双曲线定义与标准方程(二)

双曲线及其标准方程（一）教学过程： 一、复习引入： 1 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2.椭圆标准方程：（1）2222=+b y a x （2）2222=+bx a y 其中22bc a +=二、讲解新课：1．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线即a MF MF 221=-这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ”2．双曲线的标准方程：根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程 过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证明12222=-by a x ，此即为双曲线的标准方程 它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是)0,(),0,(21c F c F -，其中222b ac +=若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在y 轴上，则焦点是),0(),,0(21c F c F -，将yx ,互换，得到12222=-bx a y3．双曲线的标准方程的特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-by a x (0>a ,0>b )；焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-bx a y (0>a ,0>b )(2)c b a ,,有关系式222b a c+=成立，且,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系有三种情况。

4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上5.双曲线与椭圆之间的区别与联系 三、讲解范例：例1 已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F -，双曲线上一点P 到)0,5()0,5(21F F ，-的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程变题1:将条件改为双曲线上一点P 到1F ,2F 的距离的差等于6,如何?变题2:将条件改为双曲线上一点P 到1F ,2F 的距离的差的绝对值等于10,如何?例2四、课堂练习： 五、小结 ：1、双曲线的两类标准方程是)0,0(12222>>=-b a b y a x 焦点在x 轴上，)0,0(12222>>=-b a bx a y 焦点在y c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系:可以为a b a b a ><=,,2、焦点位置的确定方法。

2.3.1双曲线及其标准方程（2）目的：1、进一步掌握双曲线标准方程的求法，特别是要熟练掌握用待定系数法求双曲线标准方程的方法。

2、学会利用双曲线的定义和标准方程的知识解决简单的实际问题。

重点：进一步理解双曲线的定义和方程，了解一些常见的知识并记忆准确。

过程：一、复习提问：1、 复习曲线的定义、焦点、焦距、两种情形的标准方程。

2、 口答问题：（1）点P 在双曲线x 24 -y 29=1上，F 1、F 2为焦点，若|PF 1|=5,则|PF 2|=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ （2）(k+1)y 2-x 2=k-1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽（3）以椭圆x 264 +y 216=1的短轴长为2a 值，长轴长为焦距的双曲线方程是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ （4）已知F 1,F 2双曲线2x 2-3y 2=24的两个焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1||PF 2|=32,则∠F 1PF 2=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽（5）已知F 1,F 2双曲线x 24-y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2=90︒,则∆PF 1F 2的面积是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽3、 已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点P 1,P 2坐标分别为（3，-4 2 )、(94,5),求双曲线的标准方程。

分析：提问椭圆的设法，引入到双曲线中。

也可以用代换的思想，见书上的例题的解答。

4、处理上解的思考题：当0≤θ≤1800，方程x 2cos θ+y 2sin θ=1的曲线怎样变化？ 分析：分θ=0︒，（0︒，45︒），45︒，（45︒，90︒），90︒，（90︒，180︒），180︒共七种情况讨论。

分析：提问椭圆的设法，引入到双曲线中。

也可以用代换的思想见书上的例题的解答。

二、理科例题：1、双曲线x 216 -y 29=1上取一点P 与双曲线两焦点F 1，F 2构成∆PF 1F 2,求 ∆PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点坐标。

双曲线的标准方程双曲线是解析几何中的一类二次曲线，具有许多特殊的几何和代数性质。

本文将详细介绍双曲线的标准方程及其性质。

1. 双曲线的定义双曲线是指一组点P和一个点F，满足从P到F到一个定点D的距离差的绝对值等于一个定值e，即PF - PD = e。

双曲线可以通过椭圆的定义进行推导。

如果从椭圆上的固定点F到点P的距离之和等于一个定值2a，那么从F到P的距离差将等于2a - 2PF，即PF - PD = e，其中e = 2a - 2c，c为椭圆的其中一个焦点到椭圆中心的距离。

因此，双曲线可以看作是一个椭圆的镜像，是的焦点位置沿着中心轴移动了一段距离，从而形成的一组点。

2. 双曲线的标准方程双曲线的标准方程通常写作：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)这里的a和b分别是椭圆的半轴。

对于双曲线的方程，可以进一步推导出其他形式。

例如，将x和y交换，在方程中加上常数c，可以得到：-y^2/a^2 + x^2/b^2 = c这种形式叫做横向双曲线；另一种形式是纵向双曲线：y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1这里的a和b是椭圆的半轴。

3. 双曲线的几何性质双曲线有一些有趣的几何性质，如下所示：(1) 双曲线具有两个分离的分支，这两个分支无穷远处相交于双曲线的渐近线。

(2) 双曲线的渐近线是其方程中不等于0的项所对应的直线。

(3) 双曲线对称于其两条渐近线。

(4) 双曲线移动或旋转后仍然是双曲线。

(5) 两个相交的双曲线组成了双曲线族。

(6) 双曲线上的点到两个焦点的距离之差等于常数e。

4. 双曲线的代数性质双曲线也有许多有趣的代数性质，例如：(1) 双曲线是一类二次曲线，它们的方程可以写成x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0的形式。

(2) 双曲线的法线与其渐近线的夹角相等。

(3) 双曲线的切线与两个焦点之间的连线垂直。

(4) 不同的双曲线是正交的。

双曲线的定义及其标准方程
双曲线是一个平面曲线，其形状类似于两个向外开口的抛物线。

它的定义是：点F（称为焦点）到平面上任意一点P的距离与点P到一条直线L（称为准线）的距离之差为定值e（称为离心率）的点P的轨迹。

双曲线的离心率e大于1。

双曲线的标准方程是：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$
其中，a是双曲线的横轴长度的一半，b是双曲线的纵轴长度的一半。

焦点到准线的距离为c，有以下关系式：$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$
双曲线有两条渐近线，分别是直线y=±b/a×x。

双曲线的形状和位置可以通过a、b和c的值来确定。

当a>b时，双曲线开口方向沿着横轴；当b>a时，双曲线开口方向沿着纵轴。

双曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。

在数学中，双曲线是一种基本的曲线形式，被广泛用于微积分、代数和几何学中；在物理学中，双曲线的形状出现在许多问题中，如天体力学和电磁学中的场线。

双曲线的定义及其标准方程（2）高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆已知双曲线222:1y x b Γ-=（0b >）. （1）若Γ的一条渐近线方程为2y x =，求Γ的方程；（2）设1F 、2F 是Γ的两个焦点，P 为Γ上一点，且12PF PF ⊥，12PF F △的面积为9，求b 的值；【参考答案】（1）2214y x -=；（2）3. 【试题解析】（1）因为双曲线222:1y x b Γ-=（0b >）的一条渐近线方程为2y x =， 所以2b =，因此，Γ的方程为22:14y x -=. （2）由双曲线定义可得：1222PF PF a -==，又12PF PF ⊥，12PF F △的面积为9， 所以1218PF PF =，且222212124PF PF F F c +==， 所以()22221212124240c PF PF PF PF PF PF =+=-+=，故210c =，所以21019b =-=，因此，3b =.【解题必备】（1）在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件12||||||2F PF P a -=的应用，同时应注意双曲线上的点到任一焦点的距离都大于等于c －a ，从而两解中要舍去不满足要求的那个；其次是利用正弦定理、余弦定理、勾股定理等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．（2）在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能正确解题．①当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＜|F 1F 2|(a ＞0)，即|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，0＜2a ＜|F 1F 2|时，点M 的轨迹是双曲线， 其中取正号时为双曲线的右(上)支，取负号时为双曲线的左(下)支；②当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝|F 1F 2|(a ＞0)时，点M 的轨迹是以点F 1，F 2为端点的两条射线；③当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＞|F 1F 2|(a ＞0)时，点M 的轨迹不存在．（3）对于形如：Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)的双曲线的方程，其包含焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况， ①当B ＜0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；②当A ＜0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．利用此种形式的方程可避免讨论．1．方程221()23x y k k k -=∈-+R 表示双曲线的充要条件是 A ．23k k ><-或B ．3k <-C ．2k >D ．32k -<<2． 已知定点()12,0F -，()22,0F ，N 是圆O ：221x y +=上任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的中垂线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线1．【答案】A【解析】第一种情况：2030k k ->+>且，解得2k >，第二种情况：2030k k -<+<且，解得3k <-，故选A ．【名师点睛】观察题目，要使方程是双曲线，必须使分母的系数一个为正，一个为负.考虑符号时，应将式子前的正负号考虑在内.2．【答案】D【解析】因为N 为1F M 中点，O 为12F F 中点，所以2||2||2F M ON ==，因为P 在线段1F M 的中垂线上，所以1||=||PF PM ， 因此122||||||||22PF PF F M ON -===，即点P 的轨迹是双曲线，故选D. 【名师点睛】根据三角形中位线性质以及中垂线性质得122||||||||22PF PF F M ON -===,再根据双曲线定义得结果.求轨迹方程，一般有以下方法：一是定义法，动点满足圆或圆锥曲线定义；二是直接法，化简条件即得；三是转移法，除所求动点外，一般还有已知轨迹的动点，寻求两者关系是关键；四是交轨法或参数法，如何消去参数是解题关键，且需注意消参过程中的等价性.。