人教版高中数学必修五《数列》基础知识要点总结

②根据数列项的大小变化分——递增数列、递减数列、常数列、摆动数列
5、数列的递推公式
如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式。
6、数列前n项和的定义
一般地，我们称 为数列 的前 项和，用 表示，即
二、等差数列与等比数列
已知三个数成等比数列，且已知三个数之积时，一般设此三个数分别为 ， ， ，其中 为公比。
若已知四个数成等比数列及这个四个数的积时，一般不设为 ， ， ， ，因为这种设法使得四个数的公比为 ，就漏掉了公比为负数的情形，造成漏解。
2、求数列最大（小）值的方法
一般方法——解不等式 ；或
特别地，若 为等差数列， 为它的前n项的和时，求 的最大（小）值可以利用①二次函数的性质；② 中项的符号。
3、求数列通项的常用方法
①观察法:根据数列的前几项归纳出数列的通项公式；
②公式法：利用 求通项公式
③根据递推公式求通项公式：
（1）迭代法：对于形如 型的递推公式，采取逐次降低“下标”数值的反复迭代方式，最终使 与初始值 (或 )建立联系的方法就是迭代法．
（2）累加法：形如 的递推公式可用 求出通项；
①
②
③
①
②
③
4、等差（比）数列的通项公式
①
②
③ ，其中 、 是常数
①
②
③
5、性质1
在等差数列 中，若已知 与 ，其中 ，则该数列的公差 。
若等比数列 中，公比是 ，则 。
6、性质2
在等差数列 中，若 且 、 、 、 ，则 。
特别地、在等差数列 中，若 且 、 、 ，则 。
在等比数列 中，若 （ ， ， ， ），则 。
2、等差（比）中项
由三个数 ， ， 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。这时， 叫做 与 的等差中项.
若 与 的等差中项，则 。
如果在 ， 两个数中间插入一个数 ，使 ， ， 成等比数列。这时， 叫做 与 的等比中项.
①、 与 是两个同号的非零实数
②、若 是 与 的等比中项，则
3、判断等差（比）数列的方法
（3）累乘法：形如 的递推公式可用 求出通项；
（4）形如 形式可用待定系数法。
4、数列求和的常用方法
①公式求和法：公式法是数列求和的最常用方法之一，可直接利用等差数列、等比数列的求和公式，也可利用常见的求前 项和的公式，如： ；
②错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成，则求此数列的前 项和时一般采用(乘公比 )错位相减法．如若公比是字母，须对 或 进行讨论．
13、前n项和的性质3
等差数列 的前 项和为 ，项数为 （ ）项，则① ，② ，③ ；
等差数列 的前 项和为 ，项数为 （ ）项，则① ，② ，③ .
在等比数列中，若项数为 （ ），则
三、典型题型小结
1、三（四）个数成等差（比）的设法
四个数成等差数列常设为 ， ， ， ，公差为 。若三个数成等差数列常设为 ， ， ，公差为 。
②当 时， ，设 ，则 ，此时，数列 的图象是函数 的图象上一群孤立的点。
12、前n项和的性质2
等差数列前 项和的性质2：等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，那么数列 ， ， ， （ ）是等差数列，其公差等于 。
等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，那么数列 ， ， ， （ ）是等比数列，其公比等于 。
特别地，等比数列 中，若 （ ， ， ），则 。
7、性质3
等差数列 的公差为 ，若 、 、 ，则 ， ， ，…， ，…构成一个公差 为等差数列（其中 与 为常数）。
在等比数列 公比为 中，若 ， ，则 ， ， ，…， ，…构为 和 的等差数列，则数列 （ ， 是常数）是公差为 的等差数列。
⑥当 ， 时， 为递增数列。
10、等差（比）数列的前n项和公式
①
②
当 时， ；
当 时， 或
11、前n项和的性质1
①当 时， ，是关于 的一个缺少常数项的一次函数，数列 图象是直线 上一群孤立的点；
②当 时， ，是关于 的一个缺少常数项的二次函数，数列 图象是抛物线 上一群孤立的点。
①当 时， ，数列 的图象是函数 上的一群孤立的点；
⑤分组求和法：有些数列，通过适当拆项或分组后，可得到几个等差或等比数列，这样就可利用公式法进一步求和了．
⑥已知等差数列 ，求数列 的方法。
③裂项相消法：把数列的通项裂成两项之差后求和，正负项相消，剩下首尾若干项．使用此方法时必须搞清楚消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点．如：
(1) ，(2) ，
(3) ，(4) 。
④倒序相加法：当把一个数列倒过来排序，与原数列对应项相加后有公因式可提，且余下的项容易求和，这时一般可用倒序相加法求其前 项和．
等差数列
等比数列
1、定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母 表示。
若 和 分别是公比为 和 的等比数列，则数列 ， 仍是等比数列，它们的公比分别为 ， 。
9、等差（比）数列的单调性
①若 ，则 为递增数列；
②若 ，则 为递减数列；
③若 ，则 为常数列。
①当 时， 为常数列；
②当 时， 为摆动数列；
③当 ， 时， 为递增数列；
④当 ， 时， 为递减数列；
⑤当 ， 时， 为递减数列；
第二章 《数列》基础知识小结
一、数列的概念与表示方法
1、数列的概念
按照一定顺序排列的一列数叫做数列。
2、数列的通项公式
如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
3、通项公式的作用
①求数列中任意一项；
②检验某数是否是该数列中的一项.
4、数列的分类
①根据数列项数的多少分——有穷数列、无穷数列