线性方程组基本概念

x 80 3y （30≤y≤100/3） z 4y 120
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x 100 3 y • 以后, 我们一般将每一个可以任意变化的未知 z 4 y 120
对比
量用一个参数表示, 从而可以将方程组的所有 未知量都表示出来, 如在上例中,可以将y用参 数r表示, 得到方程组的解为
上式是一个矛盾式, 所以方程组无解.
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如上例子说明: 一个线性方程组可以有一个解
(唯一解)(例1.1,1.3)、有无穷多解(例1.2,1.4)、 和无解(例1.5)三种情况. 当未知量个数不超过3时, 教材给出了三种解 的情况的几何解释.
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实际问题中, 常常需要处理含有成千上 万个未知量和约束条件的线性方程组 !!
列标
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线性方程组的一个解是一个由n个数组成的序列
s1 , s2 , … , sn
当x1 , x2 , … , xn依次用s1 , s2 , … , sn替换
代入所有m个方程时, 方程的两端都相等.
中学
消元法 代入法
二元一次线性方程组
有10000个未知量？1000个方程？
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消元法支撑
解出一个未知量的前提下 代入法
x y 2z 3 第三个方程两边同 乘以(-1/11) y 2 z 6 - 11z -1 11 将z = -1代入上式的第二个方程, 得y = -4.
将z = -1和y = -4都代入第一个方程,有x =9
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例1.4
用消元法求解线性方程组
x 3y z 0 2x 5y z 1
• 为了处理任意规模的 • 线性方程组, 我们必 须从以上简单例子的 • 求解过程中提炼出最 基本的过程. • 而如上求解线性方程 组所涉及的步骤都可 • 以归结为三种方程的 初等变换之一:
互换两个方程的位 置(幻灯片 13) 把某一个方程两边 同乘以一个非零常 数c (幻灯片12 等) 某一个方程加上另 一个方程的k倍(幻 灯片 9等)
A 3小时 A 1小时
A 2小时
B 2小时 B 2小时 B 1小时
每吨X
x y
z
每吨Y
每吨Z
3x + y + 2z = 60
2x + 2y + z = 80
使用 60h 使用 80h
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问题就归结为: 找到满足线性方程组
3x y 2z 60 2x 2y z 80
的非负解(因三个变量都是产量). 解：我们用第一个方程减去第二个方程, 得到
x 100 3r yr （25≤r≤80/3） z 4r 120
方程组的解不唯一.
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例1.3
用消元法求解线性方程组
x y 2z 3 3x 5y z 8 5x 8y 16z 3
• 解 为消去x, 用第二个方程加上第一个方程的(-3)
行标
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 .......... .......... .......... ...... .......... am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
x = -8r + 3 y = 3r – 1 z=r
r是任意实数, 这就意味着方程组具有无穷多解 因为r任取一个值, 就有对应于方程组的一个解.
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例1.5
用消元法求解线性方程组 3x y 1 6x 2y 9
解 用第二个方程加上第一个方程的(-2)倍, 得
3x y 1 0 x 0 y 7
倍, 并用第三个方程加上第一个方程的(-5)倍： 第三个方程左右 两边同时乘以
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来自百度文库
x y 2z 3 2 y 7 z 1 3y 2 6 z 18 6
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x y 2z 3 交换第二和第三个方程, 得到 y 2z 6 2y 7z 1 第三个方程加上第二个方程的(-2)倍, 消去y :
x y z 20 挑选一个变量消去 2x 2y z 100
选择消去z, 则可用第二个方程加上第一个方程的(-1)倍
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x = 100 – 3y
代入上式的第一个方程 得到：
z = 4y -120
为使x, z≥0, 必须将y约束为30≤y≤100/3, 由此得到问题的解为
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选择消去x, 第二个方程减去第一个方程的0.03倍
x y 1000000 0.03y 18000
由第二个方程, 我们得到y = 600000. 将y的值代入到第一个方程得到x = 400000.
消元法关键步骤
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例1.2 生产三种不同类型的产品: X, Y, Z, 每种产品的生产必须通过两类机器 A和B
第二个方程加上第一个方程的(-2)倍, 有
x 3y z 0 y 3z 1
代入
求解上式的第二个方程, 得到 y = 3z -1 x = -3y + z = -3(3z -1) + z = -8z + 3
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x,y依赖于z, z可以是任意一个实数
用参数r表示z, 从而可以将方程组的所有未知量 都表示出来
自然科学
工程技术 线性方程 ax = b
社会科学
未知量
一般化
特例
unknowns
a1 x1 + a2 x2 + … + an xn = b
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更一般地, 我们定义任意规模的线性方程组
定义1.1 一个由n个未知量m个线性方程所构成
线性方程组(system of m linear equations in n unknowns), 具有如下的形式
所以我们首先引入几个例子回顾消元法 并讨论其推广价值及相关问题
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例1.1 一百万元人民币可用于投资, 规则要求
存款和长期基金必须都被使用, 经理的目标是 获得48000元的信托年受益, 存款的年利率是3% 长期基金的年利率是6%.
如何决定投资？
解 设投资存款的额度为x, 投资长期基金的额度为y.
x y 1000000 0.03x 0.06y 48000