直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程
知识点1：直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系的判断
设直线y=kx+b ，双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a >0，b >0)联立消去y 得Ax 2+Bx+C=0（a ≠0），Δ=B 2 －4AC 。
若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若Δ>0,直线与双曲线相交，有两个交点； 若Δ=0，直线与双曲线相切，有一个交点； 若Δ<0，直线与双曲线相离，无交点；
直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。 2.弦长问题
设直线l:y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x 1,y 1)，P2 (x 2,y 2)， 且由，消去y →ax 2+bx+c=0（a ≠0），Δ=b 2 －4ac 。
弦长公式：12||PP =1212x y y -=-（k 为直线斜率） 例题选讲：
例1：直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B ．求实数k 的取值范围；
解 (1)将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程2x 2-y 2=1后，整理得(k 2-2)x 2+2kx+2=0.①
依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，
故
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧k2－2≠0，
Δ＝(2k)2－8(k2－2)>0，
－2k
k2－2
>0，
2
k2－2
>0.
解得k的取值范围是－2例2：已知中心在原点，顶点
12
,
A A在x轴上，离心率为
21
3
的双曲线经过点(6,6)
P
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）动直线l经过12
A PA
∆的重心G，与双曲线交于不同的两点,
M N，问是否存在直线l 使G平分线段MN。试证明你的结论。
例3：已知椭圆C1的方程为x
2
4
＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA
→·OB→
>2 (其中O 为原点)，求k的取值范围．
解(1)设双曲线C2的方程为x
2
a2
－y
2
b2
＝1，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
故C2的方程为x
2
3
－y2＝1.
(2)将y＝kx＋2代入
x2
3
－y2＝1，得(1－3k2)x2－62kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
⎩⎪⎨⎪
⎧
1－3k 2
≠0.Δ＝(－62k )2
＋36(1－3k 2
) ＝36(1－k 2
)>0.
∴k 2≠1
3且k 2<1.
①
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k
1－3k 2，x 1x 2＝－9
1－3k 2.
∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2
＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋7
3k 2－1
.
又∵OA →·OB →
>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2，
∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1
>0，解得13②
由①②得13⎫33，1.
例4：已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F 在坐标轴上，，且过点(4,． （1）求双曲线方程；
（2）若点()3,M m 在双曲线上，求证：120MF MF ⋅=； （3）对于（2）中的点M ，求21MF F ∆的面积．
解：（1）由题意，可设双曲线方程为2
2
x y λ-=，又双曲线过点(4,，解得6λ=
∴ 双曲线方程为2
2
6x y -=；
（2）由（1）可知，a b ==
，c =， ∴ ()
1F -，()
2F
∴ ()
13,MF m =--，()
223,MF m =-， ∴ 2123MF MF m ⋅=-，
又点()3,M m 在双曲线上， ∴ 296m -=，
∴ 2
3m =， 即120MF MF ⋅=；
（3）121211
622
S F MF F F m =
=⋅= ∴21MF F ∆的面积为6．
知识点2：抛物线及其标准方程
1．抛物线定义
平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y 2＝2px (p ＞0)
y 2＝－2px (p ＞0)
图形
范围 x ≥0，y ∈R
x ≤0，y ∈R
对称轴 x 轴 顶点坐标 原点O (0,0)
焦点坐标 ⎝⎛⎭
⎫p 2，0 ⎝⎛⎭
⎫－p 2，0 准线方程 x ＝－p 2
x ＝p 2
离心率
e ＝1
例1：(1)(2011·辽宁高考)已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )
A.3
4 B ．1 C.54
D.74 (2)(2012·曲阜师大附中质检)在抛物线C ：y ＝2x 2上有一点P ，若它到点A (1,3)的距离与它到抛物线C 的焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )
A ．(－2,1)
B ．(1,2)
C ．(2,1)
D ．(－1,2)
[自主解答] (1)如图，由抛物线的定义知，|AM |＋|BN |＝|AF |＋|BF |＝3，|CD |＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54.
