抽象函数的对称性与周期性
一、 抽象函数的对称性
定理1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (b －x)，则函数y=f (x) 的图象关于直线x=
2
a b +对称。 推论1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x)
（或f (2a －x)= f (x) ),则函数y=f (x) 的图像关于直线x= a 对称。
推论2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x)， 又若方程f (x)=0有n 个根，则此n 个根的和为na 。
定理2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (b －x)=c ，（a,b,c 为常数），则函数y=f (x) 的图象关于点(
,)22
a b c + 对称。
推论1.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (a －x)=0，（a 为常数），则函数y=f (x) 的图象关于点（a ，0）对称。
定理3.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=f (b －x)两函数的图象关于直线x=
2
b a -对称。 定理4.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=
c －f (b －x)两函数的图象关于点(
,)22
b a
c -对称。
性质1：对函数y=f(x),若f(a+x)= －f(b －x)成立，则y=f(x)的图象关于点（2
b a +,0）对称。
性质2：函数y=f(x －a)与函数y=f(a －x)的图象关于直线x=a 对称。 性质3：函数y=f(a+x)与函数y=f(a －x)的图象关于直线x=0对称。 性质4：函数y=f(a+x)与函数y=－f(b －x)图象关于点（
2
a b -,0）对称。 二、抽象函数的周期性
定理5.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件f (x ＋a)=f (x －b)，则y=f (x) 是以T=a ＋b 为周期的周期函数。
定理6.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件f (x ＋a)= －f (x －b)，则y=f (x) 是以T=2（a ＋b ）为周期的周期函数。
定理7.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a 与 x=b （a ≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b －a)为周期的周期函数。
定理8.若函数y=f (x)的图象关于点（a,0)与点(b,0) , (a ≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b －a)为周期的周期函数。
定理9.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a 与 点(b,0),(a ≠b)对称，则y=f (x) 是以 T=4(b －a)为周期的周期函数。
性质1：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x)及f(b －x)=f(b ＋x) (a ≠b,ab ≠0),则函数f(x)有周期2(a －b)；
性质2：若函数f(x)满足f(a －x)= － f(a ＋x)及f(b －x)=－ f(b ＋x)，(a ≠b,ab ≠0),则函数有周期2(a －b).
特别：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x) （a ≠0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a.
性质3：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x)及f(b －x)= － f(b ＋x) (a ≠b,ab ≠0)，则函数有周期
4(a－b).
特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x) （a≠0）且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a。
例1．已知定义在上的奇函数满足，则的值为
例2．已知函数是周期为的函数，当时，，
当时，的解析式是
例3. 设是定义在上以为周期的函数，在内单调递减，
且的图像关于直线对称，则下面正确的结论是
例4.设是定义在上1．已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则
的值（）.A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负.
例5.在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则( )
A.在区间上是增函数，在区间上是减函数
B.在区间上是增函数，在区间上是减函数
C.在区间上是减函数，在区间上是增函数
D.在区间上是减函数，在区间上是增函数
例6．已知函数的图象关于直线和都对称，且当时，.求的值.
13．设ｆ（ｘ）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称对任意ｘ１，ｘ２∈［０］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f(1)=ａ＞０．
(Ⅰ)求ｆ；
(Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数；
练习：
1.设偶函数对任意，都有，且当时，
，则
2．是定义在上的以为周期的奇函数，且在区间内解的个数的最小值是
3．定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期．若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为
4 .已知函数为上的奇函数，且满足，
当时，，则等于( )
5.函数对于任意实数满足条件，若，
则
6.已知是周期为的奇函数，当时，设
则
8.设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线
对称，则
9（广东）设函数在上满足，，且在闭区间上，只有．
（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）