跟踪训练(四十九) 椭圆(一)
[基础巩固]
一、选择题
1．中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为2
2
，则该椭圆的方程为( )
A.x 216＋y 2
12＝1 B.
x 212＋y 2
8
＝1 C.
x 2
12＋y 2
4
＝1 D.x 28＋y 2
4
＝1 [解析] 因为焦距为4，所以c ＝2，离心率e ＝c a ＝2a ＝22
，∴a ＝22，b 2＝a 2－c 2
＝4，
故选D.
[答案] D
2．曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 2
9－k ＝1(k <9)的( )
A ．长轴长相等
B ．短轴长相等
C ．离心率相等
D ．焦距相等
[解析] c 2
＝25－k －(9－k )＝16，所以c ＝4，所以两条曲线的焦距相等． [答案] D
3．(2018·河南开封开学考试)若方程x 2
＋ky 2
＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )
A ．(0，＋∞) B．(0,2) C ．(1，＋∞) D．(0,1)
[解析] ∵方程x 2
＋ky 2
＝2，即x 22＋y 2
2k
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴2
k
>2，故0 故选D. [答案] D 4．(2017·吉林长春外国语学校期末)椭圆x 2 2 ＋y 2 ＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是 椭圆上任意一点，则PF 1→ ·PF 2→ 的取值范围是( ) A ．[－1,1] B ．[－1,0] C ．[0,1] D ．[－1,2] [解析] 由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x ，y )，∴PF 1→ ＝(－1－x ，－y )，PF 2→ ＝(1－x ，－y )，则PF 1→ ·PF 2→ ＝x 2 ＋y 2 －1＝x 2 2 ∈[0,1]，故选C. [答案] C 5．(2017·湖北孝感七校联盟期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与 过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝4 5，则C 的离心率为( ) A.35 B.57 C.45 D.67 [解析] 如图，设|AF |＝x ，则cos ∠ABF ＝82 ＋102 －x 2 2×8×10＝45.解得x ＝6，∴∠AFB ＝90°， 由椭圆及直线关于原点对称可知|AF 1|＝8，∠FAF 1＝∠FAB ＋∠FBA ＝90°，△FAF 1是直角三角形，所以|F 1F |＝10，故2a ＝8＋6＝14,2c ＝10， ∴c a ＝57 . [答案] B 6．(2017·上海崇明一模)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( ) A.x 225＋y 2 5＝1 B.x 230＋y 210＝1 C. x 2 36＋y 2 16 ＝1 D. x 2 45＋y 2 25 ＝1 [解析] 依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F ′，连接PF ′. 由已知，半焦距c ＝2 5.又由|OP |＝|OF |＝|OF ′|，知∠FPF ′＝90°. 在Rt △PFF ′中，|PF ′|＝|FF ′|2 －|PF |2 ＝ 45 2 －42 ＝8.由椭圆的定义可知 2a ＝|PF |＋|PF ′|＝4＋8＝12，所以a ＝6，于是b 2 ＝a 2 －c 2 ＝62 －(25)2 ＝16，故所求椭圆方程为x 236＋y 2 16 ＝1，故选C. [答案] C 二、填空题 7．(2018·北京朝阳模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，若椭圆短 轴的两个三等分点M ，N 与F 构成正三角形，则此椭圆的方程为__________． [解析] 由△FMN 为正三角形，得c ＝|OF |＝32|MN |＝32×23 b ＝1.解得b ＝3，∴a 2＝b 2 ＋c 2 ＝4.故椭圆的方程为x 24＋y 2 3 ＝1. [答案] x 24 ＋y 2 3 ＝1 8．(2018·湖北武汉十六中月考)一个圆经过椭圆x 2 16 ＋y 2 4 ＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为__________． [解析] 由x 216＋y 2 4＝1可知椭圆的右顶点坐标为(4,0)，上、下顶点坐标为(0，±2)． ∵圆经过椭圆x 216＋y 2 4＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上， ∴①当圆经过椭圆右顶点及短轴两端点时， 设圆的圆心为(x,0)，则x 2 ＋4＝4－x ，解得x ＝32，∴圆的半径为52 ， 所求圆的方程为⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x －322＋y 2＝25 4. ②当圆经过椭圆左顶点及短轴两端点时，
