东南大学数值分析上机作业汇总

数值分析上机作业（一）一、算法的设计方案1、幂法求解λ1、λ501幂法主要用于计算矩阵的按模最大的特征值和相应的特征向量，即对于|λ1|≥|λ2|≥.....≥|λn|可以采用幂法直接求出λ1，但在本题中λ1≤λ2≤……≤λ501，我们无法判断按模最大的特征值。

但是由矩阵A的特征值条件可知|λ1|和|λ501|之间必然有一个是最大的，通过对矩阵A使用幂法迭代一定次数后得到满足精度ε=10−12的特征值λ0，然后在对矩阵A做如下的平移：B=A-λ0I由线性代数(A-PI)x=(λ-p)x可得矩阵B的特征值为：λ1-λ0、λ2-λ0…….λ501-λ0。

对B矩阵采用幂法求出B矩阵按模最大的特征值为λ∗=λ501-λ0，所以λ501=λ∗+λ0，比较λ0与λ501的大小，若λ0>λ501则λ1=λ501，λ501=λ0；若λ0<λ501，则令t=λ501，λ1=λ0，λ501=t。

求矩阵M按模最大的特征值λ的具体算法如下：任取非零向量u0∈R nηk−1=u T(k−1)∗u k−1y k−1=u k−1ηk−1u k=Ay k−1βk=y Tk−1u k(k=1,2,3……)当|βk−βk−1||βk|≤ε=10−12时，迭终终止，并且令λ1=βk2、反幂法计算λs和λik由已知条件可知λs是矩阵A 按模最小的特征值，可以应用反幂法直接求解出λs。

使用带偏移量的反幂法求解λik，其中偏移量为μk=λ1+kλ501−λ140(k=1,2,3…39)，构造矩阵C=A-μk I，矩阵C的特征值为λik−μk，对矩阵C使用反幂法求得按模最小特征值λ0，则有λik=1λ0+μk。

求解矩阵M按模最小特征值的具体算法如下：任取非零向量u 0∈R n ηk−1= u T (k−1)∗u k−1y k−1=u k−1ηk−1 Au k =y k−1βk =y T k−1u k (k=1,2,3……)在反幂法中每一次迭代都要求解线性方程组Au k =y k−1，当K 足够大时，取λn =1βk 。

第一章作业#include<stdio.h>const int N=100;int main(){int n;float S1,S2;double S3;S1=0;S2=0;for(n=2;n<N+1;n++){S1=S1+1.0/(n*n-1);}printf("the sum S1 is %d\n",S1);for(n=N;n>1;n--){S2=S2+1.0/(n*n-1);}printf("the sum S2 is %d\n",S2);S3=0.5*(1.5-1.0/N-1.0/(N+1));printf("S3 is %d\n",S3);}修改N的值即可第二章作业（1）float df(float x){float df;df=x*x-1;return df;}main(){float x0,x1,a;int k=0;printf("请输入初值x0=");scanf_s("%f",&x0);do{a=-f(x0)/df(x0);x1=x0+a;k++;x0=x1;}while(fabs(a)>eps);printf("迭代次数k=%d,根值x0=%f",k,x0);}（2）#include<stdio.h>#include<math.h>#define eps 0.01float f(float x){float f;f=x*x*x/3-x;return f;}float df(float x){float df;df=x*x-1;return df;}float ddf(float x){float ddf;ddf=2*x;return ddf;}main(){float x0,x1,a,dt=0;int k=0;do{dt=dt+eps;k++;}while((f(-dt)*f(dt)<0)&&(df(dt)!=0)&&(2*dt>=-f(-dt)/df(-dt))&&(2*dt>=f(dt)/df(dt)));printf("请输入x0：");scanf_s("%f",&x0);if(x0<-1)do{a=-f(x0)/df(x0);x1=x0+a;k++;x0=x1;}while(fabs(a)>eps);else if(x0>-1&&x0<-dt)do{a=-f(x0)/df(x0);x1=x0+a;k++;x0=x1;}while(fabs(a)>eps);else if(x0>-dt&&x0<dt)do{a=-f(x0)/df(x0);x1=x0+a;k++;x0=x1;}while(fabs(a)>eps);else if(x0>dt&&x0<1)do{a=-f(x0)/df(x0);x1=x0+a;k++;x0=x1;}while(fabs(a)>eps);else if (x0>1)do{a=-f(x0)/df(x0);x1=x0+a;k++;x0=x1;}while(fabs(a)>eps);printf("收敛域=%f,迭代次数=%d\n",dt,k);printf("根=%f\n",x0);}第三章作业#include<stdio.h>#include<math.h>main(){int n,i,j,k,t;float a[10][11],s[10],x[10],s2,max,sum,b;printf("请输入n= ");scanf("%d",&n);printf("请输入矩阵A= \n");for(i=0;i<=n;i++)for(j=0;j<=(n+1);j++)scanf("%f",&a[i][j]);//变换成高斯消去法矩阵//for(k=0;k<n;k++){//找出第k列中绝对值最大的一项//j=0;for(i=k;i<=n;i++){s[j]=a[i][k];j++;}max=fabs(s[0]);t=k;for(i=1;i<j;i++){if (fabs(s[i])>max){max=fabs(s[i]);t=k+i;}}// printf("t=%d\n",t);//将在列中有最大的元素的一行和第k行交换//for(j=0;j<=n+1;j++){b=a[k][j];a[k][j]=a[t][j];a[t][j]=b;}/*printf("***\n");for(i=0; i<=n; i++){for(j=0; j<=(n+1); j++)printf("%f ",a[i][j]);printf("\n");}*///将第k行k列的元素变为零//for(i=(k+1);i<=n;i++){s2=a[i][k]/a[k][k];for(j=k;j<=(n+1);j++)a[i][j]=a[i][j]-s2*a[k][j];}/*printf("###\n");for(i=0; i<=n; i++){for(j=0; j<=(n+1); j++)printf("%f ",a[i][j]);printf("\n");}*/printf("\n");}printf("\n");//解方程--//for(i=n;i>=0;i--){sum=0;x[n+1]=a[n][n+1]/a[n][n];for(j=i;j<=n;j++)sum+=a[i-1][j]*x[j+1];x[i]=(a[i-1][n+1]-sum)/a[i-1][i-1];}printf("方程的解为：");for(i=0;i<=n;i++)printf("%f,",x[i+1]);}。

第二章 非线性方程的解法——牛顿迭代法****（学号） ****（姓名）算法与程序题目见教材P56 上机题目20。

一、算法原理根据题目的要求，是关于用牛顿迭代法法求解方程()0f x =的通用算法。

该法是一种通过斜率迭代的算法，其速度比二分法和简单迭代法都要快。

其简单原理如下：设2[,],[,],f C a b p a b ∈∈且存在数满足()0()0,f p f p '=≠。

如果则存在一个数00,[,],p p p δδδ>∈-+对任意初始值使得由如下定义的迭代序列0{}k k p ∞=收敛到p ： 1111()(),1,2,()k k k k k f p p g p p k f p ----==-=' 其中 (1) 对于函数3()/3=0f x x x =-，则其递推规则是 31212,1,2,3-3k k k p p k p --== 其中 (2)定义序列0{}k k p ∞=，则序列0{}k k p ∞=收敛到x *，也可表示为lim k x p x *→∞=。

现简要证明：对于3'2()/3()-1f x x x f x x =-=，得，写出牛顿迭代公式 32()/3()()-1f x x x g x x x f x x -=-=-' (3) 该公式可化简为 322()33x g x x =- (4)二、流程图题目要求于用牛顿迭代法法求解方程()0f x =的通用算法。

其计算过程主要用到迭代()()()f xg x xf x=-'，图流程图1所示。

图1 题1关于牛顿迭代法的算法流程图三、计算代码核心代码1)p1=……;2)if (err<delta)|(relerr<delta)|(abs(y)<epsilon),break;3)if k<maxN ,go to 1完整代码程序1：Newton.m%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Description : 牛顿迭代法% Author : panyunqiang% Versoin : 1.0% Date : 2012-9-21 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [p0, err, k, y]=Newton(p0, delta, epsilon, maxN)% input - p0 is the initial approximation to a zero of f% - delta is the tolerance for p0% - epsilon is the tolerance for the function values y% - maxN is the maxium number of iterations%output - p0 is the Newton approximation to a zero% - err is the error estimate for p0% - k is the number of iterations% - y is the function value f(p0)for k=1:maxN%%递归p1=2*p0^3/(3*p0^2-3);%%计算误差err=abs(p1-p0);relerr=2*err/(abs(p1)+delta);p0=p1;%%当前求出的根的函数值y=p0^3/3-p0;%%判断if (err<delta)|(relerr<delta)|(abs(y)<epsilon)break;endend程序2：Newton_Step.m%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Description : 寻找题目中关于牛顿迭代法收敛的尽可能大的delta % 搜索步进为step=10^(-6),即精确到小数点后六位% Author : panyunqiang% Versoin : 1.0% Date : 2012-9-21 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% format longstep=10^(-6);delta=10^-8;epsilon=10^-8;maxN=1000;ps=0.6;[p0, err, k, y]=Newton(ps, delta, epsilon, maxN);while((abs(p0)<=epsilon)&(p0~=NaN))ps=ps+step;[p0, err, k, y]=Newton(ps, delta, epsilon, maxN);endps-step四、计算结果及分析a)运行程序Newton_Step.m，获得Newton局部收敛于2=0x*的初始值的范围δ= 0.774596，六位有效数字。

第七章 偏微分方程数值解法——Crank-Nicolson 格式****（学号） *****（姓名）上机题目要求见教材P346,10题。

一、算法原理本文研究下列定解问题(抛物型方程)22(,) (0,0)(,0)() (0)(0,)(), (1,)() (0)u ua f x t x l t T t x u x x x l u t t u t t t T ϕαβ⎧∂∂-=<<≤≤⎪∂∂⎪=≤≤⎨⎪==<≤⎪⎩(1)的有限差分法，其中a 为正常数，,,,f ϕαβ为已知函数，且满足边界条件和初始条件。

关于式(1)的求解，采用离散化方法，剖分网格，构造差分格式。

其中，网格剖分是将区域{}0,0D x l t T =≤≤≤≤用两簇平行直线(0)(0)i k x x ih i M t t k k N τ==≤≤⎧⎨==≤≤⎩ 分割成矩形网格，其中,l Th M Nτ==分别为空间步长和时间步长。

将式(1)中的偏导数使用不同的差商代替，将得到不同的差分格式，如古典显格式、古典隐格式、Crank-Nicolson 格式等。

其中，Crank-Nicolson 格式具有更高的收敛阶数，应用更广泛，故本文采用Crank-Nicolson 格式求解抛物型方程。

Crank-Nicolson 格式推导：在节点(,)2i k x t τ+处考虑式(1)，有22(,)(,)(,)222i k i k i k u u x t a x t f x t t x τττ∂∂+-+=+∂∂ (2)对偏导数(,)2i k u x t t τ∂+∂用中心差分展开 []2311+131(,)(,)(,)(,) ()224k k i k i k i k i i k i k u ux t u x t u x t x t t t t ττηητ++∂∂+=--<<∂∂ (3) 将22(,)2i k u x t x τ∂+∂在节点(,)i k x t 和1(,)i k x t +表示为222+122224+1221(,)=(,)+(,)22 (,) ()8i k i k i k k k i i k i k u u ux t x t x t x x x ux t t x tττηη⎡⎤∂∂∂+⎢⎥∂∂∂⎣⎦∂-<<∂∂ (4)对以上两个偏导数用二阶差分展开[]2112224i+141(,)(,)2(,)(,) (,) ()12i k i k i k i k kk i k i i u x t u x t u x t u x t x hh u t x x x ξξ+-∂=-+∂∂-<<∂ (5)[]211111122241i+141(,)(,)2(,)(,) (,) ()12i k i k i k i k k ki k i i u x t u x t u x t u x t x hh u t x x xξξ++++-++∂=-+∂∂-<<∂ (6)将式(4)(5)(6)分别代入式(3)，略去高阶小量，用k i u 代替(,)i k u x t 并化简得()()()2111111112122,22k k k k k k k k i i i i i i i i i k a u u u u u u u u f x t h ττ+++++-+-⎛⎫⎡⎤---++-+=+ ⎪⎣⎦⎝⎭ (7) 令2/r a h τ=，将式(7)联合式(1)初始条件和边界条件，用矩阵的形式表示为：11112212211111221122221122221122 k k k k k kM M k k M M r r r r u u r r r r r ru u r r r r u u r r u u r r r r +++--+--⎡⎤⎡⎤+---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()()()112211,22,2 ,2,22k k k k M k M k k k r f x t t t f x t f x t r f x t t t ττααττττττββ+--+⎡⎤⎛⎫+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎢⎥+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(8) Crank-Nicolson 格式的截断误差为22()R O h τ=+，具有较高的精度。

东南⼤学数值分析上机题答案数值分析上机题第⼀章17.（上机题）舍⼊误差与有效数设∑=-=Nj N j S 2211，其精确值为）111-23（21+-N N 。

（1）编制按从⼤到⼩的顺序1-1···1-311-21222N S N +++=，计算N S 的通⽤程序；（2）编制按从⼩到⼤的顺序121···1)1(111222-++--+-=N N S N ，计算NS 的通⽤程序；（3）按两种顺序分别计算210S ,410S ,610S ,并指出有效位数（编制程序时⽤单精度）；（4）通过本上机题，你明⽩了什么？解：程序：（1）从⼤到⼩的顺序计算1-1···1-311-21222N S N +++=：function sn1=fromlarge(n) %从⼤到⼩计算sn1format long ; sn1=single(0); for m=2:1:nsn1=sn1+1/(m^2-1); end end（2）从⼩到⼤计算121···1)1(111222-++--+-=N N S N function sn2=fromsmall(n) %从⼩到⼤计算sn2format long ; sn2=single(0); for m=n:-1:2sn2=sn2+1/(m^2-1); end end（3）总的编程程序为： function p203()clear allformat long;n=input('please enter a number as the n:') sn=1/2*(3/2-1/n-1/(n+1));%精确值为sn fprintf('精确值为%f\n',sn);sn1=fromlarge(n);fprintf('从⼤到⼩计算的值为%f\n',sn1);sn2=fromsmall(n);fprintf('从⼩到⼤计算的值为%f\n',sn2);function sn1=fromlarge(n) %从⼤到⼩计算sn1 format long;sn1=single(0);for m=2:1:nsn1=sn1+1/(m^2-1);endendfunction sn2=fromsmall(n) %从⼩到⼤计算sn2 format long;sn2=single(0);for m=n:-1:2sn2=sn2+1/(m^2-1);endendend运⾏结果：从⽽可以得到N值真值顺序值有效位数2 100.740050 从⼤到⼩0.740049 5从⼩到⼤0.740050 64 100.749900 从⼤到⼩0.749852 3从⼩到⼤0.749900 66 100.749999 从⼤到⼩0.749852 3从⼩到⼤0.749999 6（4）感想：通过本上机题，我明⽩了，从⼩到⼤计算数值的精确位数⽐较⾼⽽且与真值较为接近，⽽从⼤到⼩计算数值的精确位数⽐较低。

数值分析上机练习（以VC++6.0为操作平台）第四章（4.38）程序如下：#include<iostream.h>void main(void){float x[11];//存放数组x[j]float y[11];//存放数组y[j]float h[11];//存放数组h[j]float u[11];//存放数组u[j]float v[11];//存放数组v[j]float d[11];//存放数组d[j]float M[11];//存放数组M[j]float b[11];// 存放数组b[j]float t[11],l[11],yy[11],s[4],aa1,aa2,aa3,aa4;float s1[10];int i,j,n;float xx;cout<<"请输入n的值:\n";cin>>n;cout<<"输入数组x:\n";for(i=0;i<=n;i++)cin>>x[i];cout<<"输入数组y:\n";for(i=0;i<=n;i++)cin>>y[i];//输入端点值float df[2];cout<<"输入两个端点值:\n";for(i=0;i<2;i++)cin>>df[i];//求出h[j]的值for(j=0;j<=n-1;j++){h[j]=x[j+1]-x[j];cout<<'h'<<'['<<j<<']'<<'='<<h[j]<<'\t';}cout<<endl;//求出u[j]和v[j]的初值v[0]=1;u[n]=1;for(j=1;j<=n-1;j++){u[j]=h[j-1]/(h[j-1]+h[j]);v[j]=h[j]/(h[j-1]+h[j]);}//求出d[j]的值for(j=1;j<n;j++){d[j]=6*((y[j+1]-y[j])/h[j]-(y[j]-y[j-1])/h[j-1])/(h[j]+h[j-1]);} d[0]=6*((y[1]-y[0])/h[0]-df[0])/h[0];d[n]=6*(df[1]-(y[n]-y[n-1])/h[n-1])/h[n-1];for(j=1;j<=n;j++){cout<<'u'<<'['<<j<<']'<<'='<<u[j]<<'\t';}cout<<endl;for(j=0;j<n;j++){cout<<'v'<<'['<<j<<']'<<'='<<v[j]<<'\t';}cout<<endl;for(j=0;j<=n;j++){cout<<'d'<<'['<<j<<']'<<'='<<d[j]<<'\t';}cout<<endl;//利用书本上的追赶法求解方程组for(i=0;i<=n;i++){b[i]=2;}cout<<endl;t[0]=b[0];yy[0]=d[0];//消元过程for(i=1;i<=n;i++){l[i]=u[i]/t[i-1];t[i]=b[i]-l[i]*v[i-1];yy[i]=d[i]-l[i]*yy[i-1];}//回代过程M[n]=yy[n]/t[n];for(i=n-1;i>=0;i--){M[i]=(yy[i]-v[i]*M[i+1])/t[i];}//将M[j]的值输出for(i=0;i<=n;i++){cout<<'M'<<'['<<i<<']'<<'='<<M[i]<<endl;}//输出插值多项式的系数for(j=0;j<n;j++){s[0]=y[j];s[1]=(y[j+1]-y[j])/h[j]-(M[j]/3+M[j+1]/6)*h[j];s[2]=M[j]/2;s[3]=(M[j+1]-M[j])/(6*h[j]);cout<<"当x的值在区间"<<'x'<<'['<<j<<']'<<"到"<<'x'<<'['<<(j+1)<<']'<<"时,输出插值多项式的系数:\n";for(int k=0;k<4;k++){cout<<'s'<<'['<<k<<']'<<'='<<s[k]<<'\t';}cout<<endl;}}程序结果：详见附图4.38jpg编制的程序求车门的3次样条插值函数S(x)：x属于区间[0,1]时；S(x)=2.51+0.8(x)-0.0014861(x)(x)-0.00851395(x)(x)(x)x属于区间[1,2]时；S(x)=3.3+0.771486(x-1)-0.027028(x-1)(x-1)-0.00445799(x-1)(x-1)(x-1) x属于区间[2,3]时；S(x)=4.04+0.704056(x-2)-0.0404019(x-2)(x-2)-0.0036543(x-2)(x-2)(x-2) x属于区间[3,4]时；S(x)=4.7+0.612289(x-3)-0.0513648(x-3)(x-3)-0.0409245(x-3)(x-3)(x-3) x属于区间[4,5]时；S(x)=5.22+0.386786(x-4)-0.174138(x-4)(x-4)+0.107352(x-4)(x-4)(x-4) x属于区间[5,6]时；S(x)=5.54+0.360567(x-5)+0.147919(x-5)(x-5)-0.268485(x-5)(x-5)(x-5) x属于区间[6,7]时；S(x)=5.78-0.149051(x-6)-0.657537(x-6)(x-6)+0.426588(x-6)(x-6)(x-6) x属于区间[7,8]时；S(x)=5.4-0.184361(x-7)+0.622227(x-7)(x-7)-0.267865(x-7)(x-7)(x-7)x属于区间[8,9]时；S(x)=5.57+0.256496(x-8)-0.181369(x-8)(x-8)+0.0548728(x-8)(x-8)(x-8) x属于区间[9,10]时；S(x)=5.7+0.058376(x-9)-0.0167508(x-9)(x-9)+0.0583752(x-9)(x-9)(x-9) S(0.5)=2.90856 S(1.5)=3.67843 S (2.5)=4.38147S(3.5)=4.98819 S(4.5)=5.38328 S(5.5)=5.7237S(6.5)=5.59441 S(7.5)=5.42989 S(8.5)=5.65976S(9.5)=5.7323第六章（6.21）程序如下：#include<iostream.h>#include<fstream.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>ofstream outfile("data.txt");//此处定义函数f(x,y)的表达式//用户可以自己设定所需要求得函数表达式double f1(double x,double y){double f1;f1=(-1)*x*x*y*y;return f1;}//此处定义求函数精确解的函数表达式double f2(double x){double f2;f2=3/(1+x*x*x);return f2;}//此处为精确求函数解的通用程序void accurate(double a,double b,double h){double x[100],accurate[100];x[0]=a;int i=0;outfile<<"输出函数准确值的程序结果:\n";do{x[i]=x[0]+i*h;accurate[i]=f2(x[i]);outfile<<"accurate["<<i<<"]="<<accurate[i]<<'\n';i++;}while(i<(b-a)/h+1);}//此处为经典Runge-Kutta公式的通用程序void RK4(double a,double b,double h,double c){int i=0;double k1,k2,k3,k4;double x[100],y[100];y[0]=c;x[0]=a;outfile<<"输出经典Runge-Kutta公式的程序结果:\n";do{x[i]=x[0]+i*h;k1=f1(x[i],y[i]);k2=f1((x[i]+h/2),(y[i]+h*k1/2));k3=f1((x[i]+h/2),(y[i]+h*k2/2));k4=f1((x[i]+h),(y[i]+h*k3));y[i+1]=y[i]+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;outfile<<"y"<<"["<<i<<"]="<<y[i]<<'\n';i++;}while(i<(b-a)/h+1);}void AB4(double a,double b,double h,double c){double x[100],y[100],y1[100];double k1,k2,k3,k4;y[0]=c;x[0]=a;outfile<<"输出4阶Adams显式方法的程序结果:\n";for(int i=0;i<=2;i++){x[i]=x[0]+i*h;k1=f1(x[i],y[i]);k2=f1((x[i]+h/2),(y[i]+h*k1/2));k3=f1((x[i]+h/2),(y[i]+h*k2/2));k4=f1((x[i]+h),(y[i]+h*k3));y[i+1]=y[i]+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;}int j=3;y1[0]=y[0];y1[1]=y[1];y1[2]=y[2];y1[3]=y[3];do{x[j]=x[0]+j*h;y1[j+1]=y1[j]+(55*f1(x[j],y1[j])-59*f1(x[j-1],y1[j-1])+37*f1(x[j-2], y1[j-2])-9*f1(x[j-3],y1[j-3]))*h/24;outfile<<"y1"<<"["<<j<<"]="<<y1[j]<<'\n';j++;}while(j<(b-a)/h+1);}//主函数void main(void){double a,b,h,c;cout<<"输入上下区间、步长和初始值:\n";cin>>a>>b>>h>>c;accurate(a,b,h);RK4(a,b,h,c);AB4(a,b,h,c);}程序结果：经典Runge-Kutta公式得出的结果列在下面的表格中，以及精确由AB4方法得出的结果为：y1[0]=3 y1[1]=2.997 y1[2]=2.97619 y1[3]=2.92113y1[4]=2.81839 y1[5]=2.66467y1[6]=2.4652 y1[7]=2.23308y1[8]=1.98495y1[9]=1.73704y1[10]=1.5021 y1[11]=1.28876y1[12]=1.10072y1[13]=0.93871y1[14]=0.801135 y1[15]=0.685335通过本上机题我明白了各种求微分方程的数值方法，经典Runge-Kutta公式，AB4方法以及AB4-AM4预测校正方法求解公式的精度是不同的。

第六章 常微分方程数值解法——RK 4法、AB 4法******（学号） *****（姓名）上机题目要求见教材P307,23题。

一、算法原理题目要求采用RK 4法和AB 4法求解最简单的常微分方程初值问题(,),()y f x y a x by a η'=≤≤⎧⎨=⎩ (1)为求解式(1)，采用离散化方法，就是寻求解)(x y 在区间],[b a 上的一系列点<<<<<n x x x x 321上的近似值 ,,,,21n y y y 。

记1(1,2,)i i i h x x i -=-=表示相邻两个节点的间距，称为步长。

求微分方程数值解的主要问题：(1) 如何将微分方程(,)y f x y '=离散化,并建立求其数值解的递推公式; (2) 递推公式的局部截断误差、数值数n y 与精确解)(n x y 的误差估计； (3) 递推公式的稳定性与收敛性. a) Runge-Kutta 方法基本思想：通过在1[,]i i x x +多预报几个点求斜率，并将其加权平均作为k *的近似值，以此构造更高精度的计算公式。

如果每步计算四次函数 的值，完全类似的，可以导出局部截断误差为)(5h O 的四阶Runge-Kutta 公式(RK 4)：1123412132431(22),6(,),(,),221(,),22(,).n n n n n n n n n n y y k k k k k f x y h h k f x y k h k f x h y k k f x h y hk +⎧=++++⎪⎪=⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎪=++⎪⎩ (2)b) Adams 显式公式Runge-Kutta 方法是单步法，计算1+n y 时，只用到n y ， 而已知信息1-n y 、2-n y 等没有被直接利用。

可以设想如果充分利用已知信息1-n y ，2-n y ，…来计算1+n y ，那么不但有可能提高精度，而且大大减少了计算量，这就是构造所谓线性多步法的基本思想。

数值分析编程作业******学号：******指导老师：***目录P20.第17题：舍入误差与有效数 (3)P56.第20题：Newton迭代法 (5)P126.第39题：列主元Gauss消去法 (13)P127.第40题：逐次超松弛迭代法 (16)P195.第37题：3次样条插值函数 (22)P256.第23题：重积分的计算 (24)P307.第23题：常微分方程初值问题数值解 (26)P346.第10题：抛物方程Crank-Nicolson格式 (31)注：源程序放在对应的文件夹里，如第一题放在“P20.第17题：舍入误差与有效数”文件夹里；P20.第17题：舍入误差与有效数设2211311,--122N N+1NN j S j ==-∑其精确值为（）。

（1）编制按从小到大的顺序222111+++2-13-1N -1N S =⋅⋅⋅⋅⋅，计算N S 的通用程序； （2）编制按从小到大的顺序222111+++N -1N-1-12-1N S =⋅⋅⋅⋅⋅（），计算N S 的通用程序； （3）按两种顺序分别计算210S ，410S ，610S ，并指出有效位数（编制程序时用单精度）； （4）通过本上机题你明白了什么？答 （1）（2）程序：程序放在computation.m, goon.m 文件里，运行程序时只需输入命令main（3）运行结果：N=100时，S1有6位有效数字，S2都是有效数字N=10000时，S1有4位有效数字，S2都是有效数字N=1000000时，S1有3位有效数字，S2都是有效数字（4）体会：当N从小到大变化时，SN的项从大到小，反之SN的项从小到大。

从运算结果可见，第一种计算结果总是比第2、3种计算结果小，这是由于大数吃小数的原因（计算机表示一个数值是用字节表示的，当程序进行计算时，先将第一项和第二项相加，然后再加第三项……所以加到后面会由于项的值很小，不能加到这个字节里，所以就被忽略了。

一、数值求解如下正方形域上的Poisson 方程边值问题 2222(,)1,0,1(0,)(1,)(1),01(,0)(,1)0,01u u f x y x y x y u y u y y y y u x u x x ⎧⎛⎫∂∂-+==<<⎪ ⎪∂∂⎪⎝⎭⎨==-≤≤⎪⎪==≤≤⎩二、用椭圆型第一边值问题的五点差分格式得到线性方程组为2,1,1,,1,10,1,,0,141,?,?,?,?0,1i j i j i j i j i j ijj N j i i N u u u u u h f i j N u u u u i j N -+-+++----=≤≤====≤≤+， 写成矩阵形式Au=f 。

其中1．三 、编写求解线性方程组Au=f 的算法程序, 用下列方法编程计算, 并比较计算速度。

2．用Jacobi 迭代法求解线性方程组Au=f 。

3．用块Jacobi 迭代法求解线性方程组Au=f 。

4． 用SOR 迭代法求解线性方程组Au=f,用试算法确定最佳松弛因子。

1122N N v b v b u f v b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4114114ii A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭11,12,1,121,22,2,21,2,,2211,12,1,121,22,2,221,2,,(,,...,),(,,...,),......,(,,...,)(,,...,)?,(,,...,)?,......,(,,...,)?1,999,0.10.011T T N N TN N N N N T T N N T N N N N N v u u u v u u u v u u u b h f f f b h f f f b h f f f h N h N ====+=+=+===+取或则或,1,,1,2,...,i j f i j N== 1122NN A I I A A I I A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭5．用块SOR 迭代法求解线性方程组Au=f,用试算法确定最佳松弛因子。

数值分析上机题答案【篇一：数值分析上机试题对应参考答案】么是近似值x* 有效数字？若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n位，就说x*有n位有效数字。

它可表示为2、数值计算应该避免采用不稳定的算法，防止有效数字的损失. 因此，在进行数值运算算法设计过程中主要注意什么？（1）简化计算过程，减少运算次数；（2）避免两个相近的数相减；（3）避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值；（4）防止大数“吃掉”小数的现象；（5）使用数值稳定的算法，设法控制误差的传播。

3、写出“n 阶阵a 具有n 个不相等的特征值”的等价条件（至少写3 个）(1)|a|不为零(2)n阶矩阵a的列或行向量组线性无关(3)矩阵a为满秩矩阵(4)n阶矩阵a与n阶可逆矩阵b等价4、迭代法的基本思想是什么？就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解得方法。

其基本思想为：先任取一组近似解初值x0，然后按照某种迭代原则，由x0计算新的近似解x1，以此类推，可计算出x2,x3，…xk，。

,如果｛x｝收敛，则取为原方程组的解。

5、病态线性方程组的主要判断方法有哪些？（1）系数矩阵的某两行（列）几乎近似相关（2）系数矩阵的行列式的值很小（3）用主元消去法解线性方程组时出现小主元（4）近似解x*已使残差向量r=b-ax*的范数很小，但该近似解仍不符合问题要求。

6、lagrange 插值的前提条件是什么？并写出二次lagrange 插值的基函数。

1，j?i?（x)? 前提条件是：l i ,j?0,1,2?，n.?ij0，j?i?二次lagrange 插值的基函数： (x?x)(x?x)12??lx0(xx)(xx) 0?10?2 (x?x)(x?x)02?? lx1(xx)(xx)1?01?2(x?x)(x?x)01?? lx2(x?x)(x?x)20217、什么是数值积分的代数精度？如果某一个求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度（或代数精确度）。

一. 上机作业任务一： 用五点差分格式求解Poisson 方程边值问题，P124-------3、4（任选一题）。

二. 上机作业任务二：用Simpson 求积法计算定积分()baf x dx ⎰。

下面两种方法任选一。

（1）变步长复化Simpson 求积法。

（2）自适应Simpson 求积法三. 上机作业任务三：用MATLAB 语言编写连续函数最佳平方逼近的算法程序（函数式M 文件）。

要求算法程序可以适应不同的具体函数，具有一定的通用性。

并用此程序进行数值试验，写出计算实习报告。

所编程序具有以下功能：1. 用Lengendre 多项式做基，并适合于构造任意次数的最佳平方逼近多项式。

可利用递推关系 0112()1,()()(21)()(1)()/2,3,.....n n n P x P x xP x n xP x n P x n n --===---⎡⎤⎣⎦=2. 被逼近函数f(x)用M 文件建立数学函数。

这样，此程序可通过修改建立数学函数的M 文件以适用不同的被逼近函数（要学会用函数句柄）。

3. 要考虑一般的情况]1,1[],[)(+-≠∈b a x f 。

因此，程序中要有变量代换的功能。

4. 计算组合系数时，计算函数的积分采用数值积分的方法。

5. 程序中应包括帮助文本和必要的注释语句。

另外，程序中也要有必要的反馈信息。

6. 程序输入：（1）待求的被逼近函数值的数据点0x (可以是一个数值或向量)（2）区间端点：a,b 。

7. 程序输出：（1）拟合系数：012,,,...,n c c c c（2）待求的被逼近函数值00001102200()()()()()n n s x c P x c P x c P x c P x =++++ 8． 试验函数：()cos ,[0,4]f x x x x =∈+；也可自选其它的试验函数。

9． 用所编程序直接进行计算，检测程序的正确性，并理解算法。

10． 分别求二次、三次、。