两个重要的极限教案
教者数学分析科目数学年级大一课题两个重要极限（一）课型
时间2017年4月11日地点
教材分
析
《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。
学情分
析
一方面，学生已经学习了函数的极限以及函数极限的运算法则，会用因式分解约去非零因子、有理化分子或分母这两种方法计算“
0型”函数的极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生理性思维能力相对较弱，对函数极限概念的理解还比较浅显，运用极限思维解决问题的能力有限。
教学目
标
知识与技能：让学生了解公式1
sin
lim
=
→x
x
x
的证明过程，正确理解公式，知道公式应用的条件，熟练运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。
过程与方法：通过教师引导，学生观察、实验、猜想、分析讨论和练习，培养学生观察、归纳、举一反三的能力，进一步认识换元法、转化思想、数型结合思想在数学解题中的重要作用。
情感态度与价值观：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。
教学重
点
正确理解公式1
sin
lim
=
→x
x
x
，并能运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。
教学难
点公式1
sin
lim
=
→x
x
x
的证明、公式及其变形式灵活运用。
教法学法
本节课采用实验法、讨论法以及讲练结合的教学方法。通过复习函数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识，提高学生的学习兴趣。对于公式的证明，所涉及的内容比较多，逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程。在公式的运用上按照循序渐进的原则，设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间，让学生去尝试、联想、探索，以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题，帮助学生获得成功的体验。
课前准备 教师：多媒体课件；学生：计算器。
教学环
节
教 学 内 容
复习导入
1、说说当0x x →时，函数)(x f 的极限的定义。
如果当x 无限接近于定值0x 时，函数)(x f 无限接近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当0x x →时的极限，记作
A x f x x =→)(lim 0
。
2、A x f x x =→)(lim 0
的充要条件是什么？
A x f x x =→)(lim 0
? )(lim 0
x f x x -→=A x f x x =+→)(lim 0
3、说出函数极限的四则运算法则。
B A x g x f x g x f B x g A x f +=+=+==)(lim )(lim )]()(lim[,
)(lim ,)(lim :1则设法则 B A x g x f x g x f B x g A x f ?=?=?==)]([lim )]([lim )]()(lim[,
)(lim ,)(lim 2则：设法则
B
A
x g x f x g x f B B x g A x f ==≠==)(lim )(lim )()(lim
,0,)(lim ,)(lim 3则且：设法则
新授一、问题的提出
“
型”极限的计算方法，到目前为止，我们学过因式分解
约去非零因子，有理化分子或分母这两种方法。是不是所有的“
0型”都可以用这两种方法解决呢？
问题：如何求
x
x
x
sin
lim
→
？
三、证明猜想
过程见课本
60
57
P
P-
强调：①极限中函数
x
x
sin
的分子分母都是当0
→
x时的无穷小。
②这里的自变量x是用弧度度量的，以后引用这个极限
时必须用弧度作单位。
③在利用这个极限求较复杂函数的极限时，必须注意所
有含有自变量的表达形式应一致。
④1
sin
lim
=
→x
x
x
四、公式的应用
例1：求⑴
x
x
x3
sin
lim
→
⑵
x
x
x
tan
lim
→
解：⑴=
→x
x
x3
sin
lim
03
1
1
3
1
sin
lim
3
1
)
sin
3
1
(
lim
=
?
=
=
?
→
→x
x
x
x
x
x
⑵
x
x
x
tan
lim
→
=)
cos
1
sin
(
lim
0x
x
x
x
?
→
=
x
x
x
x
x cos
1
lim
sin
lim
0→
→
?
=1
1
1=
?
回顾反思：1、求此类函数的极限其关键是把此函数转化为
x
x
sin 与另一个函数的乘积，若另一个函数的极限可求，则可求出此函数的极限。
2、当为等价无穷小、、时，x x x x tan sin 0→。如1sin tan lim
0=→x
x
x 。
例2：求 ⑴ x x x 3sin lim
0→ ⑵ x
x
x 2sin 3tan lim 0→
解：⑴ ()x
x
x x x x 33sin 3lim 3sin lim
00?
=→→=3x
x
x 33sin lim
3→=3 ⑵ x x x 2sin 3tan lim
0→=??
?
?? ??→x x x x x 2sin 233tan 23lim 0 =x
x
x x x x 2sin 2lim
33tan lim 230203→→?? =2
3
回顾反思：1、此例用到了变量替换（换元），变量替换后一定要注意变量的变化趋势可能会发生变化。
2、函数变形后要注意系数的变化，防止计算错误。
3、一般地b
a
bx ax x =
→sin lim
0，b a bx ax x =→tan lim
0， b
a
bx ax x =→sin tan lim 0。
例3：求 2
0cos 1lim
x x x -→
解：20cos 1lim x x x -→=2
202sin 2lim
x x x →=2
0222sin lim 21?????
? ??
→x x x =21 回顾反思：利用公式1sin lim
0=→x
x
x 求函数极限，有时不仅要进行变量
替换，还要利用三角函数公式进行变形。
课堂练习
练习：求下列极限： ③ x x x 5sin lim 0→ ② x
x
x 3tan lim 0→
③ x x x 3tan 5sin lim
0→ ④ 202cos 1lim x
x
x -→ 小结
1． 正确、灵活地运用公式1sin lim
0=→x
x
x 。
2． 当为等价无穷小、、
时，x x x x tan sin 0→。 3． 运用换元法时须注意自变量的变化趋势的改变和系数的变化。 4. 利用此公式求极限时，一定要注意变量的变化趋势，不能一概而论，造成思维定势，如求0sin lim
=∞→x
x
x 。
作业 P60 .1、2