆。

过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。

8、过 的三点确定一个圆。

9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。

三角形的外心是三角形三条边的 【典型例题】【题型一】证明多点共圆例1、已知矩形ABCD ，如图所示，试说明：矩形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 在同一个圆上【题型二】相关概念说法的正误判断 例1、（甘肃兰州中考数学）有下列四个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧。

圆知识点总结及习题一、基本概念1. 圆的定义圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。

这个定点称为圆心，到圆心的距离称为半径，以O表示圆心，r表示半径的圆记作圆O。

2. 圆的元素圆的元素包括圆心、半径、直径、弦、弧和扇形。

直径是连接圆上任意两点的线段，且通过圆心。

弦是圆上任意两点的线段，弧是圆上的一段弧线，扇形是由圆心、圆上两点和这两点对应的弧线所组成的区域。

3. 圆的周长和面积圆的周长C=2πr，圆的面积S=πr2。

二、性质1. 圆的基本性质圆上任意两点之间的距离相等。

2. 弧长和圆心角的关系弧长和圆心角之间的关系为：L=θr，其中L表示弧长，θ表示圆心角的弧度，r表示半径。

3. 弦长和圆心角的关系弦长和圆心角之间的关系为：l=2rsin(θ/2)，其中l表示弦长，θ表示圆心角的弧度，r表示半径。

三、定理1. 圆的切线定理定理1：当直线与圆相交于两点时，这条直线称为圆的切线。

切线与半径的夹角为直角，且切点处的切线等于半径。

2. 圆心角定理定理2：圆心角的度数是它所对的圆周角度数的两倍。

3. 弦切线定理定理3：当直线与圆相交于一个点时，这条直线称为圆的切线。

切线与切点处的弦相交延长线的夹角等于这条弦所对的圆心角的度数。

四、习题1. 已知半径为8，求圆的周长和面积。

2. 在半径为6的圆中，求一条长2的弦的长度。

3. 已知AB为圆上的弦，AB=6，O为圆心，求角AOB的度数。

通过本文的总结，我们对圆的基本概念、性质、定理和相关的习题有了一定的了解。

希望读者能够通过学习更深入地了解圆的相关知识，提高数学学科的成绩。

圆的基本性质【基础知识】知识点1：圆的对称性 （1）圆的旋转不变性圆具有旋转不变性，即绕圆心旋转__________后，仍与原来的圆重合；由于圆绕圆心旋转180°后与自身重合，圆是中心对称图形，对称中心是________； （2）圆的轴对称性圆是轴对称图形，它的对称轴是________________________________________________； 知识点2：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧； 逆定理及其运用知识点3：圆心角、弧、弦之间的关系（1）在______________中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；（2）在______________中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；【经典例题】【例1】判断正误：（1）直径是圆的对称轴；（2）平分弦的直径垂直于弦； 【例2】若O 的半径为5，弦AB 长为8，求拱高；【例3】如图，O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知6AE cm =，2EB cm =，30CEA ∠=︒，求CD 的长；【例4】如图，在O 中，弦8AB cm =，OC AB ⊥于C ，3OC cm =，求O 的半径长。

【例5】如图1，AB是O的直径，CD是弦，AE CD⊥，垂足为E，BF CD⊥，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由；如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？如图4，CD为弦，EC CD⊥，FD CD⊥，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？【巩固练习】1、判断：（1）垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧（）（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧（）（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦（）（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行（）（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧（）2、已知：如图，O中,弦AB∥CD,AB CD<，直径MN AB⊥，垂足为E，交弦CD于点F；图中相等的线段有；图中相等的劣弧有；3、已知：如图，O中，AB为弦，C为AB的中点，OC交AB于D，6AB cm=，1CD cm=，求O的半径OA。

九年级数学圆知识点及例题圆是初中数学中非常重要的一个几何概念，它与我们日常生活息息相关。

本文将带领大家系统地了解九年级数学中与圆相关的知识点，并提供一些例题进行辅助学习。

一、圆的基本概念1. 圆的定义：圆是平面上到一个定点（圆心）距离相等的所有点的集合。

2. 圆的要素：圆心、半径、直径、弧、弦、切线等。

二、圆的基本性质1. 圆的半径与直径的关系：直径是半径的两倍。

2. 圆的周长：圆的周长是其直径的倍数，即周长等于直径乘以π（π≈3.14）。

3. 圆的面积：圆的面积等于半径的平方乘以π。

三、圆的判定1. 距离判定定理：给定一定距离，平面上到该距离相等的点构成的图形是圆。

2. 切线定理：过圆外一点有且仅有一条切线，该切线与半径垂直。

四、圆的位置关系1. 同圆：拥有相同半径的两个圆。

2. 内切和外切：一个圆与另一个圆内部的一个点或外部的一个点相切。

3. 相交与相离：两个圆相交的情况包括相切和交叉，而相离则是两个圆不相交。

五、圆的综合应用1. 圆和三角形的关系：圆内切于一个三角形的关系、圆外接于一个三角形的关系等。

2. 圆和正多边形的关系：正n边形的内切和外切圆等。

3. 圆和椭圆、抛物线、双曲线的关系。

下面我们来看一些九年级数学中与圆相关的例题。

例题1：已知一个圆的半径是5cm，求其周长和面积。

解：根据圆的周长公式，周长等于直径乘以π。

我们已知半径是5cm，则直径是半径的两倍，即10cm。

所以，圆的周长为10cm × π ≈ 10 × 3.14 ≈ 31.4cm。

另外，根据圆的面积公式，面积等于半径的平方乘以π。

所以，圆的面积为5cm × 5cm × π ≈ 25 × 3.14 ≈ 78.5cm²。

例题2：已知圆A的半径是8cm，圆B的直径是12cm，判断这两个圆的位置关系。

解：首先，我们通过直径的关系得知，圆B的直径是圆A的直径的1.5倍，即12cm = 8cm × 1.5。

《圆的基本性质》的知识点及典型例题知识框图1、过一点可作个圆。

过两点可作个圆，以这两点之间的线段的上任意一点为圆心即可。

过三点可作个圆。

过四点可作个圆。

2、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分垂径定理的逆定理1：平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分垂径定理的逆定理2：平分弧的直径3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的，所对的圆心角定理的逆定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么都相等。

注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与A B，那么所求的是弧长劣弧相等，优弧与优弧相等。

在题目中，若让你求⌒4.圆周角性质:①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.练习一、 填空题：1、 如图，在⊙O 中，弦AB ∥OC ，115AOC ∠=︒，则BOC ∠=_________2、如图，在⊙O 中，AB 是直径，15C ∠=︒，则BAD ∠=__________3、如图，点O 是ABC ∆的外心，已知40OAB ∠=︒，则ACB ∠=___________（1题图） （2题图） （3题图） （4题图） 4、如图，AB 是⊙O 的直径，弧BC=弧BD ，25A ∠=︒，则BOD ∠= ．（5题图） （6题图） （7题图） 5、如图，⊙O 的直径为8，弦CD 垂直平分半径OA ，则弦CD ＝ ．6、已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB ＝2cm ，P 点为弦AB 上一动点，则线段OP 的范围是 ．7、如图，在⊙O 中，∠B=50º，∠C=20º，则∠BOC 的=____________8、在半径为5cm 的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm 和8cm ，则这两条弦之间的距离为 9、在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 分别是3和2，则∠BAC 的度数为__________________10、如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm ，水面到管道顶部距离为20cm ，则修理工应准备内直径是_________cm 的管道．．半径为5cm 的圆O中有一点P ，OP=4，则过P 的最短弦长_________，最长弦是__________，二、 选择题：12．如图，矩形与⊙O 相交，若AB=4，BC=5，DE=3，则EF 的长为（ ）A ． 3.5B ． 6.5C ． 7D ． 813、如图，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个B OCAO ABCDOABCD BOACDBOACOABPABCON M OFEDC B A1、已知如图,AB 为⊙O 的弦,半径OE 、OF 分别交AB 于点C 、D ，且AC=BD 。

圆的基本性质及应用题型1. 圆的定义和基本术语圆是平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。

固定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。

在圆上任意取两个点，将它们和圆心连线，得到的线段称为弦。

若弦通过圆心，则称其为直径，直径等于2倍的半径。

若弦和圆心不重合，则称其为弧。

2. 圆的基本性质2.1 圆的周长和面积圆的周长称为圆周，用C表示，圆的面积用S表示。

圆周的计算公式为：C = 2πr，其中r为圆的半径。

圆的面积计算公式为：S = πr^2，其中r为圆的半径。

2.2 弧长和扇形面积从圆上截取的弧，可以计算其长度，称为弧长。

弧长的计算公式为：L = 2πr * (θ/360°)，其中θ为弧所对的圆心角的度数。

另外，可以从圆上截取一个扇形，扇形的面积为扇形的弧长与圆周的比例乘以圆的面积。

扇形的面积计算公式为：A = (θ/360°) * πr^2，其中θ为扇形的圆心角的度数。

3. 圆的应用题型3.1 弧长和扇形面积的应用例题1：一个半径为5cm的圆，截取一个占据1/4的扇形，请计算该扇形的面积和弧长。

解答：已知半径r = 5cm，圆心角θ = 360° / 4 = 90°。

根据扇形的面积计算公式可知，A = (90°/360°) * π * 5^2 = 6.25π cm^2。

根据弧长的计算公式可知，L = 2π * 5 * (90°/360°) = 5π cm。

所以该扇形的面积为6.25π cm^2，弧长为5π cm。

3.2 圆的周长和面积的应用例题2：一个圆的周长为20cm，请计算该圆的面积。

解答：已知圆周长为20cm，根据圆周的计算公式可知，C = 2πr = 20 cm。

由此可算得圆的半径r = 10/π cm ≈ 3.18 cm。

根据圆的面积计算公式可知，S = πr^2 = π * (10/π)^2 = 100/π cm^2。

圆的基本性质总复习（一）【知识理解】知识点一：圆的定义及相关概念1.圆：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做圆心,线段OP叫做圆的半径．记作“⊙O”.第二种定义：到定点O的距离等于定长r的点的集合．弦；直径；注：在同一个圆中，直径是最长的弦，一个圆中有无数条弦和直径．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示.半圆；优弧；劣弧；等弧2. 等圆：半径相等的圆.同圆：同一个圆.同心圆：圆心相同，半径不相等的圆.知识点二：点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，平面内任一点P到圆心的距离为d，则：⇔点在圆外⇔点在圆上⇔点在圆内知识点三：确定圆的条件不在同一条直线上的三个点确定一个圆知识点四：三角形的外接圆1、经过三角形的各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形．2、三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点注：一个三角形有且只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形知识点五：圆的对称性1、圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线，每个圆都有无数条对称轴2、圆是中心对称图形，对称中心是圆心知识点六：图形的旋转由一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点 都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形改变叫做图形的旋转变换，简称旋转．这个固定的点叫做旋转中心．（1）旋转的三要素旋转中心、旋转方向、旋转角度（2）图形旋转的性质①图形经过旋转所得的图形和原图形全等；②对应点到旋转中心的距离相等；③任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度．知识点七：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧．弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．垂径定理的逆定理：定理1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.总结： 如图, 对于一个圆和一条直线来说,如果在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.CD 是直径,CD ⊥AB, AM=BM,⌒AC =⌒BC ,⌒AD =⌒BD .知识点七：圆心角及圆心角定理圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.知识点八：圆周角及圆心角定理圆周角：顶点在圆上，两边都和角相交的角.注：同一条弦所对的圆周角有2个圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半.推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角●O A B C D M └推论2：90°的圆周角所对的弦是直径推论3：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.知识点九：圆的内接四边形圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．定理一：圆内接四边形的对角互补．定理二：圆内接四边形的外角等于它的内对角（内角的对角）．判定定理：（1）定理：如果一个四边形的对角互补，那么它的四个顶点在同一个圆上（简称四点共圆）．（2）推论：如果四边形的一个外角等于它内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．知识点十：正多边形各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形．经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫做圆内接正多边形．任何正多边形都有一个外接圆．性质：（1）正n边形的内角度数的和为：，正n边形每个内角的度数为：；（2）任意正n边形的外角度数的和都为360°，正n边形每个外角的度数为；（3）正多边形是对称图形．当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．知识点十一：弧长及扇形的面积1. 弧长公式半径为R的圆，周长公式为C=2πR半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长为：l=2. 扇形面积公式半径为R的圆，面积公式为S=πR2扇形半径为R，圆心角为n°，扇形弧长为l，扇形面积为S，则：S= =【知识应用】（例题）例1.有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧。

《圆的基本性质》知识归纳与题型训练（9题型清单）一、圆的认识圆：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆其他基本定义：定点O叫做圆心；线段OP叫做圆的半径；连结圆上任意两点的线段BC叫做弦；经过圆心的弦AB叫做直径；圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；点与圆的位置关系：d表示同一平面内点到圆心的距离d⇔r=rddr⇔点在圆内；点在圆上；＜＞⇔点在圆外；要点诠释：（1）其他基础定义：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧，半径相等的两个圆叫等圆，能够重合的圆弧叫做相等的弧；（2）圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆（3）三角形与圆：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形二、图形的旋转旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度图形旋转的性质：图形旋转所得的图形和原图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度要点诠释：有旋转必有等腰三角形，并且有8字类的相似三、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦要点诠释：垂径定理相关计算常和直角三角形结合，利用勾股定理列方程求弦长、半径、弦心距等四、圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两个弦心距中有一对量相等，那么他们所对应的其余各对量都相等；要点诠释：与圆心角有关的定理及应用都有一个前提，即“在同圆或等圆中”，不加这个条件对应结论不成立。

五、圆周角圆周角：顶点在圆上，且角的两边都和圆相交的角做圆周角；圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等；要点诠释：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两个弦心距，两条弦，两个圆周角中有一对量相等，六、圆内接四边形圆的内接四边形：一个四边形的各个顶点在同一圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆；圆的内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补；要点诠释：圆内接四边形的一个外角等于与其相邻内角的对角七、正多边形正多边形：各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形圆内接正多边形：我们把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫作圆内接正多边形。

圆的基本性质与计算公式（知识点总结）圆是几何学中的重要概念，具有许多特殊的性质和计算公式。

本文将从不同的角度来总结和介绍圆的基本性质和计算公式，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、圆的基本概念和性质1. 定义：圆是由平面上任意一点到一个固定点的距离等于常数的所有点的集合。

2. 圆心：固定点称为圆心，通常用字母O表示。

3. 半径：圆心到圆上任意一点的距离称为半径，通常用字母r表示。

4. 直径：通过圆心的一条线段，两个端点在圆上的线段称为直径，直径等于半径的两倍。

5. 弦：在圆上任意两点之间的线段称为弦，圆的直径也是一种特殊的弦。

6. 弧：在圆上两点之间的一段弧，圆心夹的角称为圆心角，它等于所对圆弧的一半。

7. 切线：与圆相切于圆上一点的直线称为切线，切线与半径的夹角为90度。

二、圆的计算公式1. 圆的周长：周长即圆的周长，用C表示，由于圆是一个闭合曲线，所以其周长是所有弧长的总和。

周长计算公式为C = 2πr，其中π取近似值3.14。

2. 圆的面积：面积是圆所包围的平面区域，用A表示，计算公式为A = πr²。

3. 弧长：弧长是指圆上一段弧的长度，用字母L表示。

弧长的计算公式为L = 2πr(θ/360)，其中θ表示圆心角的度数。

4. 扇形面积：扇形是由圆心和两个弧上的点组成的区域，扇形面积即扇形所包围的平面区域，用字母S表示。

扇形面积的计算公式为S = 0.5πr²(θ/360)，其中θ表示圆心角的度数。

5. 弓形面积：弓形是由圆上的弧和圆心到弧的两条切线组成的区域，弓形面积即弓形所包围的平面区域，用字母A表示。

弓形面积的计算公式为A = 0.5r²(θ/360 - sinθ)，其中θ表示圆心角的度数。

三、应用举例1. 例题一：已知一个圆的半径为6cm，求其周长和面积。

解：周长C = 2πr = 2π × 6 ≈ 37.68 cm，面积A = πr² = π × 6² ≈ 113.04 cm²。

《圆》知识点归类及典例分析圆是初中数学中的一个重要图形，具有丰富的性质和广泛的应用。

以下将对圆的知识点进行归类，并结合典型例题进行分析，帮助大家更好地掌握这部分内容。

一、圆的基本概念1、圆的定义圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。

这个定点称为圆心，定长称为半径。

2、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。

3、弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。

4、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。

5、圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

二、圆的性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

3、圆心角、弧、弦的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

4、圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

推论 1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

推论 2：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

三、圆的位置关系1、点与圆的位置关系设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：当 d ＞ r 时，点在圆外；当 d ＝ r 时，点在圆上；当 d ＜ r 时，点在圆内。

2、直线与圆的位置关系设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则有：当 d ＞ r 时，直线与圆相离；当 d ＝ r 时，直线与圆相切；当 d ＜ r 时，直线与圆相交。

3、圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为 R 和 r（R ＞ r），圆心距为 d，则有：当 d ＞ R ＋ r 时，两圆外离；当 d ＝ R ＋ r 时，两圆外切；当 R r ＜ d ＜ R ＋ r 时，两圆相交；当 d ＝ R r 时，两圆内切；当 d ＜ R r 时，两圆内含。

专题30 圆的基本性质【知识要点】知识点一圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．⏜，读作弧AB．在同圆或弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB等圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弦心距、半径、弦长的关系：（考点）知识点二垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．知识点一圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑷圆心；⑸半径，⑹其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

圆的基本性质一、知识点梳理★知识点一：圆的定义及有关概念1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

2、有关概念：弦、直径; 弧、等弧、优弧、劣弧、半圆; 弦心距 ; 等圆、同圆、同心圆。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。

在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。

★知识点二：平面内点与圆的位置关系：r 表示圆的半径， d 表示同一平面内点到圆心的距离，则有点在圆外；点在圆上；点在圆内。

例 1、如图，在Rt△ ABC中，直角边AB3，BC4，点E，F分别是BC ，AC的中点，以点 A 为圆心，AB的长为半径画圆，则点 E 在圆 A 的 _________ ，点F在圆 A 的 _________．例2、在直角坐标平面内，圆O的半径为，圆心O的坐标为 (1， 4) ．试判断5点 P(3， 1) 与圆 O 的位置关系．例 3、下列说法中，正确的是。

（1）直径是弦，但弦不一定是直径；（2）半圆是弧，但弧不一定是直径；（3）半径相等的两个半圆是等弧；（ 4）一条弦把圆分成两段弧中，至少有一段优弧。

例 4、有下列四个命题：（ 1）直径相等的两个圆是等圆；（ 2）长度相等的两条弧是等弧；（ 3）圆中最大的弦是通过圆心的弦；（4）一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，其中真命题是。

★知识点三：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论：平分弦（）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧。

平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。

垂径定理最重要的应用是通过勾股定理来解决有关弦、半径、弦心距等问题例 1：下列语句中正确的是。

（ 1）相等的圆心角所对的弧相等；（ 2）相等的弧所对的弦相等；（3）平分弦的直径垂直于弦；（4）弦的垂直平分线必过圆心。

例 2、过⊙内一点 M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么 OM的长为（）（ A） 3cm（ B） 6cm（ C）cm（ D） 9cm例 3、如图所示 , 以为圆心的两个同心圆中 , 小圆的弦AB 的延长线交大圆于, 若AD BCO C =6,=1, 则与圆环的面积是OAB BC例 4、在半径为 5 厘米的圆内有两条互相平行的弦, 一条弦长为8 厘米 , 另一条弦长为 6 厘米 , 则两弦之间的距离为 _______.7 厘米或 1 厘米例 5、如图，矩形 ABCD与与圆心在 AB上的⊙ O交于点 G、 B、 F、 E， GB=8cm， AG=1cm，DE=2cm，则 EF=cm .例 6、如图所示，是一个直径为 650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽 AB=600mm，求油面的最大深度。

《圆的基本性质》章节复习【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合.（3）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.点与圆的位置关系判定一个点P是否在⊙O上设⊙O的半径为，OP=，则有点P在⊙O外；点P在⊙O上；点P在⊙O内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.4．与圆有关的角圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.5.圆内接四边形圆内接四边形的对角互补.要点二、图形的旋转在平面内，一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转.这个定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.图形经过旋转所得的图形和原图形全等.对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点三、正多边形各边相等，各内角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．要点四、弧长及扇形的面积圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的基础知识1.如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行（或重合）的直线与⊙O有公共点,设OP=x，则x的取值范围是（）.A．－1≤x≤1B．≤x≤2C．0≤x≤2D．x＞2【答案】C；【解析】如图，平移过P点的直线到P′，使其与⊙O相切，设切点为Q，连接OQ，由切线的性质，得∠OQP′=90°，∵OA∥P′Q，∴∠OP′Q=∠AOB=45°，∴△OQP′为等腰直角三角形，在Rt△OQP′中，OQ=1，OP′=2，∴当过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点时，0≤OP≤，当点P在x轴负半轴即点P向左侧移动时，结果相同．故答案为：0≤OP≤2．【总结升华】本题考查了直线与圆的位置关系问题．关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP的值．举一反三：【变式】如图，已知⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OB平行的直线于⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是（）.A．-1≤x＜0或0＜x≤1B．0＜x≤1C．-2≤x＜0或0＜x≤2D．x＞1【答案】∵⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，∴过点P′且与OB平行的直线与⊙O相切时，假设切点为D，∴OD=DP′=1，OP′=2，∴0＜OP≤2，类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且 CF CB=，BF交CG于点E，求证：CE＝BE．【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC，∵AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB，∴ CB GB=．∵CF BC=，∴CF GB=．∴∠C＝∠CBE．∴CE＝BE．证法二：如图(2)，作ON⊥BF，垂足为N，连接OE．∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CG，∴ CB BG=．∵CB CF=，∴CF BC BG==．∴BF＝CG，ON＝OD．∵∠ONE＝∠ODE＝90°，OE＝OE，ON＝OD，∴△ONE≌△ODE，∴NE＝DE．∵12BN BF=，12CD CG=，∴BN＝CD，∴BN-EN＝CD-ED，∴BE＝CE．证法三：如图(3)，连接OC交BF于点N．∵CF BC=，∴OC⊥BF．∵AB是⊙O的直径，CG⊥AB，∵BG BC=，CF BG BC==．∴BF CG=，ON OD=．∵OC＝OB，∴OC-ON＝OB-OD，即CN＝BD．又∠CNE＝∠BDE＝90°，∠CEN＝∠BED，∴△CNE≌△BDE，∴CE＝BE．【总结升华】上述各种证明方法，虽然思路各异，但都用到了垂径定理及其推论．在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC的长为（）A．19B．16C．18D．20【答案】如图，延长AO交BC于点D,过O作OE⊥BC于E.则三角形ABD为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt△ODE中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=12OD=2，BE=BD-DE=10OE垂直平分BC，BC=2BE=20.故选D类型三、图形的旋转3．如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60°【思路点拨】利用旋转和平移的性质得出，∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，进而得出△A′B′C是等边三角形，即可得出BB′以及∠B′A′C的度数．【答案】B；解：∵∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，∴∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，∴△A′B′C是等边三角形，∴B′C=4，∠B′A′C=60°，∴BB′=6-4=2，∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60°．【总结升华】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出△A′B′C是等边三角形是解题关键．类型四、圆中有关的计算4．（2016•绵阳）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，DE⊥AC于E，DF ⊥AB于F．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若OF=4，求AC的长度．【思路点拨】（1）先连接OD、AD，根据点D是的中点，得出∠DAO=∠DAC，进而根据内错角相等，判定OD∥AE，最后根据DE⊥OD，得出DE与⊙O相切；（2）先连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，根据垂径定理推导可得OH=OF=4，再根据AB是直径，推出OH是△ABC的中位线，进而得到AC的长是OH长的2倍．【答案与解析】解：（1）DE与⊙O相切．证明：连接OD、AD，∵点D是的中点，∴=，∴∠DAO=∠DAC，∵OA=OD，∴∠DAO=∠ODA，∴∠DAC=∠ODA，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切．（2）连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，由垂径定理可得：OH⊥BC，==，∴=，∴DG=BC，∴弦心距OH=OF=4，∵AB是直径，∴BC⊥AC，∴OH∥AC，∴OH是△ABC的中位线，∴AC=2OH=8．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．本题也可以根据△ODF与△ABC相似，求得AC的长．举一反三：【变式】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，+S△OFD=S△AOD=×6×3=9，∴S△ACF即阴影部分的面积是9．类型五、圆与其他知识的综合运用5．如图，△是等边三角形，是⌒上任一点，求证：ABC D BC DB DC DA+=.【答案与解析】延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC∴∠ADB＝∠ACB＝60°∵四边形ABDC是圆内接四边形∴∠ABE＝∠ACD在△AEB和△ADC中，BE CDABE ACD AB AC===⎧⎨⎪⎩⎪∠∠∴△AEB≌△ADC∴AE＝AD∵∠ADB＝60°∴△AED是等边三角形∴AD＝DE＝DB＋BE∵BE＝DC∴DB＋DC＝DA.【总结升华】由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.本例也可以用其他方法证明.如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA.（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA.6．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）.A.3πB.6πC.5πD.4π【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：=6π故选B．【总结升华】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．即可求解．举一反三：【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为().A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，因此阴影部分面积为.故选C.。