河南省实验中学2020-2021学年九年级上期开学测试数学试卷及答案

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19. (9 分)如图，在△ABC 中，AB=AC， AD⊥BC 垂足是 D，AN 是∠BAC 的外角∠CAM 的 平分线，CE⊥AN，垂足是 E，连接 DE 交 AC 于 F .
①求证：四边形 ADCE 为矩形； ②求证： DF∥AB， DF= 1 AB
2 ③当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 为正方形，简述你的理由.
∴AF=CF= 1 AC， 2
∵AB=AC，AD 平分∠BAC，
∴BD=CD= 1 BC， 2
∴DF 是△ABC 的中位线，
即 DF∥AB，DF= 1 AB． 2
(3)当△ABC 是等腰直角三角形时，四边形 ADCE 为正方形． ∵在 Rt△ABC 中，AD 平分∠BAC ∴∠5=∠2=∠3=45°， ∴AD=CD， 又∵四边形 ADCE 是矩形， ∴矩形 ADCE 为正方形． 20.(1)证明：∵在方程 x2-(k+3)x+2k+2=0 中，
6.某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007 年投入 3000 万元，预计 2009 年
投入 5000 万元.设教育经费的年平均增长津为 x，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A.3000 (1+x) 2=5000
B.3000x2=5000
C.3000 (1+x%) 2=5000
D.3000 (1+x) +3000 (1+x) 2=5000
(3) 2x2-9x+8=0
x2- 9 x=-4 2
x2- 9 x+ 81 =-4+ 81 2 16 16
(x- 9 )2= 17 4 16
x- 9 = 17 44
x1= 9 + 17 ，x2= 9 − 17
4
4
(4) (x-2)2= (2x+3)2
x-2=2x+3
x1=-5
或 x-2=-2x-3
根据题意，得(3-2-x)(200+ 40x )-24=200． 0.1
解这个方程，得 x1=0.2，x2=0.3．， ∴为了促销，应将每千克小型西瓜的售价降低 0.3 元． 19. 证明：(1)∵AB=AC，AD⊥BC 垂足是 D， ∴AD 平分∠BAC，∠B=∠5， ∴∠1=∠2， ∵AE 是△ABC 的外角平分线， ∴∠3=∠4， ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∴∠2+∠3=90°， 即∠DAE=90°， 又∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， 又∵CE⊥AE， ∴∠AEC=90°， ∴四边形 ADCE 是矩形． (2)∵四边形 ADCE 是矩形，
22. (9 分)如图，A、B、C、D 为矩形的四个顶点，AB= 16cm， AD=6cm， 动点 P、Q 分别 从点 A、C 同时出发，点 P 以 3cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达 B 为止，点 Q 以 2cm/s 的速度向 D 移动. (1)P、Q 两点从出发开始到几秒时，四边形 PBCQ 的面积为 33cm2； (2)P、Q 两点从出发开始到几秒时，点 P 和点 Q 的距离是 10cm．
A. 6
B. 7
C.8
D.9
10.如图，边长为 8 的等边三角形 ABC 中，E 是对称轴 AD 上的一个动点， A
连接 EC 将线段 EC 绕点 C 逆时针旋转 60°得到 FC，连接 DF，则在
点 E 运动过程中，DF 的最小值是( )
E
A. 4
B.3
C.2
D.1
B
D
C
F
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二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
7.顺次连接一个四边形四边中点得到的图形是菱形，则这个四边形满足( )
A.菱形
B.矩形 C.正方形
D.对角线相等
8.三角形两边长分别为 3 和 6，第三边是方程 x2-6x+8=0 的解，则这个三角形的周长是( )
A.11
B.13
C.11 或 13
D. 不能确定
9.如果一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是( )
11.已知关于 x 的方程(a-1)x2-2x+1=0 有实数根，则 a 的取值范围是
.
12.如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°.以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧， M
分别交边 AC、 AB 于点 M、N，再分别以点 M、N 为圆心，大于 MN 的
长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP 交边 BC 于点 D，若 CD=4，
将△DAE 沿 DE 所在直线折叠，使点 A 的对应点 A1 落在正方形的边 CD
或 BC 的垂直平分线上，则 AE 的长度是
.
A1
三、解答题：
A
E
B
16. (16 分)解下列方程：
(1) (x-3) 2+2x (x-3) =0
(2) 2x2- 5x+2=0 (配方法)
(3) 2x2-9x+8=0
(4) (x-2)2= (2x+3)2
根据梯形的面积公式得 1 (16-3x+2x)×6=33， 2
解得 x=5， (2)设 P，Q 两点从出发经过 t 秒时，点 P，Q 间的距离是 10cm， 作 QE⊥AB，垂足为 E， 则 QE=AD=6，PQ=10， ∵PA=3t，CQ=BE=2t， ∴PE=AB-AP-BE=|16-5t|， 由勾股定理，得(16-5t)2+62=102， 解得 t1=4.8，t2=1.6． 答：(1)P、Q 两点从出发开始到 5 秒时四边形 PBCQ 的面积为 33cm2； (2)从出发到 1.6 秒或 4.8 秒时，点 P 和点 Q 的距离是 10cm． 23. (1)【发现证明】 证明：把△ABE 绕点 A 顺时针旋转 90°至△ADG，如图 1， ∴∠BAE=∠DAG，AE=AG， ∵∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠FAD=45°， ∴∠DAG+∠FAD=45°， ∴∠EAF=∠FAG， ∵AF=AF， ∴△EAF≌△GAF(SAS)， ∴EF=FG=DF+DG， ∴EF=DF+BE； (2)【类比引申】 ①不成立，结论：EF=DF-BE； 证明：如图 2，将△ABE 绕点 A 顺时针旋转 90°至△ADM ∴∠EAB=∠MAD，AE=AM，∠EAM=90°，BE=DM， ∴∠FAM=45°=∠EAF， ∵AF=AF， ∴△EAF≌△MAF(SAS)， ∴EF=FM=DF-DM=DF-BE；
17.(7
分)先化简
x2
− 2x +1 x2 −1
(
x x
−1 +1
−
x
+ 1)
，然后从-
6 <x<
6 的范围内选取一个你喜
欢的合适的整数作为 x 的值代入求值，
18. (7 分)西瓜经营户以 2 元/千克的价格购进一批小型西瓜，以 3 元/千克的价格出售，每天 可售出 200 千克，为了促销，该经营户决定降价销售.经调查发现，这种小型西瓜每降价 0.1 元/千克，每天可多售出 40 千克.另外，每天的房租等固定成本共 24 元.该经营户要想 每天盈利 200 元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
(x-3)(3x-3)=0， ∴x-3=0 或 3x-3=0， x1=3，x2=1，
(2)x2- 5 x=-1， 2
15. 16 − 8 3 或 8 3 3
x2- 5 x+ 25 =-1+ 25 ， 2 16 16
(x- 5 )2= 9 4 16
x- 5 =± 3 ， 44
所以 x1=2，x2= 1 ； 2
x2= − 1 3
17.原式=
x2
− 2x +1 x2 −1
(
x x
−1 +1
−
x
+ 1)
= (x −1)2 x +1 (x −1)(x +1) x(1− x)
9.C 10.C
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=− 1 x
由题可知 x≠1，x≠-1，x≠0
选取 x=2 代入式子原式= − 1 2
18.解：设应将每千克小型西瓜的售价降低 x 元．
满分： 120
时间： 100 分钟
一.选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1.A 2.A 3.C
4.D 5.A
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
6.A 7.D 8.B
11. a≤2 12. 30 13. 1 14. 13 或-11
三.解答题： 16. 解：(1)(x-3)2+2x(x-3)=0，
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②如图 3，将△ADF 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ABN， ∴AN=AF，∠NAF=90°， ∵∠EAF=45°， ∴∠NAE=45°， ∴∠NAE=∠FAE， ∵AE=AE， ∴△AFE≌△ANE(SAS)， ∴EF=EN， ∴BE=BN+NE=DF+EF． 即 BE=EF+DF． 故答案为：BE=EF+DF． (3)【联想拓展】 解：由(1)可知 AE=AG=3 5 ， ∵正方形 ABCD 的边长为 6， ∴DC=BC=AD=6， ∴D G =3． ∴BE=DG=3， ∴CE=BC-BE=6-3=3， 设 DF=x，则 EF=FG=x+3，CF=6-x， 在 Rt△EFC 中，∵CF2+CE2=EF2， ∴(6-x)2+32=(x+3)2， 解得：x=2． ∴DF=2， ∴AF=2 10 ．
则上面的结论还成立吗？请写出证明过程．
(2)如图 3，如果点 E，F 分别是 BC，CD 延长线上的动点，且∠EAF=45°，则 EF，BE，
DF 之间的数量关系是
(不要求证明)
(3)【联想拓展】如图 1，若正方形 ABCD 的边长为 6，AE=3 5 ，求 AF 的长．
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河南省实验中学 2020-2021 学年九年级上期开学测试数学试卷答案
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23. (11 分)
【发现证明】
如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC，CD 边上的动点，且∠EAF=45°，求证：
EF=DF+BE.小明发现，当把△ABE 绕点 A 顺时针旋转 90°至△ADG.使 AB 与 AD 重合时就
能够证明.
【类比引申】
(1)如图 2，在正方形 ABCD 中，如果点 E，F 分别是 CB，DC 延长线上的动点，且∠EAF=45°，
河南省实验中学 2020-2021 学年九年级上期开学测试数学试卷
(满分： 120
时间： 100 分钟)
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1.下列四个图案中， 既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
2.不等式组
2(x +1)＞3x
x
+1 2
−1
x
的解集在数轴上表示正确的是(
)
A.
-1 0
2
B.
-1 0
2
C.
-1 0
2
D.
-1 0
2
3.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线 DE，分别 交 AB，AC 于点 D，E.若 AD=3，BC=5，则△BEC 的周长为( )
A. 8
B. 10
C. 11
D. 13
4.若方程组
2x +
x
+
2
y y
= =
1− 2
△=(k+3)2-4×1×(2k+2)=k2-2k+1=(k-1)2≥0， ∴方程总有两个实数根． (2)解：∵x2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0， ∴x1=2，x2=k+1． ∵方程有一根小于 1，
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∴k+1＜1， 解得：k＜0， ∴k 的取值范围为 k＜0． 21. 解：设原来每天生产 x 台呼吸机，则提高工作效率后每天生产 1.5x 台呼吸机，
20. (8 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2- (k+3) x+2k+2=0. (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有一个根小于 1，求 k 的取值范围.
21. (8 分)“青山一道同云雨，明月何曾是两乡”我国新冠疫情基本控制，境外疫情肆虐.为了 帮助全球抗疫，某厂接到在规定时间内生产 1500 台呼吸机支援境外抗疫.在生产了 300 台 呼吸机后，厂家把工作效率提高到原来的 1.5 倍，于是提前 4 天完成任务.求原来每天生产 多少台呼吸机?
依题意，得： 1500 − 300 − 1500 − 300 = 4
x
1.5x
解得：x=100，
经检验，x=100 是原分式方程的解，且符合题意．
答：原来每天生产 100 台呼吸机．
22.解：(1)设 P、Q 两点从出发开始到 x 秒时四边形 PBCQ 的面积为 33cm2，
则 PB=(16-3x)cm，QC=2xcm，
A
N
A
AB=15，则△ABD 的面积是
.
C P
D B
13. 如图，DE 为△ABC 的中位线，点 F 在 DE 上，且∠AFB=90°， D
若 AB=6，BC=8，则 EF 的长为
.
E F
B
C
14. 若 4x2-(k-1)x+9 能用完全平方公式因式分解，则 k 的值为
.
D
C
15.如图，己知正方形 ABCD，边长为 8，E 是 AB 边上的一点，连接 DE，
3k
的解满足
x+y>1，则
k
的取值范围是(
)
A.k＞2
B. k＜2
C. k＞0
D. k＜0
y
y2பைடு நூலகம்
5.如图，若函数 y1=-x-1 与 y2=ax-3 的图象相交于点 P(m，-2)， 则关于 x 的 y1
O
不等式-x-1<ax-3 的解集是(
A. x>1
B. x<1
) C.x>2
D. x<2
N PM x