高中 三角函数的图像和性质

三角函数的图像和性质三角函数是数学中的一类特殊函数，以其图像的周期性和性质的多样性而被广泛研究和应用。

本文将介绍三角函数的图像特点和基本性质。

一、正弦函数的图像和性质正弦函数是最基本的三角函数之一，用sin(x)表示。

其图像为周期性曲线，其周期为2π。

在一个周期内，正弦函数的值在[-1,1]之间变化。

图像在x轴上的零点是正弦函数的特殊点，记为x=kπ，其中k为整数。

正弦函数的图像在x=kπ时经过极大值或极小值。

正弦函数的性质：1. 周期性：sin(x+2π)=sin(x)，即正弦函数在过一周期后会重复。

2. 奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即正弦函数关于原点对称。

3. 对称性：sin(π-x)=sin(x)，即正弦函数关于y轴对称。

二、余弦函数的图像和性质余弦函数是另一个常见的三角函数，用cos(x)表示。

余弦函数的图像也是周期性曲线，其周期同样为2π。

在一个周期内，余弦函数的值同样在[-1,1]之间变化。

与正弦函数不同的是，余弦函数的图像在x=kπ时经过极大值或极小值。

余弦函数的性质：1. 周期性：cos(x+2π)=cos(x)，即余弦函数在过一周期后会重复。

2. 奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即余弦函数关于y轴对称。

3. 对称性：cos(π-x)=-cos(x)，即余弦函数关于原点对称。

三、正切函数的图像和性质正切函数是三角函数中另一个常见的函数，用tan(x)表示。

正切函数的图像为周期性曲线，其周期为π。

正切函数的图像在x=kπ+π/2时会出现无穷大的间断点，即tan(x)在这些点是无界的。

正切函数的性质：1. 周期性：tan(x+π)=tan(x)，即正切函数在过一个周期后会重复。

2. 奇偶性：tan(-x)=-tan(x)，即正切函数关于原点对称。

四、其他三角函数除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还有其他与它们密切相关的三角函数。

1. 反正弦函数：用arcsin(x)表示，表示一个角的正弦值等于x，返回值在[-π/2, π/2]之间。

三角函数图像与性质
三角函数是基本的初等函数之一，它以角度为自变量，以任意角度的终边与单位圆或其比值的交点坐标为因变量。

接下来看看常见三角函数的图像和性质。

三角函数的图像
三角函数的性质
1.正弦函数
在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA，即sinA=∠A的对边/斜边。

正弦值在[2kπ-π/2,2kπ+π/2](k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小)，在[2kπ+π/2,2kπ+3π/2](k∈Z)随角度增大(减小)而减小(增大)。

图像：波形曲线
值域：[-1,1]
定义域：R
2.余弦函数
在Rt△ABC(直角三角形)中，∠C=90°(如图所示)，∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边，即cosA=b/c，也可写为
cosa=AC/AB。

余弦函数：f(x)=cosx(x∈R)。

余弦值在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小)，在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)随角度增大(减小)而减小(增大)。

图像：波形曲线
值域：[-1,1]
定义域：R
3.正切函数
在Rt△ABC(直角三角形)中，∠C=90°，AB是∠C的对边c，BC是∠A的对边a，AC是∠B的对边b，正切函数就是
tanB=b/a，即tanB=AC/BC。

正切值在[kπ-π/2,kπ+π/2](k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小)。

图像：右图平面直角坐标系反映
定义域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}
值域：实数集R。

高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结高中数学中，三角函数及反三角函数是重要的内容之一。

在学习这一部分知识时，需要掌握其图像性质以及相关的知识点。

下面将对这些内容进行总结。

一、三角函数的图像性质1. 正弦函数（sin）的图像性质：- 周期性：sin函数的周期为2π，即在每个周期内，函数的图像重复出现；- 奇函数性质：sin函数关于原点对称；- 取值范围：sin函数的取值范围为[-1,1]，即函数的值始终在该区间内波动。

2. 余弦函数（cos）的图像性质：- 周期性：cos函数的周期为2π；- 偶函数性质：cos函数关于y轴对称；- 取值范围：cos函数的取值范围也为[-1,1]。

3. 正切函数（tan）的图像性质：- 周期性：tan函数的周期为π；- 奇函数性质：tan函数关于原点对称；- 无界性：tan函数的值域为实数集，即函数在某些点无界。

二、三角函数的知识点1. 基本正弦函数的性质：- 特殊角的正弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的正弦值分别为0、1、0、-1和0；- 正弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，sin函数是单调递增的；- 正弦函数的奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即sin函数关于原点对称。

2. 基本余弦函数的性质：- 特殊角的余弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的余弦值分别为1、0、-1、0和1；- 余弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，cos函数是单调递减的；- 余弦函数的奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即cos函数关于y轴对称。

3. 基本正切函数的性质：- 特殊角的正切值：0°、90°、180°和270°对应的正切值分别为0、无穷大、0和无穷大；- 正切函数的周期性：tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的周期是π。

高中数学：三角函数的图像与性质
高考在三角函数图象与性质的考查力度上近几年有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质．其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主．主要考查数学抽象、数学运算和逻辑推理素养．在解题过程中，要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化。

(2) /(航+如型三角函数的奇偶性（i ） g （x ） = /沏（颜+如（x€ R）(x)为偶函数匕鼠U 力（而+ 出=j4sin （-<at + 炉）（x W 氏）0 sin 曲匚*0=。

（工 W R ）7Tcos 卯=。

=上7T+一1左 e Z ）由此得 2 ,同理，式夫4皿皈+双相的 为奇函数 =顺@=0/3=上网海2)（ii ）飙# =+劭SwR]妖N = .Aa 式题+钠为偶函数见双t")；就= 式以+如为奇函数7T=中=无产+ — (k e Z)3、周期性(1)基本公式(ii) 〃皈+⑺+氏型三角函数的周期竺y =+ G + 5 =加+中出 的周期为何；（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性(1)基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx y= tanx ； 偶函数：y=cosx.(i )基本三角函数的周期的周期为；丁.y=sinx , y=cosx 的周期为 之并 ；y = tanx , y = cotx4-212yy=cotxy=tanx 3-32X 03 27 3,y=cosx-5-4 .7223 2322 5 2“如血的+朗+9=心服如+沟+用的周期为何.（2）认知⑴A =1/W +创型函数的周期y = |月劭（枷+或）| j = A 匚。

5（西+励|（ii ）若函数为,（收斗劭 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （iii ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明.（3）特殊情形研究JT(i ) y = tanx — cotx 的最小正周期为27T（ii ） y=卜由H+|M 幻的最小正周期为，；7T（iii ） y = sin 4x + cos 4x 的最小正周期为，. _由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象 .4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的 一个周期；②写特解：在所选周期内写出函数的增区问（或减区问）；③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数 的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 .揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域（2） y=/（而+初 型三角函数的单调区问的周期为y = （助+切1_r= |达匚祖（姗+阖| 的周期为 7T(ii) > = 1/(耽+如+同3=0)的周期1y 二|金£血（为工卜8］妣+3）+甘¥ = |例如（而+5+上］ J = |总二加侬大+的+. 的周期为祠；,7T的周期为:. 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 数的周期不变.注意这一点与（i ）的区别.y=八加+◎+上的解析式施加绝对值后，该函此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解：令u =z 中,将所给函数分解为内、外两层：y = f (u) , u =®x+卯;②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出 f (u)的单调性，而后利用(1)中公 式写出关于u 的不等式；③还原、结论：将u =^+W 代入②中u 的不等式，解出x 的取值范围，并用集合或区间 形成结论.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:/y sinx y cosxy tanxy cotxy Asin x(A 、 >0)定义域 R R x | x R 且 x k 1 ,k Zx| x R 且x k ,k ZR值域 [1, 1][1, 1]R RA, A周期性 2 22奇偶性奇函数 偶函数奇函数 奇函数当 0,非奇非偶 当0,奇函数单调性[2 2k , —2k ] 2上为增函 数； [2 2k ,3——2k ] 2上为减函 数(k Z )[2k 1 , 2k ]上为增函 数[2k , 2k 1 ]上为减函数(k Z )一k ,一 k 2 2 上为增函数(k Z )k , k 1上为减函数(k Z )2k2(A),2k -2( A)上为增函数；2k 一------ 2— (A), 2k------ 2——(A)上为减函数(k Z )注意：①y sinx 与y sinx 的单调性正好相反；y cosx 与y cosx 的单调性也同样相反.一般 地，若y f(x)在［a,b ］上递增(减)，则y f (x)在［a,b ］上递减(增)y忖n x 与y cosx 的周期是.-(k Z),对称中心(k ,0); y cos( x )的对称轴方); y tan( x )的对称中心(工,0).,02③ y sin( x )或 y cos( x )0)的周期T 2y tan x 的周期为2 2 (T _ T 2，如图，翻折无效)④y sin( x )的对称轴方程是x k 程是x k (k Z ),对称中心(ky cos2x 原点对称 y cos( 2x) cos2x⑤ 当 tan tan 1, k ,(k Z) ; tan tan 1, k ,(k Z).⑥y cosx 与y s in x _ 2k是同一函数，而y ( x )是偶函数，则2 1 、，、y ( x ) sin( x k ) cos( x).2⑦函数y tanx 在R 上为增函数.(耳［只能在某个单调区间单调递增 .若在整个定义域,y tanx 为增函数，同样也是错误的］.⑧定义域关于原点对称是f (x)具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件：一是定义域 关于原点对称(奇偶都要)，二是满足奇偶性条件，偶函数：f( x) f(x),奇函数：f( x) f(x)) 奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y tanx 是奇函数，y tan(x 1)是非奇非偶.(定义域不 3 关于原点对称)奇函数特有性质：若0 x 的定义域，则f(x)一定有f(0) 0. (0 x 的定义域，则无此性质)⑨y sinx 不是周期函数；y sinx 为周期函数(T )； y cosx 是周期函数(如图)；y cosx 为周期函数(T )；y cos2x1的周期为(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期,2y f (x) 5 f (x k),k R . ⑩ y a cos bsinVa 2 b 2sin( ) cos b 有 Va 2 b 2 y .、形如y Asin( x )的函数:11、几个物理量：A 一振幅；f 1—频率(周期的倒数)；x 一相包； 一初相；2、函数y Asin( x )表达式的确定：A 由最值确定； 由周期确定； 由图象上的特殊点确定，如 f(x) Asin( x )(A 0,0, | 3.函数 y Asin( x ) B (其中 A 0,0)最大值是A B,最小值是B A,周期是T —,最小正周期T 六频率是f「相位是x,初相是；其图象的对称轴是直线x k 7k Z),凡| "^0的图象如图所小，则f (x)(答：f(x)152sin(-2x -));y=| cos2x+1/2|图象是该图象与直线y B 的交点都是该图象的对称中心4、研究函数y Asin( x )性质的方法：类比于研究y sin x 的性质，只需将y Asin( x ) 中的x 看成y sinx 中的x,但在求y Asin( x )的单调区间时，要特别注意 A 和 的 符号，通过诱导公式先将 化正。

三角函数的图像与性质一.正弦函数和余弦函数的图象:y=sinx打 3口正弦函数y = sin x 和余弦函数y = cos x 图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0,-,兀,3-,2兀的2 2五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

二、正弦函数y = sin x (x G R )、 余弦函数 y = cos x (x G R )的性质：(1)定义域：都是R 。

(2)值域：1、都是［-1,1］，2、y = sin x ，当 x = 2 k -+-(k G Z )时，y 取最大值 1；当 x = 2 k -+ 3-( k G Z )时，y 取最小值一1； 2 2 3、y = cos x ，当 x = 2k - (k G Z )时，y 取最大值 1,当 x = 2k -+-(k G Z )时，y 取最小值一1。

例：(1)若函数y = a - b sin(3x + -)的最大值为3，最小值为-L 则a = , b =622——(答：a = —, b = 1或 b = —1 )；22.函数y=-2sinx+10取最小值时，自变量x 的集合是课堂练习：1、函数y = sin x - sin x 的值域是2.已知f (x )的定义域为[0, 1],求f (c os x )的定义域；(3)周期性：①y = sin x 、y = cos x 的最小正周期都是2兀；2兀②f (x ) = A sin (3x +。

和f (x ) = A cos (3x +中)的最小正周期都是T = ——。

13| 兀x例：(1)若 f (x ) = sin 一，则 f (1)+ f (2) + f (3) + .・・ + f (2003)=—(答：0)； ^3⑵.下列函数中，最小正周期为兀的是()(4)奇偶性与对称性：1、正弦函数y —sin x (x E R ) 7是奇函数，对称中心是(k 兀,0)(k E z ),对称轴是直线x — k K+-(k E Z )；2 2、余弦函数y — cos x (x E R )是偶函数，对称中心是(k K +-,0 ](k E Z ),对称轴是直线x — k R (k E Z ) I 2)(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点)。

三角函数的图像与性质三角函数是高中数学中非常重要的一部分内容，它们在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。

在学习三角函数时，我们需要了解它们的图像与性质，以便更好地理解它们的含义和用法。

本文将介绍三角函数的图像与性质，帮助读者更好地掌握这一知识点。

正弦函数（sin）正弦函数是最常见的三角函数之一，它描述了一个周期性变化的曲线。

正弦函数的图像是一个连续的波浪线，它在区间[-1,1]之间取值，且呈现周期性。

具体来说，当自变量的取值为0时，正弦函数的值为0；当自变量的取值为90°（或π/2）时，正弦函数的值为1；当自变量的取值为180°（或π）时，正弦函数的值再次为0；以此类推。

正弦函数的图像可以帮助我们观察周期性变化的现象，并用于解决相关问题，如天体运动、声音传播等。

余弦函数（cos）余弦函数也是一种常见的三角函数，它与正弦函数非常相似，但在图像上有一定的差异。

余弦函数的图像也是一个周期性变化的曲线，它在区间[-1,1]之间取值。

与正弦函数不同的是，当自变量的取值为0时，余弦函数的值为1；当自变量的取值为90°（或π/2）时，余弦函数的值为0；当自变量的取值为180°（或π）时，余弦函数的值再次为-1。

余弦函数的图像可以帮助我们观察周期性的振动现象，如弹簧的伸缩、机械摆动等。

正切函数（tan）正切函数是三角函数中的另一个重要概念，它描述了一个不断增大或减小的曲线。

正切函数的图像在某些点和正弦函数、余弦函数的图像相交，但在其他点上却有明显的区别。

正切函数的图像可以帮助我们观察角度的变化和斜率的变化，如坡度、天文观测等。

正切函数的自变量是角度的度数，因此它的取值范围没有限制。

需要注意的是，在某些角度上，正切函数的值会趋近于无穷大。

性质与应用除了图像之外，三角函数还有许多重要的性质和应用。

其中，周期性是最基本的特征之一。

正弦函数、余弦函数的周期均为360°（或2π），而正切函数的周期为180°（或π）。

三角函数的图像和性质三角函数是高中数学中的重要概念之一。

它包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

在三角函数中，最基本的一个概念是函数的图像和性质，下面将就三角函数的图像和性质进行探讨。

一、正弦函数的图像和性质正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，它表示的是一个周期为2π，振幅为1的波动函数。

在坐标系中，正弦函数的图像是一条标准正弦曲线，左右对称，穿过原点，波形呈现峰值、谷值循环的过程。

正弦函数的性质包括：1. 周期性：正弦函数的周期为2π。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。

3. 对称性：正弦函数以y轴为中心对称。

二、余弦函数的图像和性质余弦函数也是三角函数中的一个重要函数，它表示的是一个周期为2π，振幅为1的波动函数。

与正弦函数不同的是，余弦函数的图像是一个横向平移的正弦曲线，左右对称，波形呈现峰值、谷值循环的过程。

余弦函数的性质包括：1. 周期性：余弦函数的周期为2π。

2. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。

3. 对称性：余弦函数以x轴为中心对称。

三、正切函数的图像和性质正切函数是另一种常见的三角函数，它表示的是正弦函数与余弦函数之比。

正切函数的图像呈现周期性，但是与正弦函数、余弦函数不同的是，它有着不连续的特点。

在正切函数上，存在无数个极点，并没有定义值。

正切函数的性质包括：1. 周期性：正切函数的周期为π。

2. 奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。

3. 对称性：正切函数以原点为中心对称。

四、三角函数的应用三角函数不仅仅是一些抽象的数学概念，同时也涵盖着很多重要的应用。

例如在物理学中，三角函数常用于描述波动现象、声音、光线等的特性。

在力学中，三角函数被广泛地用于描述力的方向、角度等概念。

在设计、建造领域中，三角函数也被应用于各种形式的结构计算。

总结：以上是对三角函数的图像和性质及其在实际应用中的相关探讨。

通过对这些概念的深入了解和掌握，我们可以更好地理解数学、物理等学科中的基本概念和现象。